Chuyên đề Đại số 8 nâng cao: Phân tích đa thức thành nhân tử

Chuyªn ®Ò: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
I- Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c:
C¸c bµi to¸n
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
(§a thøc ®· cho cã nhiÖm nguyªn hoÆc nghiÖm h÷u tØ)
II- Ph­¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö
1) D¹ng 1: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu cña hai b×nh ph­¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B)
C¸c bµi to¸n
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®© thøc sau thµnh nh©n tö:
2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung
C¸c bµi to¸n
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®© thøc sau thµnh nh©n tö:
III- Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn
C¸c bµi to¸n
Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®© thøc sau thµnh nh©n tö
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®© thøc sau thµnh nh©n tö
IV- Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng
Ph­¬ng ph¸p: Tr­íc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i.
VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
Gi¶i
a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = 
Nh­ vËy P chøa thõa sè x – y
Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P kh«ng ®æi(ta nãi ®a thøc P cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh bëi c¸c biÕn x, y, z). Do ®ã nÕu P ®· chóa thïa sè x – y th× còng chóa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng
P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) còng cã bËc ba ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn x, y, z. V× ®¼ng thøc
®óng víi mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = 0
ta ®­îc k = -1
Vậy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)
C¸c bµi to¸n
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
, với 2m = a+ b + c.
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
V-Ph­ong ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh
C¸c bµi to¸n
Bài 1: Phân tích các đa thức thành nhân tử
Chuyên đề 2: X¸c ®Þnh ®a thøc
* Định lí Beout (BêZu) và ứng dụng:
1) Định lí BêZu: 
 Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị của f(x) tại x = a): 
(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.
Áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện như sau:
 Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của f(x) không.
 Bước 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: 
Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a.
 Bước 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích được. Sau đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí.
Dạng 1: Tìm đa thức thương bằng phương pháp đồng nhất hệ số(phương pháp hệ số bất định), phương pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức.
*Phương pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau.
Ví dụ: ; .
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:
 a = 1(hệ số của lũy thừa 2)
 2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)
 - 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)
*Phương pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)
Gọi thương và dư trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lượt là M(x) và N(x)
Khi đó ta có: (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : 
( là hằng số). Sau đó ta đi giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm các hệ số của các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thương, đa thức chia, đa thức bị chia, số dư).
Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)
Gọi thương của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có: 
.
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược: 
Với a = -2 thì 
Với a = 3 thì 
*Phương pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (như SGK)
Bµi tËp ¸p dông
Bài 1: Cho đa thức . X¸c định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1.
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã d¹ng: 
Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : chia hÕt cho ®a thøc: . H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau.
Bµi 4: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ k ®Ó ®a thøc: chia hÕt cho ®a thøc: .
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức: chia hết cho nhị thức: .
Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: chia hết cho đa thức: .
Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: 
Chia hết cho .
 b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: chia hết cho đa thức .
 c) Xác định a, b để chia hết cho .
Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức:
(Để học tốt Đại số 8)
Bài 9: Xác định hằng số a sao cho:
a) chia hết cho .
b) chia cho dư 4.
c) chia hết cho .
Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho:
a) chia hết cho .
b) chia hết cho .
c) chia hết cho .
d) chia hết cho .
Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho chia cho thì dư 7, chia cho thì dư -5.
Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho chia hết cho , chia cho thì dư .
(Một số vấn đề phát triển Đại số 8)
Bài 13: Cho đa thức: và . Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức chia hết cho đa thức 
Bài 15: Cho các đa thức và . Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x).
(23 chuyên đề toán sơ cấp)
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp:
 Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
 Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số .
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: .
Giải
Đặt (1)
Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: 
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
.
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: 
Hướng dẫn: Đặt (1)
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18.
Hướng dẫn: Đặt (1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: 
 a) Xác định P(x).
 b) Suy ra giá trị của tổng .
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :
Đặt (2)
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
(Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)
Bài 5: cho đa thức . Cho biết 
 1) Tính a, b, c theo .
 2) Chứng minh rằng: không thể cùng âm hoặc cùng dương.
Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết: