Các đề thi đại học khối A môn Toán

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
 Khối A. 
Câu 1. KA 2005. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x+y-2z+9=0. 
Tìm điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng 2. 
ĐS: I(-3;5;7), I(3;-7;1). 
Tìm giao điểm A của d và (P). Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A nằm trong (P) và vuông góc d’. 
ĐS: 
Câu 2. KA 2007. Cho hai đường thẳng , d’: . 
Chứng minh d và d’ chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y-4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d, d’. 
ĐS: 
Câu 3. KA 2008. Cho A(2;5;3) và d:. Tìm hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. 
ĐS: H(3;1;4).
HD: Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Ta có d(A,(P))=AKAH, theo tinh chất đường vuông góc và đường xiên. Do đó d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi AK=AH hay K trùng với H. (P) vuông góc với AH nên (P): x-4y+z-3=0. 
Câu 4. KA 2009. Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): . Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn. 
ĐS: H(3;0;2), r=4.
Câu 5. KA 2010. Cho và (P): x-2y+z=0. Gọi (C) là giao của với (P), M thuộc . Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC=
Hướng dẫn: 
Cách 1: M thuộc , MC= Suy ra . 
Với .
Cách 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (P). Tính cos của CMH. Tính MH theo cos, suy ra MH=
Câu 6. KA 2011. 
1. Cho A(2;0;1) và B(0;-2;3) và (P): 2x-y-z+4=0. Tìm M thuộc (P) sao cho MA=MB=3. 
2. Cho và điểm A(4;4;0). Viết pt mp(OAB), biết điểm B thuộc mc(S) và tam giác OAB đều. 
ĐS: M(0;1;3), 
HD: O, A thuộc (S), tính r, tính d(I,(OAB)). Mp(OAB) qua O, A. Áp dụng công thức khoảng cách ta có: (OAB): x-y+z=0, x-y-z=0. 
Câu 7. KA 2012. 
1. Cho d: và I(0;0;3). Viết pt mc (S) có tâm I và cắt d tại A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I. 
ĐS: Tam giác IAB vuông cân tai I. R=IA=
2. Cho d: và (P): x+y-2z+5=0 và A(1;-1;2). Viết pt d’ sao cho d’ cắt d và (P) tại M và N sao cho A là trung điểm MN. 
ĐS: 
Câu 8. KA 2013. 
1. Cho và A(1;7;3). Viết pt mp(P) đi qua A và vuông góc với d. Tìm M thuộc d sao cho . 
ĐS: 
2. Cho (P): 2x+3y+z-11=0 và (S): . Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm. 
ĐS: M(3;1;2). 
Câu 9. KA 2014. Cho (P): 2x+y-2z-1=0 và d: . Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). 
ĐS: 
Câu 10. Đại học 15. Cho hai điểm A(1;-2;1), B(2;1;3) và (P): x-y+2z-3=0. Viết phương trình đường thẳng AB , tìm giao điểm của đường thẳng AB và (P). 
ĐS: H(0;-5;-1). 
Khối B. 
Câu 1. KB 2003. Cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm của BC đến đường thẳng OA. 
ĐS: C(2;6;0), d(I,OA)=5. 
Câu 2. KB 2004. Cho hai A(-4;-2;4) và d: . Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A, cắt và vuông góc với d. 
ĐS: . 
Câu 3. KB 2005. Cho hình lăng trụ đứng với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1(4;0;4). 
Tìm các đỉnh . Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mp. 
Gọi M là trung điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại N. Tính MN. 
ĐS: , : 3x+4y-12=0, , , N(0;1;4), MN=
Câu 4. KB 2006. Cho A(0;1;2), . Viết phương trình mp(P) qua A, đồng thời song song với và d2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A, M N thẳng hàng. 
ĐS: (P): x+3y+5z-13=0, M(0;1;-1), N(0;1;1). 
Câu 5. KB 2007. Cho và (P): 2x-y+2z-14=0. Viết phương trình mp(Q) chứa trục Ox cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. Tìm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất. 
ĐS: (Q): y-2z=0, GS d qua I cắt (S) tại A, B nếu d(A,(P))d(B,(P)) thì d(m,(P)) lớn nhất khi M trùng với A. ĐS: M(-1;-1;-3). 
Câu 6. KB 2008. Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C. Tìm M thuộc (P): 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC. 
ĐS: (ABC): x+2y-4z+6=0. Do AB vuông góc với AC nên điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại trung điểm I của BC. ĐS: M(2;3;-7). 
Câu 7. KB 2009. 
1. Cho tứ diện ABCD có A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). 
ĐS: 4x+2y+7z-15=0, 2x+3z-5=0. 
2. Cho (P): x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. 
HD: Gọi d' là đường thẳng đi qua A nằm trong mp(Q) và song song với (P). 
Pt (Q): x-2y+2z+1=0. Gọi K, H là hình chiếu vuông góc của B lên d’ và (Q). Ta có: BKBH nên AH là đường thẳng cần tìm. 
ĐS: 
Câu 8. KB 2010. 
1. Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với b, c dương, (P): y-x+1=0. Xác định b,c biết
mp(ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ điểm O đến mp(ABC) bằng 
ĐS: 
2. Cho Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao khoảng cách từ M đến bằng OM. 
ĐS: M(-1;0;0), M(2;0;0). 
Câu 9. KB 2011. 
1. Cho và (P): x+y+z-3=0. Gọi I là giao điểm của và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với và . 
ĐS: M(5;9;-11), M(-3;-7;13). 
2. Cho và A(-2;1;1), B(-3;-1;2). Tìm M thuộc d sao cho tam giác MAB có diện tích bằng . 
ĐS: M(-2;1;-5), M(-14;-35;19). 
Câu 10. KB 2012. 
1. Cho và A(2;1;0), B(-2;3;2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc d. 
ĐS: . 
2. Cho A(0;0;3), M(1;2;0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc AM. 
ĐS: 6x+3y+4z-12=0. 
Câu 11. KB 2013. 
1. Cho A(3;5;0) và (P): 2x+3y-z-7=0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng với A qua (P).
ĐS: B(-1;-1;2). 
2. Cho A(1;-1;1), B(-1;2;3) và d: . Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với hai đường thẳng AB và d. 
ĐS: 
Câu 12. KB 2014. 
1. Cho A(1;0;-1) và d: . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vưông góc với d. Tìm hình chiếu của A lên d. 
ĐS: 
2. Cho hai điểm A(1;-2;1), B(2;1;3) và (P): x-y+2z-3=0. Viết phương trình đường thẳng AB , tìm giao điểm của đường thẳng AB và (P). 
ĐS: H(0;-5;-1). 
Khối D. 
Câu 1. KD 2004. Cho A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và (P): x+y+z-2=0. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc mp(P). 
ĐS: (x-1)2+y2+(z-1)2=1. 
Câu 2. KD 2005. Cho hai đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d và d’. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d, d’ lần lượt tại A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ). 
ĐS: (P): 15x+11y-17z-10=0, S=5. 
Câu 3. KD 2006. Cho điểm A(1;2;3) và 2 đường thẳng d: và d’: . Tìm A’ đối xứng với A qua d. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc với d và cắt d’.
ĐS: A’(-1;-4;1), H(2;-1;-2) và 
Câu 4. KD 2007. Cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và d: . Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB). Tìm M thuộc d sao cho nhỏ nhất. 
ĐS: . 
Câu 5. KD 2008. Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D. Tìm tọa độ tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
ĐS: , H(2;2;2). 
Câu 6. KD 2009. 
1. Cho ba điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mp(P): x+y+z-20=0. Xác định điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). ĐS: . 
2. Cho đường thẳng d: và mp(P): x+2y-3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) sao cho cắt và vuông góc với d. 
ĐS: H(-3;1;1), .
Câu 7. KD 2010. 
1. Cho hai mặt phẳng (P): x+y+z-3=0, (Q): x-y+z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và (Q) và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (R) bằng 2. 
ĐS: . 
2. Cho hai đường thẳng d: và . Xác định M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến d’ bằng 1. 
ĐS: M(4;1;1), M(7;4;4). 
Câu 8. KD 2011. 
1. Cho A(1;2;3) và d: . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc d và cắt Ox. 
ĐS: 
2. Cho d: và mp(P): 2x-y+2z=0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với (P). 
ĐS: I(5;11;2), I(-1;-1;-1), R=1. 
Câu 9. KD 2012.
1. Cho (P): 2x+y-2z+10=0 và I(2;1;3). Viết phương trình mặt cầu có tâm I và cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. 
ĐS: R=5. 
2. Cho và A(1;-1;2), B(2;-1;0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M. 
ĐS: 
Câu 10. KD 2013.
1. Cho A(-1;-1;-2), B(0;1;1) và (P): x+y+z-1=0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P). 
ĐS: (Q): x-2y+z+1=0. 
2. Cho A(-1;3;-2) và (P): x-2y-2z+5=0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P). 
ĐS: d= x-2y-2z+3=0. 
Câu 11. KD 2014. Cho (P): 6x+3y-2z-1=0 và . Chứng minh mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C). 
ĐS: 
Cao đẳng.
Câu 1. CĐ 08. Cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ M thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O. 
ĐS: x-y+2z-6=0, . Thử lại M, O, A không thẳng hàng. 
Câu 2. CĐ 09. 
1. Cho hai mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0, (Q): 3x+2y-z+1=0 và điểm A(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). 
ĐS: 4x-5y+2z-1=0. 
2. Cho tam giác ABC với A(1;1;0), B(0;2;1) và trọng tâm G(0;2;-1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C và vuông góc mặt phẳng (ABC). 
ĐS: . 
Câu 3. CĐ 10. 
1. Cho hai điểm A(1;-2;3), B(-1;0;1) và mp(P): x+y+z+4=0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng , có tâm thuộc đường thẳng AB và mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P). 
ĐS: I(-4;3;-2), I(-6;5;-4), R=
2. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x-y+2z-2=0. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P). 
ĐS: x+2y-2=0, M(0;1;0). 
Câu 4. CĐ 11. 
1. Cho A(-1;2;3) và B(1;0;-5) và (P): 2x+y-3z-4=0. Tìm M thuộc (P) sao hco A, B, M thẳng hàng.
2. Cho d: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;-3) và cắt d tại A, B sao cho . 
ĐS: M(0;1;-1), R=5. 
Câu 5. CĐ 12. 
1. Cho . Chứng minh d và d’ cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’. 
ĐS: y+2z-2=0. 
2. Cho và (P): 2x+y-2z=0. Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P) vuông góc với d tại giao điểm của d và (P). 
ĐS: H(1;-2;0), 
Câu 6. CD 2013.
1. Cho A(4;-1;3) và d: . Tìm điểm đối xứng A qua d. 
2. Cho A(-1;3;2) và (P): 2x-5y+4z-36=0. Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A. 
ĐS: A’(2’-3;5), R=
Câu 7. CD 2014: Cho A(2;1;-1) và B(1;2;3) và (P): x+2y-2z+3=0. Tìm hình chiếu vuông góc của A lên (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với (P). 
 	ĐS: H(1;-1;1), 10x-2y+3z-15=0.