Chuyên đề Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt  
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
TĨM TẮT LÝ THUYẾT 
 • Hàm số ( )f x xác định và cĩ liên tục trên đoạn ;a b   thì ( )'f x xác định trên khoảng ( );a b . 
 • Hàm số ( )f x xác định và cĩ liên tục trên nửa đoạn ) ( ; ;a b hay a b   thì ( )'f x xác định trên 
khoảng ( );a b . 
 • Hàm số cĩ thể khơng đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước . 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2
; ;
max max , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
• = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2
; ;
min min , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
• = 
( ) ( )( )
0 0
,
max
,x D
x D f x M
M f x
x D f x M∈
∀ ∈ ≤
• = ⇔ 
∃ ∈ =
( ) ( )( )
0 0
,
min
,x D
x D f x m
m f x
x D f x m∈
∀ ∈ ≥
• = ⇔ 
∃ ∈ =
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
( ) 4 4) sin cosa f x x x= + ( ) 2) 4b f x x x= + − 
Giải : 
( ) 4 4) sin cosa f x x x= + 
Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
Ta cĩ 
( ) ( )
2
2
4 4 2 2 2 2 21 1sin cos sin cos 2 sin .cos 1 2 2. sin .cos 1 sin 2
2 2
f x x x x x x x x x x
 
= + = + − = − = − 
 
Với mọi x ∈ ℝ , ta cĩ 
( )2 2 21 1 1 1 10 sin 2 1 0 sin 2 1 1 sin 2 1
2 2 2 2 2
x x x hay f x≤ ≤ ⇒ ≥ − ≥ − ⇒ ≥ − ≥ ≤ ≤ 
( )
( )
( )
( )
11 minmin s in2 1 2 4 22
max 1 s in2 0 max 1
2
f x khi x kf x khi x
hay
f x khi x f x khi x k
π π
π
 = = += = 
⇒  
 = = = = 
( ) 2) 4b f x x x= + − 
Hàm số đã cho xác định trên đoạn 2;2 −  . 
Ta cĩ ( ) ( )
2
2 2
4
' 1 , 2;2
4 4
x x x
f x x
x x
− −
= − = ∈ −
− −
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
0 2 0 24 0 4
' 0 2
4 22;2 2;2
x xx x x x
f x x
x x xx x
   < < < <− − = − =   
= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =   − = =∈ − ∈ −      
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt  
Bảng biến thiên của ( )f x trên đoạn 2;2 −  
x 2− 2 2 
( )'f x − 0 + 
( )f x 2− 2 
 2 2 
Từ bảng biến thiên , ta được ( ) ( )
2;2 2;2
max 2 2 2 min 2 2
x x
f x khi x f x khi x
   ∈ − ∈ −   
= = = − = − 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
( ) 4 2) sin cos 2a f x x x= + + ( )) sin2b f x x x= − trên đoạn ;
2
π
π
 
− 
 
Giải : 
( ) 4 2 4 2) sin cos 2 sin sin 3a f x x x x x= + + = − + 
Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
ðặt 2sin , 0 1t x t= ≤ ≤ 
Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( )2 13, 0;1 ' 2 1, 0;1 ' 0
2
f t t t t f t t t f t t = − + ∈ = − ∈ = ⇔ =  
( ) ( ) 1 110 1 3 ,
2 4
f f f
 
= = = 
 
( ) ( )
0;1
11 3
min min 2
4 4t
f x f t
 ∈ 
= = = ( ) ( )
0;1
ax max 3
t
m f x f t
 ∈ 
= = 
( )) sin2b f x x x= − trên đoạn ;
2
π
π
 
− 
 
Hàm số đã cho xác định trên đoạn ;
2
π
π
 
− 
 
Ta cĩ : ( ) ( ) 5' 1 2 cos2 , ' 0 , ,
2 6 6 6
f x x x f x x
π π π π
π= − − < < ⇒ = ⇔ = − 
( )3 3 5 5 3; ; ; ;
6 6 2 6 6 2 6 6 2 2 2
f f f f f
π π π π π π π π
π π
       
− = − + = − = + − = − =       
       
Vậy ( ) ( )
; ;
2 2
5 3 5
max ; min
6 2 6 2 2x x
f x khi x f x khi x
π π
π π
π π π π
   
∈ − ∈ −   
   
= + = = − = − 
Ví dụ 3:Cho parabol ( ) 2:P y x= và điểm ( )3;0A − . Xác định điểm M thuộc ( )P sao cho khoảng cách 
AM là ngắn nhất ; tìm khoảng cách ngắn nhất đĩ. 
Giải : 
Gọi ( ) ( ) ( )20 0 0 0; ;M x y P M x x∈ ⇒ 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt  
( ) ( ) ( )22 2 4 20 0 0 0 0 03 6 9d x AM x x x x x= = + + = + + + 
( ) ( )
3
0 0
0 0 04 2
0 0 0
2 3
' ' 1
6 9
x x
d x d x x
x x x
+ +
= ⇔ = −
+ + +
( )0'd x đổi dấu từ âm sang dương khi 0x đi qua 0 1x = − . Hàm số ( )0d x đạt cực tiểu tại 0 1,x = − 
( )1 5d − = . ðiểm ( ) ( )1;1M P− ∈ là điểm để khoảng cách 5AM = là ngắn nhất. 
Ví dụ 4: Người ta định làm một cái hộp kim loại hình trụ cĩ thể tích V cho trước . Tìm bán kính đáy r 
và đường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất 
Giải : 
Gọi x là bán kính đáy . ðể hộp kim loại hình trụ cĩ thể tích 2V x hπ= thì hiều cao của hộp là 
2
V
h
xπ
= . 
Lượng kim loại để làm hộp bằng diện tích tồn phần của hộp : ( ) 2 22 2 . , 0
V
S x x x x
x
π π
π
= + > 
Sự biến thiên của ( ) ( ) ( ) 32' 2 2 , ' 0 2
V V
S x S x x S x x
x
π
π
 
= − = ⇔ = 
 
( )'S x đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số ( )S x đạt điểm cực tiểu tại 3
2
V
x
π
= .Vậy : 
3 3
4
,
2
V V
r h
π π
= = 
Ví dụ 5 : Chu vi của một tam giác là ( )16 cm , độ dài của một cạnh tam giác là ( )6 cm . Tìm hai cạnh 
cịn lại của tam giác sao cho tam giác cĩ diện tích lớn nhất . 
Giải : 
Gọi một cạnh cịn lại của tam giác là x , cạnh cịn lại thứ hai là y , ta cĩ 6 16 10x y y x+ + = ⇒ = − 
Diện tích tam giác : (theo cơng thức hêrơng). 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 26 4 8 8 4 10 16,0 10S x p p p x p y x y x x x= − − − = − − = − + − < < 
( ) ( )
2
5
' 4 ' 0 5
10 16
x
S x S x x
x x
−
= = ⇔ =
− + −
( )'S x đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số ( )S x đạt điểm cực đại tại 5x = . Diện tích tam giác lớn 
nhất khi mỗi cạnh cịn lại dài ( )5 cm .Khi đĩ diện tích lớn nhất : ( ) 12S x = 
Ví dụ 6:Một hộp khơng nắp được làm từ một mảnh cáctơng . Hộp cĩ đáy là hình vuộng cạnh ( )x cm , 
đường cao là ( )h cm và cĩ thể tích là 3500cm . Gọi ( )S x là diện tích của mảnh cáctơng. Tìm ( )x cm sao 
cho ( )S x nhỏ nhất . 
Giải: 
Thể tích hình hộp là ( )2 3 2
500
500 , 0V x h cm h x
x
= = ⇒ = > 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt  
Diện tích của mảnh cáctơng dùng làm hình hộp là : ( ) 2 2 20004 , 0S x x xh x x
x
= + = + > 
Bài tốn trở thành tìm 0x > sao cho tại đĩ ( )S x đạt giá trị nhỏ nhất . 
Ta cĩ ( ) ( )
3
2 2
2 10002000
' 2 , 0
x
S x x x
x x
−
= − = > ( )' 0 10S x x= ⇔ = 
Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng ( )0;+∞ 
x 0 10 +∞ 
( )'S x − 0 + 
( )S x 
 300 
Vậy ( )10x cm= thì min ( ) 300S x = . 
Ví dụ 7: Cho một tam giác đều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ cĩ cạnh 
MN nằm trên cạnh BC , hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác . Xác 
định vị trí điểm M sao cho hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đĩ. 
Giải : 
ðặt , 0 2 2
2
a
BM x x NM BC BM a x= < < ⇒ = − = − 
Trong tam giác vuơng BMQ cĩ  tan .tan 3
QM
QBM QM BM QBM x
BM
= ⇒ = = 
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là ( ) ( ). 2 3S x MN QM a x x= = − 
Bài tốn quy về : Tìm giá trị lớn nhất của ( ) ( )2 3, 0;
2
a
S x a x x x
 
= − ∈  
 
( ) ( )' 4 3 3, 0; ' 0
2 4
a a
S x x a x S x x
 
= − + ∈ = ⇔ = 
 
Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng 0;
2
a 
 
 
x 0 
4
a
2
a
( )'S x + 0 − 
( )S x 
2 3
8
a
 0 0 
Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là 
2 3
8
a
 khi 
4
a
x = 
Ví dụ 8: Khi nuơi cá thí nghiệm trong hồ ,một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của 
mặt hồ cĩ n con cá thì trung bình mỗi con cá sau vụ cân nặng ( ) ( )480 20P n n gam= − . Hỏi phải thả 
bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều nhất ? 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt  
Giải : 
Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ cĩ n con cá thì sau một vụ , số cá trên mỗi đơn vị diện tích 
mặt hồ trung bình cân nặng : ( ) ( ) ( ) *. 480 20 ,f n n P n n n n N= = − ∈ 
( ) ( )' 480 40 ' 0 12f n n f n n= − = ⇔ = 
Vậy để thu được nhiều nhất sau một vụ thu hoạch cần thả mỗi đơn vị diện tích mặt hồ là 12n = con cá. 
Ví dụ 8: Trong các hình chữ nhật cĩ chu vi là ( )40 cm , hãy các định hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhất. 
Giải : 
Gọi một cạnh bất kỳ của hình chữ nhật cĩ chiều dài ( )x cm . Tổng chiều dài hai cạnh là ( )20 cm . Chiều 
dài cạnh kia là ( )20 x cm− . Diện tích hình chữ nhật là : ( ) ( )20 ,0 20S x x x x= − ≤ ≤ 
( ) ( )' 20 2 , 0 20 ' 0 10S x x x S x x= − < < = ⇔ = 
Diện tích hình chữ nhật lớn nhất khi 10x = . Trong các hình chữ nhật chu vi ( )40 cm , hình vuơng cạnh 
( )10 cm cĩ diện tích lớn nhất bằng ( )2100 cm 
Ví dụ 9: Cho một tấm nhơm hình vuơng cạnh a . Người ta cắt ở bốn gĩc bốn hình vuơng bằng nhau , rồi 
gập tấm nhơm lại để được một cái hộp khơng nắp . Tính cạnh của các hình vuơng bị cắt sao cho thể tích 
của khối hộp là lớn nhất . 
Giải : 
Gọi 0
2
a
x x
 
< < 
 
là độ dài của cạnh của hình vuơng bị cắt . 
Thể tích của khối hộp là ( ) ( ) ( )22 , 0 ' 2 6 , 0
2 2
a a
V x a x x V a x a x x= − < < ⇒ = − − < < 
( ) ( ) 3
0
2
2 6 0
2
' 0 max6
6 270 2 0
2
a
x
aa x a x
a ax
V V Va
x a x < <
 − − =  = 
⇒ = ⇔ ⇔ ⇒ = =   

Ví dụ 10: 
1) Trong số các hình chữ nhật cĩ cùng chu vi 16cm , hãy tìm hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhất . 
2) Trong số các hình chữ nhật cĩ cùng diện tích 248m , hãy tìm hình chữ nhật cĩ chu vi nhỏ nhất . 
Giải : 
1) Gọi ,x y là độ dài hai kích thước của hình chữ nhật , ta cĩ : ( )
, 0 0 , 8
82 16
x y x y
y xx y
 > < < 
⇔  = −+ =  
Diện tích hình chữ nhật là ( ) 2
0 8
8 8 ,0 8 max 16 4
x
S xy x x x x x S khi x y
< <
= = − = − < < ⇒ = = = 
2) Gọi ,x y là độ dài hai kích thước của hình chữ nhật, ta cĩ : 
, 0, 0
4848
x yx y
xy y
x
 > > 
⇔ = =  
Chu vi của hình chữ nhật là ( ) ( )
0
48
2 2 , 0 min 4 3 16 3
x
p x y x x p p
x >
 
= + = + > ⇒ = = 
 
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây : 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt  
( ) 2) 2 5a f x x x= + − trên đoạn 2;3 −  
( )
3
2) 2 3 4
3
x
b f x x x= + + − trên đoạn 4;0 −  
( ) 1)c f x x
x
= + trên khoảng ( )0;+∞ 
( ) 2) 2 4d f x x x= − + + trên đoạn 2;4   
( )
22 5 4
)
1
x x
e f x
x
+ +
=
+
 trên đoạn 0 : 1   
( ) 1)f f x x
x
= − trên nửa khoảng (0 : 2 
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây : 
( ) 3 2) 3 9 1a f x x x x= + − + trên đoạn 4;4 −  
( ) 3) 5 4b f x x x= + − trên đoạn 3;1 −  
( ) 4 2) 8 16c f x x x= − + trên đoạn 1;3 −  
( ) 3) 3 3d f x x x= − + trên đoạn 33;
2
 
− 
 
( ))
2
x
e f x
x
=
+
 trên nửa khoảng ( 2;4−  
( ) 1) 2
1
f f x x
x
= + +
−
 trên khoảng ( )1;+∞ 
( ) 2) 1g f x x x= − trên đoạn 1;1 −  
( )) sin2h f x x x= − trên đoạn ;
2
π
π
 
− 
 
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây : 
( ) 2) 2 sin sin 1a f x x x= + − 
( ) 2) cos 2 sin .cos 4b f x x x x= − + 
( ) 3 2) cos 6 cos 9 cos 5c f x x x x= − + + 
( ) 3) sin cos2 sin 2d f x x x x= − + + 
5. ðộ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi cơng thức ( ) ( )20,025 30G x x x= − trong đĩ 
( )x mg là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân . Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân 
để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đĩ . 
Hướng dẫn 
( ) ( )' 0 0, 20 , '' 20 0G x x x G= ⇔ = = < . Lượng thuốc cần tiêm để giảm huyết áp nhiều nhất là 
( )20 mg . ðộ giảm huyết áp là ( )20 100G = . 
6. Một con cá hồi bơi ngược dịng để vượt một khoảng cách là 300km . Vận tốc nước là 6 /km h . Nếu 
vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là ( )/v km h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho 
bởi cơng thức ( ) 3 ,E v cv t= trong đĩ c là một hằng số , ( )E J . Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng 
yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. 
Hướng dẫn : 
Vận tốc cá khi dịng nước đứng yên là ( )/v km h , thì vận tốc của cá khi ngược dịng nước là 
( )6 /v km h− 
Thời gian của cá bơi ngược dịng với khoảng cách 300s km= là 
300
6
t
v
=
−
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt  
Năng lượng tiêu hao của cá 
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
3 3
2
300 2 18
, 6 ' 300 min 9
6 6
v v
E v cv t cv J v E v c E v khi v
v v
−
= = > ⇒ = ⇒ =
− −
7. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát 
hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là ( ) 2 345 , 0;25f t t t t  = − ∈   . Nếu coi ( )f t là hàm số xác 
định trên đoạn 0;25   thì đạo hàm ( )'f t được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểmt . 
)a Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm . 
)b Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đĩ. 
)c Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600 . 
)d Xét chiều biến thiên của hàm số ( )f t trên đoạn 0;25   . 
Hướng dẫn : 
( ) 2 345 , 0;25f t t t t  = − ∈   
)a ( ) ( ) ( )' 3 30 ' 5 375f t t t f= − ⇒ = 
)b ( ) ( ) ( )'' 90 6 max ' ' 15 675f t t f t f= − ⇒ = = 
)c ( ) ( )' 3 30 600 10 20f t t t t= − > ⇔ < < 
)d ( ) ( )' 3 30 0, 0 25f t t t t= − > < < ⇒Hàm số ( )f t đồng biến trên đoạn 0;25   . 
8. Hình thang cân ABCD cĩ đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m . Tính gĩc  DAB CBAα = = sao 
cho hình thang cĩ diện tích lớn nhất . Tính diện tích lớn nhất đĩ.Giả sử  , 0
2
ADC x x
π
= < < 
Hướng dẫn : 
( ), sin ; cos ; 1 2 cos 1 cos sin , 0
2 2
AB CD
AH CD AH x DH x DC x S AH x x x
π+
⊥ = = = + ⇒ = = + < <
9. Trong các tam giác vuơng mà cạnh huyền cĩ độ dài cạnh bằng 10cm , hãy xác định tam giác cĩ diện 
tích lớn nhất . 
Hướng dẫn : 
Gọi ,x y là độ dài hai cạnh gĩc vuơng của tam giác vuơng cĩ cạnh huyền bằng 10cm , 0 10,x< < 
0 10y< < và ( ) ( ) ( )22 2 2 21 1 1 100 ,0 100
2 4 4
S xy cm S xy x x x= ⇒ = = − < < với 2 2 100x y+ = 
10. Một hành lang giữa hai nhà cĩ hình dạng của một lăng trụ đứng . Hai mặt bên ' ', ' 'ABB A ACC A là 
hai tấm kính hình chữ nhật ( ) ( ) ( )' 20 , ' ' 5 ,AA m A B m BC x m= = = . 
)a Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x 
)b Tìm x sao cho hình lăng trụ cĩ thể tích lớn nhất và tính thể tích lớn nhất đĩ . 
Hướng dẫn : 
( ) ( )2 0;105 100 ,0 10 max 5 2 250xV x x x V V∈= − < < ⇒ = =