Chinh phục kiến thức Hoán vị - Chỉnh hợp - tổ hợp

 CHINH PHỤC KIẾN THỨC 
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
CẨM NANG CHO MÙA THI 
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/ng.huubien 
Email: ng.huubien@gmail.com 
(LỚP 11 & ÔN THI THPT QUỐC GIA) 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 1 
PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 
BÀI HỌC 1: HAI QUY TẮC ĐẾM 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Quy tắc cộng 
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A HOẶC phương án B. 
Trong đó: Phương án A có m cách thực hiện. Phương án B có n cách thực hiện. 
Vậy số cách để thực hiện công việc là m + n (cách) 
VD1: Trong một cuộc thi, Ban tổ chức công bố danh sách các đề tài : 7 đề tài về thiên nhiên; 8 đề tài về lịch 
sử; 10 đề tài về con người; 6 đề tài về văn hóa. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đề tài ? 
(ĐS: có 7 + 8 + 10 + 6 = 31 cách chọn) 
VD2: An cần mua 1 áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Trong đó cỡ 39 có 5 màu khác nhau, cỡ 40 có 4 màu khác nhau. 
Hỏi An muốn mua 1 áo sơ mi thì có bao nhiêu cách chọn ? 
(ĐS: An có 9 cách chọn) 
VD3: Tại 1 trường học, có 41 học sinh chỉ giỏi văn; 22 học sinh chỉ giỏi toán. Nhà trường muốn cử một học 
sinh giỏi đi dự trại hè toàn quốc. Vậy nhà trường có bao nhiêu cách chọn ? 
(ĐS: Có 41 + 22 = 63 cách chọn) 
2. Quy tắc nhân 
Giả sử môt công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có n cách thực hiện và công đoạn 
B có m cách thực hiện. khi đó công việc có thể được thực hiện bởi (n . m) cách. 
VD1: Bạn An qua nhà Bình, rủ Bình qua nhà Cường đi chơi. Biết từ nhà An đến nhà Bình có 3 con đường đi 
khác nhau. Từ nhà Bình qua nhà Cường có 4 con đường đi khác nhau. Hỏi bạn An muốn tới nhà Cường có 
bao nhiêu cách chọn đường đi. 
(ĐS: Có 3.4 = 12 cách) 
VD2: Để làm nhãn cho một chiếc ghế, người ta quy ước nhãn gồm 2 phần: Phần thứ nhất là 1 chữ cái có 
trong 24 chữ cái, phần thứ 2 là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có bao nhiêu ghế được dán nhãn khác 
nhau ? 
(ĐS: Có 24.25 = 600 ghế được dán nhãn khác nhau) 
I. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Phương pháp giải toán : 
+ Xác định xem công việc được thực hiện theo phương án hay công đoạn (phân biệt phương án và công 
đoạn). 
+ Tìm số cách thực hiện A và B. 
+ Áp dụng qui tắc cộng hay nhân. 
Bài 1: An đến văn phòng phẩm mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có 3 mặt hàng: Bút, vở, thước. Bút có 5 
loại, vở có 4 loại, thước có 3 loại. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn quà gồm 1 bút, 1 vở và 1 thước ? 
Hướng dẫn: 
+ Có 5 cách chọn bút, ứng với 1 cách chọn bút có 4 cách chọn vở. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 2 
+ Ứng với mỗi cách chọn 1 bút, 1 vở có 3 cách chọn 1 thước. 
Vậy có: 5.4.3 = 60 cách chọn 
Bài 2: Từ các số tự nhiên, có thể lập được bao nhiêu tờ vé số mà mỗi vé số có 6 chữ số khác nhau ? 
Hướng dẫn: 
+ 6 số của tờ vé số có dạng: 1 2 3 4 5 6a a a a a a ; { }ia 0;1;2;...;10 ;i 1;6∈ = 
1a có 10 cách chọn (được chọn cả chữ số 0 đứng đầu) 
2a có 9 cách chọn (do không chọn lại chữ số đã chọn trước đó) 
3a có 8 cách chọn (do không chọn lại chữ số đã chọn trước đó) 
6a có 5 cách chọn 
Vậy tất cả có: 10.9.8.7.6.5 151.200= tờ vé số 
Bài 3: Trong một trường THPT, khối 11 có : 160 học sinh tham gia câu lạc bộ toán, 140 học sinh tham gia 
câu lạc bộ tin, 50 học sinh tham gia cả 2 câu lạc bộ. Hỏi khối 11 có bao nhiêu học sinh ? 
Hướng dẫn: 
Học sinh khối 12 là 160 140 50 250+ − = học sinh (Quy tắc cộng mở rộng) 
Bài 4: Một lớp có 40 học sinh, đăng ký chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông. Có 30 
học sinh đăng ký bóng đá, 25 học sinh đăng ký cầu lông. Hỏi có bao nhiêu học sinh đăng ký cả 2 môn thể 
thao ? 
Hướng dẫn: 
+ Goi x là số học sinh đăng ký cả 2 môn thể thao, ta có: 40 30 25 x x 15= + − ⇒ = 
Vậy có 15 học sinh đăng ký cả 2 môn thể thao 
Bài 5: Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa). Hỏi có bao 
nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm 1 mặt và một dây ? 
Hướng dẫn: Có 3.4 = 12 (cách) 
Bài 6: Một người vào cửa hàng ăn, người đó muốn chọn thực đơn gồm một món ăn trong 10 món, một loại 
hoa quả tráng miệng trong 5 loại hoa quả và một loại nước uống trong 4 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu 
cách chọn thực đơn cho bữa ăn ? 
Hướng dẫn: 
+ Món ăn có: 10 cách chọn. 
+ Ứng với cách chọn 1 món ăn, 1 loại hoa quả được chọn từ 5 loại nên có 5 cách chọn. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 3 
+ Ứng với mỗi cách chọn món ăn và 1 loại hoa quả thì một loại nước uống được chọn nên có 4 cách chọn. 
Vậy theo quy tắc nhân ta có: 10.5.4 = 200 cách chọn 
Bài 7: Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam 
nữ ? 
Hướng dẫn: 
+ Chọn nam: có 8 cách chọn 
+ Ứng với mỗi cách chọn nam, có 6 cách chọn nữa 
Vậy tất cả có 6.8 = 48 cách chọn một đôi song ca. 
Bài 8: Từ các chữ số 1; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : 
a) Có 4 chữ số ? 
b) Có 4 chữ số khác nhau ? 
Hướng dẫn: 
a) Số cần tìm có dạng: 1 2 3 4a a a a ; { }ia 1;5;6;7∈ 
+ 1a có 4 cách chọn 
+ 2a có 4 cách chọn (Do các chữ số có thể giống 
nhau và lặp lại) 
+ 3a có 4 cách chọn 
+ 4a có 4 cách chọn 
Vậy có 4.4.4.4 = 256 số có 4 chữ số 
b) Số cần tìm có dạng: 1 2 3 4a a a a ; { }ia 1;5;6;7∈ 
+ 1a có 4 cách chọn 
+ 2a có 3 cách chọn (Do chữ số chọn rồi thì không 
chọn lại) 
+ 3a có 2 cách chọn 
+ 4a có 1 cách chọn 
Vậy có 4.3.2.1 = 24 số có 4 chữ số khác nhau 
Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đo các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau ? 
Hướng dẫn: 
+ Gọi số cần tìm có dạng 1 2 3 4 5a a a a a ; ia 0;9= ; 1 5 2 4a a ;a a= = 
+ 1a có 9 cách chọn (do không chọn chữ số 0) 
+ 2a có 10 cách chọn 
+ 3a có 10 cách chọn 
+ 4 2a a= nên có 1 cách chọn 
+ 5 1a a= nên có 1 cách chọn 
Vậy tất cả có: 9.10.10.1.1 = 900 số thỏa mãn yêu cầu. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 4 
Bài 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất: 
a) Là số chẵn và có 2 chữ số b) Là số chẵn có 2 chữ số khác nhau 
c) Là số lẻ có 2 chữ số d) Là số lẻ có 2 chữ số khác nhau 
Hướng dẫn: 
a) Số cần tìm có dạng 1 2 ia a ;a 0;9= 
+ 1a có 9 cách chọn (Do không chọn chữ số 0) 
+ { }2a 0;2;4;6;8∈ là số chẵn nên có 5 cách chọn. 
Vậy tất cả có 9.5 = 45 số chẵn có 2 chữ số 
c) Số cần tìm có dạng 1 2 ia a ;a 0;9= 
+ 1a có 9 cách chọn (Do không chọn chữ số 0) 
+ { }2a 1;3;5;7;9∈ là số chẵn nên có 5 cách chọn. 
Vậy tất cả có 9.5 = 45 số lẻ có 2 chữ số 
b) Ta tìm các số chẵn có 2 chữ số giống nhau 
{ }1 2 ia a ;a 2;4;6;8∈ 
+ 1a có 4 cách chọn 
+ 2 1a a= có 1 cách chọn 
Vậy có 4.1 = 4 chữ số chẵn có 2 chữ số giống nhau. 
+ Kết hợp phần a ⇒ có 45 - 4 = 41 số chẵn có 2 chữ 
số khác nhau 
d) Ta tìm các số lẻ có 2 chữ số giống nhau 
{ }1 2 ia a ;a 1;3;5;7;9∈ 
+ 1a có 5 cách chọn 
+ 2 1a a= có 1 cách chọn 
Vậy có 5.1 = 5 chữ số lẻ có 2 chữ số giống nhau. 
+ Kết hợp phần c ⇒ có 45 - 5 = 40 số lẻ có 2 chữ số 
khác nhau 
Bài 11: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ? 
Hướng dẫn: Số tự nhiên cần tìm tối đa có 2 chữ số 
* Bước 1: Tìm các số tự nhiên có 1 chữ số: Có 6 số 
* Bước 2: Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số 
Số cần tìm có dạng 1 2 ia a ;a 1;6= 
+ 1a có 6 cách chọn 
+ 2a có 6 cách chọn 
Vậy có 6.6 = 36 số tự nhiên có 2 chữ số 
Kết luận: Có 6 + 36 = 42 số tự nhiên lập được từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 và nhỏ hơn 100 
Bài 12: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm không quá 3 chữ số khác nhau ? 
Hướng dẫn: 
* Bước 1: Tìm các số nguyên dương có 1 chữ số: Có 9 số 
* Bước 2: Tìm các số nguyên dương có 2 chữ số khác nhau 
Số cần tìm có dạng 1 2 ia a ;a 0;9= 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 5 
+ 1a có 9 cách chọn (do không chọn chữ số 0) 
+ 2a có 10 - 1 = 9 cách chọn 
Vậy có 9.9 = 81 số nguyên dương có 2 chữ số khác nhau 
* Bước 3: Tìm các số nguyên dương có 3 chữ số khác nhau 
Số cần tìm có dạng 1 2 3 ia a a ;a 0;9= 
+ 1a có 9 cách chọn (do không chọn chữ số 0) 
+ 2a có 10 - 1 = 9 cách chọn 
+ 3a có 8 cách chọn 
Vậy có 9.9.8 = 648 số nguyên dương có 3 chữ số khác nhau 
Kết luận: Vậy có 9 + 81 + 648 = 738 số nguyên dương gồm không quá 3 chữ số khác nhau 
Bài 13: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm chọn 3 học sinh để đi trực thư viên. 
Có bao nhiêu cách chọn nếu : 
a) Chọn 3 học sinh, trong đó có đúng 1 học sinh nữ được chọn. 
b) Trong 3 học sinh được chọn ít nhất có 1 học sinh nữ được chọn. 
Hướng dẫn: 
a) 
+ Để chọn 1 học sinh nữ trong 4 học sinh nữ có: 4 cách 
+ Để chọn 1 học sinh tiếp theo có: 6 cách (chỉ được chọn trong số học sinh nam) 
+ Để chọn 1 học sinh cuối cùng có: 5 cách 
Vậy có 4.6.5 = 120 cách chọn 3 học sinh trong đó có đúng 1 học sinh nữ 
b) 
* Trường hợp 1: Trong 3 học sinh được chọn, có đúng 1 học sinh nữ : Có 120 cách (theo a) 
* Trường hợp 2: Trong 3 học sinh được chọn có đúng 2 học sinh nữ: 
+ Chọn nữ thứ nhất: có 4 cách 
+ Chọn nữ thứ hai: có 3 cách 
+ Chọn 1 nam: có 6 cách 
Vậy có: 4.3.6 = 72 cách 
* Trường hợp 3: Cả 3 học sinh chọn đều là nữ: có 4.3.2 = 24 cách chọn 
Kết luận: Tất cả có 120 + 72 + 24 = 216 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 6 
Bài 14: Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách bước lên tàu. Hỏi : 
a) Có bao nhiêu trường hợp về cách chọn toa của 4 hành khách ? 
b) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có 1 người lên ? 
c) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có 3 người lên, một toa có 1 người lên và hai toa còn lại không có ai 
lên ? 
Hướng dẫn: 
a) 
+ Người thứ nhất: có 4 cách chọn 
+ Người thứ hai: có 4 cách chọn 
+ Người thứ ba: có 4 cách chọn 
+ Người thứ tư: có 4 cách chọn 
Vậy tất cả có 4.4.4.4 = 256 cách chọn 
b) 
+ Người thứ nhất: có 4 cách chọn 
+ Người thứ hai: có 3 cách chọn 
+ Người thứ ba: có 2 cách chọn 
+ Người thứ tư: có 1 cách chọn 
Vậy tất cả có 4.3.2.1 = 14 cách chọn 
c) 
+ Chia 4 người thành 2 nhóm: Nhóm I: có 3 người, 
nhóm II: có 1 người (Ta chia bằng cách chọn ra 1 
người và 3 người còn lại cho vào 1 nhóm). Vậy có 4 
cách chia nhóm. 
+ Với mỗi cách chia nhóm xếp 2 nhóm vào 4 
khoang: 
- Nhóm I: Có 4 cách xếp 
- Nhóm II: Có 3 cách xếp 
+ Như vậy có 4.3 = 12 cách xếp cho mỗi cách chia 
nhóm, mà có 4 cách chia nhóm. 
Kết luận: Vậy tất cả có 12.4 = 48 cách 
c) 
Cách khác: 
+ Hành khách 1 lên toa 1 có 4 cách chọn 
+ Sau đó 3 hành khách còn lại lên chung 1 toa có 3 
cách chọn 
Vậy ta có 4.3 = 12 cách. 
+ Vì vai trò các hành khách như nhau nên trong 
trường hợp này có tất cả 12.4 = 48 cách. 
Bài 15: Biển đăng ký xe ô tô có 6 chữ số và 2 chữ cái đầu tiên trong 26 chữ cái (Không dùng chữ I và O). 
Hỏi số ô tô đăng ký nhiều nhất là bao nhiêu ? 
Hướng dẫn: 
+ 2 chữ cái đầu tiên trong 24 chữ cái nên có : 24.24 = 576 cách chọn 
+ Chữ số đầu tiên khác 0 nên có 9 cách chọn 
+ 5 chữ số còn lại không nhất thiết phải khác 0 và có thể lặp lại nên có : 10.10.10.10.10 = 100.000 cách chọn 
Vậy tất cả có: 576.9.100000 = 518.400.000 số ô tô được đăng ký. 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 7 
Bài 16: Cho 7 chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viêt từ các chữ số đã 
cho ? 
Hướng dẫn: 
Gọi số cần tìm là 1 2 3 4a a a a 
+ 1a có 7 cách chọn 
+ 2a có 6 cách chọn 
+ 3a có 5 cách chọn 
+ 4a có 4 cách chọn 
Vậy có 7.6.5.4 = 840 số thỏa mãn 
Bài 17: Cho các số 1; 2; 5; 7; 8. Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên 
sao cho số tạo thành là một số chẵn ? 
Hướng dẫn: 
Gọi số cần tìm là 1 2 3n a a a= 
Để n chẵn thì { }3a 2;8∈ 
+ 3a có 2 cách chọn 
+ 1a có 4 cách chọn 
+ 2a có 3 cách chọn 
Vậy có 2.4.3 = 24 số thỏa mãn 
Bài 18: Với các chữ số từ 0 đến 5, ta có thể lập được bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau ? 
Hướng dẫn: Gọi số cần tìm là : 1 2 3 4 5n a a a a a= 
TH1: 5a 0= có 1 cách 
+ 1a có 5 cách chọn 
+ 2a có 4 cách chọn 
+ 3a có 3 cách chọn 
+ 4a có 2 cách chọn 
Vậy có 1.5.4.3.2 = 120 số thỏa mãn 
TH2: 5a 0≠ có 2 cách (Do { }5a 2;4∈ ) 
+ 1a có 4 cách chọn (Do 1a 0≠ ) 
+ 2a có 4 cách chọn 
+ 3a có 3 cách chọn 
+ 4a có 2 cách chọn 
Vậy có 2.4.4.3.2 = 192 số thỏa mãn 
Kết luận: Có tất cả 120 + 192 = 312 số thỏa mãn yêu cầu bài toán 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 8 
Cách khác: 
+ Gọi số tự nhiên CÓ 5 CHỮ SỐ KHÁC NHAU là: 1 2 3 4 5n a a a a a= 
+ 1a có 5 cách chọn 
(Do 1a 0≠ ) 
+ 2a có 5 cách chọn 
+ 3a có 4 cách chọn 
+ 4a có 3 cách chọn 
+ 5a có 2 cách chọn 
Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau 
+ Gọi số tự nhiên LẺ CÓ 5 CHỮ SỐ KHÁC NHAU là: 1 2 3 4 5m b b b b b= 
+ 5b có 3 cách chọn 
(Do { }5b 1;3;5∈ ) 
+ 1b có 4 cách chọn 
(Do 1b 0≠ ) 
+ 2b có 4 cách chọn 
+ 3b có 3 cách chọn 
+ 4b có 2 cách chọn 
Vậy có 3.4.4.3.2 = 288 số tự nhiên lẻ có 5 chữ số khác nhau 
Kết luận: Vậy các số chẵn thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 600 - 288 = 312 số. 
Bài 19: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ? 
Hướng dẫn: Gọi số cần tìm là : 1 2 3 4 5n a a a a a= 
TH1: 5a 0= có 1 cách 
+ 1a có 6 cách chọn 
+ 2a có 5 cách chọn 
+ 3a có 4 cách chọn 
+ 4a có 3 cách chọn 
Vậy có 1.6.5.4.3 = 360 số thỏa mãn 
TH2: 5a 0≠ có 3 cách (Do { }5a 2;4;6∈ ) 
+ 1a có 5 cách chọn (Do 1a 0≠ ) 
+ 2a có 5 cách chọn 
+ 3a có 4 cách chọn 
+ 4a có 3 cách chọn 
Vậy có 3.5.5.4.3 = 900 số thỏa mãn 
Kết luận: Có tất cả 300 + 900 = 1260 số thỏa mãn yêu cầu bài toán 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 9 
Cách khác: 
+ Gọi số tự nhiên CHẴN CÓ 5 CHỮ SỐ KHÁC NHAU là: 1 2 3 4 5n a a a a a= 
TH1: 5a 0= có 1 cách 
+ 1a có 6 cách chọn 
+ 2a có 5 cách chọn 
+ 3a có 4 cách chọn 
+ 4a có 3 cách chọn 
Vậy có 1.6.5.4.3 = 360 số thỏa mãn 
TH2: 5a 2= có 1 cách 
+ 1a có 5 cách chọn 
(Do 1a 0≠ ) 
+ 2a có 5 cách chọn 
+ 3a có 4 cách chọn 
+ 4a có 3 cách chọn 
Vậy có 1.5.5.4.3 = 300 số thỏa mãn 
Tương tự TH3: 5a 4= ; TH4: 5a 6= mỗi trường hợp cũng có 300 số. 
Kết luận: Vậy tất cả có 360 + 300.3 = 1260 số thỏa mãn yêu cầu bài toán 
Bài 20: Có 100.000 vé số được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi có bao nhiêu vé số gồm 5 chữ số khác 
nhau ? 
Hướng dẫn: Gọi 1 2 3 4 5n a a a a a= là số in trên vé số thỏa mãn yêu cầu bài toán 
+ 1a có 10 cách chọn 
+ 2a có 9 cách chọn 
+ 3a có 8 cách chọn 
+ 4a có 7 cách chọn 
+ 5a có 6 cách chọn 
Vậy có 10.9.8.7.6 = 30.240 vé số thỏa mãn 
Bài 21: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số thỏa mãn chữ số thứ 3 là chẵn, chữ số cuối cùng chia hết cho 3, 
các chữ số thứ 5 và 6 khác nhau ? 
Hướng dẫn: Gọi 1 2 3 4 5 6 7n a a a a a a a= là số cần tìm. 
+ 3a có 5 cách chọn (Do { }3a 0;2;4;6;8∈ ) 
+ 7a có 3 cách chọn (Do { }7a 3;6;9∈ ) 
+ 1a có 9 cách chọn (Do 1a 0≠ ) 
+ 2a có 10 cách chọn 
+ 4a có 10 cách chọn 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 10 
+ 5a có 10 cách chọn 
+ 6a có 9 cách (Do 6 5a a≠ ) 
Vậy có 5.3.9.10.10.10.9 = 1.215.000 số thỏa mãn 
Bài 22: Cho tập hợp { }A 0;1;2;3;4;5= . Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ 
các chữ số trong tập hợp A ? 
Hướng dẫn: Gọi 1 2 3 4 5n a a a a a= là số cần tìm. 
+ 1a có 5 cách chọn 
(Do 1a 0≠ ) 
+ 2a có 5 cách chọn 
+ 3a có 4 cách chọn 
+ 4a có 3 cách chọn 
+ 5a có 2 cách chọn 
Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số thỏa mãn 
Bài 23: Từ các chữ số 0; 1; 3; 5; 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết 
cho 5 ? 
Hướng dẫn: Gọi 1 2 3 4n a a a a= là số cần tìm. 
+ 4a có 3 cách chọn 
(Do { }4a 1;3;7∈ ) 
+ 1a có 3 cách chọn 
+ 2a có 3 cách chọn 
+ 3a có 2 cách chọn 
Vậy có 3.3.3.2 = 54 số thỏa mãn 
Bài 24: Có bao nhiêu số tự nhiên trong đó các chữ số khác nhau, nhỏ hơn 10.000 được tạo thành từ 5 chữ số 
0; 1; 2; 3; 4 ? 
Hướng dẫn: Số cần tìm < 10.000 vậy lớn nhất chỉ có thể là số có 4 chữ số 
TH1: Số đó có 4 chữ số khác nhau : 
Gọi 1 2 3 4n a a a a= là số cần tìm. 
+ 1a có 4 cách chọn ( Do 1a 0≠ ) 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 11 
+ 2a có 4 cách chọn 
+ 3a có 3 cách chọn 
+ 4a có 2 cách chọn 
Vậy có 4.4.3.2 = 96 số thỏa mãn 
TH2: Số đó có 3 chữ số khác nhau: 
Gọi 1 2 3n a a a= là số cần tìm. 
+ 1a có 4 cách chọn (Do 1a 0≠ ) 
+ 2a có 4 cách chọn 
+ 3a có 3 cách chọn 
Vậy có 4.4.3 = 48 số thỏa mãn 
TH3: Số đó có 2 chữ số khác nhau: 
Gọi 1 2n a a= là số cần tìm. 
+ 1a có 4 cách chọn ( Do 1a 0≠ ) 
+ 2a có 4 cách chọn 
Vậy có 4.4 = 16 số thỏa mãn 
TH4: Số đó có 1 chữ số: có 4 số 
Kết luận: Tất cả có 96 + 46 + 16 + 4 = 156 số thỏa mãn 
Bài 25: Có 4 nam và 4 nữ cần xếp ngồi dài vào một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam và nữ 
ngồi xen kẽ nhau ? 
Hướng dẫn: Liên hệ tới bài toán tương tự như sau để có lời giải: Có 8 chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 (Nam coi 
như các chữ số: 1; 3; 5; 7, nữ coi như các chữ số 2; 4; 6; 8). Cần tạo ra các số sao cho các chữ số chẵn và lẻ 
xen kẽ nhau. Các chữ số khác nhau. 
Gọi 1 2 3 4 5 6 7n a a a a a a a= là số cần tìm. 
+ 1a có 8 cách chọn (Do { }1a 1;2;3;...;8∈ ) 
+ 2a có 4 cách chọn (Do { }2a 1;3;5;7∈ hoặc { }2a 2;4;6;8∈ ) 
+ 3a có 3 cách chọn (Do 2a đã chọn 1 nam hoặc 1 nữ, vậy chỉ còn 3 cách) 
+ 4a có 3 cách chọn (Do 2a đã chọn 1 nam hoặc 1 nữ, vậy chỉ còn 3 cách) 
+ 5a có 2 cách 
+ 6a có 2 cách 
+ 7a có 1 cách 
+ 8a có 1 cách 
Vậy có 8.4.3.3.2.2.1.1 = 1152 số thỏa mãn 
Áp dụng vào bài toán trên có 
+ Vị trí 1 có 8 cách chọn 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 12 
+ Vị trí 2 có 4 cách chọn 
+ Vị trí 3 có 3 cách chọn 
+ Vị trí 4 có 3 cách chọn 
+ Vị trí 5 có 2 cách 
+ Vị trí 6 có 2 cách 
+ Vị trí 7 có 1 cách 
+ Vị trí 8 có 1 cách 
Vậy có 8.4.3.3.2.2.1.1 = 1152 cách xếp thỏa mãn 
Bài 25. Có bao nhiêu ước nguyên dương của số 3 4 6 8 12 142 3 5 7 11 13. . . . 
Hướng dẫn: 
Ước nguyên dương của số 3 4 6 8 12 142 3 5 7 11 13. . . . khi đã phân tích ra thừa số nguyên tố thì có dạng: 
a b c d e f2 3 5 7 11 13. . . . 
Với số a có thể chọn 0, 1, 2, 3 thì có 4 cách chọn. (a là số tự nhiên không vượt quá 3) 
Với số b có thể chọn 0, 1, 2, 3, 4 thì có 5 cách chọn. (b là số tự nhiên không vượt quá 4) 
Với số c có thể chọn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì có 7 cách chọn. (c là số tự nhiên không vượt quá 6) 
Với số d có thể chọn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 thì có 9 cách chọn. (d là số tự nhiên không vượt quá 8) 
Với số e có thể chọn 0, 1, 2, 3, 4,  10, 11, 12 thì có 13 cách chọn. () 
Với số f có thể chọn 0, 1, 2, 3, 4,12, 13, 14 thì có 15 cách chọn. 
Vậy có 4.5.7.9.13.15 = 245700 ước số. 
Cách của THCS: số a b c d e f2 3 5 7 11 13. . . . có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1+ + + + + + ước số 
Bài 26: Số 12000 có bao nhiêu ước số tự nhiên ? 
Hướng dẫn: 
Ta có 5 312000 2 .3.5= 
Suy ra ước của số 12000 có dạng a b c2 .3 .5 
{ } { } { } Do 0 a 5; Do 0 b 1; Do 0 c 3a 0;1;2;3;4;5 b 0;1 c 0;1;2;3∈ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ ; 
+ Chọn a có 6 cách 
+ Chọn b có 2 cách 
+ Chọn c có 4 cách 
Vậy có 6.2.4 = 48 ước số. 
Bài 27: Có bao nhiêu ước nguyên dương của số 31752000 ? 
Hướng dẫn: 
Ta có 6 4 3 231752000 2 .3 .5 .7= 
Tương tự có: ( ) ( ) ( ) ( )6 1 4 1 3 1 2 1 420+ + + + = ước số 
Bài 28: Giả sử một bạn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. áo cỡ 39 có 5 màu áo khác nhau. áo cỡ 40 có 4 
màu áo khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lụa chọn ? 
Hướng dẫn: 
Công việc “mua áo” có thể thực hiện theo hai phương án A “áo cỡ 39” hoặc phương án B“áo cỡ 40”. 
phương án A có 5 cách chọn .( có 5 màu áo khác nhau) 
CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 
 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN 
Trang 13 
phương án B có 4 cách chọn. .( có 4 màu áo khác nhau) 
vậy : công việc “mua áo” có thể thực hiện bởi : 5. + 4 = 9 cách chọn. 
Bài 29: Có bao nhiê