Chuyên đề Hình học không gian

MỤC LỤC
A. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và cần thực hiện:
- Bước 1: Tìm hai điểm chung và của và .
- Bước 2: Đường thẳng là giao tuyến cần tìm ().
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Gọi là trung điểm . Tìm giao tuyến của và .
Bài 2. Cho hình bình hành và điểm không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Gọi là trung điểm . Tìm giao tuyến của và ; và .
Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình thang ( và ). Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:
a) và ;	b) và ;	c) và .
Bài 4. Cho hình chóp có đáy là tứ giác lồi ().
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng: và , và , và .
b) Gọi là trung điểm của . Tìm giao tuyến của và , và .
c) Gọi thuộc sao cho và thuộc sao cho . Tìm giao tuyến của với các mặt phẳng , , .
Bài 5. Cho hình chóp , đáy là tứ giác có các cạnh đối diện không song song. Lấy điểm thuộc miền trong tam giác . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau:
a) và ;	b) và ;
c) và ;	d) và .
Bài 6. Cho hình chóp có đáy là hình thang nhận cạnh làm đáy lớn. Gọi là trung điểm . là một điểm tùy ý trên . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau:
a) và ;	b) và ; 	c) và .
Bài 7. Cho tứ diện với là trung điểm . Gọi là trọng tâm của các tam giác và . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau:
a) và ;	b) và .
Bài 8. Cho tứ diện với là trung điểm cạnh . Gọi là hai điểm tùy ý trên , . Tìm giao tuyến của và .
Bài 9. Cho bốn điểm không đồng phẳng . Gọi lần lượt là trung điểm và .
a) Xác định giao tuyến của và .
b) Cho lần lượt là hai điểm nằm trên và . Xác định giao tuyến của và .
Bài 10. Cho tứ diện và điểm thuộc miền trong tam giác . Gọi tương ứng là hai điểm trên cạnh và sao cho không song song với .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Lấy điểm thuộc miền trong của tam giác sao cho cắt tại . Tìm giao tuyến của và .
Bài 11. Cho hình chóp , đáy có cắt tại , cắt tại .
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng và , và .
b) Tìm giao tuyến của với các mặt phẳng , .
Bài 12. Cho tứ diện . Gọi là các điểm nằm trên với , . Tìm giao tuyến của và .
Bài 13. Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là các điểm trên cạnh , và sao cho , , . Tìm giao tuyến của với .
Bài 14. Cho hình bình hành và không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của , , . Tìm giao tuyến của với các mặt phẳng , , , .
Bài 15. Cho hình bình hành và không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của , . là điểm đối xứng với qua . Tìm giao tuyến của với các mặt phẳng , , và .
Bài 16. Trong mặt phẳng cho tứ giác lồi có các cạnh đối diện không song song. là một điểm không nằm trong mặt phẳng . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) và ; 	b) và .
Bài 17. Cho tứ diện . là một điểm bên trong tam giác , là một điểm bên trong tam giác . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng và , và .
Bài 18. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của với .
b) Gọi là một điểm trên cạnh , là một điểm trên cạnh . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và 
Bài 19. Cho hình chóp . Gọi là điểm nằm trên cạnh , là điểm nằm trên cạnh và là điểm nằm trong mặt phẳng . Tìm giao tuyến của với .
Bài 20. Cho hình chóp . Gọi lần lượt là các điểm nằm trên . Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng , , và .
Bài 21. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của . Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng , , và .
Bài 22. Cho tứ diện có lần lượt là trung điểm của , là điểm thuộc sao cho . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và .
Bài 23. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của , là điểm thuộc sao cho . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và ;	c) và ;
d) và ;	e) và ;	f) và .
Bài 24. Cho hình chóp có đáy là hình thang với là đáy lớn. Gọi lần lượt là trung điểm của . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và ;	c) và ;
d) và ;	e) và .
Bài 25. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và ;	c) và ; d) và .
Bài 26. Cho tứ diện có lần lượt nằm trên cạnh sao cho không song song với và không song song với . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và ;	c) và .
Bài 27. Cho hình chóp đáy là hình thang đáy lớn . Gọi là trung điểm của , là điểm thuộc sao cho , là điểm thuộc sao cho . Tìm giao tuyến:
a) và ;	b) và ;	c) và .
Bài 28. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Lấy lần lượt thuộc sao cho , . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và ;	c) và ; d) và .
Phương pháp 2
Tương tự phương pháp 1 khi chỉ tìm ngay được 1 điểm chung .
Lúc này ta có hai trường hợp:
- TH1: Hai mặt phẳng theo thứ tự chứa hai đường thẳng mà 
 là giao tuyến cần tìm (tức là )
- TH2: Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng mà 
 Dựng song song với hoặc .
 là giao tuyến cần tìm. (tức là )
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình bình hành và là điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và .
Bài 2. Cho hình chóp đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của và ; và .
b) Lấy điểm thuộc . Tìm giao điểm của và . Tứ giác là hình gì?
Bài 3. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao điểm của và . Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Bài 4. Cho tứ diện . Trên lần lượt lấy các điểm sao cho . Tìm giao tuyến của và .
Bài 5. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh .
a) Tìm giao tuyến của và ; và .
b) Tìm giao tuyến của và .
Bài 6. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.
a) Trên cạnh lấy điểm . Tìm giao tuyến của và .
b) Gọi là trọng tâm của tam giác , là trung điểm của . Tìm giao tuyến của và , và .
Bài 7. Cho hai hình bình hành và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi lần lượt là tâm của và . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và .
Bài 8. Cho hình bình hành và tam giác nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi là trung điểm của và là điểm thuộc sao cho . Mặt phẳng đi qua và song song với cắt mặt phẳng theo một giao tuyến. Tìm giao tuyến đó.
Bài 9. Cho hình bình hành và tam giác nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các cạnh , lần lượt lấy tùy ý. Mặt phẳng đi qua và song song với trung tuyến của tam giác cắt mặt phẳng theo một giao tuyến. Tìm giao tuyến đó.
Bài 10. Cho hai hình vuông , nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Trên lần lượt lấy sao cho . Mặt phẳng qua và song song với lần lượt cắt và tại . Tìm giao tuyến của với các mặt phẳng , .
Bài 11. Cho hai hình bình hành , nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên lấy điểm . Mặt phẳng đi qua điểm và song song với và . Tìm giao tuyến của với các mặt phẳng , .
Bài 12. Cho hình chóp . Gọi là hai điểm trên . Mặt phẳng qua và song song với .
a) Tìm các giao tuyến của với và .
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
Bài 13. Cho hình chóp . Gọi là hai điểm bất kì trên . Mặt phẳng qua và song song với .
a) Tìm các giao tuyến của với các mặt phẳng , , .
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
2. GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp
Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là xét hai khả năng xảy ra:
- Trường hợp 1: chứa đường thẳng và cắt đường thẳng tại .
 Khi đó: 
- Trường hợp 2: không chứa đường thẳng nào cắt .
 + Tìm và ;
 + Tìm ;
 .
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện có các điểm lần lượt là trung điểm của . Lấy điểm thuộc ( không là trung điểm của ). Tìm giao điểm của và .
Bài 2. Cho tứ diện . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho không song song với . Tìm giao điểm của với mặt phẳng .
Bài 3. Cho tứ diện . Trên các cạnh lấy hai điểm tùy ý. Gọi là điểm thuộc miền trong tam giác . Tìm giao điểm của với các cạnh của của tứ diện.
Bài 4. Cho bốn điểm không đồng phẳng . Gọi lần lượt là trung điểm của . Tìm giao điểm của với .
Bài 5. Cho tứ diện . Gọi là các điểm lần lượt nằm trên sao cho , . Tìm giao điểm của với .
Bài 6. Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là các điểm trên các cạnh và sao cho , , . Tìm giao điểm của với .
Bài 7. Cho hình chóp . Lấy lần lượt là các điểm trên và sao cho chúng không trùng với trung điểm của các đoạn ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mặt phẳng với các đường thẳng , .
Bài 8. Cho hình chóp . Gọi tương ứng là các điểm thuộc các cạnh và . Tìm giao điểm của với .
Bài 9. Cho bốn điểm không đồng phẳng . Gọi theo thứ tự là hai điểm trong của tam giác và . Giả sử cắt tại . Hãy xác định điểm .
Bài 10. Cho tứ diện . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm . Gọi là điểm tùy ý trong tam giác .
a) Tìm giao điểm của và ; giao tuyến của với .
b) Tìm giao điểm của với .
Bài 11. Cho hình bình hành và điểm nằm ngoài mặt phẳng .
a) Trên lấy điểm . Tìm giao điểm của với .
b) Giả sử là trung điểm của . Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm giao điểm của với các mặt phẳng , .
Bài 12. Cho hình chóp .
a) Trên lấy điểm . Tìm giao điểm của với .
b) Trên phần kéo dài của về phía ta lấy điểm . Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm giao điểm của với các mặt phẳng , , .
Bài 13. Cho tứ diện . Trên cạnh lấy điểm và lần lượt là các điểm thuộc miền trong của các tam giác và . Gọi là giao điểm của và .
a) Xác định điểm .
b) Tìm giao tuyến của với các mặt của tứ diện .
Bài 14. Cho tam giác và điểm không thuộc mặt phẳng . Gọi là trung điểm , là trung điểm , là trọng tâm của tam giác .
a) Tìm giao điểm của với ;	b) Tìm giao tuyến của với .
Bài 15. Trong mặt phẳng cho tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không song song và ngoài cho điểm .
a) Trên lấy điểm . Tìm giao điểm của và .
b) Trên phần kéo dài của về phía ta lấy điểm . Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng , , .
Bài 16. Cho hình chóp có đáy là hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là hai điểm bất kỳ thuộc . Tìm giao điểm của:
a) và ;	b) và ;	c) và .
Bài 17. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và là trung điểm .
a) Tìm giao điểm của và .
b) Tìm giao điểm của và .
c) Gọi là điểm thuộc . Tìm giao điểm của và .
Bài 18. Cho hình chóp có các cạnh đối không song song. Gọi lần lượt là các điểm thuộc . Tìm giao điểm của:
a) và ;	b) và ; 	c) và .
Bài 19. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác .
a) Tìm giao điểm của và .
b) Tìm giao điểm của và .
c) Tìm giao điểm của và .
Bài 20. Cho hình chóp có lần lượt là trung điểm của , lấy điểm thuộc sao cho và điểm thuộc sao cho . Tìm giao điểm của:
a) và ;	b) và ;	c) và .
Bài 21. Cho hình chóp có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song và là điểm thuộc . Tìm giao tuyến của:
a) và ;	b) và ;	c) và .
Bài 22. Cho tứ diện có thuộc đoạn , thuộc đoạn và nằm bên trong tam giác . Tìm giao điểm của:
a) và ;	b) và ;	c) và .
Bài 23. Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn . Lấy nằm trên .
a) Tìm giao tuyến của và ;
b) Tìm giao tuyến của và ;
c) Tìm giao tuyến của và ;
d) Tìm giao điểm của và ;
e) Tìm giao điểm của và .
Bài 24. Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn . Lấy điểm thuộc đoạn , là trung điểm của , thuộc đoạn .
a) Tìm giao điểm của và ;	b) Tìm giao tuyến của và .
Bài 25. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của và ; và .
b) Lấy điểm thuộc . Tìm giao điểm của và . Tứ giác là hình gì?
Bài 26. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao tuyến của và .
c) Tìm giao điểm của và . Tứ giác là hình gì?
Bài 27. Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao tuyến của và .
c) Tìm giao điểm của và .
d) Tìm giao điểm của và .
e) Xác định thiết diện của hình chóp với . Thiết diện là hình gì?
Bài 28. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao điểm của với .
c) Tìm giao điểm của với .
d) Tìm giao tuyến của với . Suy ra thiết diện của hình chóp với .
Bài 29. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao điểm của và .
c) Tìm giao tuyến của và .
d) Gọi là giao điểm của và . Tìm giao điểm của và .
Bài 30. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao tuyến của và .
c) Tìm giao điểm của với .
d) Chứng minh và song song nhau.
e) Tìm giao điểm của và .
f) Tìm thiết diện của hình chóp và .
Bài tập tổng hợp
Bài 1. Cho hình chóp . Gọi là điểm thuộc miền trong của tam giác . 
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và . 
b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
Bài 2. Cho hai hình thang không phải là hình bình hành và có chung đáy lớn và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng và ; và .
b) Lấy trên đoạn . Tìm giao điểm của và mặt phẳng .
c) Chứng minh hai đường thẳng và không cắt nhau.
Bài 3. Cho hình chóp . Gọi theo thứ tự là trung điểm của . Lấy điểm trên đoạn sao cho .
a) Tìm giao điểm của và mặt phẳng .
b) Gọi là trung điểm của . Tìm giao điểm của và .
Bài 4. Cho hình chóp , là điểm thuộc , là điểm thuộc .
a) Tìm giao điểm của và , là giao điểm của và .
b) và cắt nhau tại , chứng minh thẳng hàng.
c) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
Bài 5. Cho hình chóp , là trọng tâm của tam giác , là trung điểm của . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) và ;	b) và .
Bài 6. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của , là điểm trên đoạn , . Tìm giao điểm của:
a) và 	b) và .
Bài 7. Cho hình chóp có đáy là tứ giác có các cạnh đối không không song song. Gọi lần lượt là các điểm trên . Giả sử cắt . Tìm giao điểm của chúng.
Bài 8. Cho hình chóp . Gọi là ba điểm lần lượt trên các cạnh . Giả sử cắt và . Tìm giao điểm của mặt phẳng với các đường thẳng .
Bài 9. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. là trung điểm ; là điểm trên cạnh .
a) Tìm giao điểm của với .
b) Tìm giao tuyến của với .
c) Gọi là giao điểm của với . Chứng minh là trung điểm .
Bài 10. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm ; là điểm trên cạnh sao cho . Tìm thiết diện tạo bởi với hình chóp.
Bài 11. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm ; là trung điểm của cạnh .
a) Tìm giao điểm của với mặt phẳng .
b) Tìm giao tuyến của với .
c) Chứng minh đồng qui.
Bài 12. Cho hình chóp có đáy là tứ giác lồi. là trung điểm ; là điểm trên cạnh sao cho .
a) Tìm giao điểm của với mặt phẳng .
b) Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng với hình chóp.
Bài 13. Hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm và là trọng tâm của tam giác .
a) Tìm giao điểm của với và chứng minh nằm trên đường thẳng và .
b) Tìm giao điểm của với . Tính tỉ số .
c) Tìm giao điểm của với . Tính tỉ số .
3. BA ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN THẲNG HÀNG
Phương pháp
Cơ sở của phương pháp là cần phải chứng minh ba điểm trong yêu cầu đề bài là điểm chung của hai mặt phẳng nào đó, tức là:
- Tìm ;
- Chỉ ra (chứng minh) đi qua ba điểm thẳng hàng.
Hoặc chứng minh đường thẳng đi qua thẳng hàng.
4. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp là:
Ta cần tìm trên hai điểm tùy ý , và chứng minh hai điểm đó thẳng hàng với điểm cố định có sẵn trong không gian.
 đi qua điểm cố định.
Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là:
- Bước 1: Tìm đường thẳng cố định ở ngoài mặt phẳng cố định chứa di động.
- Bước 2: Tìm giao điểm của và 
 là điểm cố định mà đi qua.
5. BA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỒNG QUY
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chứng minh đường thẳng thứ nhất qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.
- Bước 1: Tìm .
- Bước 2: Chứng minh đi qua .
 đồng quy tại .
Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là ta cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau và dôi một ở trong ba mặt phẳng phân biệt.
- Bước 1: Xác định
 trong đó , , phân biệt
- Bước 2: Kết luận đồng quy tại .
B. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
1. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
Phương pháp
Cơ sở của phương pháp cần thực hiện hai bước cơ bản cho định nghĩa 
- Bước 1: Kiểm tra hai đường thẳng ở trong cùng một mặt phẳng hay hiểu rằng điều đó hiển nhiên xảy ra nếu chúng cùng nằm trong một hình phẳng nào đó.
- Bước 2: Dùng định lý Thales, tam giác đồng dạng, tính chất bắc cầu (hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba), là hai đáy của hình thang, hai cạnh đối của hình bình hành để khẳng định hai đường thẳng đó không có điểm chung.
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh rằng .
Bài 2. Cho hình chóp , có đáy là hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Chứng minh: .
b) Tìm giao điểm của với .
c) Kéo dài và cắt nhau tại . Chứng minh . Tứ giác là hình gì?
Bài 3. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của , , .
a) Chứng minh là hình bình hành.
b) Từ đó suy ra ba đoạn cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Bài 4. Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành. Gọi là các điểm lần lượt nằm trên sao cho .
a) Chứng minh: .
b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh: .
c) Qua dựng các đường thẳng và . Tìm giao điểm của với và của với .
Bài 5. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm .
a) Chứng minh rằng .
b) Gọi là trọng tâm của tam giác , thuộc sao cho . Chứng minh .
Bài 6. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của và ; và .
b) Lấy điểm thuộc . Tìm giao điểm của và . Tứ giác là hình gì?
Bài 7. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao tuyến của và .
c) Tìm giao điểm của và . Tứ giác là hình gì?
Bài 8. Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao tuyến của và .
c) Tìm giao điểm của và .
d) Tìm giao điểm của và .
e) Xác định thiết diện của hình chóp với . Thiết diện là hình gì?
Bài 9. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao điểm của với .
c) Tìm giao điểm của với .
d) Tìm giao tuyến của với . Suy ra thiết diện của hình chóp với .
Bài 10. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao điểm của và .
c) Tìm giao tuyến của và .
d) Gọi là giao điểm của và . Tìm giao điểm của và .
Bài 11. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao tuyến của và .
b) Tìm giao tuyến của và .
c) Tìm giao điểm của với .
d) Chứng minh và song song nhau.
e) Tìm giao điểm của và .
f) Tìm thiết diện của hình chóp và .
Bài 12. Cho hình chóp . Gọi là trung điểm . Cho .
a) Tìm giao điểm của và .
b) Chứng minh rằng . Tứ giác là hình gì?
c) Tìm giao tuyến và .
d) Tìm giao điểm và .
Bài 13. Cho hình chóp đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Tìm giao điểm của và ; tìm giao điểm của và .
b) Tìm giao điểm của và .
c) Tìm giao tuyến của và .
d) Tìm giao điểm của và .
e) Tìm thiết diện hình chóp và .
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp là dùng điều kiện cần và đủ để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng .
- Bước 1: Quan sát và quản lí giả thiết tìm đường thẳng ưu việt và chứng minh .
- Bước 2: Kết luận .
Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là dùng định lý phương giao tuyến song song.
- Bước 1: Chứng minh
 mà 
- Bước 2: Kết luận .
3. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp chứng minh hai mặt phẳng và song song nhau là:
- Bước 1: Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng .
- Bước 2: Kết luận theo điều kiện cần và đủ.
Phương pháp 2
- Bước 1: Tìm hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng .
- Bước 2: Lần lượt chứng minh và 
- Bước 3: Kết luận .
4. CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG PHẲNG
Phương pháp
Cơ sở của phương pháp chứng minh các đường thẳng , ,  đồng phẳng là:
- Bước 1: Chứng minh , ,  đôi một cắt nhau và cùng song song