Chuyên đề Hình giải tích lớp 12

Hình giải tích lớp 12: Phương pháp toạ độ trong không gian
Phần I: Hệ toạ độ trong không gian
I. Kiến thức cơ bản:
1. Hệ trục tọa độ trong không gian:
 Hệ gồm 3 trục 0x, 0y, 0z đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
 Nếu ta lấy 3 vectơ đơn vị lần lượt nằm trên 0x, 0y, 0z thì:
2. Toạ độ của vectơ và của điểm:
Nếu A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) thì: 
3. Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu:
 Cho . Khi đó:
4. Hai vectơ cùng phương:
 Hai vectơ và cùng phương ()
5. Tích vô hướng của hai vectơ:
 Cho hai vectơ . Khi đó:
6. Tích có hướng của hai vectơ:
 Trong không gian cho hai vectơ . Tích có hướng của hai vectơ , kí hiệu là: , được xác định bởi:
 Tính chất:
 cùng phương 
	 đồng phẳng 
7. Các ứng dụng của tích có hướng:
	Tính diện tích tam giác: 
	Tính thể tích khối hộp: 
	Thể tích tứ diện: 
II. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Ví dụ 2: Tính tích có hướng , biết:
 a, 
 b, 
Ví dụ 3: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ trong các trường hợp sau:
 a, 
 b, 
Ví dụ 4: Trong không gian cho 4 điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1)
 a, Chứng minh 4 điểm đó không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
 b, Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.
 c, Tính diện tích các mặt của tứ diện.
 d, Tính độ dài các đường cao của tứ diện.
 e, Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Ví dụ 5: Trong không gian 0xyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a, Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b, Tính chu vi, diện tích của tam giác ABC.
c, Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
d, Tính độ dài đường cao hA của tam giác ABC kẻ từ A.
e, Tính các góc của tam giác ABC.
f, Xác định toạ độ trực tâm của tam giác ABC.
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a, Chứng minh A’C^(AB’D’).
b, Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BB’. Chứng minh rằng: A’C^MN.
c, Tính cosin của góc giữa hai vectơ .
d, Tính 
III. Bài tập:
Câu 1: Trong không gian 0xyz cho tam giác ABC có: 
	 A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-4;7;5)
a, Tính độ dài đường cao AH của tam giác kẻ từ đỉnh A.
b, Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác kẻ từ đỉnh B.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có: A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc 0y.
Biết VABCD=5. Tìm toạ độ đỉnh D.
Câu 3: Cho 4 điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-2;0), D(1;2;1)
a, Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.
b, Tính thể tích tứ diện ABCD.
Câu 4: Trong không gian cho 4 điểm A(2;-2;2), B(0;5;-3), C(3;0;1), D(1;2;3)
 a, Chứng minh 4 điểm đó không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
 b, Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm của tứ diện ABCD.
 c, Tính diện tích các mặt của tứ diện.
 d, Tính độ dài các đường cao của tứ diện.
 e, Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Câu 5: Trong không gian 0xyz cho ba điểm A(2;1;3), B(-1;3;4), C(-2;0;5).
a, Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b, Tính chu vi, diện tích của tam giác ABC.
c, Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
d, Tính độ dài đường cao hA của tam giác ABC kẻ từ A.
e, Tính các góc của tam giác ABC.
f, Xác định toạ độ trực tâm của tam giác ABC.
Phần II: Phương trình mặt phẳng
I. Kiến thức cơ bản:
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) nếu giá của vuông góc với mặt phẳng (a), viết tắt .
- Nếu hai vectơ không cùng phương và giá của chúng song song với một mp(a) (hoặc nằm trên (a)) thì vectơ
là một vectơ pháp tuyến của (a).
2. Mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) với vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: 
 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
3. Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng: 
 Ax+By+Cz+D=0 (1) với A2+B2+C2>0
Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của một mặt phẳng.
Nếu mặt phẳng (a) có phương trình (1) thì vectơ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a).
4. Các trường hợp đặc biệt:
 Xét mặt phẳng (a) có phương trình Ax+By+Cz+D=0. Khi đó:
D=0 Û (a) đi qua gốc toạ độ.
C=0, D≠0 Û (a) song song với trục 0z; C=D=0 Û (a) chứa trục 0z.
B=C=0, D≠0 Û (a) ss với mặt phẳng (0yz); B=C=D=0 Û (a) chính là mp(0yz).
A=C=0, D≠0 Û (a) ss với mặt phẳng (0xz); A=C=D=0 Û (a) chính là mp(0xz).
A=B=0, D≠0 Û (a) ss với mặt phẳng (0xy); A=B=D=0Û (a) chính là mp(0xy).
5. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:
 Cho hai mặt phẳng (a): Ax+By+Cz+D=0 và (a): A’x+B’y+C’z+D’=0.
- (a) º (a’) 
- (a)// (a’) 
- (a) cắt (a’) 
- (a) ^ (a’) 
6. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
 Mặt phẳng (a) không đi qua gốc 0, cắt trục 0x tại điểm (a; 0; 0), cắt trục 0y tai điểm (0; b; 0), cắt trục 0z tại điểm (0; 0; c) có phương trình:
Phương trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (a).
7. Góc giữa hai mặt phẳng:
 Cho hai mặt phẳng (a): Ax+By+Cz+D=0 và (a): A’x+B’y+C’z+D’=0. Gọi (a) là góc giữa hai mặt phẳng (a) và (a’), ta có:
8. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
 Cho mặt phẳng (a): Ax+By+Cz+D=0 và điểm M0(x0;y0;z0), khi đó:
* Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Trong các trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
a, Đi qua điểm M(1; 1; 2) và có vectơ páhp tuyến .
b, Đi qua điểm M(-2; -1; 4) và có cặp vectơ chỉ phương là: 
c, Đi qua ba điểm A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6).
d, Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục 0y.
e, Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng BC với B(0; 2; -3), C(1; -4; 1).
f, Đi qua điểm M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng: 2x-y+3z+4=0.
g, Đi qua hai điểm A(3; 1; -1), B(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng: 2x-y+3z+4=0.
h, Đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục 0y và vuông góc với mặt phẳng:
	2x-y+3z+4=0
i, Đi qua điểm M(-2; 3; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng:
	(a): 2x+y+2z+5=0 và (a’): 3x+y+z-3=0
Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình:
	a, x-y+2z-4=0 và 10x-10y+20z-40=0
	a, 3x-2y-3z+5=0 và 9x-6y-9z-5=0
	a, x+y+z-1=0 và 2x+2y-2z+3=0
	a, x-2y+z+3=0 và 2x-y+4z-2=0
	a, x+2y-z+5=0 và 2x+3y-7z-4=0
Ví dụ 3: 
a, Tìm a để hai mặt phẳng: 
	x-1/4y-z+5=0 và xsina+ycosa+zsin3a+2=0
vuông góc với nhau.
b, Cho hai mặt phẳng có phương trình:
	2x-my+3z-6+m-0 và (m+3)x-2y+(5m+1)z-10=0
Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó:
Song song với nhau
Trùng nhau
Cắt nhau
Vuông góc với nhau
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục 0z và tạo với mặt phẳng 2x+y-z=0 một góc 600. 
* Bài tập: 
Câu 1: a, Bốn điểm A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6), D(3; 2; 1) có thuộc cùng một mặt phẳng không?
b, Tìm a để 4 điểm A(1; 2; 1), B(2; a; 0), C(4; -2; 5), D(6; 6; 6) thuộc cùng một mặt phẳng.
c, Cho 3 điểm A(1; 1; 1), B(3; -1; 1), C(-1; 0; 2). Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Câu 2: Trong các trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
a, Đi qua điểm M(-2; 3; -2) và có vectơ pháp tuyến .
b, Đi qua điểm M(3; 2; -1) và có cặp vectơ chỉ phương là: 
c, Đi qua ba điểm A(-5; 4; 6), B(1; -2; 3), C(1/2; 1; -2).
d, Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục 0z.
e, Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng AB với A(1; 0; 2), C(2; -3; 1).
f, Đi qua điểm M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng: 3x+y-3z+5=0.
g, Đi qua hai điểm A(2; -1; 1), B(-2; 1; -4) và vuông góc với mặt phẳng: x-2y+3z-5=0.
h, Đi qua điểm M(4; 5; 6), song song với trục 0x và vuông góc với mặt phẳng:
	x-2y+3z-4=0
i, Đi qua điểm M(2; -3; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng:
	(a): x+2y+3z-65=0 và (a’): -3x+2y+2z-5=0
Câu3: Cho 3 mặt phẳng:
 (P): x+y+z-6=0, (Q): mx-2y+z+m-1=0, (R): mx+(m-1)y-z+2m=0.
Xác định giá trị m để ba mặt phẳng đó đôi một vuông góc với nhau, tìm giao điểm chung của cả ba mặt phẳng.
Câu 4: Viết phương trình mp(Q) đi qua A(3; 0; 0), C(0; 0;1) và tạo với mặt phẳng (0xy) một góc 600.
Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b), với a, b là những số dương và M là trung điểm của CC’.
a, Tính thể tích tứ diện BDA’M.
b, Tìm tỉ số a/b để mp(A’BD) vuông góc với mp(MBD). 
Câu 6: Viết phương trình trung trực của đoạn thẳng AB với A(2, 1, 4), B(-1, -3, 5)
Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz, cho tứ diện ABCD có 4 đỉnh A(1, 1, 1), B(-2, 0, 2), C(5, 0, 4), D(4, 0, 6). 
a, Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
b, Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện. 
II. Các dạng toán cơ bản:
Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d cho trước.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song d1, song song d2 (d1 chéo d2).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua d (có A và )và song song với d1.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với 2 mf (a1) và (a2).
Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau d1, d2.
+, Hai đường thẳng cắt nhau:
+, Hai đường thẳng song song:
Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (a).
* Các ví dụ:
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(2; 1), B(-1; 3), C(0; 5) cho trước.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1; -2) và vuông góc với đường thẳng d : 
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1; -2) và song song d1, song song d2 
 4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua dvà song song với d1.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1; -2) và vuông góc với 2 mf (a1) và (a2).
 (a1): 2x+3y-z+5=0; (a2): 3x-4y+5z-1=0 
Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d’.
 7. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (a).
	 và (a): x-y+z+1=0.
* Bài tập:
Câu 1: Trong không gian 0xyz cho điểm G(1; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng qua G và vuông góc với đường thẳng OG.
Câu 2: Cho hai mặt phẳng: 
(a): 3x-2y+2z+7=0 và (a’): 5x-4y+3z+1=0.
Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ O, đồng thời vuông góc với cả (a) và (a’).
Câu 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và đi qua điểm M(1; -1; 1).
Câu 4: Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1, d2 có phương trình là:
Câu 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng d1 và d2
Câu 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (a)
Phần III: Phương trình đường thẳng
I. Các kiến thức cơ bản:
1. Đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) với vectơ chỉ phương có:
- Phương trình tham số là: 
- Phương trình chính tắc là: 	
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’:
- d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng 
- d trùng d’ 
- d song song với d’ 
- d và d’ cắt nhau 
- d và d’chéo nhau 
3. Góc:
- Cho hai đường thẳng d, d’ lần lượt có vectơ chỉ phương là . Góc y giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức:
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (a) có vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến là . Gọi j là góc giữa d và (a) thì j được tính theo công thức:
Khoảng cách:
- Khoảng cách từ điểm M1 tới đường thẳng D(đi qua M0 và có vectơ chỉ phương ) là:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau D(đi qua M0 và có vectơ chỉ phương ) và D’(đi qua M0’ và có vectơ chỉ phương ) là: 
* Các ví dụ:
Câu 1: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau đây:
a, Đi qua A(2; 0; -1) và song song với trục Oz.
b, Đi qua A(-2; 1; 2) và B(1; 2; 4).
c, Đi qua A(4; 3; 1) và song song với đường thẳng 
d, Đi qua A(1; 2; -1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng 
(a): x+y-z+3=0 và (a’): 2x-y+5z-4=0.
e, Đi qua A(-2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (a): x+2y-2z+1=0.
f, Đi qua A(2; -1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là 
 .
Câu 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng d, d’ cho bởi các phương trình sau:
a, 
b, và d’ là giao tuyến của hai mf (a): 2x-3y-3z-9=0 và (a): x-2y+z+3=0
Câu 3: Tính khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a, 
b, M0(2; 3; -1), d là giao tuyến của hai mặt phẳng (a): x+y-2z-1=0; (a’): x+3y+2z+3=0.
Câu 4: Tính góc giữa mỗi cặp đường thẳng sau:
a, 
b, , d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a): x+2y-z+1=0 
và (a’): 2x+3z-2=0.
Câu 5: Tính góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (a) trong các trường hợp sau:
* Bài tập:
Câu 1: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau đây:
a, Đi qua A(3; 2; 1) và song song với trục Ox.
b, Đi qua A(5; -2; 0) và B(-2; 1; -4).
c, Đi qua A(3; 1; 2) và song song với đường thẳng 
d, Đi qua A(3; 1; -3) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng 
(a): 2x+y-2z+1=0 và (a’): x-2y+3z-4=0.
e, Đi qua A(-3; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (a): 4x+3y-2z+1=0.
f, Đi qua A(3; -1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là 
 .
Câu 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng d, d’ cho bởi các phương trình sau:
a, 
b, và d’ là giao tuyến của hai mf (a): x-y-3z+4=0 và (a): 2x-y+z+3=0
Câu 3: Tính khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a, 
b, M0(4; 2; -1), d là giao tuyến của hai mặt phẳng (a):3x+2y-z-1=0; (a’): 2x+y-2z+3=0.
Câu 4: Tính góc giữa mỗi cặp đường thẳng sau:
a, 
b, , d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a): 2x-y-z+3=0 
và (a’): 2x+3y-2=0.
Câu 5: Tính góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (a) trong các trường hợp sau:
II. Các dạng toán cơ bản:
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vectơ chỉ phương là .
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A, B cho trước.
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mf(a) cho trước.
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (a1) và (a2).
Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 cho trước.
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Gọi D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
Cách 1: 
A=Dầd1
	 B=Dầd2
	 , Suy ra tọa độ A, B và từ đó viết ptđt D.
Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (a) qua d1 và D (với )
Tìm B=d2ầ(a).
Suy ra phương trình đường thẳng D:
Các ví dụ:
 Ví dụ 1: a, Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) của điểm M0(1; -1; 2) trên mặt phẳng (a): 2x-y+2z+12=0.
b, Cho 4 điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5), D(1; 1; 1). Tìm toạ độ hình chiếu của d trên mặt phẳng (ABC).
c, Cho 3 điểm A(1; 1; 2), B(-2; 1; -1), C(2; -2; -1). Tìm toạ độ hình chiếu của gốc 0 trên mặt phẳng (ABC).
 Ví dụ 2: Tìm toạ độ điểm đối xứng của M(2; 3; 5) qua mặt phẳng (a): 2x+3y+z-17=0.
 Ví dụ 3: a, Cho 3 điểm A(-1; 3; 2), B(4; 0; -3), C(5; -1; 4). Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng d.
b, Cho đường thẳng d: và điểm M0(4; -3; 2). Tìm toạ độ hình chiếu H của M0 trên đường thẳng d.
 Ví dụ 4: Tìm toạ độ điểm đối xứng của M0(-3; 1; -1) qua đường thẳng: 
 Ví dụ 5: Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng như sau:
 Ví dụ 6: Trong không gian toạ độ 0xyz cho đường thẳng:
	d: 
 Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:
	(a): 3x-y-7=0 và (a’): 3x+3y-2z-17=0.
 a, Chứng minh d, d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.
 b, Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d’ và vuông góc với d. Tìm toạ độ giao điểm H của d và (P).
 Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh B’B, CD và A’D’.
 a, Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ (I là tâm của đáy).
 b, Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
 c, Tính góc giữa hai mặt phẳng (PAI) và (DCC’D’).
Bài tập: 
Câu 1: Trong không gian toạ độ 0xyz cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình:
a, Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P).
b, Viết phương trình mặt phẳng (P’) đi qua điểm M0(1; 2; -1) và vuông góc với đường thẳng d.
c, Viết phương trình hình chiếu vuông góc d’ của d lên mặt phẳng (P).
d, Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm toạ độ điểm B’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BB’.
e, Viết phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d.
Câu 2: Trong không gian 0xyz cho hai mặt phẳng:
(a): 2x-y+3z+1=0 và (a’): x-y+z+5=0 và điểm M(1; 0; 5)
a, Chứng minh (a) và (a’) cắt nhau. Tính góc giữa (a) và (a’).
b, Viết phương trình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (a’).
c, Gọi H là hình chiếu của M trên mp(a), K là hình chiếu của M trên mp(a’). Tính độ dài đoạn HK.
d, Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D.
e, Viết phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với D và cắt D.
g, Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (a),(a’) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x-y+1=0.
Câu 3: Trong không gian 0xyz cho đường thẳng D:
Gọi D’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (a): x-3y+z=0 và (a’): x+y-z+4=0 và điểm M0(1; 1; 2).
a, Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng D và D’.
b, Viết phương trình mặt phẳng chứa D và song song với D’.
c, Viết phương trình mặt phẳng qua M0 và vuông góc với D.
d, Viết phương trình đường thẳng qua M0, cắt cả D và D’.
e, Tính khoảng cách giữa D và D’.
f, Viết phương trình đường vuông góc chung của D và D’.
Phần IV: Hình chiếu – Tổng khoảng cách ngắn nhất
I. Hình chiếu: 
1. Hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng:
a, Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng:
	Cho điểm A(xA,yA,zA) và mặt phẳng (P), để xác định hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng (P), ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). 
 Bước 2: Toạ độ giao điểm H của d và (P) chính là hình chiếu vuông góc của A lên (P).
b, Tìm điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (P):
	Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Để xác định toạ độ của A’, ta thực hiện các bước sau:
 Bước 1: Tìm toạ độ hình chiếu H của A lên mặt phẳng (P).
 Bước 2: Với điều kiện H là trung điểm của AA’, ta tìm được A’.
c, Xác định phương trình đường thẳng đối xứng với 1 đường thẳng cho trước qua một mặt phẳng cho trước.
	Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Gọi d1 là đường thẳng đối xứng với d qua (P). Để xác định d1 ta thực hiện các bước sau:
 Bước 1: Lấy hai điểm phân biệt thuộc d.
 Bước 2: Xác định toạ độ các điểm A1, B1 đối xứng với A, B qua (P).
 Bước 3: d1 chính là đường thẳng đi qua A1, B1.
2. Xác định phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng cho trước: 
	+, Nếu d vuông góc với mặt phẳng (P): Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của d và (P).
	+, Nếu d song song với (P): Lấy 1 điểm A bất kỳ trên d, tìm toạ độ hình chiếu A’ của A lên (P). Đường thẳng đi qua A’, song song với A là hình chiếu của d lên (P).
	+, Nếu d cắt (P) tại I. Lấy một điểm M bất kỳ thuộc d. Tìm tọa độ hình chiếu M’ của M lên (P). Đường thẳng qua I và M là hình chiếu của d lên (P).
3. Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng:
a, Tìm toạ độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng.	
Cho điểm A(xA,yB,zA) và đường thẳng a (), để xác định hình chiếu vuông góc H của A lên d, ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
 Bước 2: nên toạ độ H thoả mãn phương trình tham số của d. Suy ra toạ độ AH.
 Bước 3: H là hình chiếu vuông góc của A xuống d (1)
 Bước 4: Từ (1), ta xác định được giá trị tham số, thay vào phương trình tham số của d, ta được toạ độ điểm H.
b, Tìm điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d.
	Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d. Để thực hiện toạ độ A1, ta thực hiện theo các bước:
 Bước 1: Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d.
 Bước 2: Với điều kiện H là trung điểm của AA1, ta xác định được toạ độ của A1.
II. Tổng khoảng cách ngắn nhất:
1. Mặt phẳng:
	Cho hai điểm A(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB) và mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Bước 1: Xác định vị trí tương đối của hai điểm A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính tA=axA+byA+czA+d và tB=axB+byB+czB+d.
	. Nếu tA.tB<0 Û A, B khác phía đối với (P). Thực hiện bước 2.
	. Nếu tA.tB>0 Û A, B cùng phía đối với (P). Thực hiện bước 3.
Bước 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.Tìm toạ độ giao điểm AB và (P). T