Chuyên đề Đại số tổ hợp

Ñaïi soá toå hôïp - Trang 1 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP
I. HOAÙN VÒ − CHÆNH HÔÏP − TOÅ HÔÏP: 
1.Qui taéc coäng vaø qui taéc nhaân:
a) Qui taéc coäng :
Neáu coù m1 caùch choïn ñoái töôïng x1, m2 caùch choïn ñoái töôïng x2, , mn caùch choïn ñoái 
töôïng xn, vaø neáu caùch choïn ñoái töôïng xi khoâng truøng baát kyø caùch choïn ñoái töôïng xj 
naøo (i≠j; i,j=1,2,,n) thì coù m1+m2++mn caùch choïn moät trong caùc ñoái töôïng ñaõ cho.
Caùch khaùc: Moät coâng vieäc ñöôïc thöïc hieän qua nhieàu tröôøng hôïp ñoäc laäp nhau. 
Tröôøng hôïp 1 coù m1 caùch thöïc hieän, tröôøng hôïp 2 coù m2 caùch thöïc hieän, tröôøng hôïp 
n coù mn caùch thöïc hieän thì soá caùch thöïc hieän caû coâng vieäc laø m1+m2++mn.
b) Qui taéc nhaân :
Neáu 1 pheùp choïn ñöôïc thöïc hieän qua n böôùc lieân tieáp nhau, böôùc 1 coù m1 caùch, böôùc 
2 coù m2 caùch, . . ., böôùc n coù mn caùch, thì pheùp choïn ñoù ñöôïc thöïc hieän theo m1 . m2 . 
 .mn caùch khaùc nhau.
Caùch khaùc: Moät coâng vieäc ñöôïc thöïc hieän qua nhieàu giai ñoaïn:Giai ñoaïn 1 coù m1 
caùch thöïc hieän, giai ñoaïn 2 coù m2 caùch thöïc hieän, giai ñoaïn n coù mn caùch thöïc hieän 
thì soá caùch thöïc hieän caû coâng vieäc laø m1 . m2 .  .mn
2.Hoaùn vò:
A. Hoaùn vò thaúng:
a) Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû . Moãi caùch saép thöù töï n phaàn töû (n≥1) 
cuûa taäp hôïp A ñöôïc goïi laø 1 hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù.
b) Ñònh lyù: Neáu kyù hieäu soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû laø Pn, thì: 
n1.2.3)...2n)(1n(nPn =−−= !
Qui öôùc: 0!=1
B. Hoaùn vò coù laëp laïi:
a) Ñònh nghóa: Coù n vaät, saép vaøo n vò trí. Trong ñoù:
n1 vaät gioáng nhau 
n2 vaät gioáng nhau
.
nk vaät gioáng nhau
( Haún nhieân laø n= n1+n2++nk)
b) Ñònh lyù: Soá hoaùn vò coù laëp laïi cuûa n vaät treân laø:
!n!...n!n
!n
k21
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 2 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
C. Hoaùn vò troøn :
a) Ñònh nghóa: Coù n vaät, saép vaøo n vò trí chung quanh moät ñöôøng troøn.
b) Ñònh lyù: Soá hoaùn vò troøn cuûa n vaät treân laø: Pn−1= (n−1)!
3.Chænh hôïp:
a) Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû. Moãi boä goàm k (1 )k n≤ ≤ phaàn töû saép 
thöù töï cuûa taäp hôïp A ñöôïc goïi laø 1 chænh hôïp chaäp k cuûa cuûa n phaàn töû .
b) Soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû la ø :
)!kn(
!n)1kn)...(2n)(1n(nA kn
−
=+−−−=
Ñaëc bieät: Khi nn nk n A P= ⇒ =
4.Toå hôïp:
a) Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû. Moãi taäp con goàm k )0( nk ≤≤ phaàn 
töû cuûa A ñöôïc goïi laø 1 toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho.
b) Soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû la ø : )!kn(!k
!nCkn
−
=
c) Tính chaát: 
1) knn
k
n CC
−
= 
2) kn
k
n
k
n CCC =+ −
−
− 1
1
1
3) kn
k
n C!kA =
II.COÂNG THÖÙC NHÒ THÖÙC NEWTON:
1.Coâng thöùc nhò thöùc Newton: Vôùi hai soá thöïc a vaø b vaø n∈N ta coù coâng thöùc:
nn
n
kknk
n
1n1
n
n0
n
n bC...baC...baCaC)ba( +++++=+ −−
2.Caùc tính chaát: 
a) Veá phaûi coù n+1 soá haïng.
b) Trong moãi soá haïng toång soá muõ cuûa a vaø b laø n.
c) Soá haïng thöù k+1 cuûa coâng thöùc khai trieån coù daïng :
kknk
n1k baCT
−
+ = )n,...,3,2,1,0k( =
d) Caùc heä soá caùch ñeàu soá haïng ñaàu vaø cuoái laø baèng nhau.
nn
n
2
n
1
n
0
n 2C...CCC)e =++++ .
0C)1(...CCC)f nn
n2
n
1
n
0
n =−+++− .
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 3 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
BAØI TAÄP:
I. VEÀ ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP
1) Cho 7 chöõ soá :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Töø 7 chöõ soá treân, coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân, moãi soá goàm 5 
chöõ soá khaùc nhau? Keát quaû: 57A 2520=
b) Trong caùc soá noùi ôû a), coù bao nhieâu soá chaün? Keát quaû:6.5.4.3.3=1080
c) Trong caùc soá noùi ôû a), coù bao nhieâu soá trong ñoù nhaát thieát phaûi coù maët 
chöõ soá 7? Keát quaû: 5. 
1800A 46 =
2) Cho 6 chöõ soá: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Töø caùc chöõ soá treân, coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá 
khaùc nhau? Keát quaû: 720A 56 =
b) Trong caùc soá noùi treân coù bao nhieâu soá leû? Keát quaû: 3603.A 45 =
c) Trong caùc soá noùi treân coù bao nhieâu soá trong ñoù coù maët 2 chöõ soá 1 vaø 2?
Höôùng daãn vaø keát quaû: Lieät keâ 4 taäp con coù chöùa 1 vaø 2, coù theå taïo 4.5!= 480 soá.
3) Cho 5 chöõ soá 0,1, 3, 6, 9.
a) Töø 5 chöõ soá aáy, coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau?
Keát quaû: 96A.4 34 =
b) Trong caùc soá noùi treân coù bao nhieâu soá chaün?
Keát quaû: 421.A.31.A 23
3
4 =+
c) Trong caùc soá noùi treân coù bao nhieâu soá chia heát cho 3? 
Höôùng daãn vaø keát quaû: Choïn trong taäp chöùa caùc phaàn töû chia heát cho 3 laø A={
0,3,6,9} Vaäy coù 3 18!3.3A. 33 == soá chia heát cho 3.
4) Cho 6 chöõ soá 0,1, 2, 3, 4, 5.
a) Tö ø caùc chöõ soá treân coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá 
khaùc nhau? Keát quaû: 5. 600A 45 =
b) Trong caùc chöõ soá treân coù bao nhieâu soá chaün ? 
Keát quaû: 600−4. 3.A 34 (leû)=312
c) Trong caùc chöõ soá treân coù bao nhieâu soá coù maët chöõ soá 0? 
Höôùng daãn vaø keát quaû: Hoaùn vò caùc phaàn töû trong taäp A={1,2,3,4,5} ta coù 
5!=120 soá khoâng coù maët chöõ soá 0. Phaàn buø: 600−120=480 soá coù maët chöõ soá 0.
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 4 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
5) Xeùt caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau laäp neân töø caùc chöõ soá 1, 2, 3 vaø 4, 
Hoûi coù bao nhieâu soá :
a) Ñöôïc taïo thaønh Keát quaû: 4!=24
b) Baét ñaàu bôûi chöõ soá 1? Keát quaû: 1.3!=6
c) Khoâng baét ñaàu baèng chöõ soá 2? Keát quaû: P4− 1.P3 =18.
6) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau laäp neân töø caùc chöõ soá 1,2, 3, 4, 
5 vaø 6 vaø lôùn hôn 300.000 Keát quaû: 4.5!=480
7) Coù bao nhieâu soátöï nhieân coù 3 chöõ soá khaùc nhau vaø khaùc 0 bieát raèng toång cuûa 3 
chöõ soá naøy baèng 9. Keát quaû: Coù 3 taäp X1={1;2;6} , X2={1;3;5} 
vaø X3={2;3;4} coù toång caùc phaàn töû baèng 9. Vaäy coù 3.3!=18 soá.
8) Vôùi caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 8 chöõ soá trong ñoù 
chöõ soá 1 coù maët 3 laàn, moãi chöõ soá khaùc coù maët moät laàn?
Höôùng daãn vaø keát quaû: 
Caùch 1: Xeáp chöõ soá 0 tröôùc: 7 caùch (boû oâ ñaàu).Xeáp chöõ soá 2: coøn 7. Xeáp 
chöõ soá 3: coøn 6. Xeáp chöõ soá 4: coøn 5. Xeáp chöõ soá 5: coøn 4. Xeáp chöõ soá 1 
vaøo 3 oâ coøn laïi: 1 caùch (Khoâng thöù töï). Vaäy coù: 7.7.6.5.4.1=5880 soá.
Hoaëc: 1 0 1 2 3 1 5 4
Muoán coù moät soá caàn tìm ta xeáp caùc chöõ soá 0, 2, 3, 4 vaø 5 vaøo 5 trong 8 oâ 
vuoâng, sau ñoù xeáp chöõ soá 1 vaøo 3 oâ coøn laïi (khoâng thöù töï ). Vaäy coù 
67201.A 58 = soá, keå caû caùc soá coù chöõ soá 0 ñöùng ñaàu ( coù 840A.1
4
7 = soá). 
Vaäy coù 6720−840=5880 soá.
9) Vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá trong ñoù 
chöõ soá 1 coù maët 2 laàn, moãi chöõ soá khaùc coù maët ñuùng moät laàn?
Keát quaû: 360
!2
!6
= soá.
Hoaëc: 1 5 1 2 4 3
Muoán coù moät soá caàn tìm ta xeáp caùc chöõ soá 2, 3, 4 vaø 5 vaøo 4 trong 6 oâ 
vuoâng, sau ñoù xeáp chöõ soá 1 vaøo 2 oâ coøn laïi (khoâng coù thöù töï ). Vaäy coù 
3601.A 46 = soá 
10) Coù bao nhieâu soá töï nhieân coù 3 chöõ soá khaùc nhau. Bieát raèng toång cuûa 3 chöõ soá 
naøy baèng 12?
Keát quaû: Coù 7 taäp hôïp chöùa 3 phaàn töû khaùc 0 coù toång 12 vaø coù 3 taäp hôïp chöùa 
3 phaàn töû coù phaàn töû 0 coù toång 12.Vaäy coù 7.3!+3.(2.2.1)=54 soá.
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 5 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
11) Vôùi 6 chöõ soá 2, 3, 5, 6, 7, 8 coù bao nhieâu caùch laäp nhöõng soá goàm 4 chöõ soá khaùc 
nhau, bieát:
a) Caùc soá naøy < 5000? Keát quaû: 2. 3 Ï5A =120 soá.
b) Caùc soá naøy chaün < 7000? Keát quaû: x= abcd : d=8 coù 4.4.3.1= 48 soá 
; d≠8 coù 3.4.3.2=72 soá. Vaäy coù 48+72=120 soá
12) Töø taäp hôïp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá maø moãi soá coù 
5 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ñoù nhaát thieát phaûi coù maët chöõ soá 5?
 Keát quaû: x= abcde : a=5 coù 1.6.5.4.3= 360 soá ; a≠5 coù 4(5.5.4.3)=1200 soá. 
Vaäy coù 360+1200=1560 soá Hoaëc: 6. 45
4
6 A.5A − (khoâng coù chöõ soá 5)=1560
13) Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta laäp thaønh bao nhieâu soá coù 4 chöõ soá khaùc 
nhau? 
Keát quaû: 3024A 49 = 
14) Töø 5 chöõ soá 0, 1, 3, 5, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø 
khoâng chia heát cho 5. Keát quaû: 54 soá.
15) Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 7 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc laäp neân töø 
caùc chöõ soá 1,2,3,4,5,6,7? Chöùng minh raèng toång cuûa taát caû caùc soá naøy chia heát cho 9. 
Keát quaû: 7!=5040 soá. S=2520.8888888 M 9
16) Coù bao nhieâu soá coù caùc chöõ soá khaùc nhau coù theå laäp thaønh töø caùc chöõ soá 2, 4, 6 
vaø 8. Keát quaû: 64AAAA 44
3
4
2
4
1
4 =+++ soá
17) Töø 10 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 9 chöõ 
soá khaùc nhau, trong ñoù phaûi coù maët caû 2 chöõ soá 0 vaø 1?
Höôùng daãn vaø keát quaû:
Caùch 1: Tö ø A={2,3,4,5,6,7,8,9} coù theå laáy ra 78C 8= taäp con coù 7 phaàn töû khoâng coù 0 vaø 1. Hôïp moãi 
taäp con naøy vôùi {0,1} ta coù 8 taäp con coù 9 phaàn töû trong ñoù coù 0 vaø 1. Töø moãi taäp hôïp naøy coù theå taïo 
8.8!=322560. Vaäy coù 8.322560=2580480 soá.
Caùch 2: Cho 0 xuaát hieän tröôùc: Coù 8 caùch ( vì 0 khoâng ñöôïc ñöùng ñaàu). Cho 1 xuaát hieän keá tieáp: Coù 8 
caùch. Tieáp theo ta xeáp 8 chöõ soá coøn laïi vaøo 7 vò trí coøn laïi: Coù 78A 40320= caùch. Vaäy coù: 
8.8.40320=2580480 soá.
Caùch 3: Coù 3 loaïi soá trong 899.A 3265920= soá taïo ñöôïc coù 9 chöõ soá khaùc nhau: Coù soá chæ xuaát hieän 0 
(khoâng coù 1), chæ xuaát hieän 1 (khoâng coù 0), coù soá xuaát hieän caû 0 vaø 1
Coù 9!=362880 soá chæ xuaát hieän 1 (khoâng coù 0) vaø coù 9!−8!=322560 soá chæ xuaát hieän 0 (khoâng coù 1). 
Vaäy coù:3265920−(362880+322560)=2580480 soá coù caû 0 vaø 1.
18) Töø 5 chöõ soá 1,2,3,4,5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 5 chöõ soá khaùc 
nhau, trong ñoù:
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 6 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
a) 2 chöõ soá 1vaø 2 ñöùng caïnh nhau?
b) 2 chöõ soá 1vaø 2 khoâng ñöùng caïnh nhau?
Höôùng daãn vaø keát quaû:
a) Giai ñoaïn 1: Cho 2 chöõ soá 1 vaø 2 vaøo 2 oâ lieàn nhau, 3 chöõ soá 3, 4, 5 vaøo 3 oâ coøn laïi: Coù 4!=24 caùch 
xeáp. 
Giai ñoaïn 2: Vì 1 vaø 2 naèm trong 2 oâ lieàn nhau neân coù 2!=2 caùch xeáp.
Theo quy taéc nhaân, coù 24.2=48 soá.
b) Coù 5!=120 soá töï nhieân coù 5 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc laäp neân töø 5 chöõ soá ñaõ cho trong ñoù coù 
theå coù 1 vaø 2 ñöùng caïnh nhau; hoaëc 1 vaø 2 khoâng ñöùng caïnh nhau. Vaäy coù 120−48=72 soá 
trong ñoù 1 vaø 2 khoâng ñöùng caïnh nhau.
19) Töø 4 chöõ soá 0,1,2,3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 7 chöõ soá , trong ñoù 
chöõ soá 3 xuaát hieän 4 laàn, caùc chöõ soá 0, 1, 2 chæ xuaát hieän 1 laàn.
Höôùng daãn vaø keát quaû: Töông töï baøi 8b): Coù 3 27 6A .1 A 180− = soá. Ta coù theå giaûi baèng caùch 
khaùc: Vôùi 7 oâ : ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ 
Giai ñoaïn 1: Ta laép chöõ soá 0 vaøo tröôùc: Coù 6 caùch (boû oâ ñaàu tieân). 
Giai ñoaïn 2: Ta laép chöõ soá 1 vaøo 6 oâ coøn laïi: Coù 6 caùch. 
Giai ñoaïn 3: Ta laép chöõ soá 2 vaøo 5 oâ coøn laïi: Coù 5 caùch. 
Giai ñoaïn 4: Ta laép chöõ soá 3 vaøo 4 oâ coøn laïi: Coù 1 caùch (khoâng thöù töï).
Theo quy taéc nhaân coù : 6.6.5.1=180 soá.
20) Coù bao nhieâu soá töï nhieân coù 5 chöõ soá, sao cho 2 chöõ soá keà nhau phaûi khaùc nhau?
Keát quaû: 9.9.9.9.9=59049.
21) Töø 7 chöõ soá 1,2,3,4,5,6,7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 4 chöõ soá khaùc 
nhau sao cho luoân coù maët chöõ soá 7 vaø chöõ soá haøng ngaøn laø chöõ soá 1?
Keát quaû: 1.3. 25A =60 soá (1 caùch xeáp chöõ soá 1, 3 caùch xeáp chöõ soá 7 vaø 25A caùch xeáp 2,3,4,5,6 
vaøo 2 vò trí coøn laïi).
22) a) Coù bao nhieâu soá töï nhieân (ñöôïc vieát trong heä ñeám thaäp phaân) goàm 5 chöõ soá 
maø caùc chöõ soá ñeàu lôùn hôn 4 vaø ñoâi moät khaùc nhau?
b) Haõy tính toång taát caû caùc soá töï nhieân noùi treân?
Keát quaû: a) 45A =120 b)60X155554 = 9333240
23) Cho 5 chöõ soá:1, 2, 3, 4, 5. Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân leû coù 4 chöõ soá 
khaùc nhau töø 5 chöõ soá treân? Keát quaû: 4.3.2.3=72 
24) Coù bao nhieâu soá töï nhieân khaùc nhau, nhoû hôn 10000 ñöôïc taïo thaønh töø 5 chöõ soá: 
0, 1, 2, 3, 4? Keát quaû: 5+4.5+4.25+4.125= 625
25) Vôùi 10 chöõ soá töø 0 ñeán 9, coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân chaün coù 4 chöõ 
soá, maø caùc chöõ soá ñoù ñeàu khaùc nhau? Keát quaû: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 7 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
26) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 3 chöõ soá khaùc nhau vaø khaùc 0 bieát toång ba chöõ soá 
naøy baèng 8. Keát quaû: Coù 2 taäp coù toång 3 phaàn tö ûbaèng 8. Vaäy coù 2.3!=12 soá
27) Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Töø caùc chöõ soá ñaõ cho laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï 
nhieân :
a) Goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø laø soá chaün Keát quaû: 5.4.3.1+4.4.3.2=156
b) Goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø nhoû hôn 3000 Keát quaû: 2.5.4.3=120
c) Goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 4 
 Keát quaû: 1 2 3 4 3 4a a a a 4 a a 4⇔M M . 
Coù 72 soá
d) Goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5 Keát quaû: 108
e) Goàm 5 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 3 Keát quaû: 216
28) Cho 5 quaû caàu traéng baùn kính khaùc nhau vaø 5 quaû caàu xanh baùn kính khaùc nhau. 
Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp 10 quaû caàu ñoù thaønh 1 daõy töø traùi sang phaûi, sao cho 
khoâng coù 2 quaû caàu cuøng maøu ñöùng caïnh nhau? Keát quaû:28800
29) Hoäi ñoàng quaûn trò cuûa 1 xí nghieäp goàm 11 ngöôøi, trong ñoù coù 7 nam vaø 4 nöõ. Töø 
hoäi ñoàng quaûn trò ñoù ngöôøi ta muoán laäp ra1 ban thöôøng tröïc, trong ñoù ít nhaát 1 ngöôøi 
nam. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ban thöông tröïc coù 3 ngöôøi? 
Keát quaû: 161
30) Nhaân ngaøy sinh nhaät, caùc baïn taëng Hoàng Nhung 1 boù hoa goàm 10 boâng hoàng traéng 
vaø 1 boù hoa goàm 10 boâng hoàng nhung. Hoàng Nhung muoán choïn ra 5 boâng ñeå caém 
bình. Hoûi Hoàng Nhung coù bao nhieâu caùch choïn neáu trong 5 boâng aáy phaûi coù ít nhaát : 
a) 2 boâng traéng vaø 2 boâng nhung .
b) 1 boâng traéng vaø 1 boâng nhung .
Keát quaû: a)10800 b)15000
31) Luùc khai maïc 1 hoäi nghò coù 5 ñaïi bieåu. Caùc ñaïi bieåu ñeàu laàn löôït baét tay nhau. 
Hoûi coù taát caû bao nhieâu caùi baét tay?
Keát quaû: 10
32) Coù bao nhieâu caùch xeáp ñaët 3 ngöôøi ñaøn oâng, 2 ngöôøi ñaøn baø ngoái treân 1 gheá daøi 
sao cho nhöõng ngöôøi cuøng phaùi ngoài caïnh nhau?
Keát quaû: 24
33) Gieo 3 hoät xuùc xaéc vaøo trong 1 caùi cheùn, hoûi coù bao nhieâu keát quaû khaùc nhau caû 
thaûy ? Keát quaû: 63=216
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 8 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
34) Coù 5 con ñöôøng noái 2 thaønh phoá X vaø Y, coù 4 con ñöôøng noái 2 thaønh phoá Y vaø Z. 
Muoán ñi töø X ñeán Z phaûi qua Y .
a) Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñöôøng ñi töø X ñeán Z?
b) Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñöôøng ñi vaø veà töø X ñeán Z roài veà laïi X baèng 
nhöõng con ñöôøng khaùc nhau?
Keát quaû: a) 20 b) (5X4)X(3X4)=240
35) Coù bao nhieâu ñöôøng cheùo trong hình thaäp giaùc loài?
Keát quaû: 35
36) Veõ 5 ñöôøng thaúng song song treân moät tôø giaáy. Sau ñoù veõ tieáp 6 ñöôøng thaúng song 
song khaùc caét caû 5 ñöôøng thaúng veõ luùc ñaàu. Coù bao nhieâu hình bình haønh taïo ñöôïc?
Keát quaû: 150C.C 26
2
5 =
37) Cho taäp P goàm 10 ñieåm phaân bieät trong maët phaúng :
a) Coù bao nhieâu tam giaùc coù 3 ñænh laáy trong P neáu khoâng coù 3 ñieåm naøo laáy 
trong P thaúng haøng? 
Keát quaû: 310C 120=
b) Cuõng caâu hoûi nhö caâu a) neáu trong P coù ñuùng 4 ñieåm thaúng haøng.
Keát quaû: 3 310 4C C 116− =
38) Moät nhoùm goàm 10 hoïc sinh ( 7 nam vaø 3 nöõ ) . Coù bao nhieâu caùch xeáp 10 hoïc 
sinh treân thaønh moät haøng doïc sao cho 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau 
Keát quaû: 4!.7!=120960
39) Moät ñoàn caûnh saùt khu vöïc coù 9 ngöôøi. Trong ngaøy caàn cöû 3 ngöôøi laøm nhieäm vuï 
ôû ñòa ñieåm A; 2 ngöôøi ôû ñòa ñieåm B vaø 4 ngöôøi tröïc nhaät taïi ñoàn . Coù bao nhieâu caùch 
phaân coâng? Keát quaû: 3 29 6C .C .1 1260=
40) Coù 10 caâu hoûi ( 4 caâu lyù thuyeát vaø 6 caâu baøi taäp ) . Moät ñeà thi goàm coù 3 caâu coù 
caû lyù thuyeát vaø baøi taäp. Coù bao nhieâu caùch taïo ñeà thi? Keát quaû: 96(coù 2 t.h)
41) Lôùp hoïc coù 40 hoïc sinh ( 25 nam vaø 15 nöõ) . Caàn choïn moät nhoùm goàm 3 hoïc sinh 
. Hoûi coù bao nhieâu caùch :
a) Choïn 3 hoïc sinh baát kyø . Keát quaû: 340C =9880
b) Choïn 3 hoïc sinh goàm 1 nam vaø hai nöõ . Keát quaû: 2625
c) Choïn 3 hoïc sinh trong ñoù coù ít nhaát 1 nam. Keát quaû: 9425
42) Coù 5 tem thö khaùc nhau vaø 6 bì thö khaùc nhau. Choïn töø ñoù ra 3 tem thö, 3 bì thö 
vaø daùn 3 tem thö aáy leân 3 bì thö ñaõ choïn, moãi bì thö chæ daùn 1 tem thö. Hoûi coù bao 
nhieâu caùch laøm nhö vaäy. Keát quaû: 3 3 3 36 5 6 5C .C .3! C .A=
 =1200
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 9 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
43) Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 5 chöõ soá 
khaùc nhau, trong ñoù phaûi coù maët ñoàng thôøi 2 chöõ soá 1 vaø 2?Keát quaû:720−240=480 soá.
44) Tìm n sao cho:
 a) .48. 12 =−nnn CA 
 b) 23
24
CA
A
4n
n
3
1n
4
n
=
−
−
+
. 
 c) n
6
n
5
n
4 C
1
C
1
C
1
=− .
 d) 210AP
P
4n
1n3
2n
=
−
−
+ . 
 e) 6
1
P
PP
1n
1nn
=
−
+
− .
Keát quaû: a) n = 4, b)n = 5, c)n = 2, d)n = 5, e) n = 2 V n = 3
45) Giaûi caùc phöông trình:
a) 8x.Px.P 322 =− .
b) Nx,A50A2 2x22x ∈=+
c) x
2
7CCC 3x
2
x
1
x =++ . 
Keát quaû: a)x = −1 V x = 4, b) x = 5, c)x = 4
46) Giaûi caùc phöông trình:
a) 2 2x2 1x3 1x A3
2CC
−−−
=−
b) 1
4x
2
1x
1
x C6
7
C
1
C
1
++
=−
Keát quaû: a) x=9, b) x = 3 V x = 8
47) Giaûi phöông trình 2nn3n CA −+ =14n. Keát quaû:n=5.
48) Giaûi phöông trình 4n3n C2A − = 3 2nA Keát quaû: n=6 V n=11
49) Giaûi heä phöông trình: 

=
=
12A
6C
y
x
y
x
Keát quaû:x=4 vaø y=2
50) Tìm n bieát: 8CA 1n2n <−
Keát quaû: n = 2 V n = 3
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 10 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
51) Giaûi heä phöông trình:
 

=
=
−
−−
1y
x
y
x
1y
x
2y
x
CC
C3C5
Keát quaû: x = 7 vaø y = 4
52) Tính heä soá cuûa soá haïng chöùa 3x trong khai trieån cuûa: 
743 )1x()1x3()1x2()x(P +++−+= .
Keát quaû:−65
53) Khai trieån cuûa 
n
x
1x 


− coù toång caùc heä soá cuûa 3 soá haïng ñaàu laø 28. Tìm soá haïng 
thöù 5 cuûa khai trieån ñoù.
Keát quaû:126x
54) Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån cuûa:
10
x
1x2 


− .
Keát quaû: −8064
55) Khai trieån: (x+2)4 Keát quaû: x4+8x3+24x2+32x+16
56) Tìm heä soá a5b3 trong khai trieån (a + b)8. Keát quaû:56.
57) Tìm hai soá haïng chính giöõa trong khai trieån:(x3 – xy)15. 
Keát quaû: T8= − 6435.x31 y7 ; T9= 6435 x29 y8
58) Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån:
12
x
1x 



+ Keát quaû:T9=495
59) Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 trong khai trieån:
).3n(7CC : bieátx
x
1 n
3n
1n
4n
n
5
3
+=−


+ +
+
+ Keát quaû: n = 12 vaø a9=495
60) Ña thöùc P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 +  + (1+x) 14 coù daïng khai trieån laø 
P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 +  + a14x14 . Tính heä soá a9. Keát quaû:3003
61) Xeùt khai trieån cuûa: .)xyx( 153 + Tính heä soá cuûa haïng töû chöùa .yx 1221 Keát quaû: 455
62) Tìm n bieát trong khai trieån ( x +
2
1
 ) n thaønh ña thöùc ñoái vôùi bieán x, heä soá cuûa 
x6 baèng boán laàn heä soá cuûa x4 Keát quaû: n=10
63) Tìm soá haïng khoâng chöùa aån x trong khai trieån nhò thöùc 12
1( )x
x
+ 
Keát quaû: 495
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 11 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät 
64) Tìm soá haïng khoâng chöùa aån x trong khai trieån : (x2+ x3
1
)10 
Keát quaû: k=4 ⇒C410 = 210
65) Tìm heä soá cuûa x101y99 trong khai trieån (2x−3y)200 
Keát quaû: 99101
99
200
3.2.C
66) Chöùng minh raèng:
 a) C0n2 +C2n2 +..+C n2n2 = C1 n2 +C3n2 ++C 1n2n2 − 
Höôùng daãn: Khai trieån (a+b)2n vôùi a = 1 , b = −1 
 b) C1n +2C2n +3C3n ++nCnn = n2n−1.
Höôùng daãn: Laáy ñaïo