Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
1 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
1. Đồ thị hàm số y = sinx.
2. Đồ thị hàm số y = cosx.
Ghi nhớ:
Hàm số y = sinx Hàm số y = cosx
Tập xác định là . Tập xác định là .
Tập giá trị [-1; 1]. Tập giá trị [-1; 1].
Là hàm số lẻ. Là hàm số chẵn.
Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 . Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 .
Đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
và nghịch biến trên
mỗi khoảng
3
2 ; 2 , .
2 2
k k k
Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2k k
và nghịch biến trên mỗi khoảng
2 ; 2 , .k k k
Có đồ thị là một đường hình sin. Có đồ thị là một đường hình sin.
3. Đồ thị hàm số y = tanx.
4. Đồ thị hàm số y = cotx.
Ghi nhớ:
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
2 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
Hàm số y = tanx Hàm số y = cotx
Tập xác định là \ ;
2
k k Z
.
Tập xác định là ;k k Z .
Tập giá trị . Tập giá trị .
Là hàm số lẻ. Là hàm số lẻ.
Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ . Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ .
Đồng biến trên mỗi khoảng
;
2 2
k k
, .k
Nghịch biến trên mỗi khoảng
; , .k k k
Đồ thị nhận mỗi đường
( ).
2
x k k
làm một đường tiệm
cận.
Đồ thị nhận mỗi đường ( ).x k k làm
một đường tiệm cận.
PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Phƣơng pháp:
siny u xác định u xác định.
cosy u xác định u xác định.
tany u xác định ( ).
2
u k k
coty u xác định ( ).u k k
Để tìm tập xác định của hàm số ta cần nhớ:
( )y f x xác định ( ) 0f x .
1
( )
y
f x
xác định ( ) 0f x .
1
( )
y
f x
xác định ( ) 0f x .
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Phƣơng pháp: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
M =
0 0
( ) ,
max ( )
: ( ) .D
f x M x D
f x
x D f x M
m =
0 0
( ) ,
min ( )
: ( ) .D
f x m x D
f x
x D f x m
Ghi nhớ:
1 sin 1x ; 1 cos 1; .x x
20 sin 1x ; 20 cos 1; .x x
Dạng 3: Tìm chu kỳ của hàm số lượng giác.
Phƣơng pháp:
Hàm số y = f(x) xác định trên tập D tuần hoàn nếu có số T sao cho với mọi x D ta có:
, , ( ) ( ).x T D x T D f x T f x
T chu kỳ T dƣơng nhỏ nhất: ( ) ( ).f x T f x
Chú ý:
Hàm số y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2. Thì hàm số 1 2( ) ( ) y f x f x có chu kỳ T0 là
bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
3 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
siny x có chu kỳ 0 2T . Hàm số y = sin(ax + b) có chu kỳ 0
2
.T
a
cosy x có chu kỳ 0 2T . Hàm số y = cos(ax + b) có chu kỳ 0
2
.T
a
tany x có chu kỳ 0 T . Hàm số y = tan(ax + b) có chu kỳ 0 .T
a
coty x có chu kỳ 0 T . Hàm số y = cot(ax + b) có chu kỳ 0 .T
a
Hàm số ( ) sin cos f x a ux b vx c ( với , u v ) là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
( , )
T
u v
(( ( , )u v là ước chung lớn nhất).
Hàm số ( ) .tan .cot f x a ux b vx c (với , u v ) là hàm tuần hoàn với chu kì
( , )
T
u v
.
Dạng 4: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lượng giác.
Phƣơng pháp:
Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2
2 2
k k
và nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2 , .
2 2
k k k
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2k k và nghịch biến trên mỗi khoảng
2 ; 2 , .k k k
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ;
2 2
k k
, .k
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ; , .k k k
II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC.
PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.
1.1. Phương trình sin x a .
1a : Phương trình vô nghiệm
1a
2
sin sin
2
x k
x k
x k
0 0
0
0 0 0
360
sin sin
180 360
x k
x k
x k
sin 2
sin
sin 2
x arc a k
x a k
x arc a k
Các trƣờng hợp đặc biệt
sin 1 2
2
sin 1 2
2
sin 0
x x k k
x x k k
x x k k
Bài tập minh họa:
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
4 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
)sin sin
12
a x
0)sin 2 sin36b x
1
)sin 3
2
c x
2
)sin
3
d x
Giải
2 2
12 12
)sin sin
1112
2 2
12 12
x k x k
a x k
x k x k
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0
2 36 360 2 36 360
)sin 2 sin 36 sin 2 sin 36
2 180 36 360 2 216 360
18 180
108 180
x k x k
b x x
x k x k
x k
k
x k
2
3 2
1 6 18 3
)sin 3 sin 3 sin
5 5 22 6
3 2
6 18 3
x k x k
c x x k
x k x k
2
arcsin 2
2 3
)sin
23
arcsin 2
3
x k
d x k
x k
1.2. Phương trình cos x a
1a : Phương trình vô nghiệm
1a
os os 2c x c x k k
0 0 0os os 360c x c x k k
os os 2c x a x arcc a k k
Các trƣờng hợp đặc biệt
cos x 0 x k
2
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2
Bài tập minh họa:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
)cos os
4
a x c
0
2
)cos 45
2
b x
2
) os4
2
c c x ;
3
)cos
4
d x
Giải
)cos os 2
4 4
a x c x k k
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
45 45 360 45 3602
)cos 45 cos 45 os45
2 45 45 360 90 360
x k x k
b x x c k
x k x k
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
5 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
2 3 3 3
) os4 os4 os 4 2 ,
2 4 4 16 2
c c x c x c x k x k k
3 3
)cos arccos 2 ,
4 4
d x x k k
1.3. Phương trình tan x a
0 0 0
tan t an =
tan t an = 180
tan = arctan
x x k k
x x k k
x a x a k k
Các trƣờng hợp đặc biệt
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
Bài tập minh họa:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
) tan tan
3
a x
1
) tan 4
3
b x 0) tan 4 20 3c x
Giải
) tan tan ,
3 3
a x x k k
1 1 1 1
) tan 4 4 arctan arctan ,
3 3 4 3 4
b x x k x k k
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
) tan 4 20 3 tan 4 20 tan 60 4 20 60 180 4 80 180
20 45 ,
c x x x k x k
x k k
1.4. Phương trình cot x a
0 0 0
cot cot x = + k
cot cot x = + k180
cot x = arccot + k
x k
x k
x a a k
Bài tập minh họa:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
3
)cot 3 cot
7
a x
)cot 4 3b x
1
)cot 2
6 3
c x
Giải
3 3
)cot 3 cot 3 ,
7 7 7 3
a x x k x k k
1
)cot 4 3 4 arctan 3 arctan 3 ,
4 4
b x x k x k k
1
)cot 2 cot 2 cot 2 2 ,
6 6 6 6 6 3 6 23
c x x x k x k x k k
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin 2 1 sin 3 1x x 2) cos cos 2
4 2
x x
3) tan 2 3 tan
3
x
4) 0
3
cot 45
3
x 5)
3
sin2
2
x 6) 0 2cos 2 25
2
x
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
6 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
7) sin3 sinx x 8) cot 4 2 3x 9) 0 3tan 15
3
x
10) 0sin 8 60 sin 2 0x x 11) 0cos cos 2 30
2
x
x 12) sin cos2 0x x
13) tan cot 2
4
x x
14) sin2 cos3x x 15)
2
sin cos2
3
x x
16) sin4 cosx x 17) sin5 sin2x x 18) 2 2sin 2 sin 3x x
19) tan 3 2 cot 2 0x x 20) sin4 cos5 0x x 21) 2sin 2 sin2 0x x
22) 2 2sin 2 cos 3 1x x 23) sin5 .cos3 sin6 .cos2x x x x 24) 2cos 2sin 0
2
x
x
25)
tan 3 cot 5 1
2
x x 26) tan5 .tan3 1x x 27)
2
sin cos
4 2
x
28) tan sin 1 1
4
x
Bài 2: Tìm ;
2 2
x
sao cho: tan 3 2 3x .
Bài 3: Tìm 0;3x sao cho: sin 2cos 0
3 6
x x
.
2. Phƣơng trình bậc hai đối với một HSLG:
a. 2asin sinx 0x b c b. 2os osx 0ac x bc c
c. 2a tan tanx 0x b c d. 2cot cot x 0a x b c
Cách giải:
đặt sinx / osx -1 t 1t c hoặc t anx / cot xt t ta được phương trình bậc hai theo t.
Bài tập minh họa:
Ví dụ: Giải phương trình sau:
a) 22sin sin 3 0x x là phương trình bậc hai đối với sin x .
b) 2 3 1 0cos x cosx là phương trình bậc hai đối với osc x .
c) 22tan tan 3 0x x là phương trình bậc hai đối với tan x .
d) 23cot 3 2 3cot3 3 0x x là phương trình bậc hai đối với cot 3x .
Giải
2) 2sin sin 3 0(1)a x x
Đặt sint x , điều kiện 1t . Phương trình (1) trở thành:
2
1 ân
2 3 0 3
2
t nh
t t
t loai
Với t=1, ta được sin 1 2x x k k
2) 3 1 0 2b cos x cosx
Đặt ost c x , điều kiện 1t . Phương trình (2) trở thành:
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
7 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
2
3 13
â
2
3 1 0
3 13
2
t nh n
t t
t loai
Với
3 13
2
t
ta được
3 13 3 13
os arccos 2
2 2
c x x k k
Các câu còn lại giải tƣơng tự
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
2) 3sin 2 7cos2 3 0a x x )7 tan 4cot 12b x x
Giải
2 2
2
) 3sin 2 7cos 2 3 0 3 1 cos 2 7cos 2 3 0
cos 2 0
3cos 2 7cos 2 0 cos 2 3cos 2 7 0
3cos 2 7 0
a x x x x
x
x x x x
x
*) Giải phương trình: cos 2 0 2 ,
2 4 2
x x k x k k
*) Giải phương trình:
7
3cos 2 7 0 cos 2
3
x x
Vì
7
1
3
nên phương trình 3cos2 7 0x vô nghiệm.
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là ,
4 2
x k k
)7 tan 4cot 12 1b x x
Điều kiện: sin 0x và cos 0x . Khi đó:
2
1
1 7 tan 4. 12 0 7 tan 12 tan 4 0
tan
x x x
x
Đặt tant x , ta giải phương trình bậc hai theo t: 27 4 12 0t t
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 4: Giải các phương trình sau:
29) 22cos 3cos 1 0x x 30) 2cos sin 1 0x x 31) 2cos2 4cos 1x x
32) 22sin 5sin – 3 0x x 33) 02-2cosx 2cos2x 34) 02sin5cos6 2 xx
35)
23 tan (1 3) tan =0x x 36) 2 24 sin 14cos 21 0x x
37) 2sin 2cos 1
3 3
x x
38) 24cos 2( 3 1)cos 3 0 x x
3. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx osx = cbc 2 2 0a b
Cách giải:
Chia hai vế của phương trình cho
2 2a b , ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
(1)
Đặt
2 2
cos
a
a b
a
;
2 2
sin
b
a b
a
. Khi đó:
Pt(1) thành :
2 2 2 2
sin cos cos sin sin
c c
x x x
a b a b
a a a
(2).
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
8 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
Pt(2) là pt lượng giác dạng cơ bản nên giải dễ dàng.
Nhận xét :
Phương trình sin cosa x b x c có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2a b c .
Các phương trình: sin cosa x b x c , cos sina x b x c cũng được giải tương tự.
Bài tập minh họa:
Ví dụ: Giải các phương trình:
a) 3sin cos 2x x b) 3sin cos 2x x
c) 3sin3 cos3 2x x d) sin5 cos5 2x x
Giải
a) 3sin cos 2x x
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
sin( ) sin
6 4
x
2 2
6 4 12
,
3 7
2 2
6 4 12
x k x k
k
x k x k
b) 3sin cos 2x x
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
sin( ) sin
6 4
x
5
2 2
6 4 12
,
3 11
2 2
6 4 12
x k x k
k
x k x k
c) 3sin3 cos3 2x x
3 1
sin3 cos3 1
2 2
x x sin (3 )
6
x
=1 3 2
6 2
x k
2 2
9 3
k
x
d) sin5 cos5 2x x
1 1
sin5 cos5 1
2 2
x x sin (5 )
4
x
= - 1 5 2
4 2
x k
3 2
20 5
k
x
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 5: Giải các phương trình sau:
39) 2sin 2cos 2x x 40) 3sin 4cos 5x x 41) 3sin 1 4cos 1 5x x
42) 3cos 4sin 5 x x 43) 2sin 2 2cos2 2 x x 44) 25sin 2 6cos 13;(*)x x
45)
4 4
1
sin cos
4 4
x x (*)
4. Phƣơng trình dẳng cấp bậc hai: 2 2sin sin cos cos 0a x b x x c x ( 2 2 2 0a b c )
Cách giải:
Xét xem
2
x k
p
p có là nghiệm của phương trình không .
Với
2
x k
p
p ( cos 0x ), chia hai vế của phương trình cho 2cos x ( hoặc 2sin x ) ta được phương
trình bậc 2 theo tan x (hoặc cot x ).
Chú ý:
Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có thể đưa phương trình về dạng bậc nhất theo
sin 2x và cos2x .
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
9 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
Phương trình 2 2sin sin cos cosa x b x x c x d cũng được xem là phương trình đẳng cấp bậc hai vì
2 2d sin osd x c x .
Làm tương tự cho phương trình đẳng cấp bậc n.
5. Phƣơng trình đối xứng: sinx osx sin x osx 0a c b c c ( 2 2 0a b )
Cách giải:
Đặt
2 1
sinx osx 2 sin , 2 sin x osx
4 2
t
t c x t c
ta được phương trình bậc hai theo t.
Chú ý:
Phương trình sinx- osx sin x osx 0a c b c c được giải tương tự.
Phương trình 2 2tan cot t anx cot x 0a x x b c (*) sinx, osx 0c
đặt 2 2 2t anx cot x 2 tan cot 2t t x x t
Phương trình 2 2tan cot t anx-cot x 0a x x b c giải tương tự.
TẬP XÁC ĐỊNH
Câu 1: Tập xác định của hàm số
1
sin cos
y
x x
là
A. x k . B. 2x k . C.
2
x k . D.
4
x k .
Câu 2: Tập xác định của hàm số
1 3cos
sin
x
y
x
là
A.
2
x k . B. 2x k . C.
2
k
x . D. x k .
Câu 3 : Tập xác định của hàm số y=
2 2
3
sin cosx x
là
A. \ ,
4
k k Z . B. \ ,
2
k k Z .
C. \ ,
4 2
k k Z . D.
3
\ 2 ,
4
k k Z .
Câu 4: Tập xác định của hàm số
cot
cos 1
x
y
x
là
A. \ ,
2
k k Z B. \ ,
2
k k Z C. \ , k k Z D.
Câu 5: Tập xác định của hàm số
2sin 1
1 cos
x
y
x
là
A. 2x k B. x k C.
2
x k D. 2
2
x k
Câu 6: Tập xác định của hàm số tan 2x
3
y là
A.
6 2
k
x B.
5
12
x k C.
2
x k D.
5
12 2
x k
Câu 7: Tập xác định của hàm số tan 2xy là
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
10 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
A.
4 2
k
x B.
2
x k C.
4 2
k
x D.
4
x k
Câu 8: Tập xác định của hàm số
1 sin
sin 1
x
y
x
là
A. 2
2
x k . B. 2x k . C.
3
2
2
x k . D. 2 x k .
Câu 9: Tập xác định của hàm số cosy x là
A. 0x . B. 0x . C. . D. 0x .
Câu 10: Tập xác định của hàm số
1 2cos
sin3 sin
x
y
x x
là
A. \ ; ,
4
k k k
B. \ ,
4 2
k
k .
C. \ , k k . D. \ ; ,
4 2
k
k k .
Câu 11: Hàm số cot 2xy có tập xác định là
A. k B. \ ;
4
k k C. \ ;
2
k k D. \ ;
4 2
k k
Câu 12:Tập xác định của hàm số tan cot y x x là
A. B. \ ; k k C. \ ;
2
k k D. \ ;
2
k k
Câu 13: Tập xác định của hàm số
2
2
1 sin
x
y
x
là
A.
5
.
2
B. D \ , .
2
k k
C. sin sin . y x x x x D. .
3 2
k
x
Câu 14: Tập xác định của hàm số tany x là
A. D . B. D \ , .
2
k k
C. D \ 2 , .
2
k k D. D \ , . k k
Câu 15: Tập xác định của hàm số coty x là
A. D \ , .
4
k k B. D \ , .
2
k k
C. D \ , . k k D. D .
Câu 16: Tập xác định của hàm số
1
sin
y
x
là
A. D \ 0 . B. D \ 2 , . k k
C. D \ , . k k D. D \ 0; .
Câu 17: Tập xác định của hàm số
1
cot
y
x
là
A. D \ , .
2
k k B. D \ , . k k
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
11 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
C. D \ , .
2
k k D.
3
D \ 0; ; ; .
2 2
Câu 18: Tập xác định của hàm số
1
cot 3
y
x
là
A. D \ 2 , .
6
k k B. D \ , , .
6
k k k
C. D \ , , .
3 2
k k k D.
2
D \ , , .
3 2
k k k
Câu 19: Tập xác định của hàm số:
1
tan 2
x
y
x
là:
A. \ , . k k B. \ , .
4
k k
C. \ , .
2
k k D. \ , .
2
k
k
Câu 20: Tập xác định của hàm số
2
3 1
1 cos
x
y
x
là:
A. D \ , .
2
k k B. D \ , .
2
k k
C. D \ , . k k D. D .
Câu 21: Tập xác định của hàm số:
1
cot x
x
y là:
A. \ , .
2
k k B. \ , .
2
k
k
C. \ , . k k D. \ 2 , .
2
k k
Câu 22: Tập xác định của hàm số tan 3 1 y x là:
A.
1
D \ , .
6 3 3
k k B.
1
D \ , .
3 3
k k
C.
1
D \ , .
6 3 3
k k D.
1
D , .
6 3 3
k k
Câu 23:Tập xác định của hàm số tan 3
4
xy là
A. D . B.
C. ,
12
\
D k k . D. \ D R k .
Câu 24: Tập xác định của hàm số sin 1 y x là:
A. . B. \{1} .
C. \ 2 |
2
k k . D. \{ } k .
Câu 25: Tập xác định của hàm số
1
sin
1
x
y
x
là:
A. \ 1 . B. 1;1 .
Quý thầy cô muốn nhận file word liên hệ mail. anhdungtsc@gmail.com
12 | P a g e ST VÀ BIÊN SOẠN: Võ Anh Dũng
C. \ 2 |
2
k k . D. \ |
2
k k .
Câu 26: Tập xác định của hàm số
2 1
sin
x
y
x
là:
A. . B. .\ 0
C. \ | k k . D. \ |
2
k k .
Câu 27: Tập xác địnhTài liệu đính kèm: