Các phương pháp giải Phương trình lượng giác

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản 
và một số phương trình lượng giác thường gặp
	Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa va thì cần điều kiện để và có nghĩa.
Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản .
Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại.
 1.1-Phương trình lượng giác cơ bản
 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác .
1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản.
a) Giải và biện luận phương trình (1)
Do nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau
	Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm
	Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt.
-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m= . Ta có: 
	Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm 
Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt.
Ví dụ 1: Giải phương trình
 	Giải:
Ta nhận thấy không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt =
Khi đó ta có: 
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Do nên 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
b) Giải và biện luận phương trình lượng giác 
Ta cũng đi biện luận (b) theo m
	Bước 1: Nếu phương trình vô nghiệm .
	Bước 2: Nếu ta xét 2 khả năng: 
-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua của góc đặc biệt, giả sử góc. Khi đó phương trình có dạng
-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua của góc đặc biệt khi đó 
đặt = .Ta có: 
Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm 
Ví Dụ Minh Hoạ.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Giải:
Do nên 
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải:
Vì và không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc sao cho 
Ta có: 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
 c) Giải và biện luận phương trình lượng giác 
 Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:
	Bước 1: Đặt điều kiện 
	Bước 2: Xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng
-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm 
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
Giải :
Do nên ta có: 
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải: 
Điều kiện: 
Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt .
Từ đó ta có 
	Vậy phương trình có một họ nghiệm.
d) Giải và biện luận phương trình lượng giác 
Ta cũng đi biện luận theo 
 	Bước1: Đặt điều kiện 
 	Bước 2: Xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử khi đó phương trình có dạng
-Khả năng 2: Nếu không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt = ta được
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1:
Giải phương trình sau: (1)
Giải:
	Điều kiện (*)
Ta có:
(1) 
 Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)
 Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Ta nhận thấy nên ta có 
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức.
1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp.
1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1: (1)
Cách giải: Đặt , điều kiện 
Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo , giải tìm chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm 
Dạng 2: (2)
Cách giải: Đặt điều kiện ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo , giải tìm rồi tìm 
Dạng 3: (3)
Cách giải: Điều kiện 
Đặt ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo , chú ý khi tìm được nghiệm cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không
Dạng 4: (4)
Cách giải: Điều kiện 
Đặt . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình (1)
	Giải:
Phương trình (1)
	Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)
	Giải:
	 Điều kiện 
Ta có:
Ta thấy không thoả mãn điều kiện. Do đó (*)
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình: 
Bài 2 Giải phương trình: 
Bài 3: Giải phương trình: 
Bài 4: Giải phương trình: 
Bài 5: Giải phương trình: 
 Bài 6: Giải phương trình: 
Bài 7: Giải phương trình: 
Bài 8: Giải phương trình 
Bài 9: Giải phương trình 
1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với 
a)Định nghĩa: Phương trình trong đó a, b, c và được gọi là phương trình bậc nhất đối với 
b) Cách giải. 
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước 
Bước 1:Kiểm tra 
	-Nếu < phương trình vô nghiệm 
	-Nếu khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2
Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho , ta được
Vì nên tồn tại góc sao cho 
Khi đó phương trình (1) có dạng
Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải 
Cách 2: Thực hiện theo các bước 
Bước 1: Với thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?
Bước 2: Với 
Đặt suy ra 
Khi đó phương trình (1) có dạng 
Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
* Dạng đặc biệt:
 . 
 . .
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
 từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng , và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác .
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình: (1)
	Giải :
Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho ta được
Đặt . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng
Vậy phương trình có 2 nghiệm 
Cách 2:-Ta nhận thấy là nghiệm của phương trình 
-Với . Đặt ,lúc đó 
Phương trình (1) sẽ có dạng 
Hay 
	Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 2: Giải phương trình 
 	Giải: 
Ta biến đổi phương trình (2)
 Ta có: 
Suy ra <
	Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau
Ví Dụ 3: Giải phương trình 
	Giải :
Cách 1:Thực hiện phép biến đổi 
(3) 
Đặt 
Phương trình (3) sẽ được viết thành 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.
Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt và ta cũng thu được nghiệm chẵn 
*Chú ý: Đối với phương trình dạng trong đó a, b, c, d thoả mãn >0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số . Bằng phép chia cho ta có (*) hoặc
(*) trong đó là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 4: Giải phương trình: 
	Giải: 
(4) 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập: Giải các phương trình sau :
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với và .
a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với , là phương trình.
 (1) trong đó a, b, c, d 
b) Cách giải :
	Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong ba hạng tử hoặc . Chẳng hạn nếu chia cho ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra:
 xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không?
Bước 2: Với chia cả hai vế cho lúc đó phương trình (1) trở thành 
	Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 
đưa phương trình đã cho về phương trình 
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải 
*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát
 trong đó 
Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :
Bước 1: Kiểm tra xem có phải là nghiệm của phương trình hay không?
Bước 2: Nếu .Chia cả hai vế của phương trình trên cho ta sẽ được phương trình bậc n theo . Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình : (1)
	Giải: 
Cách 1: Phương trình (1)
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: +) Thử với vào phương trình (1) ta có vô lí.
 Vậy không là nghiệm của phươngtrình.
	 +)Với Chia cả hai vế của phương trình cho ta được 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện
một số phép biến đổi thích hợp
Ví Dụ 2: Giải phương trình: (2)
	Giải :
Ta nhận thấy có thể biểu diễn được qua . Luỹ thừa bậc ba biểu thức 
 ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải 
Phương trình (2)
+) Xét với . Khi đó phương trình có dạng 
mâu thuẫn 
	Vậy phương trình không nhận làm nghiệm
+) Với . Chia cả hai vế của phương trình (2) cho ta được :
 .
Đặt phương trình có được đưa về dạng:
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình .
	Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm
*Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất.
Ví Dụ 3: Giải phương trình: (3)
	Giải :
Điều kiện 
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng :
	Chia cả hai vế của phương trình (3) cho ta được :
(do vô nghiệm) nên:
Phương trình (*)
	Vậy phương trình có một họ nghiệm 
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng 
Đặt ta được : 
	Vậy phương trình có một họ nghiệm 
Bài tập : 
Giải các phương trình sau :
1)
2)
3)
4) 
5)
6) 
7) 
8) 
9) 
1.2.4-Phương trình đối xứng đối với và .
a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với và là phương trình dạng 
 trong đó (1)
b) Cách giải:
Cách 1: Do nên ta đặt 
. Điều kiện 
Suy ra và phương trình (1) được viết lại: 
Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải 
Cách 2: Đặt thì 
 nên phương trình (1) trở thành
. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải 
*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình bằng cách đặt và lúc đó 
Ví Dụ Minh Hoạ :
Ví Dụ 1: Giải phương trình 
	Giải:
Cách 1: Đặt điều kiện . Lúc đó 
Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng 
 Với không thoả mãn điều kiện nên 
(*)
Cách 2: Đặt . Khi đó phương trình có dạng 
 (*’)
Ta thấy không thoả mãn
 Do đó (*’)
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm
*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên
Bài toán 1: Giải phương trình 
Cách giải: Phương trình (1) có thể viết 
*Quy ước: Khi có nhiều dấu trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới
Ví Dụ 2: Giải phương trình 
	Giải: 
Điều kiện: 
Ta có (2)
Ta có (3)
(4) 
 (6)
Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình 
Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm.
Bài toán 2: Giải phương trình:
 với (1)
Cách giải:
Ta có: 
Đến đây chúng ta đã biết cách giải 
Tương tự cho phương trình 
Ví Dụ 3: Giải phương trình 
 (3)
	Giải:
 Điều kiện 
(3)
Giải (4)
Giải (5): Đặt (*)
Suy ra .
Phương trình (5) trở thành 
Kết hợp với điều kiện (*) thì bị loại
Với ta có 
Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình 
	Vậy phương trình có ba họ nghiệm 
Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2.
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
Giải :
Ta có: 
Phương trình (1) có dạng 
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Ví Dụ 5: Giải phương trình: (2)
	Giải: 
Điều kiện: 
Phương trình (2)
(loại) 
Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện 
	Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Bài tập: 
Giải các phương trình sau:
1. 
2. 
3. 4. 
5. 6. 
7.	 8. 
9. 
10. 	 11. 	
1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng và .
* Phương trình có dạng 
Cách giải:
Bước 1: Đặt ẩn phụ 
đưa phương trình đã cho về dạng đại số 
Bước 2: Giải phương trình loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán 
Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x
Ví dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình 
	Giải: 
Phương trình (1) 
Đặt , phương trình (2) trở thành 
 hay 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Ví Dụ 2: Giải phương trình:
 (2)
Giải:
 Điều kiện 
Ta có: Phương trình (2) 
 (3)
Đặt , phương trình (3) có dạng
Với thì nên (4) 
Suy ra ( thoả mãn điều kiện(2)).
Vậy là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho 
Bài tập:Giải các phương trình sau:
1. 2.
3. 4. 
5. 6. 
7. 
1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG.
	Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp.
	Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:
1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. 
	Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp. 
Ví Dụ: Giải phương trình (1)
 	Giải:
	 Điều kiện (*)
Khi đó (1)
Thay vào (*) xem có thoả mãn hay không ?
Suy ra không thoả mãn (*) . 
Vậy phương trình (1) vô nghiệm .
1.3.2-	Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác).
Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình.
Ví Dụ: Giải phương trình: (1)
	Giải: 
Điều kiện 
Khi đó phương trình (1) 
Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác. 
sin
cos
Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 
1.3.3- Phương pháp đại số.
 Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số.
* Ví Dụ: Giải phương trình: 
Giải: 
Điều kiện 
Khi đó (1)
Gía trị này là nghiệm của (1) nếu 
Điều này đúng vì là số lẻ còn là số chẵn 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Bài tập:
 1: Tìm các nghiệm thuộc của phương trình
 2: Giải phương trình: 3: Giải phương trình:
 4: Giải phương trình: 5: Giải phương trình: 
 6: Giải phương trình: