Chuyên đề Hình học cấp Tiểu học - Hồ Văn Đạt

PHỤ LỤC
CHUYÊN ĐỀ
ĐỘ DÀI,CHU VI,DIỆN TÍCH ,THỂ TÍCH
	NỘI DUNG 	TRANG 
1.TỔNG ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG 1---3
2. CHU VI TAM GIÁC	 4---6
3.DIỆN TÍCH TAM GIÁC	 7 – 38
4. CHU VI TỨ GIÁC	 39-- 40
5.HÌNH CHữ NHậT	 41--56
6. HÌNH VUÔNG	 57--67
7. HÌNH THANG 	 68—76
8. DIỆN TÍCH HÌNH BÌNH HÀNH 	 77 
9. DIỆN TÍCH HÌNH THOI 	 77
10.HÌNH TRÒN 	 77--80 
11. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT	 81
12 . HÌNH LẬP PHƯƠNG 	 82--83
CHUYÊN ĐỀ
ĐỘ DÀI,CHU VI,DIỆN TÍCH ,THỂ TÍCH
1.TỔNG ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG
Bài 1: Tính độ dài đường gấp khúc:
4cm
6 cm
5 cm
Trả lời: Độ dài đường gấp khúc là: 4 + 5 + 6 = 15 cm
Bài 2:
Trả lời: Trước tiên ta dùng phương pháp sơ đồ cây để tìm tất cả các đoạn thẳng có trên hình :
C
B
D
D
C
	A 	B 	C 	 D 
Vậy tổng độ dài các đoạn thẳng có trong hình là : 
AB + AC + AD + BC + BD + CD 
	 = AB + AB + BC + AB +BC +CD + BC + BC+ CD +CD
	 = (AB + BC + CD) X 3 + BC 
	 = ( 1 + 3 + 2 ) X 3 + 3 = 21 cm Tổng độ dài tất cả các đoạn thẳng là 21cm
 -Lớp 2 lưu ý tính trong ngoặc trước các em nhé! Có kết quả bao nhiêu nhân với 3 rồi cộng 3 )
Bài 3:
Bài 4: 
Cho hình vẽ .Biết BC = 2 cm AD = 6cm.Tính tổng độ dài tất cả các đoạn thẳng 
Dựa vào cách làm như bài 2:
Trả lời: Trước tiên ta dùng phương pháp sơ đồ cây để tìm tất cả các đoạn thẳng có trên hình :
C
B
D
D
C
	A 	B 	C 	 D 
Vậy tổng độ dài các đoạn thẳng có trong hình là : 
AB + AC + AD + BC + BD + CD 
	 = AB + AB + BC + AB +BC +CD + BC + BC+ CD +CD
	 = (AB + BC + CD) X 3 + BC 
	 = AD X 3 + BC
 = 6 X 3 + 2 = 20 cm 
 Tổng độ dài tất cả các đoạn thẳng là 20cm
Bài 5:
Tổng độ dài tất cả các đoạn thẳng là : AB + AD+ AC + BD + DC + BC 
	 = AB + AD+ AC + BD + DC + BD + DC
	 = 3 + 3 + 4 + 2 + 3 + 2 + 3
	 = 20 cm 
Tổng độ dài tất cả các đoạn thẳng là 20cm
2. CHU VI TAM GIÁC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Chu vi tam giác là tổng độ dài các cạnh của tam giác đó 
Bài 1 : Tính chu vi tam giác
3cm
5 cm
4 cm
Bài 2: 
Tính chu vi tam giác ABC biết AB = 3cm,BC = 4cm,AC = 5cm .
Câu 3:
Một hình tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là 5dm4cm, 4dm6cm, 6cm3dm. Chu vi hình tam giác đó là cm.
Câu 4:
Hình tam giác ABC có cạnh AB dài 238cm, cạnh BC dài 185cm, cạnh CA ngắn hơn cạnh AB 69cm. Tính chu vi hình tam giác ABC.
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
Bài 8: 
 Một hình tam giác có chu vi 80cm.Biết số đo hai trong ba cạnh của tam giác đó là 23cm và 28 cm. Tính số do cạnh còn lại của tam giác đó.
Bài 9: 
 Một tam giác có chu vi 32cm,số đo hai trong ba cạnh lần lượt là 8cm và 4 cm .Số đo cạnh còn lại là bao nhiêu?
Bài 10: 
 Một tam giác có chu vi 28cm,số đo cạnh thứ nhất 8cm và hai cạnh còn lại có số đo bằng nhau và bằng bao nhiêu? 
Bài 11: 
 Một tam giác có chu vi 46cm, hai trong ba cạnh có số đo bằng nhau và bằng 18cm .Vậy số đo cạnh còn lại bằng bao nhiêu? 
Bài 12: 
 Một tam giác có số đo 3 cạnh bằng nhau và bằng 8cm.Vậy chu vi tam giác đó bằng bao nhiêu?
Bài 13: 
Một tam giác có số đo cạnh thứ nhất 6cm ,cạnh thứ hai dài hơn cạnh thứ nhất 3cm nhưng ngắn hơn cạnh thứ ba 4cm.Vậy chu vi tam giác đó bằng bao nhiêu?
Bài 14: 
 Một tam giác có tổng số đo cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai 24 cm .Chu vi tam giác đó là 36cm.Vậy cạnh thứ ba của tam giác đó bằng bao nhiêu?
Bài 15: 
 Một tam giác có chu vi 7cm , số đo cạnh thứ nhất dài hơn cạnh thứ hai nhưng lại ngắn hơn cạnh thứ ba.Vậy cạnh thứ ba của tam giác đó bằng bao nhiêu ?
Bài 16: 
 Một tam giác có chu vi 46cm, nếu tăng độ dài mỗi cạnh lên 4cm thì chu vi tam giác bằng bao nhiêu ? 
Bài 17: 
 Một tam giác có chu vi 29cm, nếu giảm độ dài mỗi cạnh 3cm thì chu vi tam giác bằng bao nhiêu ? (Biết độ dài mỗi cạnh tam giác đều lớn hơn 3cm)
Bài 18: 
Một tam giác có chu vi 29cm, nếu giảm độ dài cạnh thứ nhất 3cm ,cạnh thứ hai 2cm thì chu vi tam giác bằng bao nhiêu ? (Biết độ dài mỗi cạnh tam giác đều lớn hơn 3cm)
Bài 19: 
Giải
Chu vi tam giác ADC là: AD + DC + AC 
	Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC
Tổng chu vi tất cả các tam giác: AD + DC + AC + AB + BC + AC
	 = 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 5 
	 = 24 cm
Bài 20: Cho tứ giác ABCD có chu vi 12 cm. AC = 5 cm 
	 Tính chu vi tất cả các tam giác có trong hình .
Giải 
Chu vi tam giác ADC là: AD + DC + AC 
	Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC
Tổng chu vi tất cả các tam giác: AD + DC + AC + AB + BC + AC
	 =	 (AD + DC + BC + AB) + AC + AC
	 = 12 + 5 + 5 = 22 cm 
Bài 21: 
Bài 22: 
Bài 23: Cho chu vi tam giác ABC là 16cm ,AD = 3cm.Tính tổng chu vi tất cả các tam giác có trong hình.
Giải
Chu vi tam giác ABD là: AB + BD + AD 
	Chu vi tam giác ADC là: AD + DC + AC
Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC 
Chu vi tất cả các tam giác có trong hình là: 
AB + BD + AD + AD + DC + AC + AB + BC + AC
 = AB + BD+ DC + AD + AD + AC + AB + BC + AC
 = (AB + BC + AC) + (AB + BC + AC) + AD + AD 
 = 16 + 16 + 3 + 3 
 = 38 cm 
3.DIỆN TÍCH TAM GIÁC:
 - Diện tích hinh tam giác:. (đáy x chiều cao) : 2............ S = a x h : 2 .
	Suy ra: Cạnh đáy = Sx2 : chiều cao ; Chiều cao = Sx2 : Cạnh đáy
	 a = S x 2 : h ; h = S x 2 : a 
 *Chú ý: 
	+ Hai tam tam giác có đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì diện tích bằng nhau.
	+ Hai tam tam giác có chung đáy (hay đáy bằng nhau) và diện tích bằng nhau thì chiều cao bằng nhau.
	+ Hai tam giác có chung chiều cao (hay chiều cao bằng nhau) và diện tích bằng nhau thì đáy bằng nhau.
	+ Hai tam giác chung chiều cao (hay chiều cao bằng nhau) thì tỉ lệ về cạnh đáy cũng chính là tỉ lệ về diện tích và ngược lại tỉ lệ về diện tích cũng chính là tỉ lệ về cạnh đáy.
+ Hai tam giác chung cạnh đáy (hay đáy bằng nhau) thì tỉ lệ về chiều cao cũng chính là tỉ lệ về diện tích và ngược lại tỉ lệ về diện tích cũng chính là tỉ lệ về chiều cao.
Bµi 1: Cho tam giác ABC có chiều cao AH = 12cm,cạnh đáy BC = 8cm.Tính diện tích tam giác ABC.
Bµi 2: Cho tam giác ABC có diện tích 20cm2 ,cạnh đáy BC = 8cm.Tính chiều cao AH của tam giác ABC.
Bµi 3: Cho tam giác ABC có diện tích 15cm2 , chiều cao AH = 5cm.Tính cạnh đáy BC của tam giác ABC.
Bµi 4: Cho hình vẽ. AH = 4cm,DK= 4cm. 
	 A
 	 B	 H C K
	 D
Viết biểu thức tính diện tích tam giác ABC và BCD.
So sánh diện tích của hai tam giác ABC và BCD. 
 A
Bài 5: Cho hình vẽ.Diện tích tam giác ABC bằng 
diện tích tam giác BCD và bằng 20cm2 ,BC = 8cm H C K
a. Tính chiều cao AH và DK. B 
b. Giải thích vì sao AH = CK .
	 D
 	A
Bài 6: Cho hình vẽ.Diện tích tam giác ABC bằng 
diện tích tam giác BCD và bằng 20cm2 ,AH = 8cm 
a. Tính cạnh đáy BM và cạnh đáy MC . 
b. Giải thích vì sao BM = MC .	 B C
	 H M
Một số bài toán tham khảo
Bài 7:
            Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm I, sao cho IB=IC. Nối AI, trên đoạn AI lấy điểm M để có MI=1/2AM. Nối và kéo dài đoạn CM cắt cạnh AB tại N. So sánh diện tích 2 hình tam giác AMN và BMN.
            Giải
Ta có SMIC= 1/2 SMCA         (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C).
           SMIC=SMIB                  (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M).
        Cho ta:      SAMC=SBMC       (SBMC=SMIC+SMIB).
        Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B xuống cạnh đáy MC bằng nhau.
        Hai đường cao này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam giác này lại có cạnh đáy chung là MN.
        Vậy:                 SAMN=SBMN 
Bài 8: 
        Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. P là điểm chia cạnh DC thành 2 phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN (hình vẽ). Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
                                                                                (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh - TTT số 35) 
            Giải
        2 tam giác MPN và NPD có phần chung là tam giác NOP. Mà SDOP - SMON = 3,5cm2. 
        Nên SNPD - SMPN = 3,5cm2 .
Mặt khác   SNPD  = ¼ SABCD  (NDP có đáy bằng ½ chiều dài và đường cao bằng chiều rộng hình ABCD) và  SMPN = 1/6 SABCD (MPN có đáy bằng 1/3 chiều dài và đường cao bằng chiều rộng hình ABCD).
Hay:   ¼ SABCD - 1/6 SABCD = 1/12 SABCD = 3,5cm2
Diện tích hình chữ nhật:   3,5 x 12 = 42 (cm2)
          Đáp số:  42 cm2
Bài 9:   
Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho BE gấp đôi AE; trên cạnh AC ta lấy điểm D sao cho CD gấp đôi AD. Nối E với D ta được hình tam giác AED có diện tích 5 cm2. Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.
            Giải
 Hướng giải:
                           SBDE  = 5 x 2 = 10 (cm2)
                            SABD = 10 + 5 = 15 (cm2)
                            SBDC = 15 x 2 = 30 (cm2)
                            SBCDE = SBDE + SBDC
                                         = 10   +   30 = 40 cm2
Bài 10: So sánh diện tích 2 tam giác.
            Cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh AD. Đoạn thẳng AC cắt BM tại N.
    a, Diện tích tam giác BMC gấp mấy lần Diện tích tam giác AMB?
    b, Diện tích tam giác BNC gấp mấy lần diện tích tam giác ANB ? Tính diện tích hình vuông ABCD biết diện tích tam giác ANB bằng 1,5 dm2
            Giải
a)   Theo đề bài : AM = 1/2 AD nên AM = 1/2 BC
  Ta có : sAMB = 1/2  sBMC  ( vì cạnh đáy AM = 1/2BC, chiều cao từ M xuống BC bằng chiều cao BA)   hay sBMC = 2 x sAMB
b)       Từ câu a:  sBMC = 2 x sAMB  mà hai tam giác này chung đáy MB nên chiều cao  CI gấp đôi chiều cao AH
Mặt khác tam giác BNC và ANC có chung đáy NB, chiều cao CI = 2 x AH
                              Suy ra sBNC = 2 x sANB
sABC = 1/2 sABCD  ( .....)
 sABC = 1.5 x (1+2) = 4,5 (dm2)
 sABCD = 4,5 x 2 =  9 (dm2)
Bài 11: Tính độ dài đoạn thẳng
            Cho tam giác ABC có BC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy điểm chính giữa D. Nối B với D. Trên BD lấy điểm E sao cho BE gấp đôi ED. Nối AE, kéo dài cắt BC ở M. Tính độ dài đoạn BM. 
                Giải
SAED = SEDC  (AD=DC ; chung dường cao kẻ từ E)
SAED = ½ SAEB  (ED = ½ BE ; chung đường cao kẻ từ A)
Suy ra    SABE = SAEC
Mà 2 tam giác này có chung đáy AE nên dường cao kẻ từ B và đường cao kẻ từ C xuống AM  bằng nhau.
2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BEM và CEM và có chung đáy EM.
Suy ra      SBEM = SCEM
Vậy     BM = MC = 8 : 2 = 4 (cm)
Bài 12:  Diện tích tứ giác
          Cho hình thang ABCD như hình bên. Biết diện tích 2 tam giác AED và BCF lần lược bằng 5,2cm2 và 4,8cm2. Tính diện tích hình tứ giác MFNE. 
            Giải
        Nối M với N, ta có: S(ADN) = S(MDN) ( vì hai tam giác có chung đáy DN, đường cao hạ từ A và M xuống đáy DN bằng nhau).
      Vì hai tam giác trên có chung phần diện tích tam giác EDN, nên : S(ADE) = S(MEN) = 5,2 ( cm2).
      Tương tự như vậy ta cũng có S(BFC) = S(MNF) = 4,8 (cm2). 
      Vậy diện tích tứ giác MENF là: 5,2 + 4,8 = 10 ( cm2).
              Đáp số:  10 cm2
Bài 13:   Diện tích hình tam giác
            Cho tứ giác ABCD, M là điểm ở trên cạnh AB sao cho AM = 1/3 BM. Tính diện tích tam giác MCD biết rằng diện tích tam giác ACD và tam giác BCD tương ứng là 24cm2 và 16cm2.
   Giải
Chiều cao AI và BK lần lượt của 2 tam giác ACD và BCD có tỉ lệ  24/16 = 3/2
Xem AI = 3 đơn vị độ dài thì BK = 2 (đv dài)
Xét 2 tam giác BMN và MAN có chung đường cao kẻ từ N và BM=3MA
Nên S_BMN = 3S_MNA   và có chung đáy MN.
Suy ra: đường cao kẻ từ B gấp 3 lần đường cao kẻ từ A xuống MN.
Hay  KN=3NI
Xem KN = 3 (đơn vị độ dài) và NI= 1 (đơn vị độ dài)  thì  KI=4 (đv dài) 
Diện tích hình thang BAIK = (2+3):2x4 = 10 (đơnvị2)
KBM có đáy KB, cao từ M
SKBM = 2x3:2=3 (đv 2)
Tương tự: SMAI = 1x3:2 = 1,5 (đv2)
SKMI = SKBAI – (SKBM+SMAI)
          = 10 – (3+1,5) = 5,5 (đv2)
Chiều cao MN = 5,5 x 2 : 4 = 2,75 (đv dài) 
Tam giác MCD và  ACD có chung đáy. Tỉ lệ đường cao chính là tỉ lệ diện tích.
SMCD/SACD = 2,75/3
SMCD/24 = 2,75/3
=> SMCD = 24 x 2,75 :3 = 22 (cm2) 
Bài 14:   Tính độ dài đoạn BM
            Cho tam giác ABC có BC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy điểm chính giữa D. Nối B với D. Trên BD lấy điểm E sao cho BE gấp đôi ED. Nối AE, kéo dài cắt BC ở M. Tính độ dài đoạn BM.
             Giải
SAED = SEDC  (AD=DC ; chung dường cao kẻ từ E)
SAED = ½ SAEB  (ED = ½ BE ; chung đường cao kẻ từ A)
Suy ra    SABE = SAEC
Mà 2 tam giác này có chung đáy AE nên dường cao kẻ từ B và đường cao kẻ từ C xuống AM  bằng nhau.
2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BEM và CEM và có chung đáy EM.
Suy ra      SBEM = SCEM
Vậy     BM = MC = 8 : 2 = 4 (cm)
Bài 15:
        Cho hình thang vuông ABCD , AD= 6cm ; DC = 12cm ; AB = 2/3  DC.
            a)     Tính diện tích hình thang  ABCD.                          
            b)    Kéo dài cạnh bên AD và CB, chúng gặp nhau tại M . Tính độ dài cạnh AM.
                Giải
a) Cạnh AB là : 12 x 2/3 = 8 (cm)
Diện tích ABCD là : (8 + 12) : 2 x 6 = 60 (cm2)
b) -Xét tam giác ABC đáy AB và DBC đáy CD có chiều cao bằng nhau = 6cm mà đáy AB = 2/3 CD => S_ABC = 2/3 S_DBC.
Vẫn xét 2 tam giác ABC và DBC chung đáy BC vì S_ABC = 2/3 S_DBC => chiều cao AK = 2/3 DH.
-Xét tam giác AMC và DMC chung đáy MC mà chiều cao AK = 2/3 DH => S_AMC = 2/3 S_DMC. Mà S_DMC lớn hơn S_AMC là :    12 x 6 : 2 = 36 (cm2)
S_AMC là : 36 : (3-2) x 2 = 72 (cm2) (Toán Hiệu - Tỉ)
Xét tam giác AMC đáy AM, chiều cao CD => AM = 72 x 2 : 12 = 12 (cm)
Bài 16:
        Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 360cm2. Trên cạnh AB lấy 2 điểm M và N sao cho AM=1/2AB, AN=1/3AB. Gọi giao điểm của DM và CN là O. Tính diện tích tam giác MON.
Ta có:
MN = 1/2 AB - 1/3 AB = 1/6 AB
Xét tam giác NMD và MCD có chiều cao = chiều rộng hình chữ nhật mà đáy NM = 1/6 CD => S_NMD = 1/6 S_MCD. Mà S_MCD = 360 : 2 = 180 (cm2) => S_NMD = 180 : 6 = 30 (cm2)
Mặt khác 2 tam giác này chugn đáy MD => Chiều cao tam giác NMD đỉnh N = 1/6 chiều cao tam giác MCD đỉnh C
Xét tam giác NMD và NMC chung đáy NM chiều cao bằng nhau => S_NMD = S_NMC = 30 (cm2)
Xét tam giác NMO và MCO có chung đáy MO chiều cao tam giác NMO = 1/6 chiều cao MCO => S_NMO = 1/6 S_MCO
Vậy diện tích NMO là : 30 : (1 + 6) = 30/7 (cm2)
Bài 17:
        Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC, trên cạnh CD lấy N sao cho NC = 1/3xDC. Hãy so sánh diện tích hình tam giác AMN với diện tích hình tam giác ADN
AB=a  ; BC=b
Diện tích hình chữ nhật:   S=a.b
S_ADN= 2/3a x b : 2 = 1/3 ab = 1/3S
Ta có:
S_AMN = (S_AMC + S_ANC) – S_MCN= (MC x AB :2  + NC x AD : 2) – (NC x MC : 2)
= (1/2b x  a : 2    +  1/3a x b : 2) – (1/3a x 1/2b : 2) 
=     ¼ S              +       1/6S        -      1/12S 
= 5/12 S – 1/12 S = 4/12 S = 1/3 S
Bài 18:
        HCN có diện tích 360 cm2.Tính diện tích HCN với số đo chiều dài và chiều rộng tương ứng là 3/2số đo HCN đã cho
Gọi S=a x b
S_tăng = 3/2a x 3/2b = 9/4 S
Diện tích mới:  360 x 9/4 = 810 (cm2)
Bài 19:
        Cho hình tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 1/3 AB. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = 1/4 AC. Nối M với C, nối N với B cắt nhau tại O. Hãy so sánh diện tích tam giác BOC và diện tich tam giác ABC.
Nối A với O. 
Ta có:  SABN = 1/3 SBNC  nên đường cao kẻ từ A và C xuống NB có tỉ lệ 1/3
Suy ra  SABO = 1/3 SBOC (chung đáy OB)
Tương tự:
SAMC = 1/2SBMC nên dường cao kẻ từ A và B xuống MC có tỉ lệ 1/2
Suy ra      SAOC = 1/2 SBOC (chung đáy OC)
Từ đó ta có:  SAOC + SAOB = (1/3+1/2)SBOC = 5/6 SBOC
SAOC + SAOB  có 5 phần thì SBOC có 6 phần và SABC có (5+6) 11 phần
Vậy:     AOCB = 6/11 SABC
Bài 20: Tính độ dài
        Cho tam giác ABC có diện tích bằng 900 cm2  và cạnh BC = 45 cm. M là một điểm trên AB sao cho MB = 1/3 AB. Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Tính Độ dài đoạn MN.
Ta có:
SCMB = 1/2 SAMC (chung đường cao kẻ từ C, đáy MB=1/2AM)
=>  SCMB = 300 cm2  
=> Đường cao MI = 300 x 2 : 45 = 13(cm)             
Hình thang NMBC cho ta SCMB = SCNB = 300 cm2   (chung đáy CB, đường cao bằng đường cao hình thang)
=>SANB = 900 – 300 = 600 (cm2)
Mặt khác SNMB = 1/2 SNMA   => SNMB = 600 : 3 = 200 (cm2) 
Mà tam giác NMB có đáy NM và đường cao bằng đường cao MI.
Độ dài đoạn MN = 200 x 2 : 13 = 30 (cm)
Đáp số:   MN = 30cm
Bài 21: Diện tích tam giác
        Cho hình tam giác ABC có điểm N là điểm chính giữa cạnh AC . Trên hình đó có hình thangBMNE. Nối B với N, nối E với M, hai đoạn thẳng này gặp nhau tại điểm O 
a/ So sánh diện tích 2 hình tam giác OMB và OEN
b/ So sánh diện tích hình tam giác EMC với diện tích hình AEMB   
                        ( Đề thi HSG toàn quốc 1984 - 1985 )
 (Chưa biết 2 điểm M và E của hình thang BMNE)
Điểm E nằm trên đoạn AN , điểm M nằm trên BC, BE là đáy lớn MN là đáy bé, BN và ME là 2 đường chéo hình thang.
a).
BMNE là hình thang nên SMBE=SNBE (có chúng đáy BE, đường cao bằng đường cao hình thang), 2 tam giác này có phần chung là OBE nên SOMB=SOEN
b).
Do AN=NC nên SABN=SCBN
SEMC=SCBN – SOMB + SOEN  mà SOMB = SOEN       (cm trên)
Suy ra:  SEMC=SCBN
Tương tự:
SAEMB=SABN – SOEN + SOMB mà SOEN = SOMB       (cm trên)
Suy ra:  SAEMB=SABN
Ta đã có SABN=SCBN
Vậy:  SEMC=SAEMB    
            b).Nhanh hơn
Do AN=NC nên SABN=SCBN= 1/2 SABC
SEMC=SCBN – SOMB + SOEN  mà SOMB = SOEN       (cm trên)
Suy ra:  SEMC=SCBN = 1/2SABC
Vậy:  SEMC=SAEMB   
Bài 22:  
        1).Cho tam giác ABC có diện tích 600cm2. D là trung điểm cạnh BC. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3 AC. AD cắt BE tại M. Tính diện tích tam giác AME.
Ta có:
-S_ABD=S_ACD  (có CD=BD, đường cao chúng từ A và có chúng đáy AD nên 2 đường cao kẻ từ B và C bằng nhau)
-AE=1/3AC hay AE=1/2EC
-S_ABE=1/2S_CBE (AE=1/2EC, đường cao chung từ B và có chung đáy EB nên đường cao từ C gấp 2 lần đường cao từ A).
Nên:
S_ABM=S_ACM  (chung đáy AM, 2 đường cao bằng nhau –cmt-) (1)
S_CMD=S_BMD  (chung đáy MD, 2 đường cao bằng nhau –cmt-)  (2)
S_MBC=2S_MBA (chung đáy MB, cao từ C gấp 2 lần cao từ A)     (3)
Từ (1), (2) và (3) cho ta:
S_ABM=S_ACM = S_CMD=S_BMD = 600 : 4 = 150 (cm2)
Mà: 
S_ABE=1/3S_ABC= 600:3 = 200 (cm2)                             
S_AME = S_ABE-SABM = 200-150= 50 (cm2)
Bài 23:
        Cho tam giác ABC. Điểm M trên AC sao cho AM = 1/4 AC. Điểm N trên BC sao cho diện tích tam giác MCN bằng diện tích tứ giác AMNB. Tính tỉ số giữa BN và BC?
Chọn điểm N trên BC và giả sử S_MCN=S_AMNB.
Nối AN.
Do AM=1/4AC hay AM=1/3MC
Ta có:  S_MNC=3S_AMN   (MC=3AM, chung đường cao từ N)
Để S_AMNB=SMNC thì S_ANB=(3-1)S_AMN=2S_AMN
Diện tích ABC có 3+1+2=6 (phần) thì S_ANB có 2 phần hay S_ANB=1/3S_ABC. 
Suy ra:  BN=1/3BC
Bài 24:
Một tờ giấy hình vuông có diện tích là 72 cm2 thì đường chéo của tờ giấy đó dài bao nhiêu?
Cắt và ghép thành 2 hình vuông nhỏ, mỗi hình có diện tích:
72 : 2 = 36 (cm2)
Vì 36 = 6 x 6 nên cạnh hình vuông nhỏ bằng 6cm.
Cạnh hình vuông nhỏ bằng ½ đường chéo hình vuông lớn.
Đường chéo hình vuông lớn là:
6 x 2 = 12 (cm) 
Đáp số:  12 cm
Bài 25 :
    Cho tam giác ABC.
D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = 2/3 DC.
M và E là hai điểm trên đoạn thẳng AD sao cho AM = ME = ED.
a) Em hãy tìm trên hình vẽ những tam giác có diện tích bằng nhau ? Giải thích tại sao ?
b) Kéo dài BE cắt ở AC ở N. Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm2 .Hãy tính diện tích các tam giác DEC và ABC; rồi so sánh độ dài các đoạn thẳng AN và CN.
a)Các tam giác có diện tích bằng nhau:
BED, BME, BAM  (cạnh đáy ED=ME=AM, chung đường cao kẻ từ B)
BAE, BMD       (cạnh đáy AE=MC=2AM, chung đường cao kẻ từ B).
b)Hai tam giác EBD và DEC có BD=2/3DC chung đường cao kẻ từ E.
Nên SEBD = 2/3 SECD    =>    SDEC = 4 : 2 x 3 = 6 (cm2)
*.Theo đề bài ta có AD = ED x 3  (AM=ME=ED)
2 tam giác ABD và EBD có: AD = ED x 3, chung đường cao kẻ từ B.
Nên SABD = SEBD x 3 = 4 x 3 = 12 (cm2)
Mà BD= 2/3 DC hay BD = 2/5 BC
Vậy SABC = SABD : 2 x 5 = 12 : 2 x 5 = 30 (cm2)
*.SAEC = SABC – SABD – SEDC = 30 – 12 – 6 = 12 (cm2)
Xét 2 tam giác ABE (Dt=4+4=8 cm2)  và CBE (Dt= 4+6=10cm2). Có:
Chung đáy BE nên đường cao kẻ từ B và từ C xuống BE có tỉ lệ  8/10 (4/5).
Diện tích AEN = 12 : (4+5) x 4 =  16/3 (cm2)
Diện tích ACN = 12 : (4+5) x 5 =  20/3 (cm2)
2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ E nên 2 đáy tỉ lệ với 2 diện tích
Tỉ lệ của AN và NC là  16/3 : 20/3 = 16/20 = 4/5 
Bài 26
    Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC ;N là trung điểm của AC , Kẻ AM và BN cắt nhau tại O . Chứng minh rằng OA  = 2 x