Chủ đề: Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân

GV:Phạm Bình 1 Trường THPT Tân Hiệp 
CHỦ ĐỀ 
GV:Phạm Bình 2 Trường THPT Tân Hiệp 
Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. 
A). Phương pháp chứng minh : Mệnh đề P(n) đúng với mọi  1 *n N n . 
Ta thực hiện hai bước : 
Bước 1 : Kiểm tra P(n) đúng với n = 1. 
Bước 2 : Giả sử mệnh đề P(n) đúng với 1n k  . 
 Chứng minh rằng :P(n) cũng đúng với n = k + 1 . 
B). Phương pháp ch-minh: Mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n p 
Ta thực hiện hai bước : 
Bước 1 : Kiểm tra P(n) đúng với n = p . 
Bước 2 : Giả sử mệnh đề P(n) đúng với n k p  . 
 Chứng minh rằng :P(n) cũng đúng với n = k + 1 . 
C). Bài tập vận dụng. 
Bài 1 : Chứng minh rằng : *n N  ta đều có : 
a).    21 3 5 2 1 1... n n      . 
b).    2 4 6 2 1 2... n n n      . 
Bài 2 : Chứng minh rằng : *n N  ta có các đẳng thức : 
a).  
 3 1
2 5 8 3 1
2
n n
... n

      
b).  
 222 2 2 4 11 3 5 2 1
3
n n
... n

      . 
c).    21 2 2 5 3 8 3 1 1. . . ... n n n n       . 
d).
   
2
1 1 1 1 2
1 1 1 1
4 9 16 2 11
n
...
nn
     
                
e). 
  
1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 2 1 2 1 2 1
n
...
. . . n n n
    
  
f).7 1n  chia hết cho 6. 
Bài 3 : Cho *n N . Chứng minh rằng : 
a).2 2 1 3
n n , n    b). 22 6 5n n , n    . 
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên 2n  , ta luôn có các bất đẳng thức 
sau : 
1 1 1
1
2 3
... n
n
     
GV:Phạm Bình 3 Trường THPT Tân Hiệp 
Bài 2 : Dãy Số. 
A). Kiến thức cần nhớ 
1). Định nghĩa dãy số . Một hàm số u xác định trên tập *gọi là dãy số vô hạn. 
Kí hiệu dãy số u = u(n) là ( nu ), trong đó nu gọi là số hạng thứ n hay số hạng 
tổng quát 
2). Cách cho dãy số . 
 Cho bởi công thức số hạng tổng quát . 
 Ví dụ : Cho dãy  nu xác định bởi công thức 
2 2nu n n  . 
 Cho bởi công thức truy hồi . 
 Ví dụ : Cho dãy  nu biết  
1
1
2
3 1 2n n
u
u .u n


  
 Cho bằng cách mô tả . Ví dụ : Cho dãy  nu các số nguyên tố bé hơn 100. 
3). Dãy số tăng, dãy số giảm. 
a).Định nghĩa: 
  Dãy số nu được gọi là tăng nếu 1n nu u  với mọi n * 
  Dãy số nu được gọi là giảm nếu 1n nu u  với mọi n * 
 Dãy số nu được gọi là không đổi nếu 1n nu u  với mọi n * 
b). Phương pháp xét tính tăng ,giảm của dãy số. 
PP 1: Xét hiệu 1n nH u u  
 Nếu H > 0 , n N*  thì dãy số đã cho là dãy số tăng 
 Nếu H < 0 , n N*  thì dãy số đã cho là dãy số giảm 
PP 2: Nếu 0nu  , n N*  thì lập tỉ số 
1n
n
u
u
 , rồi so sánh với 1 
 Nếu 1 1n
n
u
, n N *
u
    thì dãy số đã cho là dãy số tăng 
 Nếu 1 1n
n
u
, n N *
u
    thì dãy số đã cho là dãy số giảm 
4). Dãy bị chặn. 
  Dãy số n( u )gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho nu M , n *   
  Dãy số n( u )gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho nu m, n *   
  Dãy số n( u )gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên ,vừa bị chặn dưới . 
 Lưu ý : các dấu “=” nêu trên không nhất thiết xảy ra. 
GV:Phạm Bình 4 Trường THPT Tân Hiệp 
B). Bài tập vận dụng: 
BT1:Tìm 4 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số dưới đây: 
 a).Dãy số  nu với 3 2
n n
nu   
A). 1, 5, 19, 55. B). 1, 5, 18, 65. C). 1, 5, 17, 55. D). 1, 5, 19, 65. 
 b).Dãy số  na với 3
3n
na
n
 . 
A). 3, 
9
8
 ,
27
6
 , 
81
64
. B). 3, 
9
4
 ,1 , 
81
64
. C). 3, 
9
8
 ,1 , 
81
32
. D). 3, 
9
8
 ,1 , 
81
64
. 
BT2:Tìm số hạng thứ 3 , thứ 5 , thứ 6 của các dãy số dưới đây: 
 a). Dãy số  nu biết 1 1u  và  1 2 10 1n nu u n     
A). 24, 166, 342. B). 34, 166, 332. C). 34, 156, 342. D). 34, 166, 342. 
 b). Dãy số  nv biết 1 5v  , 2 0v  và  2 1 2 1n n nv v v n     
A). 10, 30, 30. B). 10, 30, 50 C). 10, 35, 50. D).15, 30, 50 
BT3:Dãy số  nu với 1 13
2
n
n
u
u , u ( n N*)    có công thức số hạng tổng 
quát là : 
A).
3
2
n n
u  . B). 
3
nu
n
 C). 
1
3
2
n n
u

 . D). Một kq khác 
BT4:Cho dãy số  nu và nv với nu n và 2
n
nv n  . 
a).Viết dạng truy hồi của dãy  nu . 
A). 1 11 2n nu ,u u  . B). 1 11 2 1n nu , u u n    
C). 1 11 2 1n nu , u u   . D). Một kết qủa khác 
b).Viết dạng truy hồi của dãy  nv . 
A). 1 13 2 1n nv , v v n    . B). 1 13 2 1n nv , v v   
C). 1 11 2 1n nv , v v n    . D). Một kết qủa khác 
BT5: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau. 
a). 1 11 7 1n nu , u u ( n )     
A). 7 5nu n  . B). 7 6nu n  C). 8 7nu n  . D). Một kết qủa khác 
b). 1 11 2 3 1n nu , u u ( n )     . 
A). 
12 3nnu
  . B). 2 1nnu   C). 3 4
n
nu   . D). Một kết qủa khác 
c). 1 13 2 1n nu , u u ( n )    
A). 3nnu  . B). 3nu n C). 
13 2nnu .
 . D). Một kết qủa khác 
GV:Phạm Bình 5 Trường THPT Tân Hiệp 
BT6: Cho các dãy số sau: 5 11n n( a ) : a n  , 
2 1
3 2
n n
n
(b ) : b
n



 và 
2 1
n n
n
( c ) : c
n


. Mệnh đề nào sau đây đúng. 
A).    ;n na b là các dãy số tăng. B).    ;n na b là các dãy số giảm. 
C).  na là dãy tăng,  nc là dãy giảm. D).      ; ;n n na b c là các dãy giảm 
BT7. Mệnh đề nào sau đây sai. 
A).Dãy 
1
3
2
n
n n n
(u ) : u

 tăng. B).Dãy 
2 1n n( v ) : v n n   giảm 
C).Dãy 
1
1
n n( a ) : a
n n

 
 giảm. D). Dãy 
 
 
1
1
n
n n( h ) : h
n n



 không tăng 
BT8: Xét tính bị chặn trên, chặn dưới và bị chặn của các dãy số sau. 
 a). n( u )với 
3 5
2
n
n
u
n



A). Chỉ bị chặn trên B). Chỉ bị chặn dưới 
C). Bị chặn D). Không bị chặn trên ,không bị chặn dưới 
b). n( v )với 
2 3
1
n
n
v
n



A). Bị chặn trên bởi số 3/2 B). Chỉ bị chặn dưới 
C). Bị chặn dười bởi số 2 D). Bị chặn dưới bởi số 5/2 
c). n( a ) với 2 1
n
n
a
n


A). Không bị chặn dưới. B). Chỉ bị chặn dưới 
C). Bị chặn dười bởi số 1/2 D). Bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 1/2. 
BT8. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: 
A). Dãy số n( u )với 
7 5
5 7
n
n
u
n



 là một dãy tăng và bị chặn 
B). Dãy số  nu với 1 1
1
2
2
n
n
u
u , u 

  .CMR:  nu giảm và bị chặn dưới 
C). Dãy số n( u ) xác định bởi 
2
1 1
4
2 1
4
n
n
u
u ,u , n

    là một dãy không đổi 
D). Dãy số n( u )với 2
1
2 7
n
n
u
n



 là một dãy bị chặn chặn dưới. 
GV:Phạm Bình 6 Trường THPT Tân Hiệp 
Bài 3:CẤP SỐ CỘNG. 
A). Kiến thức cần nhớ 
1).Định nghĩa: 
Dãy  nu là cấp số cộng 
*
n 1 nu u d , n N     
Trong đó : d là hằng số được gọi là công sai của cấp số cộng 
2). Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng. 
3).Tính chất về 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng: 
4).Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: 
B).Bài tập vận dụng: 
BT1: Cho dãy số  nu . Chọn mệnh đề sai . 
A). Dãy 3 7nu n   là cấp số cộng có công sai d = -3. 
B). Dãy 3 7nu n   là cấp số cộng có số hạng đầu là 4. 
C). Dãy 2
3
n
n
u   là cấp số cộng có số hạng đầu là -5/3 
D). Dãy 2
3
n
n
u   là cấp số cộng có công sai d = -2 
BT2: Cho dãy số  nu . Chọn mệnh đề sai . 
A). 2nnu  là cấp số cộng có công sai d = 2 
B). 2nnu  không phải là cấp số cộng. 
C).Dãy 2 5nu n  là cấp số cộng có số hạng đầu là 7. 
D). 2 5nu n  là cấp số cộng có công sai d = 2 
BT3: Cho cấp số cộng: 2;5;8;11;Hãy tính 10d ,u . 
A). 103 27d , u  B). 103 27d , u   C). 103 29d , u  D). Kết quả khác 
BT3: Xác định số hạng đầu, công sai và tính tổng 16 số hạng đầu của cấp số 
cộng  nu biết: 
 a). 7 1527 59u ,u  
1 1nu u ( n )d   
1 1 2
2
k k
k
u u
u , k 

   
 1
1 2
2
n
n n
n u u
S u u ... u

     
GV:Phạm Bình 7 Trường THPT Tân Hiệp 
A). 1 163 2 428u ,d , S   B). 1 164 3 424u ,d , S   
C). 1 163 4 528u ,d , S   D). Kết quả khác 
b). 9 2 13 65 2 5u u , u u   
A). 1 165 2 625u ,d , S   B). 1 164 3 424u ,d , S   
C). 1 163 4 528u ,d , S   D). Kết quả khác 
BT5: Tìm s.hạng đầu và công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng sau biết: 
a).
2 5 3
4 6
10
26
u u u
u u
  

 
 b) .
2 5 3
4 6
10
26
u u u
u u
  

 
c). 
7 3
2 7
8
75
u u
u .u
 


 d). 12 1834 45S , S  
BT6:Xen vào giữa số 7 và 22 bốn số thực sao cho ta có một cấp số cộng nhận 7 
là số hạng đầu và 22 là số hạng cuối.Tìm 4 số thực đó. 
BT7:Cho cấp số cộng  nu có 1 203 35u ,u   . Tính 15 15d , u , S 
BT8:Tìm số tự nhiên n biết: 2 5 8 3 1 155... n      
BT9:Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 22 và 
tổng bình phương của các số đó bằng 66. 
BT10:Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm 3 góc đó. 
BT11:Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn 
nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm số đo các góc đó. 
BT12:Tìm x để 3 số a,b,c lập thành cấp số cộng với : 
a).
2a 10 3x;b 2x 3;c 7 4x      b). 2a 1 x;b 3x 2;c x 1      
Bài 4:CẤP SỐ NHÂN. 
A). Kiến thức cần nhớ: 
1).Định nghĩa cấp số nhân: 
Dãy  nu là cấp số nhân 
*
n 1 nu u .q , n N    
Trong đó : q là hằng số gọi là công bội của cấp số nhân 
2).Số hạng tổng quát của cấp số nhân: 
3).Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấpp số nhân: 
4).Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: 
1
1
n
nu u .q
 
2
1 1 2k k ku u .u ,k   
GV:Phạm Bình 8 Trường THPT Tân Hiệp 
 
 11 2
1
1
1
n
n n
u q
S u u ... u , q
q

     

B).Bài tập vận dụng: 
BT1:Trong các dãy số dưới đây ,dãy số nào là cấp số nhân. Khi đó hãy xác định 
công bội của cấp số nhân đó: 
 a). 
1
3
2
n
nu .
 
  
 
 b). 1 3nnv ( n ).  c). 
5
2
n n
x  
BT2: Hãy tìm hai số a , b sao cho 
21, a ,b là cấp số cộng và 2 6 1,a ,b  là cấp 
số nhân . 
BT3:Cho cấp số nhân  nu có công bội q > 0.Biết 3 53 27u ;u  .Tìm q, 1u , 15nu ,S 
BT4: Cho cấp số nhân  nu có 5 số hạng mà 1 2u ,u dương .Tích của số hạng thứ 
nhất và thứ 3 bằng 
9
16
 và tích của số hạng thứ hai và thứ tư bằng 
9
256
.Tìm cấp số 
nhân đó. 
BT5: Xác định số hạng đầu , công bội , số hạng tổng quát của cấp số nhân nu
biết: 
a). 
4 2
5 3
54
108
u u
u u
 

 
 b). 
1 2 3
4 5 6
35
945
u u u
u u u
  

  
 c). 
1 3 5
1 7
65
325
u u u
u u
  

 
BT6:Tính các tổng sau đây: 
a). 21 5 5 5nS ...     
b). 
2 3
1 1 1 1
1
2 2 2 2
n
n
S ... ( ) .       
BT7: Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân, biết rằng số hạng đấu là 8 , số 
hạng thứ hai là 4 và số hạng cuối là 
1
128
. 
BT8: Hãy tìm các số x , y sao cho x,y,12 lập thành cấp số nhân và x, y ,9 lập 
thành cấp số cộng . 
BT9:Ba số x,y,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời chúng lần 
lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng. Hãy 
tìm ba số đó biết tổng của chúng bằng 13. 
BT10:Chứng minh rằng: Nếu 3 số 
2 1 2
; ;
y x y y z 
 lập thành một cấp số cộng thì 
3 số x; y;z lập thành một cấp số nhân.