Các đề thi đại học môn Toán

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Bài 1: ĐHBK năm 96. Cho tứ diện ABCD với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1).
Chứng minh rằng ABCD cĩ các cặp cạnh đối vuơng gĩc với nhau.
Tính gĩc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).
Thiết lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán 
kính mặt cầu. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 2: CĐSP Hà Nội 97. Cho mặt cầu (S) cĩ pt: .
Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu.
Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của(khác gốc tọa độ) của mặt cầu với các trục Ox, 
Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Gọi H là chân đường vuơng gĩc hạ từ tâm mặt cầu đến mp(ABC). Xác định tọa độ 
điểm H.
Bài 3: ĐHGTVT 99. Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z+75=0.
Viết phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P).
Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P)
Bài 4: ĐH Huế 96. Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5).
Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuơng gĩc với mp(ABC).
Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và bán kính 
mặt cầu (S). Tính diện tích xung quanh của mặt cầu (S). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp mặt cầu (S).
Bài 5: ĐH GTVT 98. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cĩ phương trình: và song song với mặt phẳng (Q): 4x+3y-12z+1=0. 
Bài 6: ĐH Thủy lợi 96. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) cĩ phương trình: và song song với :.
Bài 7: ĐH KT 95. Cho mặt cầu (S): và (P): 2x-2y-z+9=0.
 1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn (C).
 2. Xác định tâm và tính bán kính đường trịn (C).
Bài 8: ĐH Luật 2000. Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): x+z=2.
Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định tọa độ tâm và bán kính đường trịn (C) là giao tuyến của (P) và (S).
Bài 9: ĐH SP KB-D 2000. Trong khơng gian Oxyz cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ sao cho A trùng với gốc tọa độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M là trung điểm AB và N là tâm của hình vuơng ADD’A’.Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D’, M, N.
Bài 10: ĐHDL 97. Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): x+z+1=0.
Tính bán kính và tọa độ tâm mặt cầu (S).
Tính bán kính và tọa độ tâm của đường trịn (C) là giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
Bài 11: ĐHSP Vinh 99. Cho điểm I(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0.
Lập phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đường trịn cĩ chi vi bằng 8.
Bài 12: ĐHBK KA 2000. Cho hính chĩp S.ABC với S(3;1;-2), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0).
Chứng minh rằng: Hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuơng cân.
Tìm tọa độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB.
Viết phương trình mặt cầu tâm D và cĩ bán kính .
Bài 13: ĐHCĐ 97. Cho mặt phẳng (P): x+2y-z+5=0 và đt d: .
Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P).
Tính gĩc giữa d và (P).
Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P) đi qua giao điểm H và vuơng gĩc 
với đường thẳng d. HD: Gọi là VTCP của d’ khi đĩ .
Bài 14: ĐHNN 97. Cho hai điểm A(1;2;3), B(4;4;5). Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm giao điểm H của đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy). HD: Mp(Oxy) cĩ pt: z=0.
Bài 15: ĐH Huế 98: Cho điểm A(2;-1;1) và đường thẳng d: .
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuơng gĩc với d.
Xác định điểm B đối xứng với A qua d.
Bài 16: ĐH Vinh 98. Lập phương trình đường thẳng d qua A(3;2;1) vuơng gĩc với đường thẳng d’: và cắt đường thẳng d’.
Bài 17: ĐHTM 2000. Lập phương trình đường thẳng d qua A(2;-1;0) vuơng gĩc với d’: và cắt d’.
Bài 18: ĐHTM 98. Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0;0;1), B(-1;-2;0) và C(2;1;-1).
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P).
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuơng gĩc với mặt phẳng (P).
Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC của tam giác ABC. Tính thể tích tứ diện OABC.
HD: Để xác định chân đường cao ta cĩ 2 cách: Cách 1: Viết pt đt BC, H thuộc BC suy ra tọa độ điểm H, áp dụng . Cách 2: Viết pt đt BC, viết pt mp(Q) qua A và vuơng gĩc với BC, tìm giao điểm H của đt BC và mp(Q).
Bài 19: HVNH TPHCM 99: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
Viết pt tham số đường thẳng BC. Hạ AH vuơng gĩc BC. Tìm tọa độ điểm H.
Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 20: ĐHBK HN 98. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x-y-2z+1=0.
Tìm tọa độ các điểm thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đĩ đến mặt phẳng (P) bằng 1.
Gọi K là điểm đối xứng với của điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d. Xác định tọa độ điểm K.
Bài 21: ĐHBK 97. Cho điểm M(1;2;-1) và đường thẳng d: .
Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Bài 22: Xác định hình chiếu vuơng gĩc của A(1;2;-1) lên d: .
Bài 23: HV Kỹ Thuật QS 98. Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
Tìm hình chiếu vuơng gĩc của D lên mặt phẳng (ABC). 
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của AC và BD.
Bài 24: ĐHQG TPHCM 99: Cho điểm A(-2;4;3) và mặt phẳng (P): 2x-3y+6z+19=0
Viết phương trình tổng quát của mp(Q) qua A và song song (P). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Hạ AH vuơng gĩc với (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng AH. Tìm tọa độ điểm H.
Bài 25: ĐHBK 99. Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x-2y+z-3=0.
Tìm giao điểm của d và (P).
Tính gĩc giữa d và (P).
Bài 26: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x+y+z-8=0.
Tìm giao điểm của d và (P).
Tính gĩc giữa d và (P).
Bài 27: ĐH NN 97. Cho hai đường thẳng d: và d’: .
Chứng minh d và d’ chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’.
Tình khoảng cách giữa d và d’.
Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của d và d’.
Bài 29: PVBC TPHCM 99. Cho hai đt d: .
Chứng minh d và d’ chéo nhau.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’.
Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của d và d’.
Bài 30: ĐHKTQD 97. Cho hai đường thẳng d: .
Chứng minh d và d’ cắt nhau. Tìm giao điểm của d và d’.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và d’.
Bài 31: ĐHSP Qui Nhơn 99. Cho hai đường thẳng .
Chứng minh d và d’ song song với nhau.
Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’.
Bài 32: HVBCVT 94. Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(-1;2;-3) vuơng gĩc với giá vectơ và cắt đường thẳng . 
Bài 33: ĐHQG 96. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1;1) vuơng gĩc với đường thẳng d: và cắt đường thẳng d’: .ĐS: .
Bài 34: ĐHDL 97. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;-1;0) và cắt cả hai đường thẳng d: . 
Bài 35: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ và cắt d: .
Bài 36: ĐHTCKT 99. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P) và vuơng gĩc với đường thẳng d’. (P): x-y-z-1=0, d: .
Bài 37: ĐHDL 98. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(0;1;1) và vuơng gĩc với hai đường thẳng .
Bài 38: ĐHXD 98. Viết phương trình đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng (P): x+y+z=1 và cắt cả hai đường thẳng: .
Bài 39: Viết phương trình đường thẳng l qua điểm A(1;1;0) và cắt cả hai đường thẳng
Bài 40: ĐH Huế 99. Cho ba điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuơng gĩc với mặt phẳng chứa tam giác đĩ.
Bài 41: HVNH 2000. Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-1=0.
Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng qua hai điểm A, B với mặt phẳng (P).
Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
HD. Gọi . 
Bài 42: ĐHKT 97. Cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng d: .
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d.
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.
Bài 43: ĐHTL 99. Cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0.
Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và vuơng gĩc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 44: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;2;3), B(2;2;3) và vuơng gĩc với mặt phẳng (Q): x+2y+3z+4=0.
Bài 45: Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết.
A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6).
A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3), D(4;-1;0).
Bài 46. ĐHCĐ 99. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4), B(-1;-3;5).
Bài 47. ĐHDL 97. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuơng gĩc với hai mặt phẳng (Q): x-y+z-7=0, (R): 3x+2y-12z+5=0.
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC SAU NĂM 2000
Bài 48 ĐH KA 02: Trong không gian cho 2 đường thẳng d: và d’: . Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’ .
Bài 49 ĐH KD 04: Trong không gian cho ba điểm A(2;0;1) ,B(1;0;0),C(1;1;1) và mặt phẳng(P) : x+y+z-2=0 
Hãy viết phương trình mặt cầu đi qua A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) . 
Bài 50 ĐH KA 04: Trong khong gian cho đt d: và mặt phẳng (P): 2x+y-2z+9=0 . 
Hãy tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
bằng 2 . 
Bài 51 ĐH KB04 .: Trong không gian cho 2 đt d: và d’: 
	1/ Chứng minh d và d’ song song với nhau .
	2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa cả d và d’ . ĐS : 15x+11y-17z-10=0 .
 Bài 52:Trong không gian cho điểm A(0;1;2) và 2 đt d: và d’: . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A , đồng thời song song với d và d’ . ĐS : x+3y+5z-13=0 .
Bài 53: Trong không gian cho điểm A(1;2;3) và đt d: . Hãy tìm điểm A’ đối xứng với A qua d . ĐS : A’(-1;-4;1) .
Bài 54: Cho 2 đt d: và d’: .
	1/ Chứng minh d và d’ chéo nhau .
	2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ , đồng thời song song với d và d’ .
Bài 55: Trong không gian cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) và đt d: . Hãy viết phương trình đường thẳng d’ đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB) .ĐS : . 
Bài 56. KA 2005. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x+y-2z+9=0. Tìm giao điểm A của d và (P). Viết phương trình đường thẳng d’đi qua A nằm trong (P) và vuơng gĩc d’.
Bài 57: KD 2005. Cho hai đường thẳng . Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d, d’ lần lượt tại A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ).
Bài 58: KD 2006. Cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d: và d’: . Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vuơng gĩc với d và cắt d’.
Bài 59: KA 2007. Cho hai đường thẳng , d’: . 
Chứng minh d và d’ chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (P): 7x+y-4z=0 và cắt cả hai đt d, d’. 
Bài 60: KB 08. Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Bài 61: CĐ 08. Cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d: 
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuơng gĩc với d.
Tìm tọa độ M thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O.
Bài 62. KD 08. Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.
Tìm tọa độ tam đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 63: KD 08. Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: . Xác định hình chiếu vuơng gĩc của A lên d.
Bài 64. KB 09. Cho tứ diện ABCD cĩ A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Bài 65. KA09. Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): . Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường trịn. Xác định tâm và bán kính đường trịn.
Bài 66. KD 09. Cho ba điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mp(P): x+y+z-20=0. Xác định điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Bài 67. KD 09. Cho đường thẳng d: và mp(P): x+2y-3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) cắt d và vuơng gĩc với d.
Bài 68. CĐ 09. Cho hai mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0, (Q): 3x+2y-z+1=0 và điểm A(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuơng gĩc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 69. CĐ 09. Cho tam giác ABC với A(1;1;0), B(0;2;1) và trọng tâm G(0;2;-1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C và vuơng gĩc mặt phẳng (ABC).
Bài 70. CĐ 10. Cho hai điểm A(1;-2;3), B(-1;0;1) và mp(P): x+y+z+4=0.
Tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc của A lên (P).
Viết phương trình mặt cầu (S) cĩ bán kính bằng , cĩ tâm thuộc đường thẳng AB 
và mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài 71. CĐ 10. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x-y+2z-2=0.
Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuơng gĩc với (P).
Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P).
Bài 72: KD 10. Cho hai mặt phẳng (P): x+y+z-3=0, (Q): x-y+z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuơng gĩc với mp(P) và (Q) và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (R) bằng 2.
Bài 73: KD 10. Cho hai đường thẳng d: và . Xác định M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến d’ bằng 1.
 KA11. 
1. Cho A(2;0;1) và B(0;-2;3) và (P): 2x-y-z+4=0. Tìm M thuộc (P) sao cho MA=MB=3. 
2. Cho và điểm A(4;4;0). Viết pt mp(OAB), biết điểm B thuộc mc(S) và tam giác OAB đều. 
KB 11: 
1. Cho và (P): x+y+z-3=0. Gọi I là giao điểm của và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuơng gĩc với và . 
2. Cho và A(-2;1;1), B(-3;-1;2). Tìm M thuộc d sao cho ta giác MAB cĩ diện tích bằng . 
KD11. 
1. Cho A(1;2;3) và d: . Viết pt đt đi qua A vuơng gĩc Ox và cắt Ox. 
2. Cho d: và mp(P): 2x-y+2z=0. Viết pt mc cĩ tâm thuộc d, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với (P). 
CĐ 11. 
1. Cho A(-1;2;3) và B(1;0;-5) và (P): 2x+y-3z-4=0. Tìm M thuộc (P) sao hco A, B, M thẳng hàng.
2.. Cho d: Viết pt mc cĩ tâm I(1;2;-3) và cắt d tại A, B sc . 
KA 12. 
1. Cho d: và I(0;0;3). Viết pt mc (S) cĩ tâm I và cắt d tại A, B sao cho tam giác IAB vuơng tại I.
2. Cho d: và (P): x+y-2z+5=0 và A(1;-1;2). Viết pt d’ sao cho d’ cắt d và (P) tại M và N sao cho A là trung điểm MN. 
KB 12. 
1. Cho và A(2;1;0), B(-2;3;2). Viết phương trình mc đi qua A, B và cĩ tâm thuộc d. 
2. Cho A(0;0;3), M(1;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC cĩ trọng tâm thuộc AM. 
KD 12. 
1. Cho (P): 2x+y-2z+10=0 và I(2;1;3). Viết pt mc cĩ tâm I và cắt (P) theo giao tuyến là đường trịn cĩ bán kính bằng 4. 
2. Cho và A(1;-1;2), B(2;-1;0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuơng tại M. 
CĐ 12. 
1. Cho . Chứng minh d và d’ cắt nhau. Viết pt mp chứa d và d’. 
2. Cho và (P): 2x+y-2z=0. Viết pt đt d’ nằm trong (P) vuơng gĩc với d tại giao điểm của d và (P). 
KA13. 
1. Cho và A(1;7;3). Viết pt mp(P) đi qua A và vuơng gĩc với d. Tìm M thuộc d sao cho . 
2. Cho (P): 2x+3y+z-11=0 và (S): . Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm. 
KB 13. 
1. Cho A(3;5;0) và (P): 2x+3y-z-7=0. Viết pt đường thẳng đi qua A và vuơng gĩc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng với A qua (P). 
2. Cho A(1;-1;1), B(-1;2;3) và d: . Viết pt đường thẳng đi qua A vuơng gĩc với hai đường thẳng Ab và d.
KD 13. 
1. Cho A(-1;-1;-2), B(0;1;1) và (P): x+y+z-1=0. Tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc của A lên (P). Viết pt mp đi qua A, B và vuơng gĩc với (P). 
2. Cho A(-1;3;-2) và (P): x-2y-2z+5=0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết pt mặt phẳng đi qua A và song song với (P). 
CD 13. 
1. Cho A(4;-1;3) và d: . Tìm điểm đối xứng A qua d. 
2. Cho A(-1;3;2) và (P): 2x-5y+4z-36=0. Gọi I là hình chiếu vuơng gĩc của A lên (P). Viết phương trình mặt cầu cĩ tâm I và đi qua A. 
KA14. Cho (P): 2x+y-2z-1=0 và d: . Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuơng gĩc với (P). 
KB 14. Cho A(1;0;-1) và d: . Viết pt mp đi qua A và vg d. Tìm hình chiếu của A lên d. 
CD 14: Cho A(2;1;-1) và B(1;2;3) và (P): x+2y-2z+3=0. Tìm hcvg của A lên (P). Viết pt mp chứa A, B và vuơng gĩc với (P). 
Đại học 15. Cho hai điểm A(1;-2;1), B(2;1;3) và (P): x-y+2z-3=0. Viết phương trình đường thẳng AB , tìm giao điểm của đường thẳng AB và (P).