Chuyên đề cơ sở của nhiệt động lực học

CHUYÊN ĐỀ CƠ SỞ CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC
A.Lời mở đầu
Nhiệt động lực học( NĐLH), là ngành học của vật lí xuất hiện từ đầu thế kỉ XIX. ban đầu, NĐLH nghiên cứu sự chuyển động thành công cơ học, để làn cở sở lí thuyết cho hoạt động của động cơ nhiệt. 
Ngày nay NĐLH phát triển và nghiên cứu một đối tượng rộng hơn , đó là sự liên quan giữa các dạng năng lượng khác nhau và ảnh hưởng của sự liên quan đó tới tính chất của các vậy. 
Tuy nhiên, để hiểu sâu hơn lí thuyết và nắm chắc các phương pháp giải bài tập còn hạn chế nếu chỉ dừng lại khi chỉ học trong sách giáo khoa. Với những quá trình phức tạp, chu trình , đoạn nhiệt thì khó có thể giải được. Để cung cấp cho các bạn có thêm tài liệu tham khảo và học tập , mình tóm tắt lại nội dung trong sách giáo khoa , bổ xung thêm những nội dung nâng cao chuyên sâu, và một số bài tập ở dạng tổng quát.
 Tuy nhiên , do chưa có nhiều kinh nhiệm , chuyên đề không thể tránh được những thiếu sót. Mình mong các bạn góp ý để chuyên đề hoàn thiện hơn.
B.TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 
I. GIỚI THIỆU VỀ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC: 
- Nhiệt động lực học nghiên cứu các quá trình diễn biến trong tự nhiên theo quan điểm biến đổi năng lượng.
- Nhiệt động lức học khái quát một số lớn những kết quả quan sát và thí nhiệm thành 4 định luật cơ bản, thường được gọi là các nguyên lí của nhiệt động lực học:
Nguyên lí số 0: sự tồn tại của nhiệt độ.
Nguyên lí thứ nhất: định luật bảo toàn năng lượng có liên quan đến nội năng.
Nguyên lí thứ hai: xác định chiều diễn biến của các quá trình nhiệt động lực học. 
Nguyên lí thứ ba Ne-xto: khẳng định không thể đạt tới không độ tuyệt đối.
( tuy nhiên trong phần chuyên đề này , ta chỉ nghiên cứu về nguyên lí thứ nhất).
a.Các thông số xác định trạng thái và một số khái niệm cơ bản của nhiệt học phân tử : 
Trạng thái của một hệ vĩ mô được đặc trưng bởi một số đại lượng vật lí gọi là thông số xác định trạng thái( V, P , T). 
Nhiệt động lực học thừa nhận rằng ở một hệ cô lập( không trao đổi năng lượng và vật chất với bên ngoài) tồn tại trạng thái cân bằng nhiệt động, hệ chuyển tới trạng thái này theo thời gian và hệ không thể tự nó chuyển ra khỏi trạng thái này. ( tiên đề cơ bản của nhiệt động lực học). 
b. Quá trình cân bằng:
-Quá trình gọi là cân bằng hay chuẩn tĩnh nếu tất cả các thông số của hệ biến đổi vô cùng châm, khiến cho hệ luôn ở các trạng thái cân bằng nối tiếp nhau.
c. Quá trình thuận nghịch :
- Là quá trình có thể xảy ra cả theo chiều thuận , lẫn chiều nghịch; khi quá trình xảy ra theo chiều nghịch thì hệ trải qua các trạng thái trung gian đúng y như đã xảu ra theo chiều thuận( nhưng với thứ tự ngược lại) . Ngoài ra, sau khi quá trình diễn biến theo chiều nghịch đã được đổi gì trong môi trường xung quanh hệ.
II.NGUYÊN LÍ THỨ NHẤT CỦA NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC:
1. Nội năng:
Khái niệm:
Trong vật lý học, đặc biệt là trong nhiệt động lực học, nội năng của một vật hay một hệ vật lý là tổng động năng của chuyển động hỗn loạn bởi các nguyên tử hay phân tử chứa trong vật (bao gồm động năng tịnh tiến, động năng quay và động năng dao động) và tổng thế năng trong các liên kết phân tử, tính trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm của vật hay hệ vật lý. Nói nôm na, nó là năng lượng chứa bên trong các vật hay hệ vật lý, để phân biệt với động năng của chuyển động vĩ mô của vật, hay thế năng của toàn vật trong mộttrường lực bên ngoài.
Trong nhiệt động lực học, nội năng là một hàm trạng thái của hệ thống nhiệt. Trong SI, nội năng có đơn vị đo giống năng lượng, J.
B.Nội năng phụ thuộc vào nhiệt độ và thể tích :
 U=f( T;V).
C. Mở rộng về nội năng:
Theo thuyết động học phân tử thì mọi vật được tạo thành từ các phân tử chuyển động nhiệt không ngừng. Động năng trung bình của hệ chuyển độnh nhiệt tỉ lệ với nhiệt độ. 
Nếu truyền cho hệ nhiệt lượng Q và công A thì, nếu không có biến đổi phân tử cho hệ (1), năng lượng Q+A nhận được sẽ làm tăng nội năng đúng bằng Q+A . Trở lại định nghĩa của nhiệt động lực học thì độ tăng nội năng 
Như vậy có sự phù hợp giữa định nghĩ nội năng theo nhiêt động lực học và theo vật lí phân tử, trong trường hợp không có biến đổi phân tử trong hệ. nội năng U được định nghĩa bởi 
cũng trùng với nội năng U, P địnnh nghĩ bởi 
 sai kém một hàng số cộng. 
Nếu trong hệ xảy ra biến đổi phân tử , phản ứng hóa học , hay biến đổi dưới mức phân tử, ( phản ứng hạt nhân ) thì nội năng U theo nhiệt động lực học không chỉ bằng nội năng 
 , theo vật lí phân tư, mà còn bao gồm cả năng lượng tương ứng biến đổi phân tử hoặc dưới mức phân tử..
Như vậy, nội năng trong nhiệt động lực học, được định nghĩa một cách hình thức , như khái quát , bao gồm mọi dạng năng lượng tích lũy trong hệ. 
D. Nội năng trong các quá trình:
Quá trình đẳng nhiệt: 
Trong hệ tọa độ P-V, quá trình đẳng nhiệt được biểu diễn bằng một cung đường cong hypebol. Vì nội năng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ nên độ biết thiên nội năng bằng 0; toàn bộ nhiệt lượng khí nhận được chuyển hết sang công mà khí sinh ra.
Quá tình đẳng tích: 
Trong hệ trục P-V, quá trình này được biểu diễn bằng một đoạn thẳng song song với trục .
do vậy A=0
Trong quá trình đẳng tích, nhiệt lượng mà khí nhận được chỉ làm tăng nội năng của khí.
Quá trình đẳng áp:
Trong hệ trục P-V, quá trình này được biểu diễn bằng một đường thẳng song song với trục OV. ở đây và 
	Với 
=> Một phần nhiệt lượng mà khí nhận được dùng để làm tăng nội năng của khí, phần còn lại biến thành công mà khí sinh ra.
Đoạn nhiệt :
Chu trình:( là một quá trình mà trạng thái đầu và trạng thái cuối của nó trùng nhau).
i=3: đối với khí đơn nguyên tử
i=5: đối với khí lưỡng nguyên tử
i=6: đối với khí đa nguyên tử
2. Công và nhiệt lượng:
Trong sự tương tác giữa hệ với môi trường ngoài có thể có xảy ra sự trao đổi năng lượng. Khi đó có hai cách khác nhau trong sự chuyển năng lượng từ vật này sang vật khác. Nếu sự chuyển năng lượng có liên quan đến sự thay đổi cường độ chuyển động phân tử của hệ thì sự chuyển năng lượng này được thực hiện dưới dạng nhiệt. Nếu sự chuyển năng lượng có liên quan đến sự chuyển dịch những khối lượng vật chất vĩ mô dưới tác dụng của những lực nào đó thì sự chuyển năng lượng này được thực hiện dưới dạng công.
Thí dụ: đốt nóng một hệ khí chứa trong một xy lanh kín thì các phân tử khí sẽ gia tăng chuyển động: hệ đã nhận năng lượng dưới dạng nhiệt. Khí giãn nở đẩy piston (có khối lượng) đi lên một đoạn: hệ đã cung cấp ra môi trường ngoài năng lượng dưới dạng công. Còn nếu dùng lực nén piston đi xuống một đoạn: hệ đã nhận năng lượng từ môi trường ngoài dưới dạng công; các phân tử khí chuyển động hạn chế trong một thể tích nhỏ hơn nên có sự va chạm giữa các phân tử khí nhiều hơn và kết quả là hệ nóng lên: hệ đã cung cấp năng lượng cho môi trường ngoài dưới dạng nhiệt.
Theo qui ước về dấu của nhiệt động học:
- Nếu hệ tỏa nhiệt thì nhiệt có trị số âm, q < 0.
- Nếu hệ thu nhiệt thì nhiệt có trị số dương, q > 0.
- Nếu hệ tạo công thì công có trị số âm, W < 0.
- Nếu hệ nhận công thì công có trị số dương, W > 0.
Chú ý: Qui ước dấu của công W trước đây cũng như còn trong một số sách hiện nay trái với qui ước trên, nghĩa là công W mà hệ nhận thì âm còn công W mà hệ tạo thì dương. Khuynh hướng hiện nay người ta cho rằng nhiệt q và công W đều có thứ nguyên năng lượng (cal hay Joule) nên qui ước dấu giống nhau; Qui ước dấu về nhiệt q ở đây cũng trái với sách giáo khoa môn hóa học trong phổ thông. Ở phổ thông, với phản ứng tỏa nhiệt thì nhiệt phản ứng dương, với phản ứng thu nhiệt thì nhiệt phản ứng âm.
a. Nhiệt
Nhiệt lượng q cần dùng để đem m gam hóa chất tăng lên một khoảng nhiệt độ tương đối nhỏ từ T1 đến T2 là:
Với c là tỉ nhiệt (nhiệt dung riêng) của hóa chất, đó là lượng nhiệt cần để đem một gam hóa chất tăng lên một độ, được xem như không đổi trong khoảng nhiệt độ trên.
Thường người ta đo nhiệt lượng q ở áp suất không đổi hoặc ở thể tích không đổi, lúc đó tỉ nhiệt c sẽ là tỉ nhiệt đẳng áp  hoặc tỉ nhiệt đẳng tích .
Nếu m = M, phân tử gam (khối lượng mol phân tử tính bằng gam), thì có tỉ nhiệt mol đẳng áp hoặc tỉ nhiệt mol đẳng tích , là lượng nhiệt cần để đem một mol hóa chất tăng lên một độ ở điều kiện áp suất không đổi hoặc ở thể tích không đổi.
Trên thực tế, thường ,  thay đổi theo nhiệt độ. Trong trường hợp này, người ta xem một khoảng nhiệt độ tương đối nhỏ , trong đó tỉ nhiệt mol trung bình là  và .
Ứng với một mol hóa chất, ta có:
 lần lượt là nhiệt lượng cần để đem một mol hóa chất tăng lên  độ ở điều kiện đẳng áp, đẳng tích.
=>  
Trị số tỉ nhiệt mol đẳng áp ,  tỉ nhiệt mol đẳng tích tại nhiệt độ xét là:
Với n mol hóa chất:
b. Công
Ta thiết lập biểu thức tính công giãn ép của hệ.
- Trường hợp áp suất ngoài không đổi:
Xem một hệ chứa khí giãn nở như hình vẽ trên từ thể tích V1 đến thể tích V2. Giả sử piston có khối lượng không đáng kể và hệ chỉ chịu tác dụng của áp suất ngoài không đổi tạo nên bởi sự đè lên của trọng lượng mg, với m là khối lượng của một vật nhỏ được đặt trên bề mặt piston, g là gia tốc trọng trường, S là tiết diện của piston. Áp suất ngoài là:
Ghi chú: Áp suất là áp lực tác dụng lên một đơn vị diện tích. Lực ép thẳng góc với diện tích mặt bị ép được gọi là áp lực.
Công giãn nở của khí khi piston di chuyển lên một đoạn h là:
W = - mgh
(Công = lực x đoạn đường. Thêm dấu - để công tạo có trị số âm)
V2 - V1: độ tăng thể tích ứng với sự di chuyển của piston lên một đoạn h.
Nếu V2 - V1 > 0 => W < 0: hệ tạo công
Nếu V2 - V1 W > 0: hệ nhận công (để nén piston đi xuống)
W < 0: công giãn nở của hệ để chống áp suất ngoài.
W > 0: công ép, hệ nhận công bởi áp suất ngoài đè lên.
Nếu  = 0 => W = 0 => Sự giãn nở khí trong chân không không cung cấp công.
- Trường hợp áp suất ngoài thay đổi theo thể tích V:
Trong trường hợp này ta xem một đoạn di chuyển nhỏ dh ứng với một độ tăng thể tích nhỏ dV trong đó áp suất ngoài  có thể xem như không đổi.
Công  tương ứng là:
[Dùng ký hiệu (W vì công W không phải là một hàm số trạng thái, nó thay đổi tùy theo đường biến đổi]
Nếu hệ chứa khí lý tưởng và biến đổi đẳng nhiệt, thuận nghịch, ta có:
Ngoài ra người ta cũng chứng minh được rằng công giãn nở thuận nghịch là công cực đại (về trị số tuyệt đối) còn công cần cung cấp để nén ép hệ một cách thuận nghịch là công cực tiểu (về trị số tuyệt đối). Nghĩa là cùng trạng thái đầu, trạng thái cuối như nhau, nếu hệ giãn nở thuận nghịch thì công tạo có trị số âm hơn so với công giãn nở bất thuận nghịch.
Nếu hệ bị nén ép thuận nghịch thì công cần cung cấp ít dương hơn so với biến đổi nén ép bất thuận nghịch.
Do đó xét theo dấu đại số thì 
3. Nội dung nguyên lí thứ nhất của nhiệt động lực học:
Xem một hệ biến đổi từ trạng thái (1) đến trạng thái (2) theo nhiều đường biến đổi khác nhau. Gọi q1, W1; q2, W2; ...; qi, Wi là nhiệt và công trao đổi giữa hệ với môi trường ngoài theo các đường biến đổi 1, 2, ..., i.
Nguyên lý thứ nhất nhiệt động học được phát biểu như sau:
Nếu qi và Wi là nhiệt và công trao đổi giữa hệ với môi trường ngoài theo đường biến đổi i thì qi và Wi riêng rẽ thay đổi theo đường biến đổi nhưng tổng số qi+Wi luôn luôn là một hằng số không tùy thuộc đường biến đổi mà chỉ tùy thuộc vào trạng thái đầu và trạng thái cuối của hệ mà thôi.
Q1 + W1 = q2 + W2 = .... = qi + Wi = const (hằng số)
Về phương tiện toán học, biểu thức trên chỉ rằng ta có thể tìm được một hàm số năng lượng U của hệ nghiệm đúng điều kiện:
[Lưu ý là nếu qui ước dấu của công W ngược với giáo trình này (như ở trong hầu hết các giáo trình hóa lý trước đây), nghĩa là công W mà hệ nhận thì có trị số âm, còn công W mà hệ tạo thì có trị số dương, thì biểu thức của nguyên lý thứ nhất sẽ là:  = q - W ]
U2 và U1 lần lượt là trị số của U ở trạng thái cuối và trạng thái đầu của hệ.
q và W là nhiệt và công trao đổi giữa hệ với môi trường ngoài theo bất cứ đường biến đổi nào để hệ đi từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối.
Hàm số U này biểu diễn nội năng của hệ tức năng lượng sẵn chứa trong hệ.
[Nội năng của hệ do:
- Ðộng năng chuyển động phân tử: tịnh tiến, quay, dao động.
- Năng lượng tương tác giữa các phân tử: hút, đẩy.
- Năng lượng các điện tử trong phân tử.
- Năng lượng dự trữ của hạt nhân nguyên tử...]
Ứng với một biến đổi nhỏ, ta có:
4. Nội năng và phát biêu nguyên lí I nhiệt động lực học:
Để thuận lợi trong việc vận dụng nguyên lí I ta sử dụng hàm trạng thái nội năng U như sau: 
Đại lượng Q+A chính là năng lượng mà hệ nhận được( dưới cả hai dạng nhiệt lượng Q và công A) khi chuyển từ trạng thái I đến trạng thái F( kí hiệu hiệu là ) , ta có:
Vì chỉ phụ thuộc vào trạng thai I và F nên có thể coi là độ biến thiên của một hàm U của trạng thái khi chuyển từ I sang F:
Vì là năng lượng nên hàm U cũng là năng lượng, năng lượng ấy tích lũy trong hệ nên gọi là nội năng của hệ: U(F) là nội năng của hệ ở trạng thái F, U(I) là nội năng của hệ ở trạng thái I. hệ ở trạng thái I nhận được năng lượng (=Q+A) và chuyển sang trạng thái F với nội năng tăng lên 
Theo như trên nguyên lí I nhiệt độnh lực học được phát biểu: Tổng nhiệt lượng và công Q+A mà hệ nhận được trong một quá trình bằng độ tăng nội năng của hệ, độ tăng này chỉ phụ thuộc trạng thái ban đầu và trạng thái cuối của quá trình.
Khi xét một quá trình vô cùng nhỏ thì ta có :
Với lần lượt là nhiệt lượng và công nhận được trong quá trình, đó là các đại lượng vô cùng nhỏ nhưng chưa hẳn là vi phân của một hàm nào đấy( gọi là vi phân toàn chỉnh). dU 
là độ tăng nội nang U cũng vô cùng nhỏ, nhưng độ tăng của một hàm U nên đó là vi phân. 
5. Ứng dụng của nguyên lí I nhiệt động lực học:
Quá trình đẳng tích:
Công A mà vật nhận được bằng không( A=0) vì thể tích không đổi. nhiệt lượng Q nhận được . Vậy:
Nếu vật chứa mol ( ) thì:
 với là nhiệt dung mol đẳng tích của chất cấu tạo nên vật.
Từ biểu thức biến thiên nọi năng với 1 mol chất khí ta có:
Với U0 là nội năng của hệ ở không độ tuyệt đối.
b. quá trình đẳng nhiệt:
Công trong quá trình này không thay đổi:
Theo định luật Bôi-lơ-Ma-ri-ốt ta có: p=
=> A'==
Khi khí dãn thì công sinh ra dương.
Độ biến thiên nội năng bằng 0.
Nhiệt lượng được xác định bởi công thức:
Nếu thể tích tăng thì Q dương: khí dãn và nhận nhiệt.
Nếu thể tích giảm thì Q âm : khí bị nén và tỏa nhiệt.
Hệ thức May-e giữa và :( Theo quan điểm vĩ mô). 
Nếu khí tuân thủ theo đúng phương trình Cla-pê-rôn-Men-đê-lê-ép thì có nhiệt dung mol tuân theo hệ thức May-e: 
c. quá trình Đẳng áp ta có : 
quá trình đoạn nhiệt cân bằng của khí lí tưởng:
Quá trình đoạn nhiệt là quá trình biến đổi, trong đó hệ không nhận nhiệt và cũng không nhả nhiệt cho các vật xung quanh. 
Xét 1 lượng khí lí tưởng thực hiện quá trình đoạn nhiệt cân bằng( thuận nghịch) chuyển hệ từ trạng thái 1 có các thông số () sang trạng thái 2 có các thông số trạng thái . Ta tìm mối quan hệ giữa các thông số này.
Áp dụng công thức của nguyên lí I cho 1 quá trình yếu tố, trong đó vì quá trình là đoạn nhiệt ; vì quá trình là cân bằng ; dU=
=> = -pdV.(1)
theo pttt:(2) 
chia từng vế của (1) cho vế tương ứng của phương trình trạng thái (2), ta có:
=> Mà 
=> 
Tích phân 2 vế ta được:
lnT+(
=> ( 3).
Đây là phương trình cho mối liên hệ giữa 2 thông số T , V trong quá trình đoạn nhiệt cân bằng. phương trình cũng có thể viết dưới dạng: 
Ta cũng có thể rút ra mối quan hệ giữa P-V; T-P:
Tính công khí sinh ra trong quá trình đoạn nhiệt:
Ta tính công A' mà khí sinh ra trong quá trình đoạn nhiệt chuyển hệ từ trạng thái 1 sang trạng thái 2.
Với Q=0 hệ thức của nguyên lí I trở thành . Như vậy: 
 (4)
Biết 
Công thức cho công sinh ra là:
 (5)
Nếu tính theo nhiệt độ thì :
 (6)
Các công thức 4; 5; 6 có thể dùng trong quá trình đoạn nhiệt bất kì, có thể không cân bằng. nếu quá trình đoạn nhiệt và cân bằng thì có thể dựa vào để biến đổi tỉ số ta nhận được :
e. Chu trình:
Do tác nhân trở về trạng thái ban đầu của khí nên không có sự thay đổi nội năng , vì vậy tổng đại số nhiệt lượng cung cấp tác nhân Q bằng tổng đại số A' mà tác nhân thực hiện.
Trong đó công A' do tác nhân thực hiện được tính bằng diện tích hình giới hạn bởi chu trình trong hệ tọa độ P-V, A'>0 nếu chu trình biến đổi theo chiều kim đồng hồ, A'<0 nếu chu trình biến đổi theo chiều ngược kim đồng hồ.
Nhiệt lượn Q là hiệu độlớn nhiệt lượng cung cấp cho tác nhân với độ lớn mà tác nhân truyền ra ngoài.
Hiệu suất chu trình 
Để tính hiệu suất ta phải xác định được trong chu trình , quá trình nào nhận , quá trình nào tỏa 
Áp dụng nguyên lí I cho từng quá trình:
Dựa vào tính chất của quá trình để xét dấu Q: nếu Q>0 quá trình nhận nhiệt, nếu Q<0 quá trình tỏa nhiệt. 
Độ biến thiên nội năng được tính bằng công thức :
i=3: đối với khí đơn nguyên tử
i=5: đối với khí lưỡng nguyên tử
i=6: đối với khí đa nguyên tử
C.BÀI TẬP VÍ DỤ:
1. Một xilanh và pittonh cách nhiệt bên trong có một vách ngăn dẫn nhiệt AB ( hình vẽ ; bỏ qua nhiệt dung vách ngăn). Ở trạng thái ban đầu vách ngăn chia phần trong xilanh thành 2 ngăn. Ngăn trái chứa 1 mol khí hidro, ngăn phải chứa 1mol khí heli. hai khí ở trạng thái cân bằng và có nhiệt độ .
A) Pittong CD chuyển động chậm làm cho thể tích ngăn phải tăng lên gấp đôi. Tính nhiệt độ T của khí. Áp suất khí trong từng ngăn biến đổi như thế nào?
b) giải lại câu a với giả thiết rằng vách ngăn có thể di động tự do?
c) giải lại câu b với giả thiết rằng vách ngăn cách nhiệt?
giải
a) xét hệ gồm khí trong cả 2 ngăn và vách ngăn. ngăn trái có thể tích không đổi. ngăn phải có thể tích V, áp suất P và nhiệt độ T thây đổi khi pittong CD chuyển động. Áp dụng nguyên lí I cho quá trình đoạn nhiệt thuận nghịch của hệ, ta có:
(1)
Độ tăng nội năng : (2)
Công nhận được :
(3)
Từ (1); (2);(3) ta có: 
Phương trình trạng thái của khí trong ngăn phải là:
(4)
Từ 2 phương trình trên ta có:
Giải phương trình vi phân phương trình trên ta được 
(5)
=> 
Nếu thê tích tăng gấp đôi , thì nhiệt độ sẽ biến đổi đến giá trị như sau:
(6)
Kí hiệu và lần lượt là áp suất khí trong ngăn trái và trong ngăn phải. Khí trong trái biến đổi đẳng tích, ta có:
(7).
Khí trong ngăn phải biến đổi theo phương trình (5). Kết hợp (4) với (5) sẽ có:
 (8)
=> (9)
Áp suất cả 2 ngăn đều giảm, nhưng trong ngăn bên phải giảm mạnh hơn trong ngăn bên trái.
b) Nếu vách ngăn có thể di động tự do thì áp suất ở 2 ngăn luôn luôn bằng nhau và thể tích của ngăn bên trái cũng biến đổi. Hai ngăn có cùng nhiệt độ T, cùng áp suất P, và đều chứa 1uôn mol khí nên thể tích của chúng luôn bằng nhauvaf được kí hệu là V. Asp dụng nguyên lí I cho hệ 2 ngăn một cách giống hệt nhau , chỉ khác nhau biểu thưc (3):
dA=-2pdV. (10)
Kết hợp (1), (2), (4), (10) rồi giải phương trinhg vi phân ta được:
 (11)
=> (12)
Kếp hợp (11) và (4) ta tìm được mối quan hệ T-P:
Từ đây tìm được tỉ số giảm áp suất khi thể tích ngăn phải ( và cả ngăn trái) tăng gấp đôi:
C) Nếu vách ngăn cách nhiệt thì khí trong mỗi ngăn là 1 hệ biến đổi đoạn nhiệt thuận nghịch, tuân theo các phương trình:
(13)
Trong quá trình biến đổi áp suất khí trong 2 ngăn có cùng 1 giá trị là P, còn nhiệt độ T' và thể tích V' của ngăn trái thì nói chung khác nhiệt độ T và thể tích V của ngăn phải( trừ ở trạng thái ban đầu).
Trước tiên xét biên đổi đoạn nhiệt ở ngăn phải, với tỉ số nhiệt dung của khí đơn nguyên tử , phương trình biến đổi là:
Từ đó có thể tích tính được áp suât và nhiệt độ của khí heli trong ngăn phải sau khi thể tích tăng gấp đôi: 
Xét biên đổi đoạn nhiệt của ngăn trái, với , sau khi thể tích ngăn phải tăng gấp 2 lần thì áp suất của ngăn trái cũng bằng áp suất của ngăn phải chi bởi (15). Từ (13) ta có :
Từ (15) suy ra:
Như vậy thì cùng độ giảm áp suất như ngăn phải , khí hidro trong ngăn trái giãn ra nhiều hơn ( 2,28 so với 2 lần ) khí heli trong ngăn phải, và vì thế mà giảm nhiệt độ cũng nhiều hơn.
BÀI 2: Một bình cách nhiệt được ngăn làm 2 phần bởi 1 pittong nhẹ, mỏng không dẫn nhiệt. pittong có thể chuyển động không ma sát. phần trái của bình chứa 1 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử, phần bên phải là chân không. pittong nối với thành sau bởi lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên bằng AB( hv). tính nhiệt dung của khí trong bình. bỏ qua nhiệt dung của vỏ bình.
AB
GIẢI:
Giả sử ban đầu : 
khí trong phần bên trái ở nhiệt độ .
Pitton