Chuyên đề Đại số 10: Hàm số bậc nhất & Bậc hai

 20 
Chuyên đề Đại số 10: 
Hàm số bậc nhất & Bậc hai 
Contents 
A. Hàm số ................................................................................................................. 20 
1) Định nghĩa .................................................................................................. 20 
2) Cách cho hàm số ........................................................................................ 20 
3) Đồ thị của hàm số ....................................................................................... 21 
4) Sự biến thiên của hàm số .......................................................................... 21 
5) Tính chẵn lẻ của hàm số ............................................................................ 21 
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số .................................................................. 21 
Dạng 2: Xét sự biến thiên của hàm số ................................................................... 23 
Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số ..................................................................... 23 
B. Hàm số bậc nhất ................................................................................................. 24 
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0) ......................................................... 24 
2. Hàm số y ax b  (a  0) ........................................................................... 24 
C. Hàm số bậc hai .................................................................................................... 26 
D. BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II ................................................................................ 28 
A. Hàm số 
1) Định nghĩa 
 Cho D  R, D  . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số 
x  D với một và chỉ một số y  R. 
 x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = 
f(x). 
 D được gọi là tập xác định của hàm số. 
 T =  y f x x D( )  được gọi là tập giá trị của hàm số. 
2) Cách cho hàm số 
 Cho bằng bảng 
 21 
 Cho bằng biểu đồ 
 Cho bằng cơng thức y = f(x). 
 Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức 
f(x) cĩ nghĩa. 
3) Đồ thị của hàm số 
 Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm 
 M x f x; ( ) trên mặt phẳng toạ độ với mọi x  D. 
 Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường. Khi đĩ ta nĩi y = f(x) 
là phương trình của đường đĩ. 
4) Sự biến thiên của hàm số 
 Cho hàm số f xác định trên K. 
 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu 
x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )     
 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu 
x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )     
5) Tính chẵn lẻ của hàm số 
 Cho hàm số y = f(x) cĩ tập xác định D. 
 Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x). 
 Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x). 
 Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. 
 + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. 
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số 
 Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x 
sao cho biểu thức f(x) cĩ nghĩa: D =  x R f x có nghĩa( ) . 
 Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp: 
 Hàm số y = 
P x
Q x
( )
( )
: Điều kiện xác định: Q(x)  0. 
 Hàm số y = R x( ) : Điều kiện xác định: R(x)  0. 
 Chú ý: + Đơi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau. 
 + Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A  D. 
 22 
 + A.B  0  
A
B
0
0
 


. 
Bài 1. Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: 
 a) f x x( ) 5  . Tính f(0), f(2), f(–2), f(3). 
 b) 
x
f x
x x
2
1
( )
2 3 1


 
. Tính f(2), f(0), f(3), f(–2). 
 c) f x x x( ) 2 1 3 2    . Tính f(2), f(–2), f(0), f(1). 
 d) 
khi x
x
f x x khi x
x khi x
2
2
0
1
( ) 1 0 2
1 2

 

   
  
. Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3). 
 e) 
khi x
f x khi x
khi x
1 0
( ) 0 0
1 0
 

 
 
. Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5). 
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
 a) 
x
y
x
2 1
3 2



 b) 
x
y
x
3
5 2



 c) y
x
4
4


 d) 
x
y
x x
2
3 2

 
 e) 
x
y
x x
2
1
2 5 2


 
 f) 
x
y
x x
2
3
1

 
 g) 
x
y
x
3
1
1



 h) 
x
y
x x x
2
2 1
( 2)( 4 3)


  
 i) y
x x
4 2
1
2 3

 
Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
 a) y x2 3  b) y x2 3  c) y x x4 1    
 d) y x
x
1
1
3
  

 e) y
x x
1
( 2) 1

 
 f) y x x3 2 2    
 g) 
x
y
x x
5 2
( 2) 1


 
 h) y x
x
1
2 1
3
  

 i) y x
x
2
1
3
4
  

Bài 4. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra: 
 a) 
x
y
x x a
2
2 1
6 2


  
; K = R. 
 b) 
x
y
x ax
2
3 1
2 4


 
; K = R. 
 23 
 c) y x a x a2 1     ; K = (0; +). 
 d) 
x a
y x a
x a
2 3 4
1

   
 
; K = (0; +). 
 e) 
x a
y
x a
2
1


 
; K = (–1; 0). 
 f) y x a
x a
1
2 6    

; K = (–1; 0). 
 e) y x a
x a
1
2 1   

; K = (1; +). 
Dạng 2: Xét sự biến thiên của hàm số 
 Cho hàm số f xác định trên K. 
  y = f(x) đồng biến trên K  x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )     
  
f x f x
x x K x x
x x
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
, : 0

    

  y = f(x) nghịch biến trên K  x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )     
  
f x f x
x x K x x
x x
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
, : 0

    

Bài 5. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra: 
 a) y x2 3  ; R. b) y x 5   ; R. 
 c) y x x2 4  ; (–; 2), (2; +). d) y x x22 4 1   ; (–; 1), (1; +). 
 e) y
x
4
1


; (–; –1), (–1; +). f) y
x
3
2


; (–; 2), (2; +). 
Bài 6. Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định 
(hoặc trên từng khoảng xác định): 
 a) y m x( 2) 5   b) y m x m( 1) 2    
 c) 
m
y
x 2


 d) 
m
y
x
1
 
Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số 
 Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau: 
  Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D cĩ là tập đối xứng hay khơng. 
 24 
  Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D). 
 + Nếu f(–x) = f(x), x  D thì f là hàm số chẵn. 
 + Nếu f(–x) = –f(x), x  D thì f là hàm số lẻ. 
 Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x  D thì –x  D. 
 + Nếu x  D mà f(–x)   f(x) thì f là hàm số khơng chẵn khơng lẻ. 
Bài 7. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: 
 a) y x x4 24 2   b) y x x32 3   c) y x x2 2    
 d) y x x2 1 2 1    e) y x 2( 1)  f) y x x2  
 g) 
x
y
x
2
4
4
 h) 
x x
y
x x
1 1
1 1
  

  
 i) y x x22  
B. Hàm số bậc nhất 
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0) 
  Tập xác định: D = R. 
  Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R. 
 + Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R. 
  Đồ thị là đường thẳng cĩ hệ số gĩc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b). 
 Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d): y = ax + b: 
 + (d) song song với (d)  a = a và b  b. 
 + (d) trùng với (d)  a = a và b = b. 
 + (d) cắt (d)  a  a. 
2. Hàm số y ax b  (a  0) 
b
ax b khi x
a
y ax b
b
ax b khi x
a
( )

  
   
   

 Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b  ta cĩ thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và 
 y = –ax – b, rồi xố đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hồnh. 
Bài 8. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
 a) y x2 7  b) y x3 5   c) 
x
y
3
2

 d) 
x
y
5
3

 
 25 
Bài 9. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau: 
 a) y x y x3 2; 2 3    b) y x y x3 2; 4( 3)     
 c) y x y x2 ; 3    d) 
x x
y y
3 5
;
2 3
 
  
Bài 10. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số y x k x2 ( 1)    : 
 a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(–2 ; 3) 
 c) Song song với đường thẳng y x2. 
Bài 11. Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b  : 
 a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8). 
 b) Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng d: y x
2
1
3
   . 
 c) Cắt đường thẳng d1: y x  2 5  tại điểm cĩ hồnh độ bằng –2 và cắt đường thẳng d2: 
y x–3 4  tại điểm cĩ tung độ bằng –2. 
 d) Song song với đường thẳng y x
1
2
 và đi qua giao điểm của hai đường thẳng 
y x
1
1
2
   và y x3 5  . 
Bài 12. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân biệt 
và đồng qui: 
 a) y x y x y mx2 ; 3; 5      
 b) y x y mx y x m–5( 1); 3; 3      
 c) y x y x y m x2 1; 8 ; (3 2 ) 2       
 d) y m x m y x y x(5 3 ) 2; 11; 3         
 e) y x y x y m x m25; 2 7; ( 2) 4         
Bài 13. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luơn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào: 
 a) y mx m2 1   b) y mx x3   
 c) y m x m(2 5) 3    d) y m x( 2)  
 e) y m x(2 3) 2   f) y m x m( 1) 2   
Bài 14. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến? 
 a) y m x m(2 3) 1    b) y m x m(2 5) 3    
 c) y mx x3   d) y m x( 2)  
 26 
Bài 15. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây: 
 a) y x3 6 1 0   b) y x0,5 4   c) 
x
y 3
2
  d) y x2 6  
 e) x y2 1  f) y x0,5 1  
Bài 16. Với giá trị nào của m thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau: 
 a) y m x m y x(3 1) 3; 2 1      b) 
m m m m
y x y x
m m m m
2( 2) 3 5 4
;
1 1 3 1 3 1
 
   
   
 c) y m x y m x m( 2); (2 3) 1      
Bài 17. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
 a) 
x khi x
y khi x
x khi x
1
1 1 2
1 2
  

   
  
 b) 
x khi x
y khi x
x khi x
2 2 1
0 1 2
2 2
   

   
  
 c) y x3 5  d) y x2 1   e) y x
1 5
2 3
2 2
    
 f) y x x2 1    g) y x x 1   h) y x x x1 1     
C. Hàm số bậc hai 
y ax bx c
2   (a  0) 
  Tập xác định: D = R 
  Sự biến thiên: 
  Đồ thị là một parabol cĩ đỉnh 
b
I
a a
;
2 4
 
  
 
, nhận đường thẳng 
b
x
a2
  làm trục đối 
xứng, hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuống dưới khi a < 0. 
 Chú ý: Để vẽ đường parabol ta cĩ thể thực hiện các bước như sau: 
 – Xác định toạ độ đỉnh 
b
I
a a
;
2 4
 
  
 
. 
 – Xác định trục đối xứng 
b
x
a2
  và hướng bề lõm của parabol. 
 – Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với 
 27 
các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng). 
 – Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. 
Bài 18. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
 a) y x x2 2  b) y x x2 2 3    c) y x x2 2 2    
 d) y x x2
1
2 2
2
    e) y x x2 4 4   f) y x x2 4 1    
Bài 19. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau: 
 a) y x y x x21; 2 1     b) y x y x x23; 4 1       
 c) y x y x x22 5; 4 4     d) y x x y x x2 22 1; 4 4      
 e) y x x y x x2 23 4 1; 3 2 1       f) y x x y x x2 22 1; 1       
Bài 20. Xác định parabol (P) biết: 
 a) (P): y ax bx2 2   đi qua điểm A(1; 0) và cĩ trục đối xứng x
3
2
 . 
 b) (P): y ax bx2 3   đi qua điểm A(–1; 9) và cĩ trục đối xứng x 2  . 
 c) (P): y ax bx c2   đi qua điểm A(0; 5) và cĩ đỉnh I(3; –4). 
 d) (P): y ax bx c2   đi qua điểm A(2; –3) và cĩ đỉnh I(1; –4). 
 e) (P): y ax bx c2   đi qua các điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0). 
 f) (P): y x bx c2   đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I cĩ tung độ bằng –1. 
Bài 21. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luơn cắt trục hồnh tại hai 
điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị luơn chạy trên một đường thẳng cố định: 
 a) 
m
y x mx
2
2
1
4
    b) y x mx m2 22 1    
Bài 22. Vẽ đồ thị của hàm số y x x2 5 6    . Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số 
m, số điểm chung của parabol y x x2 5 6    và đường thẳng y m . 
Bài 23. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
 a) y x x2 2 1   b)  y x x 2  c) y x x2 2 1   
 d) 
x nếu x
y
x x nếu x
2
2
2 1
2 2 3 1
  
 
  
 e) 
x nếu x
y
x x nếu x2
2 1 0
4 1 0
  
 
  
 f) 
x khi x
y
x x khi x
2
2 0
0
 
 
 
 28 
Hướng dẫn 
D. BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II 
Bài 24. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
 a) y x
x
4
2
4
  

 b) 
x x
y
x
1 1  
 c) 
x x
y
x x x
2
2
3
1


  
 d) 
x x
y
x
2
2 3
2 5
 

 
 e) 
x x
y
x
2 3 2
1
  


 f) 
x
y
x x
2 1
4



Bài 25. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 
 a) y x x2 4 1    trên (; 2) b) 
x
y
x
1
1



 trên (1; +) c) y
x
1
1


 d) y x3 2  e) y
x
1
2


 f) 
x
y
x
3
2



 trên (2; +∞) 
Bài 26. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: 
 a) 
x x
y
x
4 2
2
2
1
 


 b) y x x3 3    c) y x x + x2( 2 ) 
 d) 
x x
y
x x
1 1
1 1
  

  
 e) 
x x
y
x
3
2
1


 f) y x 2  
Bài 27. Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập đối xứng D. Chứng minh rằng: 
 a) Hàm số  F x f x f x1( ) ( ) ( )
2
   là hàm số chẵn xác định trên D. 
 b) Hàm số  G x f x f x1( ) ( ) ( )
2
   là hàm số lẻ xác định trên D. 
 c) Hàm số f(x) cĩ thể phân tích thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. 
Hướng dẫn 
Bài 28. Cho hàm số y ax bx c2   (P). Tìm a, b, c 
  Tìm a, b, c thoả điều kiện được chỉ ra. 
  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tìm được. 
  Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Xác định toạ độ 
trung điểm I của đoạn AB. 
 a) (P) cĩ đỉnh S
1 3
;
2 4
 
 
 
 và đi qua điểm A(1; 1); d: y mx . 
 29 
 b) (P) cĩ đỉnh S(1; 1) và đi qua điểm A(0; 2); d: y x m2  .