Chuyên đề bài tập Giải tích 1: Nhị thức Niutơn

 BÀI 03 
NHỊ THỨC NIU TƠN 
1. Nhị thức Niu-tơn 
0 1 1 1 1
0
...
 .
n n n n n n n
n n n n
n
k n k k
n
k
a b C a C a b C ab C b
C a b
2. Hệ quả 
Với 1a b , ta có 0 1 12 ... .n n nn n n nC C C C 
Với 1; 1a b , ta có 0 10 1 1 .
k nn k n
n n n nC C C C 
3. Chú ý 
Trong biểu thức ở vế phải của khai triển 
n
a b 
 Số các hạng tử là 1;n 
 Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0 ; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n , 
nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước 0 0 1a b ); 
 Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau. 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
Câu 1. Tìm hệ số của 12x trong khai triển 
10
22 .x x 
 A. 810.C B. 
2 8
10 2 .C C. 
2
10.C D. 
2 8
10 2 .C 
Câu 2. Khai triển đa thức 
2007
5 1P x x ta được 
2007 2006
2007 2006 1 0... .P x a ax x aa x 
Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 7 72000 2007. .5a C B. 
7 7
2000 2007 5 ..a C 
 C. 2000 2007
2000 2000.5 .a C D. 7 72000 2007 5 ..a C 
Câu 3. Đa thức 5 4 3 280 80 4 102 13 0x x xP x xx là khai triển của nhị thức nào 
dưới đây? 
 A. 
5
1 2 .x B. 
5
1 2 .x C. 
5
2 1 .x D. 
5
1 .x 
Câu 4. Tìm số hạng chứa 7x trong khai triển 
13
1
.x
x
 A. 4 713 .C x B. 
3
13.C C. 
3 7
13 .C x D. 
3 7
13 .C x 
Câu 5. Tìm số hạng chứa 3x trong khai triển 
9
1
.
2
x
x
 A. 3 39
1
.
8
C x B. 3 39
1
.
8
C x C. 3 39 .C x D. 
3 3
9 .C x 
Câu 6. Tìm số hạng chứa 31x trong khai triển 
40
2
1
.x
x
 A. 37 3140 .C x B. 
37 31
40 .C x C. 
2 31
40 .C x D. 
4 31
40 .C x 
Câu 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
6
2 2 .x
x
 A. 4 2
62 .C B. 
2 2
62 .C C. 
4 4
62 .C D. 
2 4
62 .C 
Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
8
2 1 .xy
xy
 A. 470 .y B. 460 .y C. 450 .y D. 440 .y 
Câu 9. Tìm số hạng chứa 3x y trong khai triển 
5
1
.xy
y
 A. 33 .x y B. 35 .x y C. 310 .x y D. 34 .x y 
Câu 10. Tìm hệ số của 6x trong khai triển 
3 1
31
n
x
x
 với 0x , biết n là số nguyên dương 
thỏa mãn 2 21 23 4n nC nP A . 
 A. 6210 .x B. 6120 .x C. 120. D. 210. 
Câu 11. Tìm hệ số của 9x trong khai triển 
2
1 3
n
x , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 
2 3
2 14 1
3n n nC C
. 
 A. 
9
9
18 3 .C B. 
9
9 9
18 3 .C x C. 
9
9 9
18 3 .C x D. 
9
9
18 3 .C 
Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
2
3
3
2
n
x
x
 với 0x , biết n là số 
nguyên dương thỏa mãn 3 2 12n nC n A . 
 A. 12 4 1216 .2 .3 .C B. 
0 16
16.2 .C C. 
12 4 12
16 .2 .3 .C D. 
16 0
16 .2 .C 
Câu 13. Tìm hệ số của 7x trong khai triển 2
2
3
n
x
x
 với 0x , biết hệ số của số hạng thứ 
ba trong khai triển bằng 1080. 
 A. 1080. B. 810. C. 810. D. 1080. 
Câu 14. Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong 
khai triển 
1
3
n
x bằng 4. 
 A. 8. B. 17. C. 9. D. 4. 
Câu 15. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển 
21
3 .x xy 
 A. 10 40 1021 .C x y B. 
10 43 10
21 .C x y 
 C. 11 41 1121 .C x y D. 
10 43 10
21C x y ; 
11 41 11
21 .C x y 
Câu 16. Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển 
17
3 4 .x 
 A. 1.S B. 1.S C. 0.S D. 8192.S 
Câu 17. Khai triển đa thức 
1000
2 1P x x ta được 
1000 999
1000 999 1 0... .P x a a x x aax 
Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 1000 999 1... 2
na a a . B. 1000 9 19 9 ... 2 1
na a a . 
 C. 1000 999 1... 1a a a . D. 1000 999 1... 0a a a . 
Câu 18. Tìm hệ số của 5x trong khai triển 
5 1021 2 1 3 .P x x x x x 
 A. 80. B. 3240. C. 3320. D. 259200. 
Câu 19. Tìm hệ số chứa 10x trong khai triển 
2
321 1 2
4
n
f x x x x với n là số tự 
nhiên thỏa mãn hệ thức 3 2 14nn nA C n . 
 A. 5 10
192 .C B. 
5 10 10
192 .C x C. 
9 10
192 .C D. 
9 10 10
192 .C x 
Câu 20. Tìm hệ số của 4x trong khai triển 31 3
n
P x x x với n là số tự nhiên thỏa 
mãn hệ thức 2 2
16 5
n
n nC n A . 
 A. 210. B. 840. C. 480. D. 270. 
Câu 21. Tìm hệ số của 10x trong khai triển 
5
2 31 x x x . 
 A. 5. B. 50. C. 101. D. 105. 
Câu 22. Tìm hệ số của 5x trong khai triển 
2 8
1 2 1 ... 8 1 .P x x x x 
 A. 630. B. 635. C. 636. D. 637. 
Câu 23. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 0 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2... ... .
n n n n
n n n n n nC C C C C C 
 B. 0 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2... ... .
n n n n
n n n n n nC C C C C C 
 C. 0 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2... ... .
n n n n
n n n n n nC C C C C C 
 D. 0 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2... ... .
n n n n
n n n n n nC C C C C C 
Câu 24. Tính tổng 0 1 2 ... nn n n nS C C C C . 
 A. 2 1.nS B. 2 .nS C. 12 .nS D. 2 1.nS 
Câu 25. Tính tổng 0 1 2 2
2 2 2 2...
n
n n n nS C C C C . 
 A. 22 .nS B. 22 1.nS C. 2 .nS D. 22 1.nS 
Câu 26. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1
n
n n nC C C . 
 A. 8.n B. 9.n C. 10.n D. 11.n 
Câu 27. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 3 2 12 1 2 1 2 1... 1024
n
n n nC C C . 
 A. 5.n B. 9.n C. 10.n D. 4.n 
Câu 28. Tính tổng 0 1 2 33 3 ... 3n nn n n nS C C C C . 
 A. 3 .nS B. 2 .nS C. 3.2 .nS D. 4 .nS 
Câu 29. Khai triển đa thức 
12 12
0 1 121 2 ...P x x a a x a x . Tìm hệ số ka 
0 12k lớn nhất trong khai triển trên. 
 A. 8 812 2 .C B. 
9 9
12 2 .C C. 
10 10
12 2 .C D. 
8 8
121 2 .C 
Câu 30. Khai triển đa thức 
10
9 10
0 1 9 10
1 2
...
3 3
P x x a a x a x a x . Tìm hệ số ka 
0 10k lớn nhất trong khai triển trên. 
 A. 
7
7
1010
2
1 .
3
C B. 
7
7
1010
2
.
3
C C. 
6
6
1010
2
.
3
C D. 
8
8
1010
2
.
3
C 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
Câu 1. Tìm hệ số của 12x trong khai triển 
10
22 .x x 
 A. 8
10.C B. 
2 8
10 2 .C C. 
2
10.C D. 
2 8
10 2 .C 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
10 10 10
10 10 10 102 2 10 2 10
10 10 10
0 0 0
2 . 2 . . 2 . . 2 . .
kk k kk k k k k k
k k k
x x C x x C x C x 
Hệ số của 12x ứng với 10 12 2k k hệ số cần tìm 2 810 2 .C Chọn B. 
Câu 2. Khai triển đa thức 
2007
5 1P x x ta được 
2007 2006
2007 2006 1 0... .P x a ax x aa x 
Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 7 7
2000 2007. .5a C B. 
7 7
2000 2007 5 ..a C 
 C. 
2000 2007
2000 2000.5 .a C D. 7 72000 2007 5 ..a C 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
2017 2017
2007 2017 2017 2017
2017 2017
0 0
5 1 . 5 . 1 . 5 . 1 . .
k k k kk k k
k k
x C x C x 
Hệ số của 2000x ứng với 2017 2000 7k k 
hệ số cần tìm 
20007 2000 2000
20072017. 5 ..5CC Chọn C. 
Câu 3. Đa thức 5 4 3 280 80 4 102 13 0x x xP x xx là khai triển của nhị thức nào 
dưới đây? 
 A. 
5
1 2 .x B. 
5
1 2 .x C. 
5
2 1 .x D. 
5
1 .x 
Lời giải. Nhận thấy P x có dấu đan xen nên loại đáp án B. 
Hệ số của 5x bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì 
khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 532 .x ) Chọn C. 
Câu 4. Tìm số hạng chứa 7x trong khai triển 
13
1
.x
x
 A. 4 713 .C x B. 
3
13.C C. 
3 7
13 .C x D. 
3 7
13 .C x 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
13 13 13
13 13 2
13 13
0 0
1 1
. . . 1 . .
k
kk k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của 7x ứng với 13 2 7 3k k số hạng cần tìm 3 713 .C x Chọn C. 
Câu 5. Tìm số hạng chứa 3x trong khai triển 
9
1
.
2
x
x
 A. 3 39
1
.
8
C x B. 3 39
1
.
8
C x C. 3 39 .C x D. 
3 3
9 .C x 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
9 9 9
9 9 2
9 9
0 0
1 1 1
. . . . .
2 2 2
k k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của 3x ứng với 9 2 3 3k k số hạng cần tìm 3 39
1
.
8
C x Chọn B. 
Câu 6. Tìm số hạng chứa 31x trong khai triển 
40
2
1
.x
x
 A. 37 3140 .C x B. 
37 31
40 .C x C. 
2 31
40 .C x D. 
4 31
40 .C x 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
40 40 40
40 40 3
40 402 2
0 0
1 1
. . . .
k
k k k k
k k
x C x C x
x x
Hệ số của 31x ứng với 40 3 31 3k k số hạng cần tìm 37 3140 .C x Chọn B. 
Câu 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
6
2 2 .x
x
 A. 4 2
62 .C B. 
2 2
62 .C C. 
4 4
62 .C D. 
2 4
62 .C 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
6 6 6
6
2 2 12 3
6 6
0 0
2 2
. . . 2 . .
k
k kk k k
k k
x C x C x
x x
Số hạng không chứa x ứng với 12 3 0 4k k 
 số hạng cần tìm 4 4 4 2
6 6.2 2 .C C Chọn A. 
Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
8
2 1 .xy
xy
 A. 470 .y B. 460 .y C. 450 .y D. 440 .y 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
8
8 8
8
2 2 8 2 16 3
8 8
0 0
1 1
. . . 1 . . .
k
k kk k k k
k k
xy C xy C x y
xy xy
Số hạng không chứa x ứng với 8 2 0 4k k 
 số hạng cần tìm 4 4 4
8 70 .C y y Chọn A. 
Câu 9. Tìm số hạng chứa 3x y trong khai triển 
5
1
.xy
y
 A. 33 .x y B. 35 .x y C. 310 .x y D. 34 .x y 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
5 5
5 5 5 2
5 5
0 0
5
1 1
. . . . .
k
kk k k k
k k
xy C xy C x y
y y
Hệ số của 3x y ứng với 
5 3
2
5 2 1
k
k
k
 số hạng cần tìm 35
2 310 .C x y x y 
Chọn C. 
Câu 10. Tìm hệ số của 6x trong khai triển 
3 1
31
n
x
x
 với 0x , biết n là số nguyên dương 
thỏa mãn 2 21 23 4n nC nP A . 
 A. 6210 .x B. 6120 .x C. 120. D. 210. 
Lời giải. Từ phương trình 2 21 23 4 3.n nC nP A n 
Với 3n , ta có 
3 1 10 1010 10
3 3 3 4 10
10 10
0 0
1 1 1
. . . .
n k
k
k k k
k k
x x C x C x
x x x
Hệ số của 6x ứng với 4 10 6 4k k hệ số cần tìm 410 210.C Chọn D. 
Câu 11. Tìm hệ số của 9x trong khai triển 
2
1 3
n
x , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 
2 3
2 14 1
3n n nC C
. 
 A. 
9
9
18 3 .C B. 
9
9 9
18 3 .C x C. 
9
9 9
18 3 .C x D. 
9
9
18 3 .C 
Lời giải. Từ phương trình 
2 3
2 14 1
9.
3n n
n
nC C
Với 9n , ta có 
18 182 18
18 18
0 0
1 3 1 3 . 3 . 3 . .
n k k
k k k
k k
x x C x C x 
Hệ số của 9x ứng với 9k hệ số cần tìm 
9
9
18 3 .C Chọn A. 
Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
2
3
3
2
n
x
x
 với 0x , biết n là số 
nguyên dương thỏa mãn 3 2
12n nC n A . 
 A. 12 4 12
16 .2 .3 .C B. 
0 16
16.2 .C C. 
12 4 12
16 .2 .3 .C D. 
16 0
16 .2 .C 
Lời giải. Từ phương trình 3 2 12 8.n nC n A n 
Với 8n , ta có 
2 16 416 16
1616 16 3
16 163 3 3
0 0
3 3 3
2 2 . 2 . .2 . 3 . .
n k k
k kk k k
k k
x x C x C x
x x x
Số hạng không chứa x ứng với 
4
16 0 12
3
k
k 
 số hạng cần tìm 12 4 1216 .2 .3 .C Chọn C. 
Câu 13. Tìm hệ số của 7x trong khai triển 2
2
3
n
x
x
 với 0x , biết hệ số của số hạng thứ 
ba trong khai triển bằng 1080. 
 A. 1080. B. 810. C. 810. D. 1080. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
2 2 2 3
0 0
2 2
3 . 3 . .3 2 . .
n kn n
n k kk k n k n k
n n
k k
x C x C x
x x
Số hạng thứ 3 ứng với 2k , kết hợp với giả thiết ta có 
2 2 5.3 .4 1080 1 .3 4.5.3 5.n nnC n n n 
Hệ số của 7x ứng với 2 3 7 10 3 7 1n k k k 
 hệ số cần tìm 1 45 3 2 810.C Chọn B. 
Câu 14. Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong 
khai triển 
1
3
n
x bằng 4. 
 A. 8. B. 17. C. 9. D. 4. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
2
0 1 1 2 21 1 1 1...
3 3 3 3
n n
n n n n
n n n nx C x C x C x C . 
 số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là 
2
2 21 .
3
n
nC x 
Yêu cầu bài toán 
2
2 1 ! 14 . 4 9.
3 2! 2 ! 9
n
n
C n
n
Do n nên ta chọn 9n thỏa mãn. Chọn C. 
Câu 15. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển 
21
3 .x xy 
 A. 10 40 1021 .C x y B. 
10 43 10
21 .C x y 
 C. 11 41 1121 .C x y D. 
10 43 10
21C x y ; 
11 41 11
21 .C x y 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
21 21
21 21
3 3 63 2
21 21
0 0
. . . . .
k kk k k k
k k
x xy C x xy C x y 
Suy ra khai triển 
21
3x xy có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 
(ứng với 10k ) và số hạng thứ 12 (ứng với 11k ). 
Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là 10 43 10
21C x y ; 
11 41 11
21C x y . Chọn D. 
Câu 16. Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển 
17
3 4 .x 
 A. 1.S B. 1.S C. 0.S D. 8192.S 
Lời giải. Tính tổng các hệ số trong khai triển cho 1.x 
Khi đó 
17
3.1 4 1.S Chọn B. 
Câu 17. Khai triển đa thức 
1000
2 1P x x ta được 
1000 999
1000 999 1 0... .P x a a x x aax 
Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 
1000 999 1... 2
na a a . B. 1000 9 19 9 ... 2 1
na a a . 
 C. 1000 999 1... 1a a a . D. 1000 999 1... 0a a a . 
Lời giải. Ta có 1000 9991000 999 1 0...P x x x ax a a a . 
Cho 1x ta được 1000 999 1 01 ... .P a a a a 
Mặt khác 
1000 1000
2 1 1 2.1 1 1.P x x P 
Từ đó suy ra 
1 0 1 01000 999 1000 999... 1 ... 1 .a a a a a aa a 
Mà là số hạng không chứa x trong khai triển 
1000
2 1P x x nên 
0 10001000 1000
0 1000 10002 1 1.a C x C 
Vậy 1000 999 1... 0.a a a Chọn D. 
Câu 18. Tìm hệ số của 5x trong khai triển 
5 1021 2 1 3 .P x x x x x 
 A. 80. B. 3240. C. 3320. D. 259200. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
5 5
5 5 5 6
5 5
0 0
1 2 . . 2 . 2 . .
k kk k k
k k
x x x C x C x 
 số hạng chứa 5x tương ứng với 6 5 1k k . 
Tương tự, ta có 
10 10
10 102 2 10 12
10 10
0 0
1 3 . . 3 .3 .
ll l l l
l l
x x x C x C x . 
 số hạng chứa 5x tương ứng với 12 5 7l l . 
Vậy hệ số của 5x cần tìm P x là 
41 7 3
5 10. 2 .3 3320C C . Chọn C. 
Câu 19. Tìm hệ số chứa 10x trong khai triển 
2
321 1 2
4
n
f x x x x với n là số tự 
nhiên thỏa mãn hệ thức 3 2 14nn nA C n . 
 A. 5 10192 .C B. 
5 10 10
192 .C x C. 
9 10
192 .C D. 
9 10 10
192 .C x 
Lời giải. Từ phương trình 3 2 14 5.nn nA C n n 
Với 5n , ta có 
2
3 4 15 1921 1 11 2 2 2 2
4 16 16
n
f x x x x x x x . 
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
19
19 19
19
0
1 1
2 .2 . .
16 16
k k k
k
f x x C x 
Số hạng chứa 10x trong khai triển tương ứng với 19 10 9k k . 
Vậy hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển là 10 9 5 1019 19
1
2 2 .
16
C C Chọn A. 
Câu 20. Tìm hệ số của 4x trong khai triển 31 3
n
P x x x với n là số tự nhiên thỏa 
mãn hệ thức 2 2
16 5
n
n nC n A . 
 A. 210. B. 840. C. 480. D. 270. 
Lời giải. Từ phương trình 2 2
16 5 10.
n
n nC n A n 
Với 10n , khi đó 
10
3 31 3 1 3
n
P x x x x x . 
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
101010
3 3 3
10
0
1 3 1 3 1 3
kkk
k
P x x x x x C x x 
10 10
2 2
10 10
0 0 0
1 1 3 1 3
k
kk kk k k l l k l
k
k k l
C x x C C x . 
Số hạng chứa 4x trong khai triển tương ứng với 
2 4
0 10 ; 4;0 , 2;1
0
k l
k k l
l k
. 
Vậy hệ số của số hạng chứa 4x trong khai triển là 4 0 2 110 4 10 2 3 480C C C C . Chọn C. 
Câu 21. Tìm hệ số của 10x trong khai triển 
5
2 31 x x x . 
 A. 5. B. 50. C. 101. D. 105. 
Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có 
5 5 5 5
5 552 3 2 2 2
5 5 5 5
0 0 0 0
1 1 1 . . . .
l
k k l k l k l
k l k l
x x x x x C x C x C C x 
Số hạng chứa 10x trong khai triển tương ứng với 2 10 10 2k l k l . 
Kết hợp với điều kiện ta có hệ 
2 10
0 5, 0 5 ; 0;5 , 2;4 , 4;3
,
k l
k l k l
k l
. 
Vậy hệ số cần tìm là 0 5 2 4 4 35 5 5 5 5 5. . . 101.C C C C C C Chọn C. 
Câu 22. Tìm hệ số của 5x trong khai triển 
2 8
1 2 1 ... 8 1 .P x x x x 
 A. 630. B. 635. C. 636. D. 637. 
Lời giải. Các biểu thức 
2 4
1 , 1 , , 1x x x không chứa số hạng chứa 5.x 
Hệ số của số hạng chứa 5x trong khai triển 
5
5 1 x là 555 .C 
Hệ số của số hạng chứa 5x trong khai triển 
6
6 1 x là 6
56 .C 
Hệ số của số hạng chứa 5x trong khai triển 
7
7 1 x là 7
57 .C 
Hệ số của số hạng chứa 5x trong khai triển 
8
8 1 x là 8
58 .C 
Vậy hệ số của 5x trong khai triển P x là 5 56 7 8
5 5
55 6 7 8 636C C C C . Chọn C. 
Câu 23. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
 A. 0 1 1 2 22 2 2 2 2 2... ... .
n n n n
n n n n n nC C C C C C 
 B. 0 1 1 1 2 22 2 2 2 2 2... ... .
n n n n
n n n n n nC C C C C C 
 C. 0 1 2 1 2 22 2 2 2 2 2... ... .
n n n n
n n n n n nC C C C C C 
 D. 0 1 1 1 2 22 2 2 2 2 2... ... .
n n n n
n n n n n nC C C C C C 
Lời giải. Áp dụng công thức k n k
n nC C , ta có 
0 2
2 2
1 2 1
2 2
1 1
2 2
.
n
n n
n
n n
n n
n n
C C
C C
C C
Cộng vế theo vế, ta được 0 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2... ... .
n n n n
n n n n n nC C C C C C Chọn B. 
Câu 24. Tính tổng 0 1 2 ... nn n n nS C C C C . 
 A. 2 1.nS B. 2 .nS C. 12 .nS D. 2 1.nS 
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của 1
n
x , ta có 
0 1 2 21
n n n
n n n nx C C x C x C x . 
Cho 1x , ta được 0 1 2 1 1 2
nn n
n n n nC C C C . Chọn B. 
Câu 25. Tính tổng 0 1 2 2
2 2 2 2...
n
n n n nS C C C C . 
 A. 22 .nS B. 22 1.nS C. 2 .nS D. 22 1.nS 
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của 
2
1
n
x , ta có 
2 0 1 2 2 2 2
2 2 2 21
n n n
n n n nx C C x C x C x . 
Cho 1x , ta được 
20 1 2 2 2
2 2 2 2 1 1 2 .
nn n
n n n nC C C C Chọn A. 
Câu 26. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1
n
n n nC C C . 
 A. 8.n B. 9.n C. 10.n D. 11.n 
Lời giải. Ta có 
2 1 0 1 2 1
2 1 2 1 2 11 1 ...
n n
n n nC C C . 1 
Lại có 0 2 12 1 2 1
n
n nC C ; 
1 2
2 1 2 1
n
n nC C ; 
2 2 1
2 1 2 1
n
n nC C ; ; 
1
2 1 2 1
n n
n nC C . 2 
Từ 1 và 2 , suy ra 
2 1
0 1
2 1 2 1 2 1
2
...
2
n
n
n n nC C C 
1 2 20 2
2 1 2 1... 2 1 2 1 2 1 10
n n n
n nC C n . 
Vậy 10n thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. 
Câu 27. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 3 2 12 1 2 1 2 1... 1024
n
n n nC C C . 
 A. 5.n B. 9.n C. 10.n D. 4.n 
Lời giải. Xét khai triển 
2 1 0 2 1 1 2 2 1
2 1 2 1 2 11 ...
n n n n
n n nx C x C x C . 
Cho 1x , ta được 2 1 0 1 2 12 1 2 1 2 12 ...
n n
n n nC C C . 1 
Cho 1x , ta được 0 1 2 12 1 2 1 2 10 ...
n
n n nC C C . 2 
Cộng 1 và 2 vế theo vế, ta được 
2 1 1 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 12 2 ... 2 2.1024 5
n n n
n n nC C C n . Chọn A. 
Câu 28. Tính tổng 0 1 2 33 3 ... 3n nn n n nS C C C C . 
 A. 3 .nS B. 2 .nS C. 3.2 .nS D. 4 .nS 
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của 1
n
x , ta có 
0 1 2 21
n n n
n n n nx C C x C x C x . 
Cho 3x , ta được 0 1 2 33 3 ... 3 1 3 4 .
nn n n
n n n nC C C C Chọn D. 
Câu 29. Khai triển đa thức 
12 12
0 1 121 2 ...P x x a a x a x . Tìm hệ số ka 
0 12k lớn nhất trong khai triển trên. 
 A. 8 812 2 .C B. 
9 9
12 2 .C C. 
10 10
12 2 .C D. 
8 8
121 2 .C 
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của 
12
1 2x , ta có 
12 12
12
12 12
0 0
1 2 2 2
kk k k k
k k
x C x C x . 
Suy ra 
12 2
k k
ka C . 
Hệ số 
ka lớn nhất khi 
1 1
1 12 12
1 1
1 12 12
1 2
2 2 23 2612 1
.
2 1 3 32 2
12 1
k k k k
k k
k k k k
k k
a a C C k k
k
a a C C
k k
0 12 8k
k
k . Vậy hệ số lớn nhất là 8 88 12 2a C . Chọn A. 
Câu 30. Khai triển đa thức 
10
9 10
0 1 9 10
1 2
...
3 3
P x x a a x a x a x . Tìm hệ số ka 
0 10k lớn nhất trong khai triển trên. 
 A. 
7
7
1010
2
1 .
3
C B. 
7
7
1010
2
.
3
C C. 
6
6
1010
2
.
3
C D. 
8
8
1010
2
.
3
C 
Lời giải. Khai triển nhị thức Niu-tơn của 
10
1 2
3 3
x , ta có 
10 10 1010 10
10 10
0 0
1 2 1 2 1 2
3 3 3 3 3 3
k k k k
k k k
k k
x C x C x . 
Suy ra 
10
10
1 2
3 3
k k
k
ka C . 
Giả sử ka là hệ số lớn nhất, khi đó 
1
1
k k
k k
a a
a a
10 10 1 1
1
10 10
0
10 10 1 1
1
10 10
1 2 1 2 19
3 3 3 3 19 223
22 3 31 2 1 2
33 3 3 3
k k k k
k k
k
k k k k
k k
C C k
k
kC C
10 7.
k
k 
Vậy hệ số lớn nhất là 
7
7
7 1010
2
3
a C . Chọn B.