Chuyên đề Đại số 9: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai - Nguyễn Quốc Dũng

GV. Nguyễn Quốc Dũng Đại số 9 
 Trang 1 
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 
 Để rỳt gọn biểu thức cú chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thớch hợp cỏc phộp biến 
đổi đơn giản như. đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và 
trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện cỏc căn thức bậc hai cú cựng một biểu thức dưới dấu căn. 
Bài 1. 
 Cho A= 1 1 14 .
1 1
a a
a a
a a a
    
          
 với x>0 ,x 1 
a) Rỳt gọn A HD. a) A= 4a(a+1)/(a-1) 
Bài 2. Cho A = 2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
 
 
   
 với x 0 , x 1. 
a . Rỳt gọn A. HD. a)A =
1
x
x x 
Bài 3. 
Cho A= 7 1 2 2 2:
4 42 2 2
x x x x x
x xx x x
      
              
 với x > 0 , x 4. 
a)Rỳt gọn A. b)So sỏnh A với 
1
A
HD. a) A = 9
6
x
x
 
 
 
2
91 1
)Xét hiệu: A - ... 0 A 
A A6 9
x
b
x x

    

Bài 4. 
Cho A= 3 9 3 21 :
9 6 2 3
x x x x x
x x x x x
      
               
a)Tỡm x để biểu thức A xỏc định. b)Rỳt gọn A. 
a) x 0 , x 9, x 4 b)A= 
3
2x 
Bài 5. Cho A = 15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
  
 
   
 với x 0 , x 1. 
a)Rỳt gọn A. HD. a)A = 2 5
3
x
x


Bài 6. Cho A =  
2
:
  
    
x y xyx x y yx y
y xx y x y
 với x 0 , y 0, x y 
a)Rỳt gọn A. b)CMR . A  0 
HD. ) 
 
xy
a A
x xy y
2
) 0
3
2 4
 Với x,y 0   
   
   
 
xy xy
b A
x xy y y y
x
Bài 7. Cho A = 1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
     
             
 Với x > 0 , x 1. 
a) Rỳt gọn A. HD.a) A =  2 1x x
x
  
Bài 8. Cho A = 4 3 2
:
2 2 2
    
            
x x x
x x x x x
 với x > 0 , x 4. 
a)Rỳt gọn A HD.a)A = 1 x ) 
Bài 9. Cho A= 1 1 1 1 1:
1 1 1 1 2x x x x x
   
     
      
 với x > 0 , x 1. 
Đại số 9 – Chương 1 GV:Nguyễn Quốc Dũng 
 Trang 2 
a)Rỳt gọn A HD. A = 
3
2 x
Bài 10. Cho A= 2 1 1 4: 1
1 1 1
    
    
      
x x
x x x x x
 với x 0 , x 1. 
a)Rỳt gọn A. HD.a)A = 
3
x
x 
Bài 11. Cho A= 1 2 2 1 2:
11 1 1
x
xx x x x x x
   
            
 với x 0 , x 1 
a)Rỳt gọn A. HD.a)A = 1
1
x
x


Bài 12. Cho A = 2 3 3 2 2: 1
93 3 3
x x x x
xx x x
    
             
 với x 0 , x 9 
a)Rỳt gọn A. HD. a)A =
3
3a


Bài 13. Cho A = 1 1 8 3 1:
1 11 1 1
x x x x x
x xx x x
      
              
 với x 0 , x 1. 
a)Rỳt gọn A HD. a)A = 
4
4
x
x 
Bài 14. Cho A = 1 1 1:
1 2 1
x
x x x x x
 
 
    
 với x > 0 , x 1. 
a)Rỳt gọn A HD.a)A = 1x
x
 
Bài 15. Cho A = 1 1 8 3 2: 1
9 13 1 3 1 3 1
x x x
xx x x
    
             
 Với 
1
0,
9
x x  
a)Rỳt gọn A. HD. a)A =
3 1
x x
x


Bài 16. Cho A = 
22 2 2 1
.
1 22 1
x x x x
x x x
    
     
 với x 0 , x 1. 
a)Rỳt gọn A. HD.a) A = (1 )x x 
Bài 17. Cho A = 2 1 1:
21 1 1
x x x
x x x x x
  
       
 với x 0 , x 1. 
a)Rỳt gọn A. HD.a) A = 2
1x x 
Bài 18. Cho A = 1 3 2
1 1 1x x x x x
 
   
 với x 0 , x 1. 
a . Rỳt gọn A. HD. a) A =
1
x
x x 
Bài 19. Cho A = 5 25 3 51 :
25 2 15 5 3
x x x x x
x x x x x
      
               
 với x 0 , x 9; x 2 
a. Rỳt gọn A. b)Tỡm x sao cho A nguyờn 
HD.a)A = 5
3x 
 b) 5 5 3 5Vì A nguyên nên đặt A = 0 0 1 4
33

           

n
n Z x n n x
nx
Bài 20. Cho A = 2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
  
 
   
 với a  0 , a 9 , a 4. 
a. Rỳt gọn A. HD. a) A = 1
3
a
a


GV. Nguyễn Quốc Dũng Đại số 9 
 Trang 3 
BÀI TẬP ễN CHƯƠNG I 
Bài 1. Rỳt gọn cỏc biểu thức sau. 
 a) 20 45 3 18 72   b) ( 28 2 3 7) 7 84   c)  
2
6 5 120  
 d) 
1 1 3 4 1
2 200 :
2 2 2 5 8
 
  
 
 ĐS. a) 15 2 5 b) 21 c) 11 d) 54 2 
Bài 2. Rỳt gọn cỏc biểu thức sau. 
 a) 
1 1
5 3 5 3

 
 b) 
4 2 3
6 2


 c) 
1 2 2
2 3 6 3 3
 
 
 ĐS. a) 3 b) 
2
2
 c) 
3
1
3
 
Bài 3. Chứng minh cỏc đẳng thức sau. 
 a)    
2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 9     b) 2 3 2 3 6    
 c) 
   
2 2
4 4
8
2 5 2 5
 
 
 d) 11 6 2 11 6 2 6    
 ĐS. Biến đổi VT thành VP. 
Bài 4. So sỏnh (khụng dựng bảng số hay mỏy tớnh bỏ tỳi). 
 a) 2 3 và 10 b) 2003 2005 và 2 2004 c) 5 3 và 3 5 
 ĐS. a) 2 3 10  b) 2003 2005 2 2004  c) 5 3 3 5 
Bài 5. Cho biểu thức. 
x x x
A
x x x
2
2 1 3 11
3 3 9
 
  
  
 với x 3  . 
 a) Rỳt gọn biểu thức A. b) Tỡm x để A 2. c) Tỡm x nguyờn để A nguy n. 
 ĐS. a) 
x
A
x
3
3


 b) x x6 3; 3     c) x { 6; 0; 2; 4; 6; 12}  . 
Bài 6. Cho biểu thức. 
x x x x x
A
x x xx
2
2
1 1 4 1 2003
.
1 1 1
     
   
    
. 
 a) Tỡm điều kiện để biểu thức A cú nghĩa. b) Rỳt gọn A. 
 c) Tỡm x nguy n để A nhận giỏ trị nguy n. 
 ĐS. a) x x0; 1   b) 
x
A
x
2003
 c) x { 2003;2003}  . 
Bài 7. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức. 
 A
x x
1
1

 
 ĐS. A
4
max
3
 khi x
1
4
 . 
Bài 8. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức. 
 A x x x x2 21 6 9 9 12 4      
 ĐS. Sử dụng tớnh chất a b a b   , dấu "=" xảy ra  ab 0 . A khi x
1 2
min 1
3 3
   . 
Bài 9. Tỡm x nguy n để biểu thức sau nhận giỏ trị nguy n. 
Đại số 9 – Chương 1 GV:Nguyễn Quốc Dũng 
 Trang 4 
x
A
x
1
3



 ĐS. x {49;25;1;16;4} . Chỳ ý. A
x
4
1
3
 

. Để A  Z thỡ x Z và x 3 là ước của 4. 
Bài 10. Cho biểu thức. 
x x x
Q
xx x x
2 2 1
.
12 1
   
  
   
. 
 a) Rỳt gọn Q. b) Tỡm số nguy n x để Q cú giỏ trị nguy n. 
 ĐS. a) Q
x
2
1


 b) x {2;3} . 
Bài 11. Cho biểu thức 
a
M
a a a a a
1 1 1
:
1 2 1
  
  
    
 với a a0, 1  . 
 a) Rỳt gọn biểu thức M. b) So sỏnh giỏ trị của M với 1. 
 ĐS. a) 
a
M
a a
1 1
1

   b) M 1 . 
Bài 12. Cho biểu thức 
x x
P
x x x x x x
1 3 2 2
1 1 2 2 2
   
            
. 
 a) Tỡm điều kiện để cú nghĩa. b) Rỳt gọn biểu thức . 
 c) Tớnh giỏ trị của với x 3 2 2  . 
 ĐS. a) x x x1; 2; 3   b) 
x
P
x
2 
 c) P 2 1  . 
Bài 13. Cho biểu thức. 
x x x
B x
x x xx
3
3
2 1 1
.
1 11
       
        
 với x 0 v x 1 . 
 a) Rỳt gọn . b) Tỡm x để 3. 
 ĐS. a) B x 1  b) x 16 . 
Bài 14. Cho biểu thức. 
x y x x y y
A
x yx y x y x y xy
3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
     
     
      
 với x y0, 0  . 
 a) Rỳt gọn A. 
 b) i t xy 16 . Tỡm cỏc giỏ trị của x, y để A cú giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị đú. 
 ĐS. a) 
x y
xy

 b) A x ymin 1 4    . 
Bài 15. Cho biểu thức. 
x
P
x x x
1
1
 
 
. 
 a) Rỳt gọn . b) Tớnh giỏ trị của biểu thức khi x
1
2
 . 
 ĐS. a) 
x
P
x
1
1



 b) P 3 2 2   
Bài 16. Cho biểu thức. 
x x x
A
xx x
1 2 2 5
42 2
 
  
 
. 
GV. Nguyễn Quốc Dũng Đại số 9 
 Trang 5 
 a) Tỡm x để biểu thức A cú nghĩa. b) Rỳt gọn biểu thức A. c) Tỡm x để A 2 . 
 ĐS. a) x x0, 4  b) 
x
A
x
3
2


 c) x 16 
Bài 17. Cho biểu thức. 
x x x
A
x x x
2
2 2 (1 )
.
1 22 1
   
      
. 
 a) Rỳt gọn A n u x x0, 1  . b) Tỡm x để A dương 
 ĐS. a) A x x  b) x0 1  
Bài 18. Cho biểu thức. 
x x x
A
x x x x
2 9 3 2 1
5 6 2 3
  
  
   
. 
 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm x để A 1 . 
 ĐS. a) 
x
A
x
1
3



 b) x x0 9; 4   . 
Bài 19. Cho biểu thức. 
a a a a a a
A a
a a a a a a a
1 1 1 1 1
1 1
     
      
       
. 
 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm a để A 7 c) Tỡm a để A 6 . 
 ĐS. a) 
a a
A
a
2 2 2 
 b) a a
1
4;
4
  c) a a0, 1  . 
Bài 20. Cho biểu thức. 
x x x
A
x x x x
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
  
  
   
. 
 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm x để A
1
2
 . 
 ĐS. a) 
x
A
x
2 5
3



 b) x
1
121
 . 
Bài 21. Cho biểu thức. 
x x x x
A
x x x x x
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
     
      
          
. 
 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm x để A 0 . 
 ĐS. a) 
x
A
x
2
1



 b) x0 4  . 
Bài 22. Cho biểu thức. 
a a a a
A
a a a
2
2
1
1
 
  
 
. 
 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm a để A 2 . 
 ĐS. a) A a a  b) a 4 
Bài 23. Cho biểu thức. 
a a a
A
a a a
2
1 1 1
2 2 1 1
    
     
       
. 
 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm a để A 0 . c) Tỡm a để A 2  . 
 ĐS. a) 
a
A
a
1
 b) a 1 c) a 3 2 2  . 
Bài 24. Cho biểu thức. 
a a a a a a a a
A
a a a a
2 1 2
1 .
1 1 2 1
     
   
    
. 
Đại số 9 – Chương 1 GV:Nguyễn Quốc Dũng 
 Trang 6 
 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm a để A
6
1 6


. c) Chứng minh rằng A
2
3
 . 
 ĐS. a) 
1
1
a
a a

 
Bài 25. Cho biểu thức. 
x x x x x
A
x x x x x
5 25 3 5
1 :
25 2 15 5 3
      
      
          
. 
 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm x để A 1 . 
 ĐS. a) A
x
5
3


 b) x x x4; 9; 25   . 
Bài 26. Cho biểu thức. 
a a
A
a a a a
1 1 1 2
:
1 2 1
    
           
. 
 a) Rỳt gọn A. b) Tỡm a để A
1
6
 . 
 ĐS. a) 
a
A
a
2
3

 b) a 16 . 
Bài 27. Cho biểu thức. 
x x x
A
x x x xx
2
1 1 2 1
:
1 1 1 11
    
      
      
. 
 a) Rỳt gọn A. b) Tớnh giỏ trị của A khi x 3 8  . c) Tỡm x để A 5 . 
 ĐS. a) 
21
4
x
x

 b) x 2  c) x x
1
; 5
5
   . 
Bài 28. Cho biểu thức. 
y xy x y x y
B x
x y xy y xy x xy
:
    
      
        
. 
 a) Rỳt gọn . b) Tớnh giỏ trị của khi x y3, 4 2 3   . 
 ĐS. a) B y x  b) B 1 . 
 Bài 29. Cho biểu thức. 
x x x
B
xy y x x xy y x
3
2 1
.
2 2 2 1

 
    
. 
 a) Rỳt gọn . b) Tỡm tất cả cỏc số nguy n dương x để y 625 và B 0,2 . 
 ĐS. a) 
x
B
y
 b)  x 2;3;4 .