Chuyên đề: Dãy số

Mục lục
1 Dãy số và các bài toán về dãy số 4
1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Định nghĩa và các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Dãy số thực: một số dạng dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Dãy số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Dãy số và phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Một vài thủ thuật khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Một số phương pháp xây dựng hệ thống bài tập . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc 2 24
1.4.3 Xây dựng các dãy số nguyên từ lời giải các phương trình
nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.4 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ
thuộc biến n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Lý thuyết dãy số dưới con mắt toán cao cấp . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Rời rạc hóa các khái niệm và định lý của lý thuyết hàm
biến số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Phương pháp hàm sinh và bài toán tìm số hạng tổng quát . 29
1.5.3 Đại số tuyến tính và phương trình sai phân . . . . . . . . . 30
1.5.4 Sử dụng xấp xỉ trong dự đoán kết quả . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Phương trình sai phân 41
2.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Một số khái niệm chung về phương trình sai phân . . . . . 43
2.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất . . . . . . . . . . . . . 44
1
Chuyên Đề:
DÃY SỐ
MỤC LỤC 2
2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân
tuyến tính cấp 1 không thuần nhất khi vế phải f(n) có
dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k . . . . . . . . . . . 58
3 Xác định số hạng tổng quát của một dãy số 60
3.1 Tìm số hạng tổng quát của dãy (dạng đa thức) khi biết các số
hạng đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Công thức truy hồi là một biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . . . 63
3.2.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Công thức truy hồi là một hệ biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . 70
3.3.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên . . 72
3.5 Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . 78
3.6 Hệ thức truy hồi phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1 Quy trình tuyến tính hoá một phương trình sai phân . . . . 82
3.6.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6.3 Một số ví dụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6.4 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Phương trình hàm sai phân bậc hai 99
4.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hoàn và phản
tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Phương trình với hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn nhân tính . . 108
4.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
MỤC LỤC 3
5 Dãy số sinh bởi hàm số 128
5.1 Hàm số chuyển đổi phép tính số học và đại số . . . . . . . . . . . . 128
5.2 Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình . . . . . . . . . . 135
5.3 Định lý về ba mệnh đề tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4 Một số bài toán về ước lượng tổng và tích . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số 145
6.1 Cấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hoà . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Dãy số tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng vào cấp số nhân . . . . . . . . . . . 154
6.5 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân vào cấp số cộng . . . . . . . . . . . 155
6.6 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân vào cấp số điều hoà . . . . . . . . 156
7 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số trong tập rời rạc 158
7.1 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số cộng . . . . . . . . . 158
7.2 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số nhân . . . . . . . . . 161
8 Một số bài toán xác định dãy số trong lớp dãy tuần hoàn cộng
tính và nhân tính. 167
8.1 Một số bài toán xác định dãy số trong lớp dãy tuần hoàn cộng tính 167
8.2 Hàm số xác định trên tập các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học . . . . . . . . . . 170
8.2.2 Hàm số chuyển tiếp các đại lượng trung bình . . . . . . . . 172
8.2.3 Phương trình trong hàm số với cặp biến tự do . . . . . . . 177
8.2.4 Một số dạng toán liên quan đến dãy truy hồi . . . . . . . . 180
8.3 Hàm số xác định trên tập các số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.4 Phương trình trong hàm số với cặp biến tự do . . . . . . . . . . . . 191
8.5 Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . 198
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Chương 1
Dãy số và các bài toán về dãy
số
1.1 Giới thiệu
Chọn đề tài về dãy số, chúng tôi đã tự trước mình một nhiệm vụ vô cùng khó
khăn, bởi đây là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác
nhau của toán học. Hơn thế, trước đó đã có khá nhiều cuốn sách chuyên khảo về
đề tài này. Dù vậy, chúng tôi vẫn muốn cố gắng đóng góp một số kinh nghiệm và
ghi nhận của mình thu lượm được trong quá trình giảng dạy những năm qua.
Tập tài liệu này không phải là một giáo trình về dãy số, lại càng không phải
là một cẩm nang hướng dẫn giải các bài toán dãy số. Tập tài liệu này đúng hơn
hết là những cóp nhặt của tác giả về những phương pháp giải các bài toán dãy
số cùng với những nhận định đôi khi mang đầy tính chủ quan của tác giả. Vì vậy,
hãy coi đây là một tài liệu mở. Hãy tiếp tục triển khai, liên hệ và đúc kết kinh
nghiệm, ghi nhận những cái hay và góp ý cho những cái chưa hay, thậm chí chưa
chính xác.
Trong tài liệu này, không phải tất cả các vấn đề của dãy số đều được đề cập
tới. Ví dụ phần dãy số và bất đẳng thức chỉ được nói đến rất sơ sài, các bài toán
dãy số mà thực chất là các bài toán về đồng dư cũng không được xét tới... Hai
mảng lớn mà tập tài liệu này chú ý đến nhất là bài toán tìm số hạng tổng quát
của một dãy số và bài toán tìm giới hạn dãy số.
Trong tập tài liệu này, các vấn đề và các bài toán có mức độ khó dễ khác
nhau. Có những bài cơ bản, có những bài khó hơn và có những bài rất khó. Vì
vậy, cần phải lựa chọn vấn đề với mức độ thích hợp (ví dụ có một số vấn đề và
bài toán chỉ đụng phải ở mức kỳ thi chọn đội tuyển hoặc quốc tế).
Viết tập tài liệu này, tác giả đã sử dụng rất nhiều nguồn tài liệu khác nhau,
tuy nhiên chỉ có một số bài có ghi nguồn gốc, một số bài không thể xác định được.
4
1.2. Định nghĩa và các định lý cơ bản 5
Tác giả cũng đã sử dụng các bài giảng của các thầy Phan Đức Chính, Nguyễn
Văn Mậu, Lê Đình Thịnh, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Minh Đức... trong bài viết
của mình.
Cuối cùng, tập tài liệu này không khỏi có những nhầm lẫn và thiếu sót, tác
giả rất mong nhận được sự góp ý của tất cả các thầy cô giáo. Và rất mong rằng,
với nỗ lực chung của tất cả chúng ta, tập tài liệu sẽ tiếp tục được hoàn thiện và
bổ sung.
1.2 Định nghĩa và các định lý cơ bản
Định nghĩa 1.1. Dãy số là một hàm số từ N vào một tập hợp số (N,Q,R,C)
hay một tập con nào đó của các tập hợp trên). Các số hạng của dãy số thường
được ký hiệu là un, vn, xn, yn thay vì u(n), v(n), x(n), v(n). Bản thân dãy số được
ký hiệu là {xn}.
Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó cũng có các tính
chất của một hàm số.
Định nghĩa 1.2. Dãy số {xn} được gọi là dãy tăng (giảm) nếu với mọi n ta có
xn+1 ≤ xn(xn+1 ≤ xn). Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn
điệu.
Dãy số {xn} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi n
ta có xn ≤M .
Dãy số {xn} được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho với mọi n
ta có xn ≥ m.
Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.
Dãy số xn được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k nếu xn+k = xn với mọi n ∈ N. Dãy
số tuần hoàn với chu kỳ 1 gọi là dãy hằng.
Định nghĩa 1.3. Ta nói dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn a khi n dẫn đến vô
cùng nếu với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và )
sao cho với mọi n > N0 ta có |xn − a| nhỏ hơn .
lim
n→∞ xn = a⇔  > 0∃N0 ∈ N : ∀n > N0|xn− a| < 
Ta nói dãy số {xn} dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số
thực dương M lớn tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và M)
sao cho với mọi n > N0 ta có |xn| lớn hơn M .
lim
n→∞ xn =∞⇔ ∀M > 0∃N0 ∈ N : ∀n > N0 |x| > M.
Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn
hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.
1.2. Định nghĩa và các định lý cơ bản 6
Định lý 1.1 (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ). Nếu {xn}, {yn} là các
dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy số {xn + yn}, {xn − yn},
{xnyn} và {xn/yn} cũng hội tụ và có giới hạn tương ứng là a+ b, a− b, a.b, a/b.
(Trong trường hợp dãy số thương, ta giả sử yn và b khác không)
Định lý 1.2 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức). Cho dãy số {xn} có
giới hạn hữu hạn l, nếu ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a ≤ xn ≤ b thì a ≤ xn ≤ b.
Định lý 1.3 (Định lý kẹp). Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} trong đó xn và zn có
cùng giới hạn hữu hạn 1, và N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn. Khi đó yn
cũng có giới hạn là 1.
Định lý 1.4 (Dãy đơn điệu). Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm
và bị chặn dưới thì hội tụ. Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì
hội tụ.
Định lý 1.5 (Về dãy các đoạn thẳng lồng nhau). Cho hai dãy số thực {an}, {bn}
sao cho
a) ∀n ∈ N, an ≤ bn;
b) ∀nßN, [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn];
c) bn − an → 0 khi n→∞.
Khi đó tồn tại duy nhất số thực l sao cho ∩ [an, bn] = 1.
Định lý 1.6 (Bolzano Veierstrass). Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích ra một
dãy con hội tụ.
Định nghĩa 1.4. Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ > 0∃N0 ∈ N: ∀m,n >
N0|xm − xn| < .
Định nghĩa 1.5 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi và
chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Cấp số cộng. Dãy số {xn} được gọi là một cấp số cộng khi và chỉ khi tồn
tại d sao cho
∀n ∈ N, xn+1 = xn + d.
d được gọi là công sai của cấp số cộng, x0 là số hạng đầu, xn là số hạng thứ n.
Ta có các công thức cơ bản sau:
xn = x0 + nd
Sn = x0 + x1 + · · ·+ xn−1
= nx0 + n(n − 1)d/2
= n(x0 + xn−1)/2
1.2. Định nghĩa và các định lý cơ bản 7
Cấp số nhân. Dãy số {xn} được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ khi tồn tại
q sao cho
∀n ∈ N, xn+1 = qxn.
d được gọi là công bội của cấp số nhân, x0 là số hạng đầu, xn là số hạng thứ n.
Ta có các công thức cơ bản sau:
xn = qnx0
Sn = x0 + x1 + · · ·+ xn−1 = (qn − 1)x0/(q − 1)
Nếu |q| < 1 thì {xn} được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn được tính theo công thức
S = x0/(1− q)
Dãy Fibonacci. Dãy số Fibonacci là dãy số được định nghĩa bởi
f0 = 0, f1 = 1, ∀n ∈ N, fn+2 = fn+1 + fn.
Dãy số Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiên
trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chúng ta có công thức sau đây để tìm số hạng
tổng quát của dãy số Fibonacci:
Công thức Binet.
fn =
(
1+
√
5
2
)n−(1−√52 )n√
5
.
Nói chung, các dãy số xác định bởi công thức truy hồi fn+2 = fn+1 + fn (với
f0, f1 bất kỳ) được gọi là dãy Fibonacci mở rộng.
Dãy Farey. Dãy Farey Fn với mỗi số nguyên dương n là tập hợp các phân số
tối giản dạng a/b với 0 ≤ a ≤ b ≤ n và (a, b) = 1 xếp theo thứ tự tăng dần.
Ví dụ 1.1.
F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}.
Ngoại trừ F1, Fn có số lẻ các phần tử và 1/2 luôn nằm ở giữa. Gọi p/q, p′/q′ và
p′′/q′′ là các số hạng liên tiếp trong dãy Farey thì
pq′ − qp′ = 1, và p′/q′ = (p+ p′′)/(q + q′′).
Số các số hạng N(n) trong dãy Farey được tính theo công thức
N(n) = 1 +
n∑
k=1
ϕ(k) = 1 + φ(n).
1.3. Một số phương pháp giải bài toán về dãy số 8
1.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số
Phương pháp giải các bài toán dãy số rất đa dạng như chính yêu cầu của
chúng. Đó có thể là một tính chất số học, một tính chất đại số hay một tính chất
giải tích. Dưới đây chúng ta sẽ xem xét những phương pháp cơ bản nhất.
Tuy nhiên, có thể đưa ra hai nguyên lý chung để giải các bài toán dãy số là
- Đừng ngại viết ra các số hạng đầu tiên của dãy số
- Đừng ngại tổng quát hóa bài toán
1.3.1 Dãy số thực: một số dạng dãy số đặc biệt
Dãy số dạng xn+1 = f(xn)
Đây là dạng dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số.
Dãy số này sẽ hoàn toàn xác định khi biết f và giá trị ban đầu x0. Do vậy sự hội
tụ của dãy số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số f(x) và x0. Một đặc điểm
quan trọng khác của dãy số dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là
nghiệm của phưng trình x = f(x). Chúng ta có một số kết quả cơ bản như sau:
Định nghĩa 1.6. Hàm số f : D→ D được gọi là một hàm số co trên D nếu tồn
tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho |f(x)− f(y)| ≤ q|x− y| với mọi x, y thuộc D.
Định lý 1.7. Nếu f(x) là một hàm số co trên D thì dãy số {xn} xác định bởi
x0 = a ∈ D, xn+1 = f(xn) hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên
D của phương trình x = f(x).
Chứng minh. Với mọi n > m thì áp dụng định nghĩa hàm số co, ta có
|xn−xm| = |f(xn−1)− f(xm−1)| ≤ q|xn−1−xm−1| ≤ · · · ≤ qm|xn−m−x0| (1.1)
Từ đây |xn − x0| ≤ |xn − xn−1|+ · · ·+ |x1 − x0| ≤ (qn−1 + · · ·+ 1)|x1 − x0|, suy
ra {xn} bị chặn. Xét  > 0. Từ (1.1), do q < 1 và |xn−m − x0| bị chặn nên ta suy
ra tồn tại N sao cho qN |xn−m − x0| < . Suy ra {xn} là dãy Cauchy và do đó hội
tụ.
Ví dụ 1.2 (Việt Nam, 2000). Cho dãy số {xn} xác định như sau
x0 = 0, xn+1 =
√
c− √c+ xn.
Tìm tất cả các giá trị của c để với mọi giá trị x0 ∈ (0, c), xn xác định với mọi n
và tồn tại giới hạn hữu hạn limn→∞ xn.
1.3. Một số phương pháp giải bài toán về dãy số 9
Giải. Để x1 tồn tại thì ta thì c−
√
c+ xn ≥ 0 với mọi x0 ∈ (0, c) hay c(c−1) ≥ x0
với mọi x0 ∈ (0, c), suy ra c ≥ 2. Với c ≥ 2 thì 0 < x1 <
√
c. Nếu 0 < xn <
√
c
thì c−√c+ xn > c− 2√c, suy ra xn+1 tồn tại và ta cũng có 0 < xn+1 < √c.
Đặt f(x) =
√
c−√c+ x thì f ′(x) = −14
√
x + x
√
c− √c+ x.
Với mọi x ∈ (0,√c) ta có (c + x)(c − √c+ x) > c(c −
√
c+
√
c) ≥ 2(2 −√
2 +
√
2) > 14 . Từ đó suy ra |f ′(x)| ≤ q < 1 với mọi x ∈ (0,
√
c), tức f(x) là
hàm số co trên (0,
√
c), suy ra dãy số đã cho hội tụ. Vậy tất cả các giá trị c cần
tìm là c ≥ 2.
Một trường hợp nữa cũng có thể xét được sự hội tụ của dãy số {xn} là trường
hợp f đơn điệu. Cụ thể là
Nếu f là hàm số tăng trên D thì {xn} sẽ là dãy đơn điệu. Dãy số này tăng
hay giảm tuỳ theo vị trí của x0 so với x1.
Nếu f là hàm giảm trên D thì các dãy con {x2p}, {x2p+1} là các dãy đơn điệu
(và ngược chiều nhau).
Ví dụ 1.3 (Vô địch sinh viên Moskva, 1982). Cho dãy số {xn} xác định bởi
x0 = 1982, xn+1 = 1/(4− 3xn). Hãy tìm limn→∞ xn
Giải. Tính toán trực tiếp ta thấy 0 x2. Vì f(x) = 1/(4− 3x) là
một hàm số tăng từ [0, 1] vào [0, 1] nên từ đây, {xn}n≥2 là một dãy số tăng và bị
chặn trên bởi 1 do đó có giới hạn. Giả sử giới hạn là a thì ta có a = 1/(4− 3a)
hay a = 1 (giá trị a = 1/3 loại do dãy tăng).
Câu hỏi: Với những giá trị nào của x0 thì dãy số xác định với mọi x và có giới
hạn? Khi nào thì giới hạn là 1? Khi nào thì giới hạn là 1/3?
Trong trường hợp f là hàm giảm, ta có thể chứng minh dãy hội tụ bằng cách
chứng minh hai dãy con trên cùng hội tụ về một giới hạn.
Tuy nhiên, khó khăn nhất là gặp các hàm số không đơn điệu. Trong trường
hợp này, ta phải xét từng khoảng đơn điệu của nó và sự hội tụ của hàm số sẽ tùy
thuộc vào giá trị ban đầu.
Ví dụ 1.4. Tìm tất c các giá trị của a để dãy số {xn} xác định bởi x0 = a, xn+1 =
2− x2n có giới hạn hữu hạn.
Giải. Hàm số f(x) = 2 − x2 tăng trên (−∞, 0) và giảm trên (0,+∞). Phương
trình f(x) = x có hai nghiệm là x = −2 và x = 1. Đó là những dữ kiện quan
trọng trong lời giải bài toán này.
Đầu tiên, ta nhận xét rằng nếu a < −2 thì do f : (−∞,−2)→ (−∞,−2) và
là hàm tăng, x1 = 2− a2 < x0 nên dãy số {xn} giảm. Nếu dãy {xn} bị chặn dưới
thì nó hội tụ về nghiệm của phương trình x = 2−x2, điều này mâu thuẫn vì dãy
giảm và x0 < −2. Vậy {xn} không bị chặn dưới, tức không có giới hạn hữu hạn.
Nếu a > 2 thì x1 < −2 và ta cũng suy {xn} không có giới hạn hữu hạn.
1.3. Một số phương pháp giải bài toán về dãy số 10
Với a = −2, 1 thì dãy số có giới hạn. Xét x0 ∈ [−2, 2]. Ta chứng minh dãy số
có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại n sao cho xn = −2 hoặc xn = 1. Thật
vậy, giả sử xn có giới hạn hữu hạn là b và xn /∈ {−2, 1} với mọi n. Khi đó b = −2
hoặc b = 1. Giả sử b = −2 thì tồn tại N0 sao cho xn nằm trong lân cận −2 với
mọi n ≥ N0. Nhưng nếu xn = −2+  thì xn+1 = −2+4− 2 > xn, suy ra dãy xn
tăng kể từ N0 và không thể dần về 2. Nếu b = 1 kể từ n ≥ N0 nào đó xn thuộc
lân cận 1. Xét
xn+2 − xn = 2− (2− x2n)2 − xn = (2− xn − x2n)(x2n − xn − 1)
Tại lân cận 1 thì x2n − xn − 1 1 (và ngược lại
xn > 1 thì xn+1 < 1 - chúng ta đang xét trong lân cận điểm 1!) nên có thể giả
sử xn > 1. Khi đó 2 − xn − x2n xn. Tiếp tục như vậy, suy ra
1 < xn < xn+2 < · · · < xn+2k < · · · mâu thuẫn với giả thiết b = 1. Vậy điều giả
sử là 2, tức là dãy số chỉ có giới hạn khi tồn tại n sao cho xn = −2 hoặc xn = 1.
Sau khi thu được kết quả này, ta sử dụng hàm ngược f−1(x) = ±√2− x để
xây dựng tất cả các giá trị a thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Trong ví dụ trên, ta đã sử dụng giả thiết tồn tại giới hạn để thu gọn miền D,
từ đó một hàm có biến thiên phức tạp trở thành một hàm đơn điệu.
Dãy số dạng xn+1 = xn ± (xn)α và định lý trung bình Cesaro
Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng xn+1 = f(xn). Tuy nhiên, với
dãy số dạng này vấn đề hội tụ của xn thường không được đặt ra (vì quá đơn giản
và giới hạn chỉ có thể là 0 hoặc ∞). Ở đây, ta sẽ có một yêu cầu cao hơn là tìm
bậc tiệm cận của xn, cụ thể là tìm b sao cho xn = O(nβ). Với các dãy số có dạng
này, định lý trung bình Cesaro sẽ tỏ ra rất hữu hiệu.
Định lý 1.8 (Trung bình Cesaro). Nếu dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn là a
thì dãy số các trung bình {x1 + x2 + · · ·+ xn)/n} cũng có giới hạn là a.
Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương nhưư sau: Nếu limn→∞(xn+1−
xn) = a thì limn→∞ xn/n = a