Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9 - Phần Tứ giác nội tiếp

CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN
A - MỤC TIÊU
- Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đường tròn.
- Vận dụng một cách thành thục các định nghĩa, tính chất để giải các dạng bài tập đó.
- Rèn kỹ năng và tư duy hình học, sáng tạo và linh hoạt trong giải toán hình học.
B - NỘI DUNG
I/ Những kiến thức cơ bản :
Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn :
Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi R gọi là đường tròn tâm O bán kính R , kí hiệu là (O,R) .
Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một điều kiện của nó . Nếu AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao cho góc AMB = 900 . Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng .
Qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn và chỉ một mà thôi . Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tâm của đường tròn là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC
Trong một đường tròn , đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó . Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó .
Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm . 
Trong một đường tròn , hai dây cung không bằng nhau , dây lớn hơn khi và chỉ khi dây đó gần tâm hơn .
Tiếp tuyến của đường tròn :
* Định nghĩa : Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có một điểm chung với đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm .
* Tính chất : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm . Ngược lại , đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến .
 a là tiếp tuyến của đường tròn (O) 
* Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm .
AB = AC
AO là tia phân giác góc BAC
OA là tia phân giác góc BOC
* Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác đó . Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác của tam giác .
* Đường tròn bàng tiếp của tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia .
Vị trí tương đối của hai đường tròn :
Giả sử hai đường tròn ( O;R) và (O’;r) có R ≥ r và d = OO’ là khoảng cách giữa hai tâm . Khi đó mỗi vị trí tương đối giữa hai đường tròn ứng với một hệ thức giữa R , r và d theo bảng sau :
Vị trí tương đối
Số điểm chung
Hệ thức
Hai đường tròn cắt nhau
2
R – r <d < R + r
Hai đường tròn tiếp xúc
1
d = R + r ( d = R – r )
Hai đường tròn không giao nhau
0
d > R + r ( d < R – r )
Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi tiếp điểm nằm trên đường nối tâm .
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây cung chung và chia dây cung đó ra hai phần bằng nhau .
Các loại góc :
* Số đo cung : 
- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó : sđ = 
- Số đo cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ : sđ = 3600 - 
- Cung bị chắn bởi một góc là cung nằm trong hai cạnh của góc đó
Góc ở tâm :
Định nghĩa : Là góc có đỉnh ở tâm đường tròn .
Tính chất : Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn .
 = sđ 
Góc nội tiếp :
Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc chứa hai dây của đường tròn đó .
Tính chất : Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn . 
 = sđ 
Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung
Định nghĩa: Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là tia tiếp tuyến và một cạnh chứa dây cung của đường tròn
Tính chất : Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn 
 = sđ ; = sđ
Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn :
Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, hai cạnh chứa một đoạn các dây cung của đường tròn
Tính chất : Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy .
 = (sđ + sđ)
Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn :
Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung (hình a) , hoặc một cạnh chứa dây cung một cạnh là tiếp tuyến (hình b), hoặc hai cạnh đều là tiếp tuyến (hình c) của đường tròn
Tính chất : Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc .
a) = (sđ - sđ) ; 
b) = (sđ - sđ) ;
c) = (sđ - sđ)
f. Các hệ quả
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
- Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
Quỹ tích cung chứa góc :
Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB . Đặc biệt cung chứa góc 900 là đường tròn đường kính AB 
Dựng tâm O của cung chứa góc trên đoạn AB :
Dựng đường trung trực d của AB .
Dựng tia Ax tạo với AB một góc , sau đó dựng Ax’ vuông góc với Ax .
O là giao của Ax’ và d .
Tứ giác nội tiếp đường tròn :
Định nghĩa : Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay gọi là tứ giác nội tiếp) và đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.
Tính chất:
+ Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
+ Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
- Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Dấu hiệu 1: (Dựa vào định nghĩa)
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp
Tức là chứng minh tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD.
Dâu hiệu 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 là tứ giác nội tiếp
Tứ giác ABCD có : = 1800 (hoặc ) Þ tứ giác ABCD nội tiếp
Dấu hiệu 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp
 Þ tứ giác ABCD nội tiếp
Dấu hiệu 4: ( Dựa vào cung chứa góc)
 Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau.
Tứ giác ABCD có : và B, C là hai đỉnh kề nhau Þ tứ giác ABCD nội tiếp
Chu vi đường tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn :
Chu vi hình tròn : 	C = 2R = d ( d = 2R )
Diện tích hình tròn : 	S = R2 
Độ dài cung tròn :	 	l = 
Diện tích hình quạt tròn : 	S = 
II/ Bài tập vận dụng 
Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn :
Ứng dụng của tiếp tuyến :
Từ các tính chất của tiếp tuyến , của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chỉ ra được các đường thẳng vuông góc , các cặp đoạn thẳng và các cặp góc bằng nhau ; cũng từ đó ta xây dựng được các hệ thức về cạnh , về góc .
Từ tính chất của tiếp tuyến chúng ta có thể vận dụng vào tam giác tìm ra công thức tính diện tích của đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếp tam giác, cũng như bán kính
Lưu ý : Chứng minh AX là tiếp tuyến của (O;R) chúng ta làm theo một trong các cách sau :
A Î (O;R) và góc OAX = 900 . 
Khoảng cách từ O đến AX bằng R .
Nếu X nằm trên phần kéo dài của EF và XA2 = XE.XF ( xem hình)
Các ví dụ :
A
E
C
O
B
D
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; d là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E .
Tính góc DOE .
Chứng minh : DE = BD + CE .
Chứng minh : BD.CE = R2 ( R là bán kính đường tròn tâm O )
Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE .
Hướng dẫn chứng minh :
a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được :
A
B
C
D
E
F
O
O’
M
b) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh được : DE = DA + EA = BD + EC
c) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có : BD.CE = DA.EA .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác DOE DA.EA = OA2 = R2
E
B
C
D
A
I
O
d) Trung điểm I của DE là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông DOE . Ta thấy OI là đường trung bình của hình thang vuông BDEC nên OI // BD // CE hay OI ^ BC hay BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE .
Bài 2 : Cho hai đường tròn ( O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ các đường kính AOB ; AOC . Gọi DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ; D Î ( O ) ; E Î ( O’) . Gọi M là giao điểm của BD và CE .
Tính số đo góc DAE .
Tứ giác ADME là hình gì ?
Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn .
Hướng dẫn chứng minh :
a) Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn đi qua A cắt tiếp tuyến chung DE ở F . Dựa vào tính chất tiếp tuyến ta có FA = FD = FE . Vậy tam giác DAE là tam giác vuông tại A hay góc DAE = 900 .
b) Tứ giác ADME có nên nó là hình chữ nhật .
c) Từ câu b) AM đi qua trung điểm của DE hay AM trùng với AF nên AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn .
Lời bình : 
Với những bài tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc nhau , ta nên lưu ý đến tiếp tuyến chung của chúng . Nó thường có một vai trò rất quan trọng trong các lời giải .
Với bài tập trên chúng ta có thể hỏi : 
CMR : góc OFO’ là góc vuông .
DE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’ .
Các tia AD và AE cắt (O) và (O’) ở H ; K . Chứng minh : SAHK = SADE .
Bài 3 : Gọi a , b, c là số đo 3 cạnh của tam giác ABC , r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác . Tính diện tích tam giác theo p và r , trong đó p là nửa chu vi tam giác .
I
A
B
C
E
F
D
Hướng dẫn :
Gọi D , E , F là các tiếp điểm .
Theo tính chất tiếp tuyến : ID = IF = IE = r .
Nên : SABC = SABI + SBCI + SACI = ( a + b + c).r = pr; S = pr
Từ bài tập trên hãy tính :
Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác vuông , tam giác đều theo các cạnh của tam giác .
Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo các cạnh a , b, c của tam giác .
Bài tập về các loại góc trong đường tròn
C
B
O
A
D
P
M
N
Bài 1 : Cho A là một điểm cố định trên đường tròn (O) và M là một điểm di động trên đường tròn đó . N là giao của AM với đường kính cố định BC . Chứng minh giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN là cố định .
Hướng dẫn chứng minh :
Kẻ DA // BC . Kẻ đường kính DP .
Ta dễ thấy : ( cùng bằng góc A ) .
Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN đi qua P Î (O) cố định.
Nhận xét :
Trong bài này P còn là góc nội tiếp của hai đường tròn nên nó đóng vai trò đại lượng trung gian để chứng minh những góc bằng nhau . Kĩ năng này còn được gặp lại khá thường xuyên .
Bài 2 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự ở D , E . Gọi I là giao điểm của BE và CD .
Chứng minh : AI ^ BC
Chứng minh : 
Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE là tam giác đều .
Hướng dẫn chứng minh :
a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường tròn , ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC nên AI ^ BC .
b) Góc IAE = EBC góc có cạnh tương ứng vuông góc .
Góc EBC = EDC cùng chắn cung EC .
Từ hai điều trên suy ra điều chứng minh . 
c) Góc BAC = 600 Þ Góc DBE = 300 chắn cung DE
Þ Số đo cung DE = 600 
Þ Góc DOE = 600 mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE là tam giác đều .
A
B
C
D
K
E
H
O
Bài 3 : Cho đường tròn (O) đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn . Điểm C thuộc nửa đường tròn cùng nửa mặt phẳng với Ax với bờ là AB. Phân giác góc CAx cắt đường tròn tại E , cắt BC ở D . Chứng minh :
Tam giác ABD cân .
H là giao điểm của BE và AC . Chứng minh DH ^ AB .
BE cắt Ax tại K . Chứng minh tứ giác AKDH là hình thoi .
Hướng dẫn giải :
a) AD là phân giác hai cung AE và CE bằng nhau .
Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh được BE vừa là phân giác vừa là đường cao của tam giác ABD , nên DABD cân đỉnh B.
b) Dựa vào góc chắn nửa đường tròn .Ta thấy H là trực tâm của DABD nên DH ^ AB.
c) Ta thấy KE = HE (vì DAKH cân đỉnh A) và AE = DE (D ABD cân đỉnh B) và AD^KH , nên tứ giác AKDH là hình thoi .
* Từ bài tập trên có thể ra các câu hỏi khác :
- Chứng minh OE ^ AC .
A
B
C
A’
H
O
a
b
- Tìm vị trí của C trên cung AB để DABD đều
Bài 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) .Chứng minh rằng :
	a) R = 
	b) R = 
Hướng dẫn giải 
a) Kẻ đường kính AA’lúc đó DACA’ vuông tại C .
Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông và góc nội tiếp chắn cùng một cung 
ta có . Hay 
Chứng minh tương tự .
b) Ta thấy hai tam giác vuông AHB và ACA’ đồng dạng nên 
hay mà suy ra hay 
Từ bài tập trên hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông , tam giác đều .
Bài tập về tứ giác nội tiếp một đường tròn 
	Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn theo một trong các cách sau đây :
Chứng minh tổng hai góc đối diện trong một tứ giác bằng 1800.
Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm còn lại dưới cùng một góc .
Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại M mà MA.MC = MB.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp .
Tứ giác có hai cạnh bên AB và CD giao nhau tại M mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp .
Các ví dụ :
x
A
B
C
D
E
Bài 1 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao BD , CE .
Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh : AD.AC = AE.AB .
Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng : Ax // ED .
Hướng dẫn chứng minh :
a) D, E cùng nhìn BC dưới một góc 900 nên tứ giác BEDC nội tiếp .
b) Hai tam giác vuông ABD và ACE đồng dạng . Suy ra AD.AC = AE.AB .
c) vì cùng chắn cung AB.
 vì cùng phụ với góc BED .
	Nên . Suy ra Ax // ED .
Nhận xét :
- Với giả thiết của bài toán trên chúng ta có thể khai thác bài toán theo nhiều hướng và ra được nhiều câu hỏi :
- Kéo dài các đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ở D’ , E’ , F’ . Chứng minh :
H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F’ .
H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC .
ED // E’D’.
OA ^ E’D’.
Các đường tròn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính bằng nhau .
SABC = .
Vẽ hình bình hành BHCK , I là trung điểm của BC . Chứng minh :
Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm trên đường tròn (O) .
 .
H , I , K thẳng hàng .
AH // OI ; AH = 2.OI . Nếu B , C cố định A di động thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi .
Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH tại M thì A,B,C,K,M cùng nằm trên một đường tròn .
A
B
D
C
Q
P
E
I
K
Bài 2 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ; E là điểm chính giữa của cung AB , hai dây EC , ED cắt AB tại P và Q . Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại I , các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại K . Chứng minh rằng :
Tứ giác CDIK nội tiếp .
Tứ giác CDQP nột tiếp .
IK // AB .
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA .
Hướng dẫn :
a) D và C cùng nhìn IK dưới hai góc bằng nhau ( góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau ) . Suy ra tứ giác DIKC nội tiếp .
b) sđ (QDC + QPC) 	= ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE)
	= ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800	
Nên tứ giác CDQP nội tiếp .
c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK
Từ đó suy ra IK // AB .
d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) . Suy ra AE là tiếp tuyến
A
B
C
D
E
Bài 3 : Cho tứ giác nội tiếp đường tròn (O) . Chứng minh rằng tích hai đường chéo bằng tổng của tích các cặp cạnh đối diện .
Hướng dẫn :
Giả sử ACD > .
Lấy E trên BD sao cho = DCE .
Hai tam giác ABC và DEC đồng dạng : AB.DC = AC.DE .
Hai tam giác ADC và BEC đồng dạng : AD.BC = AC.BE .
Cộng từng vế hai đẳng thức trên suy ra điều chứng minh .
Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài 1: 
 a) Cho tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M . Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MB = MC.MD
Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại M. Chứng minh rằng : Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MC = MB.MD
Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và các đường cao BE , CF cắt nhau tại H. Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC. Tìm các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ
Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Từ A kẻ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến của đường tròn tại B ở E và F và cắt đường tròn tại C và D. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H 
Vẽ đường kính AA’ của đường tròn (O) , các đường thẳng AD , AA’ cắt EF lần lượt tại M , Q . CA’ cắt AD tại R
Chứng minh các tứ giác BCEF và AFDC nội tiếp
Vẽ đường kính AA’ của đường tròn (O) cắt EF tại Q, cắt CF tại N , BC tại P Chứng minh tứ giác CEQA’ nội tiếp
Gọi M là giao điểm của EF với AD. Chứng minh các điểm M , P , Q cùng thuộc một đường tròn
Gọi R là giao điểm của A’C với AD. Chứng minh tứ giác HRA’N nội tiếp
Hướng dẫn
Chứng minh các tứ giác này có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau
Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện:
Góc QA’C= góc AEF (vì cùng bằng các góc AHF = ABC
Tứ giác CEQA’ nội tiếp mà góc ECA’ = 900 nên ta có góc PQM = 900 . Từ đó ta có tổng hai góc PQM và góc PDM = 1800 nên tứ giác MQPD nội tiếp
Chứng minh góc ngoài của tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện. Góc NA’R = góc AHF
Bài 5: Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB. Qua điểm M thuộc đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt PA tại C và PB tại D. Chứng minh rằng :
Các tứ giác OCAM , OBDM nội tiếp 
M là trung điểm của CD
Bốn điểm C , O , D , P có cùng thuộc một đường tròn không?
Hướng dẫn
+ Chứng minh đỉnh A và M của tứ giác OCAM cùng nhìn cạnh OC dưới hai góc bằng nhau
 + Chứng minh tứ giác OBDM có tổng hai góc đối OMD và OBD bằng 1800
Ta chứng minh tứ giác PAOP nội tiếp và chứng minh hai đỉnh D và P của tứ giác CODP nhìn cạnh OC dưới các góc bằng nhau
Nhận xét: Vậy ta có thể vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.
Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, 
EB với các nửa đường tròn (I), (K).
1.Chứng minh EC = MN.
2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ/tròn (I), (K).
3.Tính MN.
4.Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn
Lời giải: 
 1. Ta có: ÐBNC= 900( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K)
 => ÐENC = 900 (vì là hai góc kề bù). (1)
 ÐAMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => ÐEMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2)
 ÐAEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay ÐMEN = 900 (3)
 Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật )
 2. Theo giả thiết EC ^AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (I) và (K) 
 => ÐB1 = ÐC1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN). Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => ÐC1= ÐN3 
 => ÐB1 = ÐN3.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân tại K => ÐB1 = ÐN1 (5) 
 Từ (4) và (5) => ÐN1 = ÐN3 mà ÐN1 + ÐN2 = ÐCNB = 900 => ÐN3 + ÐN2 = ÐMNK = 900 hay MN ^ KN tại N => MN là tiếp tuyến của (K) tại N.
 Chứng minh tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (I) tại M, 
 Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).
3. Ta có ÐAEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => DAEB vuông tại A có EC ^ AB (gt) 
=> EC2 = AC. BC ó EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm.
4. Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm
Ta có S(o) = .OA2 = 252 = 625; S(I) = . IA2 = .52 = 25; S(k) = .KB2 = . 202 = 400.
Ta có diện tích phần hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn là S = ( S(o) - S(I) - S(k))
S = ( 625- 25- 400) = .200 = 100 314 (cm2)
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S.
Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
Chứng minh điểm M là