Chuyên đề Đại số tổ hợp ôn thi đại học

Tác giả: ThS. ðồn Vương Nguyên 
CHƯƠNG I 
HỐN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 
A. TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 
I. Quy tắc đếm, cộng và nhân 
1. Quy tắc đếm 
Trong nhiều trường hợp ta cần phải đếm số phần tử, số tập hợp, số các số hạng của tổng,  và khơng phải 
lúc nào cũng thực hiện dễ dàng. Ta xét một quy tắc rút ra từ bài tốn đơn giản sau đây. 
Bài tốn 
Người ta cần làm một hàng rào dài 20m, cứ cách 2m thì chơn 1 cọc. Tính số cọc cần dùng. 
Giải 
Số khoảng cách giữa các cọc là 20: 2 = 10. 
Kể từ cọc thứ 2 trở đi thì số cọc bằng số khoảng cách. 
Vậy số cọc là 20 1 11
2
+ = . 
1.1. Quy tắc 
Với điều kiện là khoảng cách giữa các số bằng nhau (cách đều), ta cĩ: 
1
−
= +
số lớn nhất số nhỏ nhất
số các số 
khoảng cách giữa 2 số liền kề
. 
Ví dụ 1. Tính số các số tự nhiên cĩ 3 chữ số chia hết cho 4. 
Giải 
Số cĩ 3 chữ số lớn nhất chia hết cho 4 là 996. 
Số cĩ 3 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 4 là 100. 
Khoảng cách giữa 2 số liền kề chia hết cho 4 là 4. 
Vậy cĩ 996 100 1 225
4
−
+ = số. 
Ví dụ 2. Tìm số hạng thứ 7 trong tổng sau: 
4 7 28(a x) (a x) (a x) ... (a x)+ + + + + + + + . 
Giải 
Khoảng cách giữa số mũ của 2 số hạng kề nhau là 3. 
Gọi số mũ của số hạng thứ 7 là k, ta cĩ 
k 1
1 7 k 19
3
−
+ = ⇒ = . 
Vậy số hạng cần tìm là 19(a x)+ . 
1.2. Các dấu hiệu chia hết 
+ Chia hết cho 2: số cĩ chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. 
+ Chia hết cho 3: số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ 2001). 
+ Chia hết cho 4: số cĩ 2 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 (ví dụ 2000, 3796, 12344). 
+ Chia hết cho 5: số cĩ chữ số tận cùng là 0, 5. 
+ Chia hết cho 6: số chia hết cho 2 và 3. 
+ Chia hết cho 8: số cĩ 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 (ví dụ 2000, 2008, 3257016). 
+ Chia hết cho 9: số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ 2007). 
+ Chia hết cho 10: số cĩ chữ số tận cùng là 0. 
+ Chia hết cho 11: số cĩ hiệu của tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn chia hết cho 11 
(ví dụ 1345729 vì (1 + 4 + 7 + 9) – (3 + 5 + 2) = 11). 
+ Chia hết cho 25: số cĩ 2 chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75. 
 1 
2. Quy tắc cộng 
i) Nếu một quá trình (bài tốn) cĩ thể thực hiện được một trong hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách 
thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả. Khi đĩ việc thực hiện quá trình trên cho m + n kết 
quả. 
ii) Nếu một quá trình (bài tốn) cĩ thể thực hiện được k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất 
cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, , cách thứ k cho mk kết quả. Khi đĩ việc thực hiện quá trình 
trên cho m1 + m2 +  + mk kết quả. 
Ví dụ 3. Cĩ 2 cuốn sách tốn A và B khác nhau, 2 cuốn sách vật lý C và D khác nhau. Cần chọn đúng 2 
cuốn sách, hỏi cĩ bao nhiêu cách. 
Giải 
+ Trường hợp 1: chọn 2 cuốn sách tốn cĩ 1 cách. 
+ Trường hợp 2: chọn 2 cuốn sách vật lý cĩ 1 cách. 
+ Trường hợp 3: chọn 1 cuốn sách tốn và 1 cuốn vật lý cĩ 4 cách là A và C, A và D, B và C, B và D. 
Vậy cĩ 1 + 1 + 4 = 6 cách chọn. 
Ví dụ 4. Từ tập hợp { }X a; b; c= chọn ra 1 tập hợp con của A. Hỏi cĩ mấy cách. 
Giải 
+ Trường hợp 1: chọn tập hợp khơng chứa phần tử nào cả cĩ 1 cách là tập rỗng. 
+ Trường hợp 2: chọn tập hợp chứa 1 phần tử của A cĩ 3 cách, đĩ là { }a , { }b và { }c . 
+ Trường hợp 3: chọn tập hợp chứa 2 phần tử của A cĩ 3 cách, đĩ là { }a; b , { }a; c và { }b; c . 
+ Trường hợp 4: chọn tập hợp chứa 3 phần tử của A cĩ 1 cách, đĩ là { }a; b; c . 
Vậy cĩ 1 + 3 + 3 + 1 = 8 cách chọn. 
2. Quy tắc nhân 
i) Nếu một quá trình (bài tốn) được thực hiện theo hai giai đoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho cĩ m cách 
thực hiện giai đoạn thứ nhất, đồng thời ứng với mỗi cách đĩ cĩ n cách để thực hiện giai đoạn thứ hai. Khi đĩ 
cĩ mn cách thực hiện quá trình trên. 
ii) Nếu một quá trình (bài tốn) được thực hiện theo k giai đoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho cĩ m1 cách 
thực hiện giai đoạn thứ nhất, với mỗi cách đĩ cĩ m2 cách để thực hiện giai đoạn thứ hai, , cĩ mk cách thực 
hiện giai đoạn thứ k. Khi đĩ, tồn bộ quá trình cĩ m1.m2mk cách thực hiện. 
Ví dụ 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được mấy số tự nhiên cĩ 3 chữ số phân biệt. 
Giải 
+ Bước 1: chọn chữ số hàng trăm cĩ 7 cách (trừ chữ số 0). 
+ Bước 2: chọn chữ số hàng chục cĩ 7 cách (trừ chữ số đã chọn ở hàng trăm). 
+ Bước 3: chọn chữ số đơn vị cĩ 6 cách (trừ 2 chữ số đã chọn). 
Vậy cĩ 7.7.6 = 294 số. 
Ví dụ 6. Số 12000 cĩ bao nhiêu ước số tự nhiên. 
Giải 
Ta cĩ 2 3 5 312000 2 .3.10 2 .3.5= = . 
Suy ra ước số của 12000 cĩ dạng m n k2 .3 .5 với 
{ }m 0; 1; 2; 3; 4; 5∈ , { }n 0; 1∈ và { }k 0; 1; 2; 3∈ . 
+ Bước 1: chọn m cĩ 6 cách. 
+ Bước 2: với mỗi cách chọn m cĩ 2 cách chọn n. 
+ Bước 3: với mỗi cách chọn m và n cĩ 4 cách chọn k. 
Vậy cĩ 6.2.4 = 48 ước số. 
 2 
Ví dụ 7. Từ các phần tử của { }X 0; 1; 2; 3; 4; 5= cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 
chữ số khác nhau. 
Giải 
Gọi 1 2 3A a a a= với 1a 0≠ và 1 2 3a , a , a X∈ là số cần lập. 
+ Trường hợp 1: 1 2 3A a a 0 (a 0)= = . 
- Bước 1: chọn a1 cĩ 5 cách, đĩ là a1 = 1 (hoặc 2, 3, 4, 5). 
- Bước 2: chọn a2 cĩ 4 cách (trừ chữ số 0 và chữ số a1 đã chọn). 
Suy ra cĩ 5.4 = 20 số 1 2A a a 0= . 
+ Trường hợp 2: 1 2 3 3A a a a (a 0)= ≠ . 
- Bước 1: chọn a3 cĩ 2 cách, đĩ là a3 = 2 (hoặc a3 = 4). 
- Bước 2: chọn a1 cĩ 4 cách (trừ chữ số 0 và chữ số a3 đã chọn). 
- Bước 3: chọn a2 cĩ 4 cách từ 4 chữ số cịn lại. 
Suy ra cĩ 2.4.4 = 32 số 1 2 3 3A a a a (a 0)= ≠ . 
Vậy cĩ 20 + 32 = 52 số. 
Ví dụ 8. Từ các phần tử của { }X 0; 2; 3; 6; 9= cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số 
khác nhau. 
Giải 
Gọi 1 2 3 4 5A a a a a a= với 1a 0≠ và 1 2 3 4 5a , a , a , a , a X∈ là số cần lập. 
+ Trường hợp 1: a1 lẻ. 
- Bước 1: do { }1a 3; 9∈ nên a1 cĩ 2 cách chọn. 
- Bước 2: do { }5a 0; 2; 6∈ nên a5 cĩ 3 cách chọn. 
- Bước 3: do { }2 1 5a X \ a ; a∈ nên a2 cĩ 3 cách chọn. 
- Bước 4: do { }3 1 2 5a X \ a ; a ; a∈ nên a3 cĩ 2 cách chọn. 
- Bước 5: do { }4 1 2 3 5a X \ a ; a ; a ; a∈ nên a4 cĩ 1 cách chọn. 
Suy ra cĩ 2.3.3.2.1 = 36 số được lập. 
+ Trường hợp 2: a1 chẵn. 
- Bước 1: do { }1a 2; 6∈ nên a1 cĩ 2 cách chọn. 
- Bước 2: do { } { }5 1a 0; 2; 6 \ a∈ nên a5 cĩ 2 cách chọn. 
- Bước 3: do { }2 1 5a X \ a ; a∈ nên a2 cĩ 3 cách chọn. 
- Bước 4: do { }3 1 2 5a X \ a ; a ; a∈ nên a3 cĩ 2 cách chọn. 
- Bước 5: do { }4 1 2 3 5a X \ a ; a ; a ; a∈ nên a4 cĩ 1 cách chọn. 
Suy ra cĩ 2.2.3.2.1 = 24 số được lập. 
Vậy cĩ 36 + 24 = 60 số. 
Ví dụ 9. Từ các chữ số 1, 2, 3 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 2 chữ số. 
Giải 
Gọi 1 2A a a= với 1 2a , a khơng phân biệt là số cần lập. 
+ Bước 1: chọn 1 chữ số để xếp vào a1 cĩ 3 cách. 
+ Bước 2: chọn 1 chữ số để xếp vào a2 cĩ 3 cách (do các chữ số khơng phân biệt). 
Vậy cĩ 3.3 = 9 số. 
Ví dụ 10. Cần sắp xếp 3 người A, B, C lên 2 toa tàu (mỗi toa cĩ thể chứa được 3 người). Hỏi cĩ bao nhiêu 
cách sắp xếp. 
Giải 
+ Bước 1: người A cĩ 2 sự lựa chọn toa tàu. 
 3 
+ Bước 2: với mỗi cách chọn của A thì người B cĩ 2 sự lựa chọn toa tàu. 
+ Bước 3: với mỗi cách chọn của A và B thì người C cĩ 2 sự lựa chọn toa tàu. 
Vậy cĩ 2.2.2 = 8 cách sắp xếp. 
Cách giải sai: 
Toa tàu thứ nhất cĩ 3 cách chọn người, toa thứ hai cĩ 3 cách chọn người. Do đĩ cĩ 3.3 = 9 cách. Sai ở chỗ 
là toa thứ nhất cĩ nhiều cách chọn (khơng chọn ai cả hoặc chọn 1 người, 2 người, cả 3 người) đồng thời khi 
chọn người A thì toa thứ hai khơng thể chọn người A được nữa! Cụ thể các trường hợp đĩ là 
Các trường hợp 
Toa 1 2 3 4 5 6 7 8 
I ABC AB AC BC C B A 
II ABC C B A AB AC BC 
Nhận xét: 
Chỉ dùng các quy tắc đếm, cộng và nhân thì ưu điểm là ít sai sĩt nhưng nhược điểm là lời giải dài dịng. 
II. Hốn vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 
1. Hốn vị 
ðịnh nghĩa 
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( )n 0≥ . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đĩ 
được gọi là một hốn vị của n phần tử. Số các hốn vị của n phần tử được ký hiệu là Pn. 
nP n! 1.2...n= = . Quy ước: 0! = 1. 
Ví dụ 11. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế cĩ 5 chỗ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách. 
Giải 
Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hốn vị. 
Vậy cĩ P5 = 5! = 120 cách sắp. 
Ví dụ 12. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 cĩ thể lập được mấy số tự nhiên cĩ 5 chữ số khác nhau. 
Giải 
Gọi 1 2 3 4 5A a a a a a= với 1a 0≠ và 1 2 3 4 5a , a , a , a , a phân biệt là số cần lập. 
+ Bước 1: chữ số 1a 0≠ nên cĩ 4 cách chọn a1. 
+ Bước 2: sắp 4 chữ số cịn lại vào 4 vị trí cĩ 4! = 24 cách. 
Vậy cĩ 4.24 = 96 số. 
2. Chỉnh hợp 
ðịnh nghĩa 
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( )n 0≥ . Mỗi cách chọn ra k ( )0 k n≤ ≤ phần tử của X và sắp 
xếp theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n 
phần tử được ký hiệu là knA . 
k
n
n!
A
(n k)!
=
−
. 
Nhận xét: 
n
n nA n! P= = . 
Ví dụ 13. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế cĩ 7 chỗ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách. 
 4 
Giải 
Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và cĩ hốn vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7. 
Vậy cĩ 57
7 !
A 2520
(7 5)!
= =
−
 cách sắp. 
Ví dụ 14. Từ tập hợp { }X 0; 1; 2; 3; 4; 5= cĩ thể lập được mấy số tự nhiên cĩ 4 chữ số khác nhau. 
Giải 
Gọi 1 2 3 4A a a a a= với 1a 0≠ và 1 2 3 4a , a , a , a phân biệt là số cần lập. 
+ Bước 1: chữ số 1a 0≠ nên cĩ 5 cách chọn a1. 
+ Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số cịn lại để sắp vào 3 vị trí 35A cách. 
Vậy cĩ 355A 300= số. 
3. Tổ hợp 
ðịnh nghĩa 
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( )n 0≥ . Mỗi cách chọn ra k ( )0 k n≤ ≤ phần tử của X được 
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là knC . 
k
n
n!
C
k!(n k)!
=
−
. 
Ví dụ 15. Cĩ 10 cuốn sách tốn khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi cĩ bao nhiêu cách. 
Giải 
Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10. 
Vậy cĩ 410C 210= cách chọn. 
Ví dụ 16. Một nhĩm cĩ 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đĩ cĩ ít nhất 1 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu 
cách. 
Giải 
+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam. 
- Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ cĩ 3 cách. 
- Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam cĩ 25C . 
Suy ra cĩ 253C cách chọn. 
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam. 
- Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ cĩ 23C cách. 
- Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam cĩ 5. 
Suy ra cĩ 235C cách chọn. 
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ cĩ 1 cách. 
Vậy cĩ 2 25 33C 5C 1 46+ + = cách chọn. 
Ví dụ 17. Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số sao cho trong mỗi số đĩ, chữ số hàng ngàn 
lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị. 
Giải 
Gọi 1 2 3 4A a a a a= với 1 2 3 49 a a a a 0≥ > > > ≥ là số cần lập. 
{ }X 0; 1; 2; ...; 8; 9= . 
Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là khơng cĩ hốn vị hay là 
một tổ hợp chập 4 của 10. 
Vậy cĩ 410C 210= số. 
 5 
Nhận xét: 
i/ ðiều kiện để xảy ra hốn vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt. 
ii/ Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp cĩ sắp thứ tự cịn 
tổ hợp thì khơng. 
4. Phương pháp giải tốn 
4.1. Phương pháp 1. 
Bước 1. ðọc kỹ các yêu cầu và số liệu của đề bài. Phân bài tốn ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại 
phân thành các giai đoạn. 
Bước 2. Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài tốn để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hốn vị, chỉnh hợp 
hay tổ hợp. 
Bước 3. ðáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên. 
Ví dụ 18. Một nhĩm cơng nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhĩm ra 5 người để lập thành 
một tổ cơng tác sao cho phải cĩ 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phĩ nam và cĩ ít nhất 1 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập 
tổ cơng tác. 
Giải 
+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam. 
- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ cĩ 5 cách. 
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phĩ cĩ 215A cách. 
- Bước 3: chọn 2 trong 13 nam cịn lại cĩ 213C cách. 
Suy ra cĩ 2 215 135A .C cách chọn cho trường hợp 1. 
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam. 
- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ cĩ 25C cách. 
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phĩ cĩ 215A cách. 
- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam cịn lại cĩ 13 cách. 
Suy ra cĩ 2 215 513A .C cách chọn cho trường hợp 2. 
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam. 
- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ cĩ 35C cách. 
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phĩ cĩ 215A cách. 
Suy ra cĩ 2 315 5A .C cách chọn cho trường hợp 3. 
Vậy cĩ 2 2 2 2 2 315 13 15 5 15 55A .C 13A .C A .C 111300+ + = cách. 
Cách khác: 
+ Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phĩ cĩ 215A cách. 
+ Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đĩ cĩ nữ. 
- Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam cĩ 2135.C cách. 
- Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam cĩ 2513.C cách. 
- Trường hợp 3: chọn 3 nữ cĩ 35C cách. 
Vậy cĩ ( )2 2 2 315 13 5 5A 5.C 13.C C 111300+ + = cách. 
4.2. Phương pháp 2. 
ðối với nhiều bài tốn, phương pháp 1 rất dài. Do đĩ ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép 
tốn A A X A X \ A= ⇒ =∪ . 
Bước 1: chia yêu cầu của đề thành 2 phần là yêu cầu chung X (tổng quát) gọi là loại 1 và yêu cầu riêng A. 
Xét A là phủ định của A, nghĩa là khơng thỏa yêu cầu riêng gọi là loại 2. 
 6 
Bước 2: tính số cách chọn loại 1 và loại 2. 
Bước 3: đáp án là số cách chọn loại 1 trừ số cách chọn loại 2. 
Chú ý: 
Cách phân loại 1 và loại 2 cĩ tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải. 
Ví dụ 19. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 cĩ thể lập được mấy số tự nhiên cĩ 5 chữ số khác nhau. 
Giải 
+ Loại 1: chữ số a1 tùy ý, ta cĩ 5! = 120 số. 
+ Loại 2: chữ số a1 = 0, ta cĩ 4! = 24 số. 
Vậy cĩ 120 – 24 = 96 số. 
Ví dụ 20. Một nhĩm cĩ 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đĩ cĩ ít nhất 1 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu 
cách. 
Giải 
+ Loại 1: chọn 3 người tùy ý trong 13 người cĩ 313C cách. 
+ Loại 2: chọn 3 nam (khơng cĩ nữ) trong 7 nam cĩ 37C cách. 
Vậy cĩ 3 313 7C C 251− = cách chọn. 
Ví dụ 21. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khĩ người ta chọn ra 10 câu 
để làm đề kiểm tra sao cho phải cĩ đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khĩ. Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu đề 
kiểm tra. 
Giải 
+ Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu cĩ 1020C cách. 
+ Loại 2: chọn 10 câu cĩ khơng quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khĩ. 
- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu cĩ 1016C cách. 
- Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khĩ trong 13 câu cĩ 1013C cách. 
- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khĩ trong 11 câu cĩ 1011C cách. 
Vậy cĩ ( )10 10 10 1020 16 13 11C C C C 176451− + + = đề kiểm tra. 
Chú ý: 
Giải bằng phương pháp phần bù cĩ ưu điểm là ngắn tuy nhiên nhược điểm là thường sai sĩt khi tính số 
lượng từng loại. 
Ví dụ 22. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khĩ người ta chọn ra 7 câu để 
làm đề kiểm tra sao cho phải cĩ đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khĩ. Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu đề kiểm 
tra. 
Cách giải sai: 
+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu cĩ 720C cách. 
+ Loại 2: chọn 7 câu khơng thỏa yêu cầu. 
- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ trong 9 câu cĩ 79C cách. 
- Trường hợp 2: chọn 7 câu trung bình cĩ 1 cách. 
- Trường hợp 3: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu cĩ 716C cách. 
- Trường hợp 4: chọn 7 câu dễ và khĩ trong 13 câu cĩ 713C cách. 
- Trường hợp 5: chọn 7 câu trung bình và khĩ trong 11 câu cĩ 711C cách. 
Vậy cĩ ( )7 7 7 7 720 9 16 13 11C 1 C C C C 63997− + + + + = đề kiểm tra! 
Sai sĩt trong cách tính số đề loại 2. Chẳng hạn, khi tính số đề trong trường hợp 3 ta đã tính lặp lại trường 
hợp 1 và trường hợp 2. 
 7 
Cách giải sai khác: 
+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu cĩ 720C cách. 
+ Loại 2: chọn 7 câu khơng thỏa yêu cầu. 
- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu cĩ 716C cách. 
- Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ hoặc khĩ trong 13 câu cĩ 713C cách. 
- Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình hoặc khĩ trong 11 câu cĩ 711C cách. 
Vậy cĩ ( )7 7 7 720 16 13 11C C C C 64034− + + = đề kiểm tra. 
Sai sĩt do ta đã tính lặp lại số cách chọn đề chỉ cĩ 7 câu dễ và đề chỉ cĩ 7 câu trung bình trong trường hợp 1 
và trường hợp 2. 
Cách giải đúng: 
+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu cĩ 720C cách. 
+ Loại 2: chọn 7 câu khơng thỏa yêu cầu. 
- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu cĩ 716C cách. 
- Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ và khĩ trong 13 câu cĩ 7 713 9C C− cách. 
- Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình và khĩ trong 11 câu cĩ 711C 1− cách. 
Vậy cĩ ( )7 7 7 7 720 16 13 9 11C C C C C 1 64071− + − + − = đề kiểm tra. 
Ví dụ 23. Hội đồng quản trị của một cơng ty gồm 12 người, trong đĩ cĩ 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đĩ người 
ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phĩ chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi cĩ mấy cách bầu 
sao cho trong 4 người được bầu phải cĩ nữ. 
Giải 
+ Loại 1: bầu 4 người tùy ý (khơng phân biệt nam, nữ). 
- Bước 1: bầu chủ tịch và phĩ chủ tịch cĩ 212A cách. 
- Bước 2: bầu 2 ủy viên cĩ 210C cách. 
Suy ra cĩ 2 212 10A .C cách bầu loại 1. 
+ Loại 2: bầu 4 người tồn nam. 
- Bước 1: bầu chủ tịch và phĩ chủ tịch cĩ 27A cách. 
- Bước 2: bầu 2 ủy viên cĩ 25C cách. 
Suy ra cĩ 2 27 5A .C cách bầu loại 2. 
Vậy cĩ 2 2 2 212 10 7 5A .C A .C 5520− = cách. 
5. Hốn vị lặp (tham khảo) 
Cho tập hợp X cĩ n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khác lại giống nhau, , nk phần tử khác 
nữa lại giống nhau ( )1 2 kn n ... n n+ + + = . Mỗi cách sắp n phần tử này vào n vị trí là một hốn vị lặp, số 
hốn vị lặp là 
1 2 k
n!
n !n !...n !
. 
Ví dụ 24. Từ các chữ số 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ đúng 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3. 
Giải 
Xem số cần lập cĩ 10 chữ số gồm 5 chữ số 1 giống nhau, 2 chữ số 2 giống nhau và 3 chữ số 3 giống nhau. 
Vậy cĩ 10! 2520
5!2!3!
= số. 
Cách giải thường dùng: 
+ Bước 1: chọn 5 trong 10 vị trí để sắp 5 chữ số 1 cĩ 510C cách. 
+ Bước 2: chọn 2 trong 5 vị trí cịn lại để sắp 2 chữ số 2 cĩ 25C cách. 
 8 
+ Bước 3: sắp 3 chữ số 3 vào 3 vị trí cịn lại cĩ 1 cách. 
Vậy cĩ 5 210 5C .C .1 2520= số. 
CHƯƠNG II 
NHỊ THỨC NEWTON 
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
A. TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 
I. NHỊ THỨC NEWTON 
ðịnh nghĩa 
Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa cĩ dạng: 
( )n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n nn n n n na b C a C a b C a b ... C a b ... C b
− − −+ = + + + + + + 
n
k n k k
n
k 0
C a b (n 0, 1, 2, ...)−
=
= =∑ . 
+ Số hạng thứ k+1 là k n k kk 1 nT C a b−+ = thường được gọi là số hạng tổng quát. 
+ Các hệ số knC được tính theo cơng thức tổ hợp chập hoặc dựa vào tam giác Pascal sau đây: 
Chẳng hạn: 
0 1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6C 1, C 6, C 15, C 20, C 15, C 6, C 1= = = = = = = . 
Tính chất 
i) k n kn nC C (0 k n)−= ≤ ≤ . 
ii) k k 1 kn n n 1C C C (1 k n)− ++ = ≤ ≤ . 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 
1. Dùng định nghĩa và tính chất chứng minh hoặc rút gọn đẳng thức 
Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức: 
k k 1 k 2 k 3 k
n n n n n 3C 3C 3C C C
− − −
++ + + = với 3 k n≤ ≤ . 
Giải 
Áp dụng tính chất ta cĩ: 
 9 
k k 1 k 2 k 3
n n n nC 3C 3C C
− − −+ + + ( ) ( ) ( )k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3n n n n n nC C 2 C C C C− − − − −= + + + + + 
 ( ) ( )k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1C 2C C C C C C− − − − −+ + + + + + += + + = + + + 
k k 1 k
n 2 n 2 n 3C C C
−
+ + += + = . 
Ví dụ 2. Tính tổng 14 15 16 29 3030 30 30 30 30S C C C ... C C= − + − − + . 
Giải 
Áp dụng tính chất ta cĩ: 
( ) ( ) ( ) ( )13 14 14 15 15 16 28 29 3029 29 29 29 29 29 29 29 30S C C C C C C ... C C C= + − + + + − − + + 13 29 30 1329 29 30 29C C C C= − + = . 
Vậy S 67863915= . 
Cách khác: 
( ) ( ) ( )30 0 12 13 14 29 3030 30 30 30 30 301 1 C ... C C C ... C C− = − + − + − − + 
( ) ( )30 18 17 14 29 3030 30 30 30 30 30C ... C C C ... C C 0⇒ − + − + − − + = 
( )16 15 1430 30 30S C C C S 0⇒ − + − + = 16 15 14 14 1530 30 30 30 302S C C C 2C C⇒ = − + = − . 
Vậy 
14 15
30 302C CS 67863915
2
−
= = . 
Ví dụ 3. Rút gọn tổng sau: 
0 2006 1 2005 2 2004 k 2006-k 2006 0
2007 2007 2007 2006 2007 2005 2007 2007 -k 2007 1S C C C C C C ... C C ... C C= + + + + + + . 
Giải 
Áp dụng cơng thức ta cĩ: 
( )
k 2006-k
2007 2007 -k