Chuyên đề bồi dưỡng Các bài toán về chia hết và phương hướng tìm lời giải - Lê Thị Bích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
Các bài toán về chia hết và phương hướng tìm lời giải
LÊ THỊ BÍCH - SĐT 0981016604
HÀ NỘI-2017
1
Lebich.math.hnue@gmail.com - SĐT 0981016604
1 Tóm tắt lý thuyết
1.1 Phép chia hết và phép chia có dư
Cho 2 số nguyên a và b (b>0). Chia a cho b ta nói: a chia hết cho b hoặc a không chia hết
cho b.
• a chia hết cho b hay a là bội của b, kí hiệu là a...b
Ta cũng nói b chia hết a hay b là ước của a và kí hiệu b|a .
• a không chia hết cho b , kí hiệu a 6 ...b. Và ta được thương gần đúng là q và sô dư là r
(0 < r < b)
Ta viết được dưới dạng: a = bq + r với 0 < r < b
• Dấu hiệu chia hết cho các số
1. Dấu hiệu chia hết cho 2: Chữ số tận cùng là các chữ số: 0;2;4;6;8
2. Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3
3. Dấu hiệu chia hết cho 4: 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4
4. Dấu hiệu chia hết cho 5: Chữ số tận cùng là các chữ số: 0; 5
5. Dấu hiệu chia hết cho 6: Vừa chia hết cho 2 và đồng thời vừa chia hết cho 3
6. Dấu hiệu chia hết cho 7: Hiệu của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng với 2
lần chữ số tận cùng chia hết cho 7 ( có thể làm nhiều lần cho tới khi chắc chắn chia
hêt cho 7)
7. Dấu hiệu chia hết cho 8: 3 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8
8. Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9
9. Dấu hiệu chia hết cho 11: Hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn với tổng các chữ số hàng
lẻ chia hết cho 11
10. Dấu hiệu chia hết cho 13: Tổng của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng với 4
lần chữ số tận cùng chia hết cho 13 ( có thể làm nhiều lần cho tới khi chắc chắn chia
hêt cho 13)
Tính chất 1.
2
1 Nếu a
...b, b
...c thì a
...c
2 Nếu a
...b, b
...c thì a
...BCNN(b, c) ( đặc biệt nếu b và c nguyên tố cùng nhau thì a
...b.c)
3 Nếu a và b cùng chia hết cho c thì mọi số nguyên tố k,l ta có ka± lb chia hết cho c.
4 Nếu tổng (a1 + a2 + ...+ an)
...b, trong đó có n-1 số hạng chia hết cho b thì số hạng còn
lại chia hết cho b.
5 Tích của 2 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2.
6 Tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2, 3,6.
7 Tích của n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2,3,4,..,n , n!.
8 a2 chia 3 dư 0 hoặc 1.
9 Nếu a lẻ thì a2 chia 4 dư 1. Nếu a chẵn thì a2 chia 4 dư 0.
Tóm lại a2 chia 4 dư 0 hoặc 1.
10 Nếu a lẻ thì a2 chia 8 dư 1. Nếu a chẵn thì a2 chia 8 dư 0 hoặc 4.
Tóm lại a2 chia 4 dư 0 hoặc 1, 4.
11 a4 chia 4 dư 0 hặc 1.
12 a4 chia 8 dư 0 hặc 1.
1.2 Thuật Euclide
Cho a b là 2 số nguyên. Giải sử a>b >0.
1. a = bq → (a, b) = b
2. a = bq + r(0 < r < b− 1)→ (a, b) = (b, r)
Thuật toán Euclide nói rằng việc tìm ước chung lớn nhất của 2 số ban đầu đã đưa về việc
tìm Ước chung lớn nhất của 2 số tương ứng nhỏ hơn. Tiếp tục nhiều lần như vậy, cuối cùng
ta cũng tìm được ước chung lớn nhất của 2 số mà số này là ước của số kia.
Ví dụ 1. Tìm Ư CLN (720, 306).
Ta có:
720 = 306.2 + 90⇒ (720, 306) = (306, 90)
306 = 90.3 + 36⇒ (306, 90) = (90, 36)
90 = 36.2 + 18⇒ (90, 36) = (36, 18)
36 = 18.2⇒ (36, 18) = 18
⇒ (720, 306) = 18
3
1.3 Các bài toán về chia hết và phương hướng tìm lời giải
Bài toán 1. Cho biểu thức A(n). Chứng minh A(n) chia hết cho số nguyên tố p.
Khi đó ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho số nguyên tố p (0,±1, 2, ...,±p−1
2
).
Ví dụ 2. Chứng minh A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4)
...5 với mọi số nguyên n.
• nếu n chia hết cho 5 rõ ràng A(n) chia hết cho 5.
• nếu n không chia hết cho 5 thì n có dạng: 5k± 1 hoặc 5k± 2 thay vào biểu thức A(n)
ta có đpcm.
Bài toán 2. Để chứng minh A(n) chia hết cho một hợp số m. Nói chung ta nên phân tích
m ra thành thừa số, giả sử m=pq.
Nếu p và q nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách chứng minh A(n) chia hết cho p và A(n)
chia hết cho q từ đó suy ra A(n) chia hết cho pq hay cho m.
Ví dụ 3. Chứng minh 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
Giả sư 3 số nguyên liên tiếp có dạng n(n+1)(n+2). khi đó ta c/m nó chia hết cho 2 và
3. áp dụng Bài toán 1 cho việc chứng minh chia hết cho 2 và 3.
Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau thì ta phân tích A(n) thành thừa số, chẳng hạn
A(n)=B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n)
...p, C(n)
...q.
Ví dụ 4. Chứng minh 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
A(n)=2n.(2n+2)=4n(n+1);4
...4, n(n+ 1)
...2 -đpcm
Bài toán 3. Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành bài toán
tổng của nhiều số hạng và chứng minh mỗi số hạng chia hết cho m.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên n bất kỳ trừ đi 13 lần số nguyên
đó thì luôn chia hết cho 6.
Ta c/m A(n) = n3 − 13n...6 Mà A(n) = n3 − n− 12n = (n− 1)n(n+ 1)− 12n. Tích 3 số
tự nhiên liên liếp thì chia hết cho 6,12n
...6.
Vậy A(n)
...6.
4
Bài toán 4. Để chứng minh một tổng không chia hết cho m thi ta chứng minh một số hạng
nào đó không chia hết và tất cả các số hạng còn lại chia hết cho m.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi số n lẻ thì n2 + 4n+ 5 không chia hết cho 8.
Đặt n= 2k+1 khi đó: n2 +4n+5 = (2k+1)2 +4(2k+1)+ 5 = 4k(k+1)+ 8(k+1)+ 2.
Đây là tổng của 3 số hạng, 4k(k+1) chia hết cho 8, 8(k+1) chia hết cho 8, nhưng 2 không
chia hết cho 8 vậy tổng không chia hết cho 8.
Bài toán 5. Thường dùng kết quả sau đây: Nếu số dư khi chia a cho b>0 là r, (0< r <b)
thì số dư khi chia an cho b là số dư khi chia rn cho b (số dư này bằng rn nếu rn nhỏ hơn b).
Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu n không chia hết cho 7 thì n3 + 1 hoặc n3 − 1 chia hết cho
7.
Vì n không chia hết cho 7 nên n có dạng : n = 7k ± 1, n = 7k ± 2, n = 7k ± 3 khi đó n3
chia 7 dư ±1,±8,±27.
Vậy trong mọi trường hợp thì n3 + 1 hoặc n3 − 1 đều chia hết cho 7.
Bài toán 6. Có thể dùng các công thức sau:
a2 − b2 = (a− b)(a+ b)
a3 ± b3 = (a± b)(a2 ∓ ab+ b2)
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ ...+ abn−2 + bn−1)
an + bn = (a+ b)(an−1 − an−2b+ ...− abn−2 + bn−1)(n = 2k + 1)
Khi đó (an − bn)...(a− b) với mọi n và an + bn...(a+ b), n lẻ.
Ví dụ 8. Chứng minh : 24n − 1...15 và 25 + 35 + 55...5 .
Ta có: 24n − 1 = 16n − 1 = (16− 1).M = 15.M ...15.
Ta có :25 + 35 + 55 = (2 + 3).M + 55
...5.
Bài toán 7. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bước 1: Thử bài toán với n= 0,1,2 ...nếu n ∈ R hoặc bằng n0 nếu n ≥ n0.
Bước 2: Giả sử bài toán đúng với n = k (giả thiết quy nạp)
Bước 3: Ta phải chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 bằng giả thiết bài toán và giả
thiết quy nạp.
Bước 4: Kết luận bài toán.
Ví dụ 9. Chứng minh 16n − 15n− 1...225
5
Ta có với n = 1⇒ 0...225( đúng) Giả sử với n=k thì 16k − 15k − 1...225.
Ta phải chứng minh với n=k+1 thì 16k+1 − 15k + 1− 1...225. Thật vậy:
16k+1 − 15k + 1− 1 = 16(16k − 15k − 1) + 15.15k...225
Vậy bài toán đúng với n= k+1 nên bài toán đúng.
2 Bài tập
1.1. Chứng minh rằng:
a. 8926 − 4521...2 ; 19911990 − 19901991 6 ... 2
b. 10n − 4 ...3 ; 9.10n + 18 ...27
c. 4110 − 1...10 ; 92n − 14...5
1.2 Chứng minh rằng:
a. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2.
b. Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6.
c. Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 24.
d. Tích của 3 số chẵn thì chia hết cho bao nhiêu?
1.3. Chứng minh rằng tích của một số chính phương với một số tự nhiên liền trước nó chia
hết cho 12.
1.4. Cho A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4). Tìm điều kiện của n để A(n)
...120.
1.5. Chứng minh rằng (n− 1)(n+ 1)n2(n2 + 1)...60 với mọi n.
1.6. Chứng minh rằng với mọi n lẻ.
a. n2 + 4n+ 3
...8
b. n3 + 3n2 − n− 3...48
1.7. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N :
a. 4n15n− 1
...9
b. 10n + 18n− 28...27
1.8. Tìm số dư trong phép chia:
6
a. Bình phương của 1 số lẻ cho 8.
b. 21000 : 5; 21000 : 25
1.9. Chứng minh rằng:
n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
...24 với mọi n ∈ N
1.10. Chứng minh rằng mọi số có dạng n4 − 4n3 + 16n (n là số chẵn lớn hơn 4) thì chia hết
cho 384.
1.11. Chứng minh rằng mọi n ∈ Z thì:
n2 − n...2;n3 − n...3;n5 − n...5
1.12. Chứng minh rằng:
a. n4 − 1...8 với mọi n không chia hết cho 2.
b. n6 − 1...9 với mọi n không chia hết cho 3.
1.13. Chứng minh rằng với (n,6)=1 và n ≥ 5 thì n2 − 1...24.
1.14. Chứng minh rằng 36n − 26n...35 với mọi n ∈ N
1.15. Chứng minh rằng:
a. (a2 + b2)(a2 − b2)...15
b. ab(a2 + b2)(a2 − b2)...30
1.16. Chứng minh rằng:
a. Nếu m2 + n2
...3 thì m và n chia hết cho 3.
b. Nếum2 + n2
...7 thì m và n chia hết cho 7
c. Nếu m2 + n2
...5 thì 2m+ n
...5 và 2n−m...5 hoặc 2m− n...5 và 2n+m...5.
1.17. Chứng minh 4a2 + 3a+ 5
...6 khi (a,6)=1.
1.18. Chứng minh rằng :n8 − n6 − n4 + n2...1152 với n lẻ.
1.19. Chứng minh rằng:
a. Trong 11 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng có 2 số có cùng chữ số tận cùng.
b. Trong m+1 số nguyên bất kỳ, bao h cũng có 2 số mà hiệu chia hết cho m.
7
c. Trong m số nguyên bất kỳ bao giơ cũng có một số hoặc ý nhất hai số có tổng chia hết
cho m.
d. Trong 5 số nguyên tùy ý bao h cũng có 3 số có tổng chia hết cho 3.
1.20. Có hay không một số có dạng 199119911991.....1991000...000 chia hết cho 1990 ?
1.21.
a. Tổng các bình phương của 5 số nguyên liên tiếp có thể là số chính phương được không?
b. Tổng các lũy thừa chẵn của 3 số nguyên liên tiếp có thể là lũy thừa chẵn của một số
nguyên không?
1.22 Chứng minh rằng mọi số nguyên n
a. n2 + n+ 2 6 ... 3
b. n2 + 11n+ 39 6 ...49
c. n2 + 3n+ 5 6 ...121
1.23. Một số có 2 chữ số chia hết cho 7. Chứng minh rằng hiệu các lập phương của 2 chữ số
đó chia hết cho 7.
1.24. Cho 4 số nguyên a, b, c, d. Chứng minh rằng (b− a) (c− a) (d− a) (d− c) (b− d) (c− b)
chia hết cho 12.
1.25. Chứng minh rằng nếu (a+ b+ c)3− (a3+ b3+ c3)...12 thì a, b, c cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
1.26. Chứng minh rằng 13 + 33 + 53 + 73
...23
1.27. Chứng minh rằng nếu a, b là 2 số lẻ thì a3 − b3...2n thì a− b...2n
1.28. Chứng minh rằng 3 + 33 + 35 + ...+ 32n−1
...30
1.29. Chứng minh rằng 122n+1 + 11n+2
...133
1.30. Với giá trị nào của n thì (n+ 5)(n+ 6)
...6n
1.31. Cho 2n = 10a + b Chứng minh rằng nếu n>3 thì tích a.b chia hết cho 6 (a,b,n là số
nguyên dương, b<10)
1.32. Chứng minh rằng
a. 1110− 1...100
8
b. 22225555 + 55552222
...7
1.33. Chứng minh rằng có vô hạn số có dạng an = 2
n − 3 đôi một nguyên tố cùng nhau.
1.34. Tìm hai số tự nhiên a và b biết :
a. a+ b = 128, (a, b) = 16
b. ab = 216, (a, b) = 6
c. 7a = 11b, (a, b) = 45
1.35. Chứng minh rằng :
a. (a, b) = (a, a± b)
b. (a, b) = 1; (b, c) = 1⇒ 9ab, c) = 1
c. (a, b) = 1⇒ (a+ b, a− b) = 1or2
1.36. Chứng minh rằng số
a3 + 2a
a4 + 3a2 + 1
là tối giản.
1.37. Tìm n để số sau là tối giản.
a.
n+ 13
n− 2
b.
18n+ 3
21n+ 7
c.
5n+ 6
6n+ 5
1.38. Chứng minh rằng :
a. (5a+ 3b, 13a+ 8b) = (a, b)
b. (18a+ 5b, 11a+ 3b) = (a, b)
1.39. Tìm bội chung lớn nhất của 3 số tự nhiên liên tiếp.
1.40. Cho A = m + n,B = m2 + n2, trong đó m và n là các số tự nhiên nguyên tố cùng
nhau. Tìm ước chung lớn nhất của A và B.
CON ĐƯỜNG DUY NHẤT ĐỂ HỌC TOÁN LÀ LÀM TOÁN
9