Chuyên đề 8: Hình học giải tích trong không gian Oxyz

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 231 
 Chuyên đề 8: 
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 
 Vấn đề 1: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
TỌA ĐỘ 
1. 
1 2 3 1 2 3
u (u ; u ; u ) u u i u j u k     
2. 
1 1 2 2 3 3
a b (a b ; a b ; a b )     
3.   
1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b 
4. 
3 1 1 22 3
2 3 3 1 1 2
a a a aa a
a,b ; ;
b b b b b b
 
       
 
5.   2 2 2
1 2 3
a a a a 
6. 
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b


  
 
7. 
a.b
Cos(a,b)
a . b
8. 
1 2 3 1 2 3
a cùng phương b a,b 0 a : a : a b : b : b      
9.    a,b,c đồng phẳng a,b .c 0 
10. Diện tích tam giác: 
   ABC
1
S AB,AC
2
11. Thể tích tứ diện ABCD:    ABCD
1
V AB,AC AD
6
12. Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D':         ABCD.A B C DV AB,AD AA 
MẶT PHẲNG 
 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ khác vectơ 0 và có giá vuông góc 
mặt phẳng. 
 Phương trình tổng quát: (): Ax + By + Cz + D = 0 (   2 2 2A B C 0 ) 
 
0 0 0
đi qua M(x ; y ; z )
( ) :
co ù vectơ pháp tuyến : n (A;B;C)

 

       
0 0 0
( ) : A(x x ) B(y y ) C(z z ) = 0 
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 232 
 Mặt phẳng chắn: () cắt Ox, Oy, Oz lần lượt A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), 
 (a, b, c khác 0) 
    
x y z
( ) : 1
a b c
 Mặt phẳng đặc biệt: (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0 
ĐƯỜNG THẲNG 
 Véctơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ khác vectơ 0 và có giá cùng 
phương với đường thẳng. 
 
0 0 0
1 2 3
đi qua M (x ; y ; z )
d :
có vectơ chỉ phương a (a ; a ; a )



0 0 0
1 2 3
1 2 3
x x y y z z
Phương trình tham số : với (a ; a ; a 0)
a a a
  
   
 Đường thẳng đặc biệt: 
y 0 x 0 x 0
Ox : ; Oy : ; Oz
z 0 z 0 y 0
    
  
    
B. ĐỀ THI 
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: 
x 1 y z 3
2 1 2
 
 

. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với 
đường thẳng d và cắt trục Ox. 
Giải 
  Gọi M là giao điểm của  với trục Ox  M(m; 0; 0)  AM = (m –1; –2; –3) 
  Véctơ chỉ phương của d là a = (2; 1; –2). 
    d  AM  d  AM.a 0  2(m – 1) + 1(–2) –2(–3) = 0  m = –1. 
 Đường thẳng  đi qua M và nhận AM = (–2; –2; –3) làm vectơ chỉ phương 
nên có phương trình: 
x 1 y 2 z 3
2 2 3
  
  . 
Cách 2. 
   đi qua A và cắt trục Ox nên  nằm trên mặt 
phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox. 
   đi qua A và vuông góc với d nên  nằm trên mặt 
phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d. 
  Ta có: +) Vectơ pháp tuyến của (P) là 
(P)
n OA,i    . 
 
d 
A 
 
 
O 
x 
P 
Q 
M 
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 233 
 +) Vectơ pháp tuyến của (Q) là 
(Q) d
n a . 
   = (P)(Q)  véctơ chỉ phương của  là: 
(P) (Q)
a n ,n
 
 
. 
Cách 3. 
  Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d  (Q): 2x + y – 2z + 2 = 0. 
  Gọi M là giao điểm của Ox và (Q)  M(–1; 0; 0). 
  Véctơ chỉ phương của  là: AM . 
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
x 2 y 1 z 5
1 3 2
  
 

và hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  
sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 . 
Giải 
  Đường thẳng  đi qua E(–2; 1; –5) và có vectơ chỉ phương  a 1; 3; 2  nên 
có phương trình tham số là: 
x 2 t
y 1 3t
z 5 2t
  

 
   
 (t  R). 
  M     M 2 t; 1 3t; 5 2t     
   AB 1; 2 ; 1   ,  AM t; 3t; 6 2t   ,  AB,AM t 12; t 6; t        . 
  SMAB = 3 5  
1
AB,AM 3 5
2
        
2 2 2
t 12 t 6 t 6 5     
  3t
2
 + 36t = 0  t = 0 hoặc t = –12. 
 Vậy M(–2; 1; –5) hoặc M(–14; –35; 19). 
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 
 
 

x 2 y 2 z
1 1 1
và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong 
(P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng . 
Giải 
 Tọa độ giao điểm I của  với (P) thỏa mãn hệ: 
  
x 2 y 2 z
I 3; 1; l1 1 1
x 2y 3z 4 0
 
 
 
    
 Vectơ pháp tuyến của (P):  n 1; 2; 3  ; vectơ chỉ phương của :  u 1; 1; 1  
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 234 
 Đường thẳng d cần tìm qua I và có một vectơ chỉ phương: 
        P P1 2n 1; 2; 3 , n 3; 2; 1   
 Phương trình d: 
  

 
  
x 3 t
y 1 2t
z 1 t
 (t  ) 
Bài 4 :CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P1): x + 2y + 3z + 4 = 0 
và (P2): 3x + 2y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm 
A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2) 
Giải 
 Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P1) và (P2): 
        P P1 2n 1; 2; 3 , n 3; 2; 1   
 (P) vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2) 
  (P) có một vectơ pháp tuyến:          P P P1 2n n ,n 8; 10; 4 2 4; 5; 2
       
 
 Mặt khác (P) qua A(1; 1; 1) nên phương trình mặt phẳng 
 (P): 4(x – 1) – 5(y – 1) + 2(z – 1) = 0 
 Hay (P): 4x – 5y + 2z – 1 = 0 
Bài 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B (0; 2; 1) 
và trọng tâm G(0; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm C và 
vuông góc với mặt phẳng (ABC). 
Giải 
 Ta có: 
  G là trọng tâm tam giác ABC  C(1; 3; 4) 
     AB 1; 1; 1 ; AC 2; 2; 4     
 Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên có một vectơ chỉ phương 
 
   a AB,AC = 6(1; 1; 0) 
 Mặt khác đường thẳng  đi qua điểm C nên 
 Phương trình :  
  

  
  
x 1 t
y 3 t t
z 4
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 235 
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), 
C(–2; 0; 1) 
 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. 
 2. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho: 
 MA = MB = MC. 
Giải 
1. 
đi qua A(0; 1; 2)
(ABC) :
có vectơ pháp tuyến là AB,AC 2(1; 2; 4)

      
 Phương trình mp(ABC): 1(x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 
  x + 2y – 4z + 6 = 0 
2. Cách 1: 
 Ta có: AB.AC 0 nên điểm M nằm trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) 
tại trung điểm I(0; 1; 1) của BC. 
  
  
 
qua I(0; 1; 1) x y 1 z 1
d : d :
1 2 4có vectơ chỉ phương :a (1;2; 4)
 Tọa độ M là nghiệm của hệ 
   
 
   
      
x 22x 2y z 3 0
y 3x y 1 z 1
z 71 1 4
 Vậy M(2; 3; 7). 
 Cách 2: Gọi M(x; y; z) 
 Ta có 



  
MA MB
MA MC
M ( )
  
           

          
    

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(x 0) (y 1) (z 2) (x 2) (y 2) (z 1)
(x 0) (y 1) (z 2) (x 2) (y 0) (z 1)
2x 2y z 3 0
  
x 2
y 3 M(2; 3; 7)
z 7


  
  
. 
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 236 
Bài 7:CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d 
có phương trình: 

 

x y z 1
1 1 2
 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. 
 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O 
Giải 
1. 


   (P) d
qua A(1; 1; 3)
(P) :
co ù vectơ pháp tuyến n a (1; 1;2)
 Phương trình mặt phẳng (P): 1(x – 1) – (y – 1) + 2(z – 3) = 0 
  x – y + 2z – 6 = 0 
2. Gọi M(t; t; 2t + 1)  d 
  Tam giác OMA cân tại O  MO
2
 = OA
2
  t
2
 + t
2
 + (2t + 1)
2
 = 1 + 1 + 9 
  6t
2
 + 4t – 10 = 0     
5
t 1 t
3
  Với t = 1 tọa độ điểm M(1; 1; 3). 
  Với  
5
t
3
 tọa độ điểm 
5 5 7
M ; ;
3 3 3
 
  
 
. 
Bài 8 :ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 
 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) 
và đường thẳng 
 
  

x 1 y 2 z
:
1 1 2
 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và 
vuông góc với mặt phẳng (OAB). 
 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA
2
 + MB
2
 nhỏ nhất. 
Giải 
1. Tọa độ trọng tâm: G(0; 2; 4). Ta có:   OA (1; 4; 2),OB ( 1; 2; 2) 
 Vectơ chỉ phương của d là:     u (12; 6; 6) 6 2; 1; 1 
 Phương trình đường thẳng d: 
 
 

x y 2 z 2
2 1 1
2/ Vì M    M(1 t; 2 + t; 2t) 
  MA
2
 + MB
2
 = (t
2
 + (6  t)
2
 + (2  2t)
2
) + ((2 + t)
2
 + (4  t)
2
 + (4  2t)
2
) 
 = 12t
2
  48t + 76 = 12(t 2)
2
 + 28 
 MA
2
 + MB
2
 nhỏ nhất  t = 2. Khi đó M(1; 0; 4) 
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 237 
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 
 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường 
thẳng: 
 
 

1
x y 1 z 1
d :
2 1 1
;  
 

   
  
2
x 1 t
d : y 1 2t t
z 2 t
 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song d1 và d2. 
 2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng 
Giải 
1. Vectơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là: 1u (2; 1; 1)  và 2u (1; 2; 1)  
  vectơ pháp tuyến của (P) là 
1 2
n u ,u ( 1; 3; 5)       
 Vì (P) qua A(0; 1; 2)  (P) : x + 3y + 5z  13 = 0. 
 Do B(0; 1; 1)  d1, C(1; 1; 2)  d2 nhưng B, C  (P), nên d1, d2 // (P). 
 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): x + 3y + 5z  13 = 0 
2. Vì M  d1, N  d2 nên M(2m; 1+ m; 1 m), N(1 + n; 12n; 2 + n) 
  AM (2m; m; 3 m); AN (1 n; 2 2n; n)       . 
  AM,AN ( mn 2m 6n 6; 3mn m 3n 3; 5mn 5m).              
 A,M,N thẳng hàng     AM,AN 0 
  m = 0, n = 1  M(0; 1; 1), N(0; 1; 1). 
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng 
 1:  
 

   
 
x 1 t
y 1 t t
z 2
 2:
 
 

x 3 y 1 z
1 2 1
 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 và song song với đường 
thẳng 2. 
 2. Xác định điểm A  1, B  2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 
Giải 
1. 1 qua M1(1; 1; 2) có vectơ chỉ phương  1a 1; 1; 0  
 2 qua M2 (3; 1; 0) có vectơ chỉ phương  2a 1; 2; 1  
  mp (P) chứa 1 và song song với 2 nên (p) có vectơ pháp tuyến: 
  1 2n a ,a 1; 1; 1      
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 238 
 Phương trình: (P): (x – 1) – (y + 1) + (z – 2 ) = 0 (vì M1(1; 1; 2)  (P)) 
  x + y – z + 2 = 0 
2/ AB ngắn nhất  AB là đoạn vuông góc chung 
  Phương trình tham số 1 :  1
x 1 t
A A 1 t; 1 t; 2y 1 t
z 2
 

      
 
  Phương trình tham số 2:  2
x 3 t
B B 3 t ; 1 2t ; ty 1 2t
z t
 

       
 
          AB 2 t t;2 2t t;t 2 
 Do 
 

 
1
2
AB
AB
 nên 
   
    
  
1
2
AB.a 0 2t 3t 0
t t 0
3t 6t 0AB.a 0
  A(1; 1; 2); B(3; 1; 0) . 
Bài 11: 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4; 2; 4) và đường thẳng 
d
  

 
   
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
. 
 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, cắt và vuông góc với d. 
Giải 
 Lấy M(3 + 2t; 1  t; 1+ 4t)  (d)  AM = (1 + 2t; 3  t; 5 + 4t) 
 Ta có AM  (d)  AM .
d
a = 0 với 
d
a = (2; 1; 4) 
  2 + 4t  3 + t  20 + 16t = 0  21t = 21  t = 1 
 Vậy đường thẳng cần tìm là đường thẳng AM qua A có vevtơ chỉ phương là: 
 AM = (3; 2; 1) nên phương trình (): 
  
 

x 4 y 2 z 4
3 2 1
. 
 Vấn đề 2: HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
HÌNH CHIẾU 
Phương pháp 
  Cách 1: (d) cho bởi phương trình tham số: 
Bài toán 1: Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng (d). 
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 239 
  H  (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số t. 
  Tìm tham số t nhờ điều kiện 
d
AH a 
  Cách 2: 
 (d) cho bởi phương trình chính tắc. 
 Gọi H(x, y, z) 
  
d
AH a (*) 
  H  (d): Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z 
  Cách 3: 
 (d) cho bởi phương trình tổng quát: 
  Tìm phương trình mặt phẳng () đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) 
  Giao điểm của (d) và () chính là hình chiếu H của A trên (d). 
Bài toán 2: Tìm hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (). 
Phương pháp 
  Cách 1: Gọi H(x; y; z) 
  H  () (*) 
  AH cùng phương n : Biến đổi tỉ lệ 
thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm 
được x, y, z. 
  Cách 2: 
  Tìm phương trình đường thẳng (d) đi 
qua A và vuông góc với mặt phẳng (). 
  Giao điểm của (d) và () chính là hình chiếu H của A trên mặt phẳng (). 
Bài toán 3: Tìm hình chiếu () của đường thẳng d xuống mặt phẳng (). 
Phương pháp 
  Tìm phương trình mặt phẳng () chứa đường 
thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (). 
  Hình chiếu () của d xuống mặt phẳng 
 chính là giao tuyến của () và (). 
ĐỐI XỨNG 
Bài toán 1: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d. 
Phương pháp 
  Tìm hình chiếu H của A trên d. 
  H là trung điểm AA'. 
H 
 
 A 
(d) 
(d) 
A 
H 
 
 
 
d 
() 
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 240 
Bài toán 2: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (). 
Phương pháp 
  Tìm hình chiếu H của A trên (). 
  H là trung điểm AA'. 
Bài toán 3: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua 
đường thẳng (). 
Phương pháp 
  Trường hợp 1: () và (D) cắt nhau. 
  Tìm giao điểm M của (D) và (). 
  Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M. 
  Tìm điểm A' đối xứng với A qua (). 
  d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A' và M. 
  Trường hợp 2: () và (D) song song: 
  Tìm một điểm A trên (D) 
  Tìm điểm A' đối xứng với A qua () 
  d chính là đường thẳng qua A' 
 và song song với (). 
Bài toán 4: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua 
mặt phẳng (). 
Phương pháp 
  Trường hợp 1: (D) cắt () 
  Tìm giao điểm M của (D) và (). 
  Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M. 
  Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng (). 
  d chính là đường thẳng đi qua hai điểm A' và M. 
  Trường hợp 2: (D) song song với (). 
 Tìm một điểm A trên (D) 
  Tìm điểm A' đối xứng với A qua 
mặt phẳng (). 
  d chính là đường thẳng qua A' và 
song song với (D). 
(D) 
() 
A 
A’ 
d 
M 
(D) A 
A’ 
() 
d 
(D) 
A 
 
M 
A’ 
d 
(D) A 
d 
A’ 
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 241 
B. ĐỀ THI 
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 
và hai điểm A(3; 0;1), B(1; 1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song 
song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến 
đường thẳng đó là nhỏ nhất. 
Giải 
 Gọi  là đường thẳng cần tìm;  nằm trong 
 mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P) 
 Phương trình (Q): x – 2y + 2z + 1 = 0 
 K, H là hình chiếu của B trên , (Q). 
 Ta có BK  BH nên AH là đường thẳng cần tìm 
 Tọa độ H = (x; y; z) thỏa mãn: 
x 1 y 1 z 3
1 2 2
x 2y 2z 1 0
  
 

    
  
1 11 7
H ; ;
9 9 9
 
 
 
26 11 2
AH ; ;
9 9 9
 
  
 
. Vậy, phương trình : 
 
 

x 3 y z 1
26 11 2
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 
 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường 
thẳng: 
     
   
 
1 2
x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1
d : ; d :
2 1 1 1 2 1
. 
 1/ Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1. 
 2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. 
Giải 
1/ Mặt phẳng () đi qua A(1; 2; 3) và vuông góc với d1 có phương trình là: 
 2(x  1)  (y  2) + (z  3) = 0  2x  y + z  3 = 0. 
 Tọa độ giao điểm H của d1 và () là nghiệm của hệ: 
x 0x 2 y 2 z 3
y 1 H(0; 1; 2)2 1 1
2x y z 3 0 z 2
  
  
     
      
 Vì A' đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm của AA' A'(1; 4; 1) 
2/ Viết phương trình đường thẳng : 
 Vì A' đối xứng với A qua d1 và cắt d2, nên  đi qua giao điểm B của d2 và (). 
 Tọa độ giao điểm B của d2 và () là nghiệm của hệ 
B 
H 
K 
A 
Q 
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 242 
x 2x 1 y 1 z 1
y 1 B(2; 1; 2)1 2 1
2x y z 3 0 z 2
  
  
      
       
 Vectơ chỉ phương của  là: u AB (1; 3; 5)    
 Phương trình của  là: 
  
 
 
x 1 y 2 z 3
1 3 5
Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 
 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có 
A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2) 
 1/ Chứng minh A'C vuông góc với BC'. Viết phương trình mặt phẳng (ABC') 
 2/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B'C' trên mặt 
phẳng (ABC') 
Giải 
1/ A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2)  C'(0; 2; 2) 
 Ta có:     A C (0;2; 2), BC ( 2;2;2) 
 Suy ra         A C.BC 0 4 4 0 A C BC 
 Ta có: 
 
  
 
A C BC
A C (ABC )
A C AB
 Suy ra (ABC') qua A(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến là A C (0; 2; 2)   nên có 
phương trình là: (ABC') 0(x – 0) + 2(y – 0) – 2(z – 0) = 0  y – z = 0 
2/ Ta có: B C BC ( 2; 2; 0)     
 Gọi () là mặt phẳng chứa B'C' và vuông góc với (ABC') 
  vectơ pháp tuyến của () là: n B C ,A C 4(1; 1; 1)       
  Phương trình (): 1(x – 0) + 1(y – 2) + 1(z – 2) = 0  x + y + z – 4 = 0 
 Hình chiếu d của B'C' lên (ABC') là giao tuyến của () với (ABC') 
  Phương trình d: 
   

 
x y z 4 0
y z 0
Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ 1 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1 
có A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0; 2 ). 
 a/ Viết phương trình mp(P) đi qua 3 điểm A1, B, C và viết phương trình hình 
 chiếu vuông góc của đường thẳng B1D1 lên mặt phẳng (P). 
 b/ Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C. Tính diện tích thiết 
 diện của hình chóp A1ABCD với mặt phẳng (Q). 
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 
 243 
Giải 
 Ta có: A(0; 0; 0); B1 (1; 0; 2 ); C1 (1; 1; 2 ); D1 (0; 1; 2 ) 
a/    1 1A B 1; 0; 2 , A C 1; 1; 2    
      P 1 1n A B; A C 2; 0; 1 
 (P) qua A1 và nhận Pn làm vectơ pháp tuyến 
 (P):           2 x 0 0 y 0 1 z 2 0 
    2.x z 2 0 
 Ta có  1 1B D 1; 1; 0  
  Mặt phẳng () qua B1 (1; 0; 2 ) 
 nhận  P 1 1n n , B D 1; 1; 2       
 làm vectơ pháp tuyến. Nên () có phương trình: 
 (): 1(x – 1) – 1(y – 0) + 2 (z  2 ) = 0 
  x + y   2z 1 0 
 D1B1 có hình chiếu lên (P) chính là giao tuyến của (P) và () 
 Phương trình hình chiếu là: 
    

  
x y 2z 1 0
2x z 2 0
b/ Phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với A1C: 
 (Q): x + y  2 z = 0 (1) 
  Phương trình A1C : 
 
 
 
 
 