Chuyên đề Casio tuyển tập

 Trang 1 
Sưu tầm : Tăng Duy Khoa 
Nickhocmai :balep 
Việc sưu tầm không thể không thiếu sót 
Mong các bạn đọc gửi thắc mắc, góp ý hoặc chuyên đề qua email 
duykhoatang@gnail.com 
Để bài viết thêm phong phú hơn. 
 Trang 2 
I.CÁC BÀI TOÁN VỀ : “ PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH ” 
Bài 1: 
Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!. 
Giải: 
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên: 
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!) 
S = 17! – 1!. 
Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn 
hình). Nên ta tính theo cách sau: 
Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, 
máy không bị tràn, cho kết quả chính xác. 
Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120 
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên 
S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1 
 = 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1 
 = 355687428095999. 
Bài 2: 
Tính kết quả đúng của các tích sau: 
a) M = 2222255555 . 2222266666. 
b) N = 20032003 . 20042004. 
Giải: 
a) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666. 
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC 
Tính trên máy: 
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630 
Tính trên giấy: 
A2.1010 4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
AB.105 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 
AC.105 1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0 
BC 3 7 0 3 6 2 9 6 3 0 
M 4 9 3 8 4 4 4 4 4 3 2 0 9 8 2 9 6 3 0 
b) Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có: 
N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY 
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a) 
Kết quả: 
M = 4938444443209829630. 
N = 401481484254012. 
Bài tập tương tự: 
Tính chính xác các phép tính sau: 
a) A = 20!. 
b) B = 5555566666 . 6666677777 
c) C = 20072007 . 20082008 
d) 10384713 
e) 201220032 
II. TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN 
a) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số: 
Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) 
 Trang 3 
Suy ra r = a – b . q 
Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia sau: 
1) 9124565217 cho 123456 
2) 987896854 cho 698521 
b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số: 
 Phương pháp: 
Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số) 
- Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần 
đầu khi chia cho B. 
- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. 
Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy. 
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567. 
Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203 
Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567. 
Kết quả số dư cuối cùng là 26. 
Bài tập: Tìm số dư của các phép chia: 
a) 983637955 cho 9604325 
b) 903566896235 cho 37869. 
c) 1234567890987654321 : 123456 
c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư. 
* Phép đồng dư: 
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a 
đồng dư với b theo modun c ký hiệu (mod )a b c 
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+ 
 (mod )a a m 
 (mod ) (mod )a b m b a m   
 (mod ); (mod ) (mod )a b m b c m a c m    
 (mod ); (mod ) (mod )a b m c d m a c b d m      
 (mod ); (mod ) (mod )a b m c d m ac bd m    
 (mod ) (mod )n na b m a b m   
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19 
Giải: 
 
2
36 2 3
12 144 11(mod19)
12 12 11 1(mod19)
 
  
Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1 
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975 
Giải: 
Biết 376 = 62 . 6 + 4 
Ta có: 
2
4 2
12 3
48 4
2004 841(mod1975)
2004 841 231(mod1975)
2004 231 416(mod1975)
2004 416 536(mod1975)

 
 
 
Vậy 
 Trang 4 
60
62
62.3 3
62.6 2
62.6 4
2004 416.536 1776(mod1975)
2004 1776.841 516(mod1975)
2004 513 1171(mod1975)
2004 1171 591(mod1975)
2004 591.231 246(mod1975)
 
 
 
 
 
Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246 
Bài tập thực hành: 
Tìm số dư của phép chia : 
a) 138 cho 27 
b) 2514 cho 65 
c) 197838 cho 3878. 
d) 20059 cho 2007 
e) 715 cho 2001 
III. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM... CỦA 
MỘT LUỸ THỪA: 
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002 
Giải: 
 
2
10002 2000 1000
2
1000
2000
17 9(mod10)
17 17 9 (mod10)
9 1(mod10)
9 1(mod10)
17 1(mod10)

 



Vậy 2000 217 .17 1.9(mod10) . Chữ số tận cùng của 172002 là 9 
Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005. 
Giải 
+ Tìm chữ số hàng chục của số 232005 
1
2
3
4
23 23(mod100)
23 29(mod100)
23 67(mod100)
23 41(mod100)




Do đó: 
 520 4 5
2000 100
2005 1 4 2000
23 23 41 01(mod100)
23 01 01(mod100)
23 23 .23 .23 23.41.01 43(mod100)
  
 
   
Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43) 
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 232005 
1
4
5
20 4
2000 100
23 023(mod1000)
23 841(mod1000)
23 343(mod1000)
23 343 201(mod1000)
23 201 (mod1000)



 

 Trang 5 
5
100
2000
2005 1 4 2000
201 001(mod1000)
201 001(mod1000)
23 001(mod1000)
23 23 .23 .23 023.841.001 343(mod1000)



  
Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 
343) 
III. TÌM BCNN, UCLN 
Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản A a
B b
 
Tá áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau: 
 + UCLN (A; B) = A : a 
 + BCNN (A; B) = A . b 
Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531 
HD: Ghi vào màn hình : 2419580247
3802197531
 và ấn =, màn hình hiện 7
11
UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321 
BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình) 
Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247 . 11 
Kết quả : BCNN: 4615382717 + 2.109 . 11 = 26615382717 
Ví dụ 2: Tìm UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 
Giải: Ấn 9474372  40096920 = ta được : 6987 29570. 
UCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356. 
Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c) 
Do đó chỉ cần tìm UCLN(1356 ; 51135438). 
Thực hiện như trên ta tìm được: 
UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678 
Bài tập: 
Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510. 
a) Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034. 
b) Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510. 
c) Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B2. 
IV.PHÂN SỐ TUẦN HOÀN. 
Ví dụ 1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau: 
a) 0,(123) 
b) 7,(37) 
c) 5,34(12) 
Giải: 
Ghi nhớ: 1 1 10, (1); 0,(01); 0, (001)
9 99 999
   ... 
a) Cách 1: 
Ta có 0,(123) = 0,(001).123 = 1 123 41.123
999 999 333
  
 Cách 2: 
Đặt a = 0,(123) 
Ta có 1000a = 123,(123) . Suy ra 999a = 123. Vậy a = 123 41
999 333
 
 Trang 6 
Các câu b,c (tự giải) 
Ví dụ 2: Phân số nào đã sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321) 
Giải: Đặt 3,15(321) = a. 
Hay 100.000 a = 315321,(321) (1) 
 100 a = 315,(321) (2) 
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006 
 Vậy 
16650
52501
999000
315006
a 
Bài 3: Tính 2 2 2
0,19981998... 0,019981998... 0,0019981998...
A    
Giải 
Đặt 0,0019981998... = a. 
Ta có: 
1 1 12.
100 10
2.111
100
A
a a a
A
a
 
   
 

Trong khi đó : 100a = 0,19981998... = 0,(0001) . 1998 = 1998
9999
Vậy A = 2.111.9999 1111
1998
 
V. TÍNH SỐ LẺ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY. 
Ví dụ 1: 
Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13 
Giải: 
Bước 1: 
+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính 
rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình) 
Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923 
+ Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999 
 17 - 16,9999999 = 0,0000001 
Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001 
(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã 
làm tròn. Không lấy số không vì 
17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001 
Bước 2: 
+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692 
11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692 
Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là: 
307692307692307692 
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số. 
Ta có 105 = 6.17 + 3 (105 3(mod 6) ) 
Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính 
là số 7 
Ví dụ 2: 
Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19 
Giải: 
 Trang 7 
Ta có 250000 1713157
19 19
  . Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu 
phẩy trong phép chia 17 : 19 
Bước 1: 
Ấn 17 : 19 = 0,8947368421. 
Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842 
+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10-9 
Bước 2: 
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157 
+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10-8 = 17 . 10-9 
Bước 3: 
Lấy 17 : 19 = 0,8947368421. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là 
+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10-9 
Bước 4: 
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. 
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157 
... 
Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ... 
 = 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số. 
Ta có  6693 2007 3 66913 1(mod18) 13 13 1 (mod18)    
Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 
18 chữ số thập phân. 
Kết quả : số 8 
Bài tập: 
Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia: 
a) 1 chia cho 49 
b) 10 chia cho 23 
VI. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC 
Một số kiến thức cần nhớ: 
1. Định lý Bezout 
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a) 
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a 
2. Sơ đồ Hor nơ 
Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị 
thức x – a. 
Ví dụ: 
Thực hiện phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – 2 bằng cách dùng sơ đồ Hor nơ. 
Bước 1: Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên. 
Bước 2: Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa 
thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư. 
- Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên 
a = 2 
-5 8 -4 1 
 Trang 8 
- Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với 
số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên 
Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 
* Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta được 
thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có: 
Bài 1: Tìm số dư trong các phép chia sau: 
a) x3 – 9x2 – 35x + 7 cho x – 12. 
b) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617. 
c) Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6 
d) 
5 3 26,723 1,857 6, 458 4,319
2,318
x x x x
x
   

e) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 
+ Tính P(2 2 ) 
+ Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3 
Bài 2 : 
Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f . 
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 15 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , 
P(9) 
Giải: 
Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52 
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2. 
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0. 
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x). 
Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng: 
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5). 
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 
Hay P(6) = 5! + 62 = 156. 
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72 
Hay P(7) = 6! + 72 = 769 
Bài 3: 
Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , 
Q(4) = 11 . 
Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) 
Hướng dẫn 
Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4 + 3 
Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) 
Bài 4 : Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e . 
Biết P(1) = 3 , P(2) = 9 , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , 
P(9) , P(10) , P(11) . 
Bài 5: 
a = 2 
-5 8 -4 1 
1 -3 2 0 
a 
a1 a2 a3 a0 
b0 r b1 b2 
a0 ab0 + a1 ab1 + a2 ab2 + a3 
 Trang 9 
Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; 
P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003) 
Bài 6: 
Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50. 
Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) 
Bài 7: 
Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. 
Tính P(2007) 
Bài 8 : Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m . 
a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 . 
b) Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5 
c) P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m . 
Bài 9: Cho P(x) = 4 32 2 5 7
3
x x x   . 
a) Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5. 
b) Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân. 
Bài 10: 
Tìm số dư trong phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho 
x – 2,652. Tìm hệ số của x2 trong đ thức thương của phép chia trên. 
Bài 11: 
Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) 
có bậc là 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x) 
Bài 12: 
Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m . 
a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3 
b) Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích 
P(x) thành tích của các thừa số bậc nhất 
c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2 . 
d) Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất. 
Bài 13: 
Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n . 
a) Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 . 
b) Với giá trị của m và n tìm được , chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một 
nghiệm duy nhất 
Bài 14 : 
Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c . Biết : f 





3
1 = 
108
7 ; f 





2
1 = 
5
3
 ; f 





5
1 = 
500
89 . 
Tính giá trị đúng và gần đúng của f 





3
2 . 
Bài 15: 
Xác định các hệ số a, b, c của đa thức: 
P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia 
cho (x – 3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là 3 
(Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân) 
Bài 16: 
Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức 
Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 tại các giá trị của x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45 
 Trang 10 
VII. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ 
Bài 1: 
Cho dãy số a1 = 3; an + 1 = 
3
31
n n
n
a a
a


. 
a) Lập quy trình bấm phím tính an + 1 
b) Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10 
Bài 2: 
Cho dãy số x1 = 
1
2
; 
3
1
1
3
n
n
xx 

 . 
a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1 
b) Tính x30 ; x31 ; x32 
Bài 3: Cho dãy số 1
4
1
n
n
n
xx
x



 (n  1) 
a) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100. 
b) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100. 
Bài 4: Cho dãy số 
2
1 2
4 5
1
n
n
n
xx
x



 (n  1) 
a) Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1 
b) Tính x100 
Bài 5: Cho dãy số 
   5 7 5 7
2 7
n n
nU
  
 với n = 0; 1; 2; 3; ... 
a) Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4 
b) Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un . 
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un. 
HD giải: 
a) Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được 
 U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 
b) Chứng minh: Giả sử Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta 
được hệ phương trình: 
2 1 0
3 2 1
4 3 2
10
10 82
82 10 640
U aU bU c a c
U aU bU c a b c
a b cU aU bU c
     
 
       
       
 Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0 
c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio 570MS , Casio 570ES 
 Đưa U1 vào A, tính U2 rồi đưa U2 vào B 
 1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B, 
 lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + 2 với n = 2, 3, ... 
 x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3) 
 x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4) 
Bài 6: Cho dãy số 3 5 3 5 2
2 2
n n
nU
    
        
   
 với n = 1; 2; 3; ... 
a) Tính 5 số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5 
b) Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1. 
 Trang 11 
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 1 trên máy Casio 
Bài 7: 
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức 
32
)313()313( nn
nU

 với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . 
 a) Tính 87654321 ,,,,,,, UUUUUUUU 
 b) Lập công thức truy hồi tính 1nU theo nU và 1nU 
 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính 1nU theo nU và 1nU 
Bài 8: 
Cho dãy số  nU được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số 
trước cộng với 1, bắt đầu từ U0 = U1 = 1. 
a) Lập một quy trình tính un. 
b) Tính các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 
c) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không 
hãy chứng minh. 
Hướng dẫn giải: 
a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + 2 = Un + 1 . Un + 1, (n =1; 2; ...) 
 Quy trình tính Un trên máy tính Casio 500MS trở lên: 
1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím 
x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B 
b) Ta có các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 trong bảng sau: 
U0 = 1 U1 = 1 U2 = 2 U3 = 3 U4 = 7 
U5 = 22 U6 = 155 U7 = 3411 U8 = 528706 U9 = 1803416167 
Bài 9: 
Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + 1 = 3Un + Un – 1. (n  2) 
a) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio 
b) Tính các giá trị của Un với n = 18, 19, 20 
Bài 11: 
Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + 1 = Un + Un – 1. (n  2) 
c) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio 
d) Tính các giá trị của Un với n = 12, 48, 49, 50 
ĐS câu b) 
U12 = 144, U48 = 4807526976, U49 = 7778742049 , U49 = 12586269025 
Bài 12: 
Cho dãy số sắp thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở đi được tính theo công thức 
Un + 1 = 2Un + Un + 1 (n  2). 
a) Tính giá trị của U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 
b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un 
c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị của Un với n = 22; 23, 24, 25 
 Trang 12 
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ. 
Bài 1: 
Cho 1230 510
2003
A  

 . Viết lại 
1
1
1
1
1...
o
n
n
A a
a
a
a
 

 
Viết kết quả theo thứ tự    0 1 1, ,..., , ...,...,...,...n na a a a  
Giải: 
Ta có 12 12.2003 24036 4001 130 3 30 30 1 315 2003520035 20035 2003510
2003 4001
A           

 131 305
4001
 

. 
Tiếp tục tính như trên, cuối cùng ta được: 
 131
15 1133 12 11 12 11
2
A  






Viết kết quả theo ký hiệu liên phân số    0 1 1, ,..., , 31,5,133, 2,1, 2,1, 2n na a a a  
Bài 2: 
Tính giá trị của các biểu thức sau và biểu diễn kết quả dưới dạng phân số: 
31
12 13 14
5
A 



 ; 1017 16 15
4
B 



 ; 2003
23 45 87
9
C 



Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315 
Riêng câu C ta làm như sau: Khi tính đến 2003: 1315
391
. Nếu tiếp tục nhấn x 2003 = 
thì được số thập phân vì vượt quá 10 chữ số. 
Vì vậy ta làm như sau: 
391 x 2003 = (kết quả 783173) vậy C = 783173/1315. 
Bài 3: 
a) Tính 11 11 11 11 11 11
1 1
A  






 b) 13 13 13 13 13 13
3
B  





 Trang 13 
c) 11 12 13 14 15 16 17 18
9
C  







 d) 19 28 37 46 55 64 73 82
9
D  







Bài 4: 
a) Viết quy trình tính: 
 3 117 12 51 231 11 312 117 7
2002 2003
A   
 
 
 
b) Giá trị tìm được của A là bao nhiêu ? 
Bài 5: 
Biết 2003 17 1273 2 1
1
1
a
b
c
d
 




. Tìm các số a, b, c, d. 
Bài 6: 
Tìm giá trị của x, y. Viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau: 
a) 4 1 11 41 12 31 13 2
4 2
x x
 
 
 
 
 ; b) 
1 11 21 13 4
5 6
y y

 
 
Hướng dẫn: Đặt A = 
1
11 12 13
4



 , B = 1 14 13 12
2



Ta có 4 + Ax = Bx. Suy ra 4x
B A


. 
Kết quả 844 125568
1459 1459
x    