Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian

Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
1 
MỤC LỤC 
A. MỞ ĐẦU ...................................................................................................................................... 2 
I. Lời nĩi đầu................................................................................................................................. 2 
II. Cơ sở lý thuyết ........................................................................................................................ 2 
2.1. Các định nghĩa ................................................................................................................... 2 
2.2. Các định lý thường được sử dụng .................................................................................. 4 
B. NỘI DUNG................................................................................................................................... 5 
I. Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng, đường thẳng vuơng gĩc với 
đường thẳng, mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng............................................................. 5 
1.1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng .................................. 5 
1.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc ...................................................... 7 
1.3. Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc.......................................................... 9 
II. Các dạng tốn về gĩc ........................................................................................................... 14 
2.1. Dạng 1: Gĩc giữa hai đường thẳng............................................................................. 14 
2.2. Dạng 2: Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng ........................................................... 17 
2.3. Dạng 3: Gĩc giữa hai mặt phẳng.................................................................................. 18 
III. Các dạng tốn về khoảng cách ....................................................................................... 22 
3.1.Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng .............................................. 22 
3.2.Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .......................................... 28 
C. KẾT LUẬN ................................................................................................................................ 37 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................... 38 
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
2 
A. MỞ ĐẦU 
I. Lời nĩi đầu 
Trong mơn tốn ở trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ một vai trị, vị trí 
hết sức quan trọng. Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải tốn hình học 
khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: 
cẩn thận, chính xác, cĩ tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng ĩc thẩm mĩ, tư 
duy sáng tạo cho học sinh. 
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học mơn 
hình học khơng gian vì các em nghĩ rằng nĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà 
cĩ rất nhiều học sinh học yếu mơn học này, về phần giáo viên cũng gặp khơng ít khĩ khăn 
khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học khơng 
gian. 
Hình học khơng gian là một phần rất quan trọng trong nội dung thi đại học của Bộ 
giáo dục, nếu học sinh khơng nắm kỹ bài thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng khi làm hai câu 
trong về hình học khơng gian trong đề thi đại học. 
 Qua nhiều năm giảng dạy mơn học này tơi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm 
nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đĩ mà chất lượng giảng dạy cũng như 
học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều 
học sinh cịn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nĩ, nên tơi nghiên cứu nội dung này 
nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo 
gỡ những vướng mắc, khĩ khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất 
lượng giảng dạy nĩi chung và mơn hình học khơng gian nĩi riêng. 
Từ lý do trên tơi đã khai thác, hệ thống hĩa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp 
thành một chuyên đề: “Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian ” 
II. Cơ sở lý thuyết 
2.1. Các định nghĩa 
+) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng 
bằng 900. 
0( , ) 90a b a b   
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
3 
+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuơng gĩc với mặt phẳng nếu nĩ vuơng gĩc 
với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đĩ. ( ) ( ) :a b a b     
+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng 
900. 
0( ) ( ) (( ),( )) 90      . 
+) Định nghĩa 4: Gĩc giữa hai đường thẳng a và b là gĩc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng 
đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b. 
+) Định nghĩa 5: 
 . Nếu đường thẳng a vuơng gĩc với mặt phẳng (α) thì ta nĩi rằng gĩc giữa đường thẳng a và 
mặt phẳng (α) bằng 900. 
. Nếu đường thẳng a khơng vuơng gĩc với mặt phẳng (α) thì gĩc giữa a và hình chiếu a’ của 
nĩ trên mặt phẳng (α) gọi là gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α). 
+) Định nghĩa 6: Gĩc giữa hai mặt phẳng là gĩc giữa hai đường thẳng lần lượt vuơng gĩc 
với hai mặt phẳng đĩ. 
+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là 
khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đĩ H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên mặt 
phẳng (α) (trên đường thẳng ∆). 
+) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là 
khoảng cách từ một điểm nào đĩ của a đến mặt phẳng (α). 
+) Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm 
bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 
+) Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuơng gĩc 
chung của hai đường thẳng đĩ. 
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
4 
2.2. Các định lý thường được sử dụng 
Định lý 1: , ( ) ( )
,
a b
a b P d P
d a d b
 

  
  
Định lý 2: 
( )
( )
( )
a P
d P d a
a P
 

  
  
Định lý 3: + 
( )
' ( )
'/ /
d P
d P
d d
 
 
 
 + 
( ) / /( )
( )
( )
P Q
d Q
d P

 
 
 + 
/ /( )
'
' ( )
d P
d d
d P

 
 
Định lý 4: 
( )
( ) ( )
( )
d P
P Q
d Q
 
 
 
Định lý 5: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
P Q
P Q
d Q
d P
d
 
  
 
 
  
Định lý 6: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q
P R R
Q R
  

  
 
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
5 
B. NỘI DUNG 
I. Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng, đường thẳng vuơng gĩc 
với đường thẳng, mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng. 
1.1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng 
1.1.1. Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý 1 để chứng minh. Hoặc sử dụng định lý 3, 
định lý 5, định lý 6 trong một số trường hợp đặc biệt 
1.1.2. Các ví dụ mẫu: 
Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giácvvuơng tại C, ( )SA ABC 
a) Chứng minh rằng: ( )BC SAC 
b) Gọi E là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SC. Chứng minh rằng: ( )AE SBC 
c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuơng gĩc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: 
( )SB P 
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: ( )AF SAB 
Giải: a) Ta cĩ: ( ) (1)BC AC gt 
Mặt khác, vì 
( )
 (2)
( )
SA ABC
SA BC
BC ABC
 
 
 
Từ (1) và (2) suy ra: 
( )BC SAB 
b) Ta cĩ: (3) (gt)AE SC 
Theo a) ( ) (4)BC SAB AE BC   
Từ (3) và (4) suy ra: ( )AE SBC F
C
S
BA
E
D
H
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
6 
c) Ta thấy: ( ) ( )P ADE 
Theo b) ( ) (5)AE SBC BC AE   
Trong mp(ADE) kẻ ,EH AD H AD  . Vì 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (6)
ADE SAB
ADE SAB AD EH SAB SB EH
EH AD
 

     
 
Từ (5) và (6) suy ra: ( )SB ADE hay ( )SB P 
d) Từ 
( )
 (7)
( )
SA ABC
AF SA
AF ABC
 
 
 
Theo c) ( ) (8)SB ADE AF SB   . Từ (7) và (8) suy ra: ( )AF SAB 
Ví dụ 2: Cho hình chĩp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuơng, tam giác SAB là tam giác đều, 
( ) ( )SAB ABCD . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng: 
( )FC SID 
Giải: Ta cĩ: 
( ) ( ) ( )
( )
 (1)
SI AB
SAB ABCD SI ABCD
SI SAB
SI CF
 

  
 
 
Mặt khác, xét hai tam giác vuơng ADI và 
DFC cĩ: AI=DF, AD=DC. Do đĩ, 
AID DFC   từ đĩ ta cĩ: 
1 1
0
2 2 1 2
0
1 2
0
90
90
90
I F
D C F D
I D
FHD


   

  
 
Hay (2)CF ID 
H
F
I
D
S
A
CB
2
2
1
1 H
I
F D
B
A
C
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
7 
Từ (1) và (2) suy ra: ( )FC SID 
1.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc 
1.2.1. Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý 2 hoặc là các cách chứng minh vuơng gĩc 
cĩ trong hình học phẳng 
1.2.2. Các ví dụ mẫu: 
Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B, 
( )SA ABCD , AD=2a, 
AB=BC=a. Chứng minh rằng: 
tam giác SCD vuơng 
Giải: Ta cĩ: 
( )
(1)
( )
SA ABCD
SA CD
CD ABCD
 
 
 
+ Gọi I là trung điểm của AD. Tứ 
giác ABCI là hình vuơng. Do đĩ, 
045ACI  (*). Mặt khác, CID 
là tam giác vuơng cân tại I nên: 
045BCI  (*). 
Từ (*) và (**) suy ra: 
090ACD  hay AC CD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: ( )CD SAC CD SC   hay ∆SCD vuơng tại C 
Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chĩp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng, E là điểm đối 
xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: 
MN BD 
Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB 
và SA, O là giao điểm của AC và BD. 
Ta cĩ: 
/ /
(1)
IN AC
BD IN
AC BD

 
 
P
I O
N
M
E
D
CB
A
S
DI
B C
A
S
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
8 
Mặt khác, 
/ /
/ / (*)
/ /
IM BE
IM PO
BE PO



Mà (**)PO BD (vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm của BD) 
Từ (*) và (**) ta cĩ: (2)BD IM 
Từ (1) và (2) ta cĩ: ( )BD IMN BD MN   
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2: 
+ Chọn mp(IMN) với I là trung điểm của AB ( vì BD AC nên chọn mp chứa MN và 
vuơng gĩc với BD là mp(IMN)) 
+ Sử dụng các giả thiết trung điểm để chứng minh song song. 
+ Sử dụng định lý: 
/ /a b
b c
a c

 
 
Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng, tam giác SAD đều, 
( ) ( )SAD ABCD . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh 
rằng: AM BP 
Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, H 
là trung điểm của AD, K là giao điểm của 
AN và BH. 
 Xét hai tam giác vuơng ABN và BCP cĩ: 
AB=BC, BN=CP. Suy ra, 
ABN BCP  
,BAN CBP ANB BPC   mà 
0 090 90BAN ANB CBP ANB     
hay AN BP (1) 
Vì ∆SAD đều nên: ( ) ( ) (*)
( )
SH AD
SAD ABCD SH BP
BP ABCD
 

  
 
. 
K
H I
P
M
N
B
S
A
D C
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
9 
Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay / / (**)MK SH 
Từ (*) và (**) suy ra: (2)BP MH 
Từ (1), (2) suy ra: ( )BP AMN BP AM   
1.3. Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc 
1.3.1. Phương pháp: Sử dụng định lý 3 
1.3.2.Các ví dụ mẫu: 
Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD 
là hình thoi , SA=SC. Chứng minh rằng: 
( ) ( )SBD ABCD 
Giải:+ Ta cĩ: AC BD (1) (giả thiết) 
+ Mặt khác, SO AC (2) (SAC là tam giác 
cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO 
là đường cao của tam giác) 
+ Từ (1) và (2) suy ra: ( )AC SBD mà 
( )AC ABCD nên ( ) ( )SBD ABCD 
Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, 
2AD a , ( )SA ABCD . Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. 
Chứng minh rằng: ( ) ( )SAC SMB 
Giải: 
 + Ta cĩ: ( ) (1)SA ABCD SA BM   . 
+ Xét tam giác vuơng ABM cĩ: 
tan 2
AB
AMB
AM
  . Xét tam giác vuơng 
O
C
BA
D
S
I
M D
S
A
CB
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
10 
ACD cĩ: 
1
tan
2
CD
CAD
AD
  . Ta cĩ: 
0
0
cot cot(180 ( ))
cot( ) 0
90
AIM AMB CAD
AMB CAD
AIM
   
  
 
Hay (2)BM AC . 
+ Từ (1) và (2) suy ra: ( )BM SAC mà ( )BM SAC nên ( ) ( )SAC SMB 
1.4. Bài tập: 
Bài tập 1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm 
của BC, D là điểm đối xứng với A qua I, 
6
( ),
2
a
SD ABC SD  . Chứng minh rằng: 
a) ( ) ( )SBC SAD 
b) ( ) ( )SAB SAC 
Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA  (ABCD). Gọi H, I, 
K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. 
a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC). 
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK 
cùng nằm trong một mặt phẳng. 
c) CMR: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI. 
Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC). 
a) Chứng minh: BC  (SAB). 
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC. 
Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = 
SD. 
a) Chứng minh: SO  (ABCD). 
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
11 
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD). 
Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm 
của BC. 
a) Chứng minh: BC  (AID). 
b) Vẽ đường cao AH của AID. Chứng minh: AH  (BCD). 
Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng: 
a) BC  (OAH). 
b) H là trực tâm của tam giác ABC. 
c) 
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
   . 
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn. 
Bài tập 7: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam 
giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và 
CD. 
a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB). 
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH  AC. 
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM  SA. Tính AM theo a. 
Bài tập 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác 
đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. 
a) CMR: SH  (ABCD). 
b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD. 
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
12 
Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt 
bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a 5 . 
a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA. 
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt 
tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, 
SD với mp(HIJ). CMR: AK  (SBC), AL  (SCD). 
c) Tính diện tích tứ giác AKHL. 
Bài tập 10: Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua 
I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với 
OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng: 
a) Tam giác SDE vuông tại S. 
b) SD  CE. 
c) Tam giác SCD vuông. 
Bài tập 11: Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc 
với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên MD, 
H là giao điểm của AM và CC. 
a) Chứng minh: CC  (MBD). 
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của BCD. 
Bài tập 12: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên 
đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 . Chứng minh 
hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. 
Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với đáy 
(DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD. 
 a) Chứng minh: AB  (BCD). 
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
13 
 b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC). 
 c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH  
(ADC). 
Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD). 
 a) Chứng minh (SAC)  (SBD). 
 b) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC). 
Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD). 
Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM = 
2
a
, DN = 
3
4
a
. Chứng 
minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. 
Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với 
mp(ABC). 
 a) Chứng minh (ABB)  (ACC). 
 b) Gọi AH, AK là các đường cao của ABC và ABC. Chứng minh 2 mặt phẳng 
(BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK). 
Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Gọi (P) là mặt phẳng qua 
BC và vuông góc với mp(ABC); S là 1 điểm di động trên (P) sao cho SABC là hình chóp 
có 2 mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là  và 
2


 . Gọi 
H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC.. 
 a) Chứng minh rằng: SH
2
 = HI.HJ. 
 b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của . 
Bài tập 18: Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm 
hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: 
 a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD). 
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
14 
D
B C
A
S
 b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD). 
Bài tập 19: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) ; M 
và N là hai điểm nằm trên các cạnh BC, CD. Đặt BM = x, DN = y. 
a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông 
góc với nhau là MN  (SAM). Từ đó suy ra hệ thức liên hệ giữa x và y. 
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và 
(SAN) có số đo bằng 30
0
 là a(x + y) + 3 xy = a
2
3 . 
Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A 
bằng 60
0
, cạnh SC = 
6
2
a
 và SC  (ABCD). 
a) Chứng minh (SBD)  (SAC). 
b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA tại K. Tính độ dài IK. 
c) Chứng minh 
0
90BKD  và từ đó suy ra (SAB)  (SAD). 
II. Các dạng tốn về gĩc 
2.1. Dạng 1: Gĩc giữa hai đường thẳng 
2.1.1. Phương pháp xác định gĩc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau 
Cách 1: (a,b)=(a’,b’) trong đĩ a’, b’ là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a 
và b. Tức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b 
Cách 2: (a,b)=(a,b’) trong đĩ b’ là 
đường thẳng cắt đường thẳng a và song 
song với b. Tức là chọn trên a (hoặc b) 
một điểm A rồi từ đĩ chọn một đường 
thẳng qua A và song song với b (hoặc a) 
*) Chú ý: Các định lý hay sử dụng 
2.1.2. Các ví dụ mẫu: 
Các dạng Tốn về quan hệ vuơng gĩc trong khơng gian 
15 
2a
2a
a 3
I
N
M
B
D
C
A
Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi cạnh a, 3,SA a SA BC  . Tính gĩc 
giữa hai đường thẳng SD và BC? 
Giải: Ta cĩ: BC//AD và 0
/ /
90
BC AD
SAD
SA BC

 
 
. Do đĩ, 
( , ) ( , )SD BC SD AD SDA  . 
Xét tam giác vSAD vuơng tại A ta cĩ: 
0tan 3 60
SA
SDA SDA
AD
    
Vậy gĩc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600 
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD cĩ AB=CD=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và 
AD, 3MN a . Tính gĩc giữa hai đường thẳng AB và CD? 
Giải: Gọi I là trung điểm của BD. Ta cĩ: 
/ /
( , ) ( , )
/ /
IN AC
AB CD IM IN
IM CD
