Chuyên đề Đại số Lớp 9 luyện thi vào Lớp 10 THPT

Chuyên đề I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIET
Bài 1: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x + 2m – 5 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 
c) Với giá trị nào của m thì A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(m +1)x + m2 + 3m +2 = 0 (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x12 + x22 = 12.
Bài 3: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài 4: Cho phương trình x2 – mx – 1 = 0 
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tính 
Bài 5: Cho phương trình x2 + 2(m -2)x – m2 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 0
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1< x2). Tìm m sao cho .
Bài 6: Cho phương trình x2 – (3m +1)x + 2m2 + m – 1 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = -1.
b) Giả sử x12, x22 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. 
Tìm m để B = x12 + x22 - 3 x1 x2 đạt max
Bài 7: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x – m - 4 = 0 (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và biểu thức M = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m.
Bài 8: Cho phương trình bậc hai x2 - (2m + 1)x + m2 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 1. 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Bài 9: Tìm m để phương trình x2 - 2x - m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
thỏa mãn x12 + x22 = 20
Bài 10: Cho phương trình x2 + 2mx - 2m - 6 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1.
 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm sao cho x12 + x22 nhỏ nhất
Bài 11: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x – 2m4 +m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 1. 
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài 12: Tìm m để phương trình x2 + 2(m + 1)x + 2m2 + 2m + 1 = 0 vô nghiệm
Bài 13: Cho phương trình x2 - 2x + m + 3 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x13 + x13 = 8.
Bài 14: Cho phương trình x2 - 4x + 4m + 3 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
 b) Tìm m để biểu thức x12 + x22 đạt giá trị là 9
Bài 15: Cho phương trình x2 - 4mx + 4m2 - m + 2 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 
Bài 16: Cho phương trình x2 + 3x - m = 0. 
a) Giải phương trình khi m = 4 . 
b) Tìm m để một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia
c) Tìm m để phương trình thỏa 2x1 + 3x2 = 13, nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 3 đơn vị. 
d) Hai nghiệm cùng dấu
Bài 17: Cho phương trình x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0. 
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện .
Bài 18: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 2(m - 1)x - 4 = 0. Tìm m để .
Bài 19: Cho phương trình x2 - (m + 2)x + m2 - 4 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Bài 20: Cho phương trình x2 - 2x - 2m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa (1 + x12)(1+ x22) = 5
Bài 21: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 - 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa 
x12 + x22 = x1x2 + 8
Bài 22: Cho phương trình x2 - 3x + m = 0. 
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 
Bài 23: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) +2m = 0
a) Giải phương trình khi m = 1. 
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x1, x2 là độ dài của hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 
Bài 24: Tìm m để phương trình x2 - 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa điều kiện 
Bài 25: Cho phương trình x2 - 2x - 2m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện 
Bài 26: Tìm m để phương trình x2 - 2(2m + 1)x + m2 - 3 = 0 có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Bài 27: Cho phương trình x2 - 5x + m -3 = 0.
a) Giải phương trình khi m = - 1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x12 - 2 x1x2 + 3x2 = 1
Bài 28: Cho phương trình 3x2 - 2(k + 1)x + k = 0
a) Giải phương trình khi k = 1
b) Tìm giá trị của k để phương trình có hai nghiệm thỏa điều kiện x12 + x22 = 
Bài 29: Cho phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 +m - 6 = 0
a) Tìm các nghiệm của phương trình theo m
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đều âm
Bài 30: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - (2m - 3)x + 1 - m = 0. Tìm các giá trị của m để x12 + x22 + 3x1x2(x1 + x2) đạt giá trị lớn nhất
Bài 31: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm GTNN của y = x12 + x22
Bài 32: Cho phương trình 4x2 + 2(3 - 2m)x + m2 - 3m + 2 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
b) Tìm m để tích hai nghiệm của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 33: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x12 + x22 = 13
Bài 34: Cho phương trình mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x12 + x22 = 2003
Bài 35: Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
a) Giải phương trình khi m = 0
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
d) Xác định giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
Bài 36: Cho phương trình x2 - (m - 2)x - m2 + 3m - 4 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để tỉ số hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2
Bài 37: Cho phương trình x2 - 2mx + m2 - = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm và các nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau
b) Tìm m để phương trình có nghiệm và các nghiệm là độ dài của hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 3
Bài 38: Cho phương trình 3x2 - 6(m + 1)x + 9 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa 
Bài 39 Cho phương trình 
a) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b) Tìm m để x12 + x22 - 5x1x2 = 14m2 - 30m + 4
Bài 40 Tìm m để phương trình x2 - (m - 1)x - m = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1
Bài 41: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0
a) Giải phương trình khi m = - 3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa (x1 - x2)2 = 4
Bài 42: Cho phương trình x2 - 2mx - m2 - 1 = 0
a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 của phương trình độc lập với m
c) Tìm m để 
Bài 43: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x12 + x22 với x1, x2 là các nghiệm của phương trình trên
Bài 44: Tìm m để phương trình 2x - 2m + m2 - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 45: Tìm m để phương trình bậc hai 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 3x1 - 4x2 = 11
Bài 46: Cho phương trình x2 - (2k + 1)x + k2 + 2 = 0
a) Tìm k để phương trình có nghiệm này bằng nửa nghiệm kia
b) Tìm k để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm nhỏ nhất
Bài 47 Cho phương trình x2 - (m + 2)x + 2m = 0
a) Giải phương trình khi m = - 1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa (x1 + x2 )2 - x1x2 
Bài 48: Tìm m để phương trình 2x2 - 4x + 5(m-1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
Bài 49: Tìm giá trị của m dương để phương trình x3 - (m + 1)x2 + (m + 2)x - 2 = 0 có ba nghiệm phân biệt thỏa 
Bài 50: Cho phương trình bậc hai x2 - 2mx + m - 2 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn
(1 + x1)(2 - x2) + (1 + x2)(2 - x1) = x12 + x22 + 2
Bài 51 Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt
x4 - 2(m + 3)x2 + 2m + 5 = 0
Bài 52: Cho phương trình x4 - 13x2 + m = 0 Tìm m để phương trình có:
a) 4 nghiệm phân biệt
b) 3 nghiệm phân biệt
c) 2 nghiệm phân biệt
d) 1 nghiệm
e) Vô nghiệm
Bài 53: Cho phương trình x4 – 2(m+1)x2 + 2m + 1 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1; 
b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 54: Cho phương trình x3 – m(x + 2) + 8 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 2; 
b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3.
c) Tìm m để x12 + x22 + x32 + x1x2x3 = 25.
Bài 55: Cho phương trình x4 – (m+2)x2 + m + 1 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 2; 
b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
ChuyênđềII:GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường sau ba giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm sau một giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc của ô tô và xe đạp. Biết quãng đường dài 156 km.
Bài 2: Trong một phòng họp có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng một ghế(số ghế trong mỗi dãy vẫn bằng nhau) để đủ chỗ cho 400 đại biểu. Hỏi bình thường trong phòng có bao nhiêu dãy ghế.
Bài 3: Một công ti vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 15 tấn rau theo một hợp đồng. Nhưng khi làm việc công ti không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn nửa tấn. Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng công ti phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe. Hỏi trọng tải mỗi xe nhỏ là bao nhiêu tấn?
Bài 4: Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng 28 km hết một thời gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết vận tốc của dòng nước chảy trong sông là 3 km/h.
Bài 5: Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất định. Ba ngày đầu mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó mỗi ngày họ đều khai thác vượt mức 8 tấn. Do đó họ đã khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than.
Bài 6: Hai đội công nhân cùng làm một con đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất làm một mình hết nửa công việc rồi đội thứ hai tiếp tục làm một mình phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc
Bài 7: Hai xe khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc mỗi xe?
Bài 8: Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 3 tấn, nếu xếp vào mỗi toa 16 tấn thì còn có thể chở thêm 5 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toan và phải chở bao nhiêu tấn hàng?
Bài 9: Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh và có bao nhiêu ghế?
Bài 10: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định thì cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày.
Bài 11: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.
Bài 12: Năm nay nhờ áp dụng kĩ thuật mới trên cánh đồng trồng lúa của một xã nên trên cánh đồng thứ nhất tăng thêm 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng 20% . Tổng cộng cả hai cánh đồng thu được 630 tấn. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu tấn lúa, biết năm ngoái cả hai cánh đồng chỉ thu được 500 tấn.
DẠNG BÀI: GIẢI BÀI TOÁN
 BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 DẠNG TOÁN LÀM CHUNG, RIÊNG, VÒI NƯỚC:(Công việc đồng thời)
Bài 1( Toán làm chung riêng):
Hai người đồng thời đào chung một cái giếng có thể đào xong sau 2 ngày. Hỏi sau bao nhiêu ngày mỗi người đào riêng rẽ có thể xong cái giếng đó, biết để đào xong cái giếng đó một mình người thứ hai phải tốn 3 ngày nhiều hơn người thứ nhất đào một mình./.
HD giải
Gọi thời gian đào một mình xong cái giếng đó của người thứ nhất là x( x > 0, ngày)
thì người thứ hai đào một mình xong cái giếng đó hết x + 3(ngày)
Một ngày người thứ nhất đào được giếng, người thứ hai đào được , cả hai người đào được giếng. Theo bài ra ta có pt:
ó x2 – x – 6 = 0 => x1 = 3; x2 = - 2.
Vậy để đào một mình người thứ nhất cần 3 ngày, người thứ hai cần 6 ngày. 
Bài 2: 
Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai làm được công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm trong bao lâu thì xong công việc.
HD giải.
Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x( x> 16, giờ), một giờ người đó làm được công việc. trong một giờ cả hai người làm được công việc, người thứ hai làm được công việc. Người thứ nhất làm trong 3 giờ được công việc, người thứ hai trong 6 giờ làm được công việc. 
Theo bài ra ta có phương trình: ; x = 24 (giờ). Người thứ nhất làm một mình xong công việc hết 24 giờ, người thứ hai hết 48 giờ.
Bài 3: 
Nếu hai người cùng làm chung một công việc thì trong giờ xong công việc. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc.
HD giải.
Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x(x > , giờ), người thứ hai làm hết x + 2 (giờ). Trong một giờ người đó làm được công việc, người thứ hai làm được công việc, cả hai người trong một giờ làm được công việc. Theo bài ra ta có phương trình: , => x1 =4(TM), x2 = 
Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất làm hết 4 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ.
Bài toán 4: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1h30 phút bể sẽ đầy. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 20 phút rồi khóa lại và mở tiếp vòi thứ hai trong 15 phút thì sẽ đầy một phần năm bể. Hỏi nếu chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
* Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(x>, giờ), trong một giờ vòi I chảy được bể, vòi hai chảy được phần bể. Sau 20 phút vòi I chảy được , vòi II chảy trong 15 phút đầy bể. Theo bài ra ta có phương trình:
Giải ra ta được x = (h)
Kết luận: 
Bài toán 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu từng vòi chảy riêng thì vòi I chảy trong 3 giờ, bằng lượng nước vòi II chảy trong 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu?
* Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể một mình là x, một giờ chảy được phần bể, vòi II chảy được phần bể.
Theo bài ra ta có phương trình:
Giải phương trình được x = 
Kết luận:...
* Bài toán 6: Nếu mở cả hai vòi chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể?
* Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x (giờ, x > 0), thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể là x + 2(giờ)
2 giờ 55 phút = giờ. Trong một giờ cả hai vòi chảy được (bể).
Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được (bể). vòi hai chảy được (bể)
Ta có phương trình 
Hay 6x2 - 23x - 35 = 0, giải ra ta được x = 5
x = (loại)
Trả lời: Vòi thứ nhất chảy một mình trong 5 giờ thì đầy bể, còn vòi thứ hai chảy trong 7 giờ thì đầy bể.
Bài toán 7: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2h 55’ thì đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
HD giải
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(x>2h55’, giờ), vòi hai chảy một mình hết x + 2 giờ, trong một giờ vòi thứ nhất chảy được bể, vòi thứ hai chảy được bể.
Theo bài ra ta có phương trình: ó 12x2 – 46x – 70 = 0 => x = 5(tm)
Vậy chảy một mình vòi thứ nhất chảy hết 5 giờ, vòi thứ hai chảy hết 7 giờ.
Bài toán 8: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu để vòi một chảy trong 20 phút, khóa lại rồi mở tiếp vòi hai trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được bể Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
HD giải
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x(x>3, giờ) trong một giờ vòi một chảy được bể, cả hai vòi chảy được bể, vòi hai chảy được ( bể). Trong 20 phút vòi một chảy được phần bể, trong 30 phút vòi hai chảy được bể. Theo bài ra ta có phương trình:
 + = giải ra x = 4. Vậy chảy một mình vòi một chảy trong 4 giờ thì đầy bể, vòi hai chảy trong 12 giờ thì đầy bể.
Bài toán 9:
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 24 giờ. Nếu đội thứ nhất làm trong 10 giờ, đội thứ hai làm trong 15 giờ thì cả hai đội làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc.
HD giải
Gọi thời gian đội một hoàn thành công việc một mình là x(x >24, giờ), thì trong một giờ đội một làm được công việc, cả hai đội làm được công việc, và đội hai làm được công việc. Trong 10 giờ đội một làm được 10. công việc, trong 15 giờ đội hai làm được 
15.( ) công việc, cả hai đội làm được Công việc, nên theo bài ra ta có phương trình:
10. + 15.( ) = . Giải ra ta được x = 40 (tmđk), vậy để làm một mình đội một hoàn thành công việc trong 40 giờ, đội hai hoàn thành công việc trong 60 giờ.
 Bài toán 10: Để làm xong một công việc, nếu A và B cùng làm thì mất 6 giờ, nếu B và C cùng làm thì mất 4,5 giờ, nếu A và C cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút. Hỏi nếu cả ba cùng làm thì mất bao lâu thì mới làm xong công việc đó.
HD giải
Gọi thời gian để A, B, C làm một mình xong công việc lần lượt là x, y, z(x, y, z > 0, giờ).
Ta có hệ phương trình: ó 
Trong một giờ cả ba người làm được công việc. Vậy thời gian để ba người cùng làm xong công việc là 3 giờ.
Bài số 11: 	Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ thì xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì trong bao lâu thì xong công việc( Giả thiết năng suất lao động của hai người bằng nhau).
* ta có hpt: 
Bài 12: Hai tổ cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ (I) đc điều đi làm việc khác , tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì trong bao lâu xong việc.
* ta có hpt: 
Bài 13: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn không có nước. Nếu vòi 1 chảy trong 3h rồi dừng lại, sau đó vòi 2 chảy tiếp trong 8h nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi 1 chảy vào bồn không có nước trong 1h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4h nữa thì số nước chảy vào bằng 8/9 bồn. Hỏi nếu chảy 1 mình thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn?
* ta có hpt: 
Bài 14: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể .
* ta có hpt: 
Bài toán 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I hoàn thành công việc ít hơn thời gian để đội II hoàn thành công việc đó là 4 giờ. Tổng hai thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải mất bao lâu mới xong.
HD giải
Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là x(x>0, giờ), đội II hoàn thành công việc là x + 4(giờ). Trong một giờ hai đội làm chung được công việc (hay ). Thời gian để hai đội làm chung xong công việc là (giờ). Ta có phương trình:
2x + 4 = hay x2 + 4x – 32 = 0;
 giải phương trình được x1 =