Chuyên đề Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY 
Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội 
Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400 
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi  
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 
 Vấn đề 1: Bất đẳng thức Cauchy 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
BĐT cauchy cho hai số không âm a và b: abba 
2
, dấu bằng xảy ra khi a = b 
BĐT cauchy cho ba số không âm a , b, c: abccba 
3
, dấu bằng xảy ra khi a = b = c 
BĐT cauchy tổng quát: Cho a1, a2,..., an  0 ta luôn có: 
n
n
n aaa
n
aaa
...
...
21
21 

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an 
Một số bất đẳng thức phụ suy ra từ bất đẳng thức Cauchy 
 i) 1 1 4 ( , 0)a b
a b a b
  

 ii) 1 1 1 9 ( , , 0)a b c
a b c a b c
   
 
B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 
1. Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức cosi 
Ví dụ 1: CMR với mọi ta có: 12 15 20 3 4 5
5 4 3
x x x
x x x              
     
Luyện tập: 
1) Cho các số dương x, y, z thoả mãn 1xyz  . Chứng minh rằng : 
2) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 
TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY 
Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội 
Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400 
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi  
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 
2. Kỹ thuật tách số mũ 
Ví dụ 2: 
a) Chứng minh rằng với mọi a, b,c không âm ta có: a3 + b3 + c3  a2b + b2c +c2a 
b) Cho 10  x . CMR 3 27(1 )
256
x x  
Luyện tập: 
3) Chứng minh rằng với mọi a, b,c không âm ta có: a4 + b4 + c4  abc( a +b + c) 
4) Cho a, b dương. Chứng minh rằng : 3 3 23 7 9a b ab  
5) minh rằng với mọi số dương a b, c ta luôn có 
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
  
     
3. Kỹ thuật tách thêm bớt 
Ví dụ 3: Cho 0,, cba sao cho 3 cba . CMR 
 a) 3333  cba 
 b) 333444 cbacba  
Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số dương và 1.x y z   
CMR: 2 2 22 2 2
1 1 1 82.x y z
x y z
      
Luyện tập: 
 6 ) Cho x, y, z dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
7) Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng 
TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY 
Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội 
Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400 
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi  
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 
 8) Cho , 0.a b  Chứng minh rằng: 1 3.
( )
a
b a b
 

 9) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
1 1 4 ( , 0).P xy x y
x y xy
   

4. Áp dụng các bất đẳng thức phụ 
Ví dụ 5: Cho x, ,y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4
x y z
   . CMR 
Luyện tập 
10) Chứng minh rằng với mọi 0x  và với mọi 0  ta luôn có 1 .x x     
Từ đó chứng minh rằng với ba số dương a,b,c bất kì thì:
3 3 3
3 3 3 .
a b c a b c
b c ab c a
     
11) Chứng minh rằng ( , , 0).
2
ab bc ca a b c a b c
a b b c c a
 
   
  
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP 
12) Chứng minh rằng 3 2 4 3 5 ( , , 0)x y z xz yz xy x y z       
13) Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng 
14) Cho x, y, z > 0 thoả mãn 3.x y z   Chứng minh: 
15) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 1 1 1 2.
1 1 1a b c
  
  
 Chứng minh: 1
8
abc  
TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY 
Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội 
Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400 
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi  
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 
16) Cho các số , , 0, 1.x y z x y z    Chứng minh rằng : 
17) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 2z xy với , 0.1 yx y   
18) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 1.x y z   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
19) Cho , 0; 1., z xyzx y   Chứng minh rằng : 3 3 3 .x y z x y z     
20) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 
 8 8 8 2 2 2a b c a b c     . 
21) Cho , 0.x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
4
( )( 1)
U x
x y y
 
 
22) Cho , 0.a b  Chứng minh rằng 
3
3
3 3
1 1 .a ab b
a b a b
    