Chuyên đề Chương III: Vec tơ trong không gian

NGUYỄN BẢO VƯƠNG
CHƯƠNG III.
VECTO-QUAN HỆ VUễNG GểC
TẬP 1. VẫC TƠ
MỤC LỤC
TẬP 1. VEC TƠ TRONG KHễNG GIAN	2
TểM TẮT GIÁO KHOA.	2
LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.	2
Bài toỏn 01: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ.	2
Bài toỏn 02: CHỨNG MINH BA VEC TƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG.	4
Bài toỏn 03: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG.	7
Bài toỏn 04: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BỐN ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HèNH KHễNG GIAN.	8
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP	10
CHƢƠNG III. VEC TƠ TRONG KHễNG GIAN
QUAN HỆ VUễNG GểC TRONG KHễNG GIAN
TẬP 1. VEC TƠ TRONG KHễNG GIAN
CHUẨN KIẾN THỨC
A.TểM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.
Cỏc khỏi niện và cỏc phộp toỏn của vec tơ trong khụng gian được định nghĩa ho|n to|n giống như trong mặt phẳng.Ngoài ra ta cần nhớ thờm:
Qui tắc hỡnh hộp : Nếu ABCD.A' B'C' D' là hỡnh hộp thỡ AC' = AB + AD + AA' = a + b + c .
Qui tắc trọng tõm tứ diện.
G là trọng tõm tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra:

B	C
a	 
A	b	D
B'
C'
A'	D'
GA + GB + GC + GD = 0
MA + MB + MC + MD = 4MG,"M
Ba vộc tơ a, b,c đồng phẳng nếu giỏ của chỳng song song với một mặt phẳng.
Điều kiện cần v| đủ để ba vộc tơ a, b,c đồng phẳng là cú cỏc số m,n,p khụng đồng thời bằng 0 sao cho ma + nb + pc = 0 .
Cho hai vec tơ khụng cựng phương khi đú điều kiện cần v| đủ để ba vec tơ a, b,c đồng phẳng là cú cỏc số m,n sao cho c = ma + nb .
Nếu ba vộc tơ a, b,c khụng đồng phẳng thỡ mỗi vec tơ d đều cú thể phõn tớch một cỏch duy nhất dưới dạng d = ma + nb + pc .
LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
 Bài toỏn 01: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ.	
Phƣơng phỏp:
Sử dụng qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tõm tam giỏc, trọng tõm tứ giỏc, qui tắc hỡnh bỡnh hành, qui tắc hỡnh hộp<để biến đổi vế này thành vế kia.
Vớ dụ 1. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đ{y ABCD là hỡnh chữ nhật . Chứng minh rằng
2	2	2	2
SA + SC = SB + SD .
Cỏc vớ dụ
Lời giải.
Gọi O là tõm của hỡnh chữ nhật ABCD
OA = OB = OC = OD
SA = (SO + OA)2 = SO + OA + 2SO.OA
2
2
2
Ta cú	.
SC = (SO + OC)2 = SO + OC + 2SO.OC
2
2
2
Từ (1) và (2) suy ra

S
D
O
(1)
(2)
C
SA + SC = 2SO + OA + OC + 2SO(OA + OC)
2
2
2
2
2
2	2	2	A	D
= 2SO + OA + OC ( vỡ OA + OC = 0 ).
2
2
2
2
2
Tương tự SB
SD
= 2SO
OB
OD .
2
2
2
2
Từ đú suy ra SA
SC
= SB
SD .
Vớ dụ 2. Cho tứ diện ABCD , M và N lần lượt l| c{c điểm thuộc cỏc cạnh AB và CD sao cho
MA = -2MB,ND = -2NC ; c{c điểm I, J,K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho
IA = kID,JM = kJN,KB = kKC .
Chứng minh với mọi điểm O ta cú OJ = 1 OI + 2 OK .
3	3
Lời giải.
M
I
J
K
N
Vỡ MA = -2MB nờn với điểm O bất kỡ ta cú OA - OM = -2(OB - OM)	A
Û OM = OA + 2OB .
3
Tương tự ta cú :
B
ON = OD + 2OC , OI = OA - kOD , OK = OB - kOC , OJ = OM - kON .	D
3
Từ đú ta cú

OJ = 1 . 1 (OA + 2OB - kOD - 2kOC)
1 - k 3
1 - k
1 - k
1 - k
C
(	)
= 1 . 1[(1 - k)OI + 2(1 - k)OK] = 1 OI + 2OK 1 - k 3	3
Vậy OJ = 1 OI + 2 OK .
3	3
 Bài toỏn 02: CHỨNG MINH BA VEC TƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG.	
Phƣơng phỏp:
Để chứng minh ba vec tơ a, b,c đồng phẳng ta cú thể thực hiện theo một trong cỏc cỏch sau:
Chứng minh giỏ của ba vec tơ a, b,c cựng song song với một mặt phẳng.
Phõn tớch c = ma + nb trong đú a, b l| hai vec tơ khụng cựng phương.
Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ta cú thể chứng minh ba vec tơ AB,AC,AD đồng phẳng. Ngoài ra cú thể sử dụng kết quả quen thuộc sau:
Điều kiện cần v| đủ để điểm Dẻ(ABC) là với mọi điểm O bất kỡ ta cú OD = xOA + yOB + zOC trong đú x + y + z = 1 .
Vớ dụ 1. Cho tứ diện ABCD , c{c điểm M,N lần lượt l| trung điểm của AB,CD . Gọi P,Q lần lượt là c{c điểm thỏa món PA = kPD, QB = kQC(k ạ 1) . Chứng minh M,N,P,Q đồng phẳng.
Cỏc vớ dụ
Lời giải.
M
P
Q
N
Ta cú PA = kPD ị MA - MP = k(MD - MP)	A
MP = MA - kMD
Û	.
1 - k
Tương tự QB = kQC ị MQ = MA - kMC	B
1 - k	D
Suy ra MP + MQ = MA - kMD + MB - kMC
1 - k
C
(	)
= k MC + MD ( Do MA + MB = 0 )
k - 1
Mặt khỏc N l| trung điểm của CD nờn MC + MD = 2MN ị MP + MQ = 2k MN suy ra ba vec tơ
k - 1
MP,MQ,MN đồng phẳng, hay bốn điểm M,N,P,Q đồng phẳng.
Vớ dụ 2. Cho tứ diện ABCD , c{c điểm M,N x{c định bởi MA = xMC,NB = yND (x, y ạ 1) . Tỡm điều kiện giữa x và y để ba vec tơ AB,CD,MN đồng phẳng.
Lời giải.
Đặt DA = a,DB = b,DC = c thỡ a, b,c khụng đồng phẳng.
A
N
M
B
D
MA = xMC ị DA - DM = x(DC - DM)ị
Lại cú NB = yND ị DN = 1 DB = 1 b
1 - y	1 - y

(2)

C
DM = DA - xDC = a - xc
(1)
.
1 - x	1 - x
Từ (1) và (2) suy ra MN = DN - DM = -1 a + 1 b + x c .
1 - x	1 - y	1 - x
Ta cú AB = DB - DA = b -a,CD = -c ; AB và CD l| hai vec tơ khụng cựng phương nờn AB,CD,MN
a + 1 b + x c = m(b - a)- nc
đồng phẳng khi và chỉ khi MN = mAB + nCD , tức là -1 
1 - x	1 - y	1 - x
ỡ	1 
m =
ù
ù	1 - x
Û ổm - 1 ửa + ổ 1 - mửb + ổn + x ửc = 0 Û ùm = 1 
ị x = y
ỗ	ữ	ỗ	ữ	ỗ	ữ	ớ
ố	1 - x ứ
ố 1 - y
ứ	ố	1 - x ứ
ù	1 - y
ù	x
ùn =- 
ợ	1 - x
Vậy ba vec tơ AB,CD,MN đồng phẳng khi và chỉ khi x = y .
Lƣu ý : Ta cú thể sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vec tơ để xột vị trớ tương đối của đường thẳng với mặt phẳng:
Cho ba đường thẳng d1 ,d2 ,d3 lần lượt chứa ba vec tơ u1 ,u2 , u3
3	1	2
ậ mp(d ,d ) .
trong đú d1 ,d2 cắt nhau và
u
3
Khi đú :	d3
d3
(d ,d )Û u ,u ,u

d1
d2 A
u2
u1
l| ba vec tơ đồng phẳng.
1	2	1	2	3
ã	d3 ầ mp(d1 ,d2 ) = M Û u1 ,u2 ,u3
phẳng
l| ba vec tơ khụng	đồng
Vớ dụ 3. Cho hỡnh hộp ABCD.A' B'C' D', M,N l| c{c điểm thỏa MA =- 
4
1 MD , NA' =- 
2 NC . Chứng
3
minh MN	(BC' D) .
Lời giải.
Đặt BA = a,BB' = b,BC = c thỡ a, b,c l| ba vec tơ khụng đụng phẳng
C
N
A'	 
và BD = BA + AD = BA + BC = a + c	A	M	D
MA = - 1 MD ị BA - BM = - 1 (BD - BM)
BC' = b + c,BA' = a + b . Ta cú
4	4

B
ị 5 BM = BA + 1 BD	D'
4	4
4BA + BD
4a + (a + c)
5a + c

B'	C'
ị BM =	=	=	.
MN = BN - BM = -2a + 3b + c = - 2 (a + c)+ 3 (b + c) = - 2 BD + 3 BC'
5	5	5
BN = 3a + 3b + 2c
Tương tự	,
5

5	5	5	5	5
Suy ra MN,DB,BC' đồng phẳng mà Nẽ(BC' D)ị MN	(BC' D) .
Nhận xột: Cú thể sử dụng phương ph{p trờn để chứng minh hai mặt phẳng song song.
Vớ dụ 4. Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A' B'C'. Gọi M,N lần lượt l| trung điểm của AA',CC' và G là trọng tõm của tam giỏc A' B'C' .
Chứng minh (MGC')	(AB'N).
Lời giải.
C
Đặt AA' = a,AB = b,AC = c	A
Vỡ M,N lần lượt là trung điểm của AA',CC' nờn AM = 1 AA' = 1 a ,	B	N
2	2	M
AN = 1 (AC + AC')= 1 a + b
2	2	C'
A'
G	I
Vỡ G là trọng tamm của tam giỏc A' B'C' nờn
AG = 1 (AA' + AB' + AC')= a + 1 b + 1 c
B'
3	3	3
Ta cú MG = AG - AM = 1 a + 1 b + 1 c ị MG = 1 AB' + 1 AN suy ra MG,AB',AN đũng phẳng, Mắt khỏc
2	3	3	2	3
Gẽ(AB'N) ị MG	(AB'N) (1)
Tương tự MC' = AC' - AM = a + c - 1 u = 1 u + k = AN
2	2
ị MC'
(AB'N) (2) .
( )	( )
ỡùMG / /(AB'N)
(	)
Từ 1 và 2 suy ra ớ
ùợMC' AB'N
ị (MGC')	(AB'N) .
 Bài toỏn 03: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG.	
Phƣơng phỏp:
2
2
2
a = a ị a = a
Để tớnh độ dài của một đoạn thẳng theo phương ph{p vec tơ ta sử dụng cơ sở	. Vỡ
vậy để tớnh độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo cỏc bước sau:
Chọn ba vec tơ khụng đồng phẳng a, b,c so cho độ dài của chỳng cú thể tớnh được và gúc giữa chỳng cú thể tớnh được.
Khi đú MN = MN = MN = (ma + nb + pc)2
2
m2 a + n2 b + p2 c + 2mncos(a, b)+ 2npcos(b,c)+ 2mpcos(c,a)
2
2
2
Phõn tớch MN = ma + nb + pc
ã
=	.
Vớ dụ 1. Cho hỡnh hộp ABCD.A' B'C' D' cú tất cả cỏc mặt đều là hỡnh thoi cạnh a và cỏc gúc
BAA' = BAD = DAA' = 600 .Tớnh độ d|i đường chộo AC' .
Cỏc vớ dụ
Lời giải.
Đặt AB = a,AD = b,AA' = c

A	D
C
A'	 
thỡ
B
a = b = c = a,(a,b)= (b,c)= (c,a)= 600 . Ta cú AC' = a + b + c .
2	2	2	2
D'
ị AC'
= a + b + c
2ab + 2bc + 2ca
6
= 3a2 + 2 a b cos600 + 2 b c cos600 + 2 c a cos600 = 6a2 ị AC' = a	.
B'	C'
Vớ dụ 2. Cho hỡnh hộp ABCD.A' B'C' D' cú tất cả cỏc mặt đều là hỡnh vuụng canh a . Lấy M thuộc đoạn A' D , N thuộc đoạn BD với AM = DN = x(0 < x < a 2). Tớnh MN theo a và x .
Lời giải.
Đặt AB = a,AD = b,AA' = c
a = b = c = a,(a,b)= (b,c)= (c,a)= 900
M
D
N
D'
B'
Ta cú	C'
DN = DN.DB =	(AB - AD)=	(a - b)
x
x
DB
a 2
a 2
A'
AM = AM .AD' =	(AD + AA')=	(b + c)
x
x
AD'
a 2
a 2
C
B
MN = MA + AD + DN =	(a - b)+ b +	(b + c)
x
x
a 2
a 2
Suy ra
x
a 2
ổ
a + 1 -
ỗ
ố
x
ử
b -	c
x
a
2 ứ
ữ
a 2
=	.
ổ
x	ổ	x ử	x
2
ử
 x2	ổ	x
2
a 2 ứ	a 2 ứ
ố	a
2
ử
ữ
2 ứ
2
 x2
2
ỗ
ố a 2
a + ỗ1 -	ữb -	cữ =	2 a + ỗ1 -
ố
2a
b +	c
2
2a
MN2 =
 2
ổ
x2 + 1 -
x + x ửa2 = 3x -

2	2
ữ
2ax + a2
=	ỗỗ
ố
3x2
2ax + a2
2
MN =
a	2a2 ứữ	2
.
Bài toỏn 04: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BỐN ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HèNH KHễNG GIAN.
Phƣơng phỏp:
Sử dụng cỏc kết quả
A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng Û DA = mDB + nDC
A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kỡ ta cú
OD = xOA + yOB + zOC trong đú x + y + z = 1 .
Vớ dụ 1. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là một hỡnh bỡnh hành . Gọi B',D' lần lượt là
trungđiểm của cỏc cạnh SB,SD . Mặt phẳng (AB' D') cắt SC tại C' . Tớnh SC' .
SC
Cỏc vớ dụ
Lời giải.
Đặt a = SA,b = SA,c = SD và m = SC'	S
C'
D'
B'
C
SC
Ta cú
và SC' = mSC = m(SB + BC)= m(b -a + c).
SB' = 1 b,SD' = 1 c
2	2
ị SC' = 2mSB' - mSA + 2mSD'
Do A,B',C',D' đồng phẳng nờn 2m + (-m)+ 2m = 1 Û m = 1	D
3
Vậy SC' = 1 .	B	A
Vớ dụ 2. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đ{y ABCD là một hỡnh bỡnh hành. Gọi K l| trung điểm của cạnh
SC . Mặt phẳng qua AK cắt cỏc cạnh SB,SD lần lượt tại M,N . Chứng minh SB + SD = 3 .
SM	SN
SC	3
Lời giải.
Đặt a = SA,b = SA,c = SD và SB = m,
SM
SD = n .
SN
S
K
N
D
M
Ta cú SM = SM SB = 1 SB; SN = SN SD = 1 SD
SB	m	SD	n
SK = 1 SC = 1 (SD + DC)
= 1 (SD + AB)= 1 (SD + SB - SA)
2	2	2	2
= n SN + m SM - 1 SA .
2	2	2	C
Mặt ta cú A,M,K,N đồng phẳng nờn m + n + ổ- 1 ử = 1 Û m + n = 3 .
2	2	ỗ 2 ữ
ố	ứ
A	B
Vậy SB + SD = 3 .
Vớ dụ 3. Cho tứ diện ABCD , trờn cỏc cạnh AB,AC,AD lấy c{c điểm K,E,F . Cỏc mặt phẳng
(BCF),(CDK),(BDE) cắt nhau tại M . Đường thẳng AM cắt (KEF) tại N và cắt mặt phẳng (BCD) tại
P . Chứng minh NP = 3 MP .
NA	MA
SM	SN
Lời giải.
F
K
N
M
E
P
-	Chỉ ra sự tồn tại của điểm M .	A
Gọi I = CFầ BK
ị CI = (BCF)ầ(CDK)
Gọi J = DE ầCF ị (BCF)ầ(BDE)= BJ
Khi đú M = CI ầ BJ chớnh l| giao điểm của ba mặt phẳng
(BCF),(CDK),(BDE).	D
B
-	Chứng minh NP = 3 MP .
NA	MA
Giả sử AB = αAK,AC =βAE,AD = γAF
C
Do M,N thuộc đoạn AP nờn tồn tại cỏc số m,n > 1 sao cho
AP = mAM = nAN .
Ta cú B,C,D,P đồng phẳng nờn tồn tại x,y,z với x + y + z = 1 (1) sao cho AP = xAB + yAC + zAD
= αxAK +βyAE + γzAF ị AN = αx AK + βy AE + γz AF
n	n	n
Mặt khỏc Nẻ(KEF) nờn αx + β y + γz = 1 Û αx +βy + γz = n
n	n	n
(2) .
L|m tương tự ta cú
Mẻ(BCE)ị x + y + γz = m

(3)
Mẻ(CDK)ị x +βy + γz = m
(4)
Mẻ(BDE)ị αx + y + z = m
(5)
Từ (3),(4),(5) suy ra 2(x + y + z)+ αx +βy + γz = 3m
Kết hợp với (1),(2) ta được 2 + n = 3m Û 2 + AP = 3 AP Û 3 + NP = 3ổ1 + MP ử
AN	AM	NA
ỗ	MA ữ
ố	ứ
Û NP = 3 MP .( đpcm)
Vớ dụ 4. Cho đa gi{c lồi A1A2 ...An (n ³ 2) nằm trong (P) và S là một điểm nằm ngoài (P) . Một mặt
phẳng (α) cắt cỏc cạnh SA ,SA ,...,SA của hỡnh chúp S.A A ...A tại c{c điểm B , B ,.., B sao cho
1	2
n
1 2	n
1	2	n
SA1 + SB2 + ... + SAn = a ( a > 0 cho trước)
SB1	SB2	SBn
Chứng minh (α) luụn đi qua một điểm cố định.
NA	MA
Lời giải.
Trờn cỏc canh SAi

lấy c{c điểm Xi (i = 1,2,..n) sao cho SXi

= SAi a
Gọi I l| điểm x{c định bởi SI = SX1 + SX2 + ... + SXn
X1 ,X2 ,..,Xn ccos định)
SI = SX + SX + ... + SX = SX1 SB + SX2 SB + ... + SXn SB
Ta cú
thỡ I l| điểm cố định ( do c{c điểm S và
1	2	n	SB	1	SB	2
SB	n
1	2	n
Do SX1 + SX2 + ... SXn = SA1 + SA2
+ ... + SAn
= 1 nờn c{c điểm
I,B1 ,B2 ,...,Bn đồng phẳng suy ra mặt
SB1	SB2	SBn	aSB1	aSB2
aSBn
phẳng (α) đi qua điểm I cố định.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Cõu 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi E,F l| c{c điểm thỏa nóm EA = kEB,FD = kFC cũn P,Q,R l| c{c điểm x{c định bởi PA = lPD,QE =lQF,RB =lRC . Chứng minh ba điểm P,Q,R thẳng hàng.Khẳng định nào sau đ}y l| đỳng?
P, Q, R thẳng hàng
P, Q, R khụng đồng phẳng
P, Q, R khụng thẳng hàng
Cả A, B, C đều sai
@Bài làm:
1. Ta cú PQ = PA + AE + EQ

(1)
A
PQ = PD + DF + FQ
(2)
Từ (2) ta cú lPQ = lPD + lDF + lFQ
Lấy (1)- (3) theo vế ta cú
(1 - l)PQ = AE - lDF
ị PQ = 1 AE - l DF
1 - l	1 - l
Tương tự QR = 1 EB - l FC
1 - l	1 - l
(3)	E
p
B	Q
R	D
C	F
Mặt khỏc EA = kEB,FD = kFC nờn PQ = 1 AE - l DF = -k EB - kl FC = -kQR
1 - l	1 - l	1 - l	1 - l
Vậy P,Q,R thẳng hàng.
Cõu 2. Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt l| trung điểm của AB và CD , G l| trung điểm của IJ .
Giả sử a.IJ = AC + BDthỡ giỏ trị của a là?
A.2	B.1	C. -1
Cho c{c đẵng thức sau, đẵng thức n|o đỳng?

1
2
GA + GB + GC + GD = 0	B. GA + GB + GC + GD = 2IJ
C. GA + GB + GC + GD = JI	D. GA + GB + GC + GD = -2JI
MA + MB + MC + MD
X{c định vị trớ của M để	nhỏ nhất.
Trung điểm AB	B. Trựng với G	C. Trung điểm AC	D. Trung điểm CD
I
G
R
C
J
@Bài làm:	A
ỡùIJ = IA + AC + CJ
ớ
ị
a)
ùợIJ = IB + BD + DJ
2IJ = AC + BD .
GA + GB + GC + GD = (GA + GB)+ (GC + GD)
B
= 2GI + 2GJ = 2(GI + GJ)= 0 .
D
MA + MB + MC + MD = 4 MG
Ta cú
nờn
nhỏ nhất khi M º G .
MA + MB + MC + MD
Cõu 3. Cho hỡnh hộp ABCD.A' B'C' D'. X{c định vị trớ c{c điểm M,N lần lượt trờn AC và DC' sao cho
MN
1
3
. Tớnh tỉ số MN bằng?
BD'
BD'
1 2

1	D. 2
3
@Bài làm:
3. BA = a,BC = b,BB' = c .
Giả sử AM = xAC,DN = yDC' .
Dễ dàng cú cỏc biểu diễn BM = (1 - x)a + xb

và BN = (1 - y)a + b + yc . Từ đú suy ra
MN = (x - y)a + (1 - x)b + yc
(1)
BD'
Để MN
thỡ MN = zBD' = z(a + b + c) (2)
Từ (1) và (2) ta cú: (x - y)a + (1 - x)b + yc =z(a + b + c)
Û (x - y - z)a + (1 - x - z)b + (y - z)c=0
ỡ	2
ùx =

D'	C'
ỡx - y - z = 0	ù	3
ớ1	ớ
Û ù - x - z = 0 Û ùy = 1 .	C
ù	ù	3
ợy - z = 0
ù	1
ù	A
z =
ợ	3	B
A'
D'
N
D
M
Vậy c{c điểm M,N được x{c định bởi AM = 2 AC, DN = 1 DC' .
3	3
Ta cũng cú MN = zBD' = 1 BD' ị MN = 1 .
3	BD'	3
Cõu 4. Cho hỡnh hộp ABCD.A' B'C' D' cú cỏc cạnh đều bằng a và cỏc gúc
B'A' D' = 600 ,B'A'A = D'A'A = 1200 .
Tớnh gúc giữa cỏc cặp đường thẳng AB với A' D; AC' với B' D.
A. (AB, A' D)= 600 ; (AC', B' D)= 900
C. (AB, A' D)= 400 ; (AC', B' D)= 900
B. (AB, A' D)= 500 ; (AC', B' D)= 900
D. (AB, A' D)= 300 ; (AC', B' D)= 900
2
2
2
2	2
Tớnh diện tớch cỏc tứ giỏc A' B'CD và ACC'A' .
3
2
2
2
SA' B' CD = a
; SAA' C' C = a
SA' B' CD = a ; SAA' C' C = a 2
S

A' B' CD
= 1 a2 ; S
2

AA' C' C
= 2a2
S

A' B' CD
= a2 ; S

AA' C' C
= a2
Tớnh gúc giữa đường thẳng AC' với c{c đường thẳng AB,AD,AA' .
 6
(AC', AB)= (AC', AD)= (AC', AA')= arccos
2
 6
4
(AC', AB)= (AC', AD)= (AC', AA')= arccos
 6
3
(AC',AB)= (AC',AD)= (AC',AA')= arccos
 5
3
(AC', AB)= (AC', AD)= (AC', AA')= arccos
@Bài làm: 4.
a) Đặt AA' = a,A' B' = b,A' D' = c
Ta cú A' D = a + c nờn
cos(AB,A' D)= cos(AB,A' D)
D'	C'
AB.A' D	a(a + c)
=
AB A' D	a a + c
=	.	A	B
a + c = a
a a + c =
(
)
a2
A'
B'
D
C
Để ý rằng	,	.
2
2
Từ đú cos(AB,A' D)= 1 ị (AB,A' D)= 600
Ta cú AC' = b + c -a,B' D = a - b + c , từ đú tớnh được
AC'B' D = (b + c -a)(a - b + c)= 0 ị (AC',B' D)= 900 .
b) A'C = a + b + c,B' D = a - b + c ị A'C.B' D = (a + b + c)(a - b + c)= 0
ị A'C ^ B' D nờn SA' B' DC =
1 A'C.B' D .
2
2
Dễ d|ng tớnh được A'C = a
, B' D = a

2
ị S
A' B'CD
= 1 a 2a. 2
= a2
2
3
SAA'C'C = AA'ACsin(AA',AC), AA' = a,Ac = a	.
3
Tớnh được sin(AA',AC)= 1 - cos2 (AA',AC) = 6
Vậy S

AA'C'C
= AA'ACsin(AA',AC)= a.a
. 6 = a2	.
3
2
3
 6
3
ĐS: (AC',AB)= (AC',AD)= (AC',AA')= arccos	.
Cõu 5. Cho tam giỏc ABC , thỡ cụng thức tớnh diện tớch n|o sau đ}y l| đỳng nhất..
AB2 AC2 - BC2
S = 1
2
AB2 AC2 - 1 (AB.AC)2
2
C. S = 1
2
B. S = 1
AB2 AC2 + 1 (AB.AC)2
2
2
AB2AC2 - (AB.AC)2
D. S = 1
2
@Bài làm:
S
= 1 ABACsin A = 1	= 1
AB2AB2 sin2 A
AB2AC2 (1 - cos2 A)
ABC
AB2AC2 - (AB.AC)2
= 1
2
2	2	2
.
Cõu 6. Cho tứ diện ABCD . Lấy c{c điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc AB,BC,CD,DA sao cho
AM = 1 AB, BN = 2 BC,AQ = 1 AD, DP = kDC .
3	3	2
Hóy x{c định k để M,N,P,Q đồng phẳng.
k = 1
2
k = 1
3
k = 1
4
k = 1
5
@Bài làm:
Cỏch 1.
Ta cú AM = 1 AB ị BM - BA = - 1 BA
3	3
ị BM = 2 BA .
AC
3
Lại cú BN = 2 BC
3
do đú MN	.
AC
Vậy Nếu M,N,P,Q đồng phẳng thỡ (MNPQ)ầ(ACD)= PQ
ị PC = QA = 1 hay DP = 1 DC ị k = 1 .
PD	QD	2	2
Cỏch 2. Đặt DA = a,DB = b,DC = c thỡ khụng khú khăn ta cú c{c biểu diễn
MN = - 2 a + 2 b , MP = - 2 a - 1 b + kc , MN = - 1 a - 1 b
3	3	3	3	6	3
C{c điểm M,N,P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi c{c vec tơ MN,MP,MQ đồng phẳng
Û $x,y : MP = xMN + yMQ
a - 1 b + kc = xổ- 2 a + 2 cử + yổ- 1 a - 1 bử
Û - 2
3	3	ỗ
3	3 ữ	ỗ
6	3 ữ
ố	ứ	ố	ứ
Do c{c vec tơ a, b,c khụng đồng phẳng nờn điều n|y tương đương với
ỡ- 2 x - 1 y = - 2	A
ù
ù 3	6	3
ớ
ù- 1 y = - 1	Û x = 3 , y = 1,k = 1 .
ù 3	3	4	2	M
3
ù
ù 2 x = k	Q
ợ
B	D
N	P
C
Cõu 7. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = SB = SC = a , ASB = BSC = CSA = α . Gọi (β) là mặt phẳng đi qua
A v| c{c trung điểm của SB,SC.
Tớnh diện tớch thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi mặt phẳng (β).
7 cos2 α - 16 cosα + 9
a 
2	 	
S =
2
=	7 cos2 α - 6 cosα + 9
a 2	 	
C. S
8
2	 	
7 cos2 α - 6 cosα + 9
a 
B. S =
2
a2	 	
7 cos2 α - 16 cosα + 9
D. S =
8
@Bài làm:
Gọi B',C' lần lượt l| trung điểm của SB,SC. Thiết diện là tam giỏc AB'C' .
Theo bài tập 5 thỡ S
1
AB'2 AC'2 - (AB'.AC')2
=
AB'C'	2
Ta cú AB' = SB' - SA = 1 SB - SA
2
B'
C'
S
ị AB'2 = 1 SB2 + SA2 - SASB
4
2
= a (5 - 4cosα). Tớnh tương tự, ta cú
4
a2
AB'AC' =
(4 - 3cosα).	A
4
a4 (
5 - 4cosα	-	(4 - 3cosα)
)2
a4
2
16
16
=
B
Vậy S
1
AB'C'	2
7 cos2 α - 16cosα + 9
a 
2	 	
=	.	C
8
Cõu 8. Cho hỡnh chúp S.ABC , mặt phẳng (α) cắt cỏc tia SA,SB,SC,SG( G là trọng tõm tam giỏc
ABC ) lần lượt tại c{c điểm A',B',C',G'.Ta cú SA + SB + SC = k SG . Hỏi k bằng bao nhiờu?
SA'	SB'	SC'	SG'
A.3	B.4	C.2	D.1
@Bài làm:
Do G là trọng tõm của ΔABC nờn GA + GB + GC = 0 ị 3SG = SA + SB + SC
Û 3 SG SG' = SA SA' + SB SB' SG'	SA'	SB'
 SC SC' SC'
Mặt khỏc A',B',C',G' đồng phẳng nờn
 SA + SB + SC = 3 SG .
SA'	SB'	SC'	SG'
Chỳ ý: Ta cú một kết quả quen thuộc trong hỡnh học phẳng :
Nếu M l| điểm thuộc miền trong tam giỏc ABC thỡ Sa MA + Sb MB + Sc MC = 0 trong đú Sa ,Sb ,Sc lần lượt là diện tớch cỏc tam giỏc MBC,MCA,MAB. Vỡ vậy ta cú bài toỏn tổng qu{t hơn như sau: Cho hỡnh chúp S.ABC , mặt phẳng (α) cắt cỏc tia SA,SB,SC,SM( M l| điểm thuộc miền trong tam giỏc ABC ) lần lượt tại c{c điểm A',B',C',M' .
Chứng minh:
SaSA + SbSB + ScSC = S.SM . ( Với S ,S ,S lần	S
B'
A'
G'
C'
G
SA'	SB'	SC'	SM'
a	b	c
lượt là diện tớch cỏc tam giỏc MBC,MCA,MAB và S là diện tớch tam giỏc ABC ).
A
B
C
Cõu 9. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đ{y ABCD là hỡnh bỡnh hành . Một mặt phẳng (α) cắt cỏc cạnh
SA,SB,SC,SD lần lượt tại A',B',C',D' .Đẳng thức n|o sau đ}y đỳng?
 SA + 2 SC = SB + 2 SD SA'	SC'	SB'	SD'
C. SA + SC = SB + SD SA'	SC'	SB'	SD'
B. SA + SC = SB + SD SA'	2SC'	SB'	2SD'
D. SA - SC = SB - SD SA'	SC'	SB'	SD'
S
C'
A'
D'
B'
D
O
@Bài làm:
Gọi O là tõm của hỡnh bỡnh hành ABCD thỡ
SA + SC = SB + SD = 2SO
Û SA SA' + SB SC' = SB SB' + SC SC' Do A',B',C',D' đồng
SA'	SB'	SB'	SC'
C
phẳng nờn đẳng thức trờn Û SA + SC = SB + SD .
SA'	SC'	SB'	SD'
A	B
Cõu 10. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = a,SB = b,SC = c . Một mặt phẳng (α) luụn đi qua trọng tõm của tam giỏc ABC , cắt cỏc cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A', B',C'. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của
 1 + 1 + 1 .
SA'2	SB'2	SC'2
 	3	 a2 + b2 + c2
 	2	 a2 + b2 + c2
 	2	 a2 + b2 + c2
 	9	 a2 + b2 + c2
@Bài làm:
Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC . Ta cú 3SG = SA + SB + SC
= SA SA' + SB SB' + SC SC' .
SA'	SB'	SC'
Mà G,A',B',C' đồng phẳng nờn SA + SB + SC = 3 Û a + b + c = 3
SA'	SB'	SC'	SA'	SB'	SC'
Theo BĐT Cauchy schwarz:
( 2	2	2 )
2
ổ 1	1	1 ử	ổ a	b	c ử
Ta cú	+	+	a + b + c	³	+	+
ỗ SA'2	SB'2	SC'2 ữ	ỗ SA'	SB'	SC' ữ
ố	ứ	ố	ứ
Û 1 + 1 + 1 ³ 	9	.
SA'2	SB'2	SC'2	a2 + b2 + c2
Đẳng thức xảy ra khi
 1 = 1 = 1 aSA'	bSB'	cSC'
kết hợp với a + b + c = 3 ta được
SA'	SB'	SC'
SA' =
a2 + b2 + c2

,SB' =
a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
,SC' =	.
3a	3b	3c
Vậy GTNN của
 1 + 1 + 1 
SA'2	SB'2	S