Chuyên đề Bài tập quang hình các bài toán về hệ thấu kính đồng trục

MỞ ĐẦU
Với sự phát triển nhanh chóng của xã hội đã dẫn tới sự lão hóa rất nhanh của kiến thức. Nếu như trước đây phần quang hình là một trong những phần trọng tâm của nội dung thi HSGQG môn Vật lí thì hiện nay các bài toán quang hình như thế này không còn phù hợp nữa. Theo ý kiến của cá nhân tôi thì phần quang hình này chúng ta nên dạy cho các em học sinh ngay khi còn đang học cấp THCS, làm như vậy sẽ tích kiện được một chút thời gian cho các em học sinh THPT.
Nếu như cách đây một thời gian thi HSG cấp tỉnh môn Vật lí chúng ta thậm trí còn không cho học sinh sử dụng ngay công thức của thấu kính để sử dụng tuy nhiên trong thời gian gần đây chúng ta đã chấp nhận điều này. Điều đó chứng tỏ chúng ta đang có sự chuyển dần phần quang hình từ THPT xuống cho THCS.
Trong bài viết này tôi giới thiệu một số cách làm mà ở THCS có thể chưa dạy cho các em học sinh để chúng ta có sự chuẩn bị cho việc chuyển giao sắp tới.
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TẬP QUANG HÌNH
CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THẤU KÍNH ĐỒNG TRỤC
I. Cơ sở lý thuyết:
1. Công thức thấu kính:
O
A’
A
B
F
F’
B’
O
B’
A’
F
F’
O
B
A
A’
Vật nhỏ AB có ảnh qua một thấu kính có quang tâm O, tiêu cự f.
Ta đặt: ; f > 0 với TKHT và f < 0 với TKPK.
; d > 0 với vật thật và d < 0 với vật ảo.
; d’> 0 với ảnh thật và d’< 0 với ảnh ảo.
Ta có các công thức cơ bản sau:
+ Công thức vị trí 
+ Công thức số phóng đại ảnh 
k > 0 thì ảnh cùng chiều với vật; k < 0 thì ảnh ngược chiều với vật.
Từ (1) và (2), ta suy ra:
và 
2. Hệ thấu kính đồng trục: Là hệ gồm các thấu kính có trục chính trùng nhau, có thể ghép sát hoặc ghép cách quãng.
AB
A1B1
A2B2
(L1)
(L2)
(L3)
d1
d2
d3
Ta xét hệ thấu kính đồng trục gồm n thấu kính L1, L2, , Ln có các quang tâm O1, O2, , On. Vật nhỏ AB đặt trước thấu kính L1, vuông góc với trục chính. Sơ đồ tạo ảnh:
Quá trình tạo ảnh từ thấu kính thứ k sang thấu kính thứ k + 1, ta có hệ thức chuyển khâu:
 với OkOk+1> 0.
Số phóng đại ảnh đối với cả hệ:
Với hệ thấu kính mỏng ghép sát, ta coi quang tâm của các thấu kính trùng nhau (OkOk+1 = 0), ta có độ tụ tương đương của hệ là:
D = D1 + D2 +  + Dn(9)
hay
II. Bài tập:
*Nguyên tắc chung để giải bài toán hệ thấu kính đồng trục:
+ Viết sơ đồ tạo ảnh.
+ Ở từng khâu, ta áp dụng các công thức thấu kính.
+ Áp dụng hệ thức chuyển khâu.
+ Với bài toán có tham số: tùy theo đề bài hỏi gì để đặt phương trình mà các giá trị d1, ,  phải thỏa mãn để giải.
Bài toán 1. Xác định ảnh cuối cùng của vật cho bởi hệ hai thấu kính.
Một hệ gồm hai thấu kính mỏng L1, L2 đồng trục, đặt cách nhau 50cm. Thấu kính L1 thuộc loại phẳng – lồi, chiết suất 1,5, bán kính mặt lồi 25cm. Thấu kính L2 có độ tụ -2 dp. Vật AB cao 10cm đặt thẳng góc với trục chính, ở trước L1 và cách L1 1,5m. Xác định vị trí, tính chất, độ lớn của ảnh cuối cùng. Vẽ ảnh.
Giải:
Tiêu cự của thấu kính L1:
Tiêu cự của thấu kính L2:
Tiêu điểm ảnh của L1 trùng với quang tâm O2 của L2.
Tiêu điểm vật F2 của L2 trùng với quang tâm O1 của L1.
AB
A1B1
A2B2
(L1)
(L2)
d1
d2
Sơ đồ tạo ảnh:
A1B1 ở sau L1 và cách L1 75cm.
A1B1 ở sau L2 và cách L2 25cm.
Vậy ảnh cuối cùng A2B2 ở sau L2, cách L2 50cm, là ảnh thật ()
Số phóng đại của ảnh cuối cùng:
Ảnh cuối cùng A2B2 ngược chiều với vật AB và cao bằng vật 
 A2B2 = 10cm
Vẽ ảnh:
A
B
O1
O2
A1
B1
B2
A2
Bài toán 2. Thấu kính tương đương của hệ hai thấu kính.
1. Một thấu kính hội tụ L1 có tiêu cự f1 = 10cm. Vật AB đặt thẳng góc với trục chính, có A nằm trên trục chính và cách L1 4cm. Tìm vị trí, tính chất và số phóng đại của ảnh A1B1. Vẽ chùm tia sáng xuất phát từ B.
2. Sau L1 4cm, đặt một thấu kính phân kỳ L2 có độ tụ D2 = -10dp. Xác định vị trí, tính chất, số phóng đại của ảnh cuối cùng A2B2 cho bởi hệ. Vẽ tiếp đường đi của chùm tia ở câu 1.
3. Bây giờ, vật AB coi như ở xa vô cùng. Người ta định thay hệ hai thấu kính L1 và L2 bằng một thấu kính hội tụ L sao cho ảnh cuối cùng cho bởi hệ và cho bởi thấu kính L có cùng độ lớn và trùng nhau. Xác định tiêu cự của thấu kính L và khoảng cách giữa L và L2.
Giải:
1. d1 = 4cm; 
; A1B1 ở trước L1, là ảnh ảo.
Số phóng đại: 
 A1B1 cùng chiều và bằng .
2. 
A
B
O1
O2
A1
B1
B2
A2
A1B1 ở trước L2, cách L2
A2B2 là ảnh ảo, ở trước L2, cách L2 5,16cm.
Số phóng đại: 
A2B2cùng chiều với AB và cao 0,8AB.
3. Khi AB ở vô cùng với góc trông thì A1B1 ở tiêu diện ảnh của L1 (A1 trùng với F1) và có độ lớn A1B1 = f1. = 10.
A1B1 ởsau L2 và cách L2 6cm.
A2B2 là ảnh thật, ở sau L2 và cách L2 15cm.
A2B2= k2.A1B1 = 2,5.10 = 25.
Nếu thay hệ hai thấu kính L1 và L2 bằng một thấu kính L (thấu kính tương đương) sao cho ảnh của AB ở vô cùng bằng và trùng với A2B2 thì L có tiêu cự f sao cho A2B2 = f..
Đồng nhất vế phải của hai biểu thức, ta được f = 25cm.
Do A2B2 hiện lên ở vị trí cũ, cách L2 15cm nên thấu kính L đặt trước vị trí của L2 một khoảng cách bằng 25 – 15 = 10(cm).
Bài toán 3. Vị trí của vật cho ảnh qua hệ hai thấu kính có số phóng đại cho trước; vận tốc của ảnh khi vật di chuyển.
Trước một thấu kính hội tụ L1 tiêu cự f1 = 30cm, đặt vật AB thẳng góc với trục chính. Sau L1 đặt thấu kính phân kì L2 tiêu cự f2 = - 40cm, đồng trục và cách L1 10cm.
1. Tìm những vị trí của vật AB để ảnh cuối cùng cho bởi hệ lớn gấp 5 lần vật.
2. Tìm vị trí và độ lớn của vật AB để ảnh cuối cùng ở vô cực; biết chùm tia tới phát từ B ngoài trục chính, cuối cùng ló ra khỏi L2 là một chùm tia song song hợp với trục chính góc 20.
3. Giả sử bây giờ f2 = - 10cm và L2 cách L1 20cm. Cho vật AB tịnh tiến trên trục chính với vận tốc 18cm/s. Tìm vận tốc di chuyển của ảnh cuối cùng.
Giải:
AB
A1B1
A2B2
(L1)
(L2)
d1
d2
1. Sơ đồ tạo ảnh:
Số phóng đại của L1: 
Số phóng đại của L2: 
; 
Số phóng đại của hệ: 
Ảnh cuối cùng lớn hơn vật 5 lần ⟹
+ Với k = 5:
Ta tính được d1 = 63cm; d2 = - 47,27cm và 
Vậy ảnh cuối cùng là ảnh ảo.
+ Với k = - 5 :
Ta tính được d1 = 87cm; d2 = 35,79cm và 
Vậy ảnh cuối cùng là ảnh thật.
2. A2B2 ở vô cực với góc trông vì chùm tia ló song song và hợp với trục chính góc 20.
Vật A1B1 của L2 phải nằm trong tiêu diện vật của L2 (A1 trùng với F2) và có độ lớn với tính bằng rad.
d2 = f2 = - 40cm, 
Vị trí vật AB được xác định 
Độ lớn của vật AB:
⟹.
3. Ta vẫn có .
.
Lấy đạo hàm hai vế, ta được:
Hay 
Ảnh cuối cùng dịch chuyển ngược chiều với vật.
Bài toán 4. Hệ hai thấu kính hội tụ khác kích thước ghép sát.
Hai thấu kính phẳng lồi, mỏng, cùng bằng thủy tinh chiết n = 1,5; mặt lồi có cùng bán kính R = 15cm, nhưng một cái lớn gấp đôi cái kia. Người ta dán hai mặt phẳng của chúng với nhau bằng một lớp nhựa trong suốt rất mỏng có cùng chiết suất n, sao cho trục chính của chúng trùng nhau.
1. Chứng minh rằng khi đặt một vật sáng nhỏ trước thấu kính ghép đó và cách nó một khoảng d, ta sẽ thu được hai ảnh phân biệt của vật.
Tìm điều kiện mà d phải thỏa mãn để hai ảnh ấy là thật cả, hoặc ảo cả. Chứng minh rằng khi cả hai ảnh đều thật, hoặc đều ảo thì độ lớn của chúng không thể bằng nhau.
2. Xác định d sao cho hai ảnh của vật cho bởi thấu kính ghép ấy có cùng độ lớn và tính số phóng đại của chúng.
Giải:
1. Têu cự của mỗi thấu kính, cũng là tiêu cự phần không chung của thấu kính lớn là f1
Phần chung của hai thấu kính tương đương với một thấu kính có tiêu cự f2
Vì vậy với cùng vật AB có vị trí d sẽ cho hai ảnh: ảnh A1B1 qua phần không chung của thấu kính lớn và ảnh A2B2 qua phần chung của hai thấu kính (thấu kính ghép).
Vị trí của A1B1: 
Vị trí của A2B2: 
+ Hai ảnh đều là thật khi và đều dương.
Do d > 0 nên > 0 khi d – 30 > 0 ⟹ d > 30cm
> 0 khi d – 15 > 0 ⟹ d > 15cm
Vậy d > 30cm.
+ Hai ảnh đều là ảo khi và đều âm, lập luận tương tự ta tìm được điều kiện d < 15cm.
(Khi 15cm < d < 30cm thì sẽ có một ảnh thật và một ảnh ảo).
Số phóng đại của ảnh A1B1: 
Số phóng đại của ảnh A2B2: 
Lập tỉ số 
Vậy hay hai ảnh có độ lớn khác nhau.
2. Hai ảnh có cùng độ lớn khi 
+ Trường hợp chỉ xảy ra khi d = 0; AB nằm sát hệ.
+ Trường hợp 
Lúc đó, A1B1 là ảnh ảo
 A2B2 là ảnh thật
và số phóng đại k1 = 3; k2 = - k1= -3.
Bài toán 5. Hệ hai thấu kính vô tiêu.
Hai thấu kính hội tụ L1 và L2 đặt đồng trục, có tiêu cự lần lượt là 
f1 = 30cm và f2 = 2cm. Một vật sáng phẳng AB đặt vuông góc với trục chính của hệ, trước L1 cho ảnh cuối cùng là A2B2.
1. Tìm khoảng cách để số phóng đại của ảnh cuối cùng không phụ thuộc vào vị trí của vật AB trước hệ.
2. Với kết quả ở câu trên, ta đưa vật AB ra rất xa L1 (A ở trên trục chính, B ở ngoài trục chính). Vẽ đường đi của một tia sáng phát ra từ B, đi qua hệ. Hãy cho biết hệ thấu kính này giống dụng cụ quang học nào?
3. Một người mắt không có tật, đặt mắt sát sau thấu kính L2 để quan sát ảnh cuối cùng của AB thu được ở câu 2. Tính số bội giác của ảnh lúc đó. Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa số phóng đại và số bội giác củ ảnh lúc này?
Giải:
AB
A1B1
A2B2
(L1)
(L2)
d1
d2
1. Sơ đồ tạo ảnh:
; đặt a = O1O2
Số phóng đại 
 ⟹
Với f1, f2 là hằng số thì k không phụ thuộc vào d1 khi a – f1 – f2 = 0
hay a = O1O2 = f1 + f2 = 32cm. Hệ lúc này được gọi là hệ vô tiêu.
* Có thể lập luận đơn giản như sau:
Khi AB dịch chuyển dọc trục chính thì tia sáng tới từ B song song với trục chính là không đổi. Để chiều cao của ảnh cuối cùng của vật không phụ thuộc vào vị trí của vật thì tia sáng ló song song với trục chính qua B2 không đổi. Điều này xảy ra khi , tức là a a = O1O2 = f1 + f2 = 32cm.
F1
A∞
B∞
O1
O2
A1
B1
2. Vật AB ở vô cực, chùm tia tới thấu kính L1 là chùm tia song song, do đó ảnh A1B1 ở tiêu diện ảnh của L1, cũng là tiêu diện vật của L2. Do đó chùm tia ló ra khỏi L2 cũng là chùm tia sáng song song.
H
Hệ thấu kính này giống kính thiên văn khúc xạ, trong đó thấu kính L1 là vật kính và thấu kính L2 là thị kính; người quan sát đang ngắm chừng ở vô cực.
3. Số phóng đại của ảnh không phụ thuộc vào vị trí của vật, ta có:
Số bội giác khi ngắm chừng ở vô cực là:
Ta nhận thấy .
(E)
A
B
O1
O2
(L1)
(L2)
Bài toán 6. Cho ảnh và số phóng đại, tìm tiêu cự và khoảng cách giữa hai thấu kính.
Một vật sàng AB hình mũi tên đặt vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ L2 có tiêu cự f2 thì cho ảnh hiện lên trên một màn E đặt cách vật AB một đoạn .
1. Tính số phóng đại của ảnh của AB cho bởi thấu kính L2.
2. Giữ vật AB và màn E cố định. Tịnh tiến thấu kính L2 dọc theo trục chnhs đến cách màn E là 20cm. Người ta đặt thêm một thấu kính hội tụ L1 có tiêu cự f1 đồng trục với L2 vào trong khoảng giữa vật AB và L2 và cách AB 16cm (hình vẽ) thì được một ảnh cùng chiều và cao bằng AB hiện lên trên màn E. Tính tiêu cự f1 và f2.
3. Bây giờ giữ vật AB cố định, tịnh tiến màn E ra xa AB đến vị trí mới cách vị trí cũ của nó 23cm. Thấu kính L1 vẫn ở trước thấu kính L2. Hãy xác định khoảng cách giữa hai thấu kính và vị trí mới của chúng để qua hệ hai thấu kính, vật cho một ảnh hiện lên trên màn có cùng chiều và cao gấp 8 lần vật AB.
Giải:
1. ⟹
⟺
⟺
Giải phương trình được hai giá trị d2 = 6f2 hoặc d2 = 1,2f2.
Số phóng đại 
+ Với d2 = 6f2 thì .
+ Với d2 = 1,2f2 thì 
Vậy có hai vị trí đặt thấu kính L2 cho ảnh của AB hiện lên trên màn E.
2. Sơ đồ tạo ảnh:
AB
A1B1
A2B2
(L1)
(L2)
d1
d2
	 (trên màn E).
Theo giả thiết d1 = 16cm và .
Đặt O1O2 = a > 0. Ta có:
 hay 
Mặt khác, giả thiết cho số phóng đại của hệ k = k1.k2 =1.
 ⟹
Hay (1)
Từ ta suy ra:
Hệ thức chuyển khâu cho 
So sánh hai giá trị của d2:
 (2)
Từ (1) suy ra thế vào (2):
Biến đổi, ta được phương trình 
Kết quả ta được f2 = 10cm.
Thế vào (1) ta tìm được f1 = 8cm.
3. Với kết quả tính được ở câu 2 thì khoảng cách lúc đầu giữa vật và màn là 7,2f2 = 72cm. Khi dịch màn ra xa thêm 23cm thì khoảng cách mới giữa vật và màn là 72 + 23 = 95cm. Ta có .
Và k = k1.k2 = 8 
So sánh hai giá trị của : 
 ⟹ a = 165 – 11d1
Ta lại có: 
Mặt khác: 
So sánh hai giá trị của d2: 
Giải phương trình ta tìm được d1≈ 11,36cm hoặc d1 = 10cm.
+ Với d1≈ 11,36cm thì a ≈ 40cm.
+ Với d1 = 10cm thì a = 50cm.
Cả hai kết quả đều thỏa mãn vì a < 95cm.
Bài 7. Hệ 3 thấu kính mỏng ghép sát. Đo chiết suất của chất lỏng.
Một thấu kính mỏng giới hạn bởi hai mặt cầu lồi có cùng bán kính 
R = 42cm, chiết suất n = 1,70. Người ta bỏ thấu kính vào một chậu có thành thẳng đứng, rất mỏng, trong suốt, bề ngang của chậu lớn hơn bề dày của thấu kính một chút.
1. Chậu không chứa gì. Hỏi phải đặt một màn ở đâu để thu được ảnh của một vật nhỏ đặt trước hệ 90cm?
2. Đổ đầy một chất lỏng chiết suất vào chậu. Chứng tỏ rằng hệ hợp bởi một số thấu kính mỏng ghép sát. Tính tiêu cự f1 của hệ theo .
3. Phải đặt một màn ở đâu để thu được ảnh của vật cũ ở câu 1 qua hệ.
Áp dụng số: = 1,2.
4. Chứng minh rằng nếu biết vị trí của màn thì có thể tính ra . Xây dựng công thức tính theo .
Áp dụng số: = 157,5cm. Xác định những giới hạn của .
5. Vẽ đường biểu diễn của f1 theo trong các giới hạn tìm được ở trên.
Giải:
1. Tiêu cự f của thấu kính:
Chậu không chứa gì, hệ chỉ gồm một thấu kính duy nhất có tiêu cự f. Vị trí đặt màn là vị trí của ảnh.
Màn đặt sau hệ 45cm.
2. Trong chậu hình thành hai lớp chất lỏng ở hai bên thấu kính ban đầu, mỗi lớp là một thấu kính mỏng giới hạn bởi một mặt phẳng và một mặt cầu lõm bán kính R = 42cm. Như vậy, ta có một hệ gồm ba thấu kính mỏng ghép sát, trong đó có hai thấu kính bằng chất lỏng.
Mỗi thấu kính lỏng có tiêu cự :
Hệ gồm một thấu kính hội tụ có tiêu cự f = 30cm và hai thấu kính phân kì cùng có tiêu cự Hệ tương đương với một thấu kính có tiêu cự f1:
3. Vị trí của màn (ứng với d = 90cm) được cho bởi
Đơn giản, ta được 
Áp dụng số = 1,2 ⟹
4. Từ biểu thức của theo ta suy ra: 
Như vậy, khi đo được , ta sẽ tính được 
Với = 157,5cm thì 
Vì ảnh thu được trên màn là ảnh thật nên > 0, do đó biến thiên từ 0 đến ∞.
Khi ⟶ ∞ thì 
Chiết suất tuyệt đối phải lớn hơn 1 nên 
Vậy các giới hạn của có thể tính được là:
 (với)
5. Biểu thức của f1 theo :
Lấy đạo hàm: 
Vậy hàm số luôn đồng biến.
Hai tiệm cận là f1 = 0 và .
Các giới hạn:
Bảng biến thiên:
1
1,47
1,7
+
+
+
30
90
O
12,85
30
90
1
1,47
1,7
2
f1
Đường biểu diễn:
L2
L1
L3
Bài toán 8. Hệ 3 thấu kính. Vị trí của các thấu kính để ảnh cuối cùng trùng với vật.
Cho 3 thấu kính mỏng L1, L2 và L3 như hình vẽ, cùng được làm bằng thủy tinh có chiết suất n = 1,5cm. Bán kính các mặt cầu bằng nhau R = 10cm.
1. Tính tiêu cự của các thấu kính.
2. Giữ nguyên L1 và L2, tách L3 ra xa một đoạn a = 40cm. Chiếu một chùm tia sáng song song với trục chính đến L1. Xác định điểm hội tụ của chùm tia ló. Vẽ đường đi của chùm tia ló.
3. Vật là điểm sáng S đặt tại tiêu điểm vật của L1. Giữ nguyên khoảng cách a. Di chuyển L2 từ L1 đến L3.
Hỏi với vị trí nào của L2 thì chùm tia ló khỏi L3 là chùm hội tụ, là chùm phân kì.
Từ đó suy ra vị trí của L2 để ảnh cuối cùng trùng với S.
Giải:
1. Tiêu cự của các thấu kính:
f1 = f3
 (mặt cầu lõm)
2. L1 và L2 ghép sát, tương đương với một thấu kính có tiêu cự f:
Ta có hệ gồm hai thấu kính ghép cách quãng: thấu kính phân kì L có tiêu cự f = -20cm và thấu kính hội tụ L3 có tiêu cự f3 = 20cm.
Chùm tia tới song song với trục chính qua L có chùm tia ló khỏi L đồng qui tại tiêu điểm ảnh F’, tương đương với vật điểm S ở xa vô cực.
d = ∞⟹ d’ = f = - 20cm
d3 = a – d = 40 – (- 20) = 60cm 
O
O3
(L)
(L3)
a
Vậy chùm sáng ló khỏi L3 hội tụ tại S’ ở sau L3, cách L3 30cm. S’ là ảnh thật.
3. Đặt = O1O2.
S ở tiêu điểm vật F1 của L1, chùm tia ló khỏi L1 song song với trục chính, gặp L2; chùm tia ló ra khỏi L2 là chùm tia phân kì, đồng qui tại tiêu điểm ảnh của L2.
d1 = f1 = 20cm⟹
 với 
Vị trí của ảnh S’ cuối cùng xác định bởi:
Chùm tia ló khỏi L3 sẽ hội tụ nếu S’ là ảnh thật: ; sẽ phân kì nếu S’ là ảnh ảo: .
chùm ló
0
30
40
50
song song
hội tụ
phân kì
0
+
-
-
Ta có bảng xét dấu và kết quả:
* Trường hợp S’ trùng với S, ta phải có .
Giải phương trình được .
L2 ở sau L1 35cm.
A
O1
O2
O3
(L1)
(L2)
(L3)
Bài toán 9. Hệ đối xứng gồm ba thấu kính. Điều kiện để có ảnh đối xứng với vật; để ảnh ở vô cực.
Cho hệ ba thâu kính mỏng đồng trục L1, L2, L3 lần lượt có tiêu cự là 
f1 = - 20cm, f2 = 10cm và f3 = - 20cm.
Khoảng cách giữa quang tâm là O1O2 = O2O3 = 5cm (hình vẽ).
Một điểm sáng A nằm ở bên trái hệ thấu kính và cách thấu kính L1 một khoảng d1.
Xác định d1 để chùm tia sáng xuất phát từ A sau khi truyền qua hệ thấu kính:
1. Hội tại một điểm đối xứng với A qua quang tâm O2.
2. Trở thành một chùm tia song song.
Giải:
1. Do L1 và L3 giống nhau và cùng cách đều L2 nên ta có một hệ đối xứng.
Sơ đồ tạo ảnh:
A
A1
A2
(L1)
(L2)
d1
d2
(L3)
d3
A3
A3 đối xứng với A qua O2.
Nếu lập phương trình tính rồi căn cứ vào tính đối xứng của A3và A để giải thì dài dòng và rắc rối. Ta sẽ nhanh chóng thu được kết quả khi dựa vào tính đối xứng của hệ.
A và A3 đối xứng nhau qua O2 thì A1 và A2 cũng đối xứng nhau qua O2.
Vậy A1 ở trước O2 và A2 ở sau O2 với cùng khoảng cách bằng 
2f2 = 20cm (là vật thật và ảnh thật đối với L2). Ta có d2 = 20cm, suy ra:
Vị trí của A được xác định:
Vậy A ở trước O1 một khoảng bằng 60cm.
2. Chùm tia ló song song: A3 ở vô cùng, 
Suy ra: (A2 là vật ảo của L3)
 (A2 là ảnh thật của A1 qua L2).
 (A1 là vật thật của L2).
 (A1 là ảnh ảo của A qua L1).
Suy ra vị trí của A:
Vậy A ở trước L1 và cách L1 28cm.
A
B
M
N
O1
O2
O3
(L1)
(L2)
(L3)
Bài toán 10. Hệ ba thấu kính có ảnh cuối cùng không đổi khi bỏ thấu kính ở giữa.
Cho hệ 3 thấu kính L1, L2, L3 đồng trục được sắp xếp như hình vẽ. Vật sáng AB vuông góc với trục chính, ở trước L1 và chỉ tịnh tiến dọc theo trục chính. Hai thấu kính L1 và L3 được giữ cố định tại hai vị trí O1 và O3 cách nhau 70cm. Thấu kính L2 chỉ tịnh tiến trong khoảng O1O3. Các khoảng O1M =45cm, O1N = 24cm.
1. Đầu tiên vật AB nằm tại điểm M, thấu kính L2 đặt tại vị trí cách L1 khoảng O1O2 = 36cm. Khi đó, ảnh cuối cùng của AB cho bởi hệ ở sau L3 và cách L3 một khoàng bằng 255cm. Trong trường hợp này, nếu bỏ L2 đi thì ảnh cuối cùng không có gì thay đổi và vẫn ở vị trí cũ. Nếu không bỏ L2 mà dịch nó từ vị trí đã cho sang phải 10cm thì ảnh cuối cùng ra vô cực. Tính các tiêu cự f1, f2, f3 của các thấu kính.
2. Tìm các vị trí của L2 trong khoảng O1O3 mà khi đặt L2 cố định tại các vị trí đó thì ảnh cuối cùng có độ lớn luôn luôn không thay đổi khi ta tịnh tiến vật AB ở trước L1.
3. Bỏ L3 đi, để L2 sau L1, cách L1 một khoảng bằng 9cm. Bây giờ giả sử tiêu cự của L1 có thể được lựa chọn. Hỏi cần phải chọn tiêu cự của L1 như thế nào để khi vật AB chỉ tịnh tiến trong khoảng MN thì ảnh cuối cùng cho bởi hệ luôn luôn là ảnh thật.
Giải:
1. Sơ đồ tạo ảnh:
AB
A1B1
A2B2
(L1)
(L2)
d1
d2
(L3)
d3
A3B3=3
+ Với cả ba thấu kính:
+ Với hai thâu kính L1 và L3:
AB
A1B1
A3B3
(L1)
(L3)
d1
d3
 (cuối cùng không đổi).
Vì ảnh cuối cùng A3B3 trong hai trường hợp là không đổi nên ta suy ra: A1B1 trùng với A2B2. Vị trí duy nhất có thể thỏa mãn điều đó là A1B1 và A2B2 ở ngay tại thấu kính L2, tức là có d2 = 0 ⟹.
Do vậy, ta có: d1 = 45cm; (A1B1 ở tại O2).
Tiêu cự của L1:
A2B2 cũng ở tại O2 nên 
A3B3 ở sau L3 255cm nên có 
Tiêu cự của L3: .
Khi L2 xa L1 thêm 10cm thì O1O2 = 36 +10 = 46cm. Ảnh cuối cùng A3B3 ở xa vô cùng, tức là (A2B2 ở tiêu diện vật của L3).
Có O1O3 = 70cm, O1O2 = 46cm nên O2O3 = 70 – 46 = 24(cm).
Hệ thức chuyển khâu cho: 
Lại có 
nên 
Tiêu cự của L2:
2. Muốn độ lớn của ảnh cuối cùng không phụ thuộc vị trí của vật AB thì hệ phải vô tiêu: Tia tới phát ra từ B song song với trục chính tới L1 phải có tia ló ra khỏi L3 cũng song song với trục chính (chứa B3).
Tia tới L1 song song với trục chính có tia ló khỏi L1 đi qua tiêu điểm ảnh .
Tia ló cuối cùng khỏi L3 song song với trục chính thì tia tới L3 phải đi qua tiêu điểm vật F3.
Như vậy đối với L2, là vật thật và F3 là ảnh ảo (hình vẽ).
(B)
(B3)
O1
O2
O3
F3
Đặt O1O2 = x > 0; ta có:
d1 = ∞; ⟹
Thế vào công thức: được:
Giải phương trình ta được x = 50cm hoặc x = 10cm. 
Cả hai giá trị đều thỏa mãn.
3. Sơ đồ tạo ảnh qua hệ L1 và L2:
AB
A1B1
A2B2
(L1)
(L2)
d1
d2
 (là ảnh thật).
Thấu kính L2 là thấu kình phân kì, cho ảnh A2B2 là ảnh thật nên vật A1B1 của nó là vật ảo và ở trong khoảng O2F2.
Vật AB của L1 di chuyển trong khoảng MN nên:
Vì vật AB