Các dạng toán nâng cao về số phức

 Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong (Sài Gòn - 0933524179) 
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của 
nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 
1 
Chuyên đề luyện thi đại học 2017: 
CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ SỐ PHỨC 
Câu 1: Tính môđun của số phức z biết z thỏa:      z i z i i      2 1 1 1 1 2 2 
 (trích đề thi chính thức TSĐH khối A 2011, phần Cơ Bản ) 
  HD giải: Gọi số phức z có dạng  z x yi, x; y R; i    2 1 và z x yi  
 Ta có:      x yi i x yi i i        2 2 1 1 1 1 2 2 
   
   
x y x y y x x y i
x y x y i i
xx y
z i z
x y
y
                  
      

   
       
      

2 1 2 1 2 2 1 1 2 2
3 3 2 2 2
1
3 3 2 1 1 23
2 2 1 3 3 3
3
 *Chú ý 1: 
Cho 2 số phức z a bi,z x yi   
1 2
 thì: 
 ●    z z a x b y i    1 2 ● 
a x
z z
b y
 
  

1 2 (thực = thực, ảo = ảo) 
●    z .z ax by bx ay i   1 2 ● Môđun: z a b 
2 2
1
, z x y 2 2
2
● Số phức liên hợp: z a bi 
1
 (đổi dấu phần ảo) và đặc biệt z .z a b z  
22 2
1 1 1
● Khử dạng phức ở mẫu: 
z a bi
z z z a b

 

1
2 2
1 1 1
1
 (lượng liên hợp). 
● Để z a bi 
1
 số thực thì phần ảo bằng 0 b  0 
 ● Để z x yi 
2
 là số thuần ảo thì phần thực bằng 0 và phần ảo khác 0 
x
y
 
 

0
0
■ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Xác định phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của các số phức z sau: 
a.  i z z i   
2
1 2 4 20 b. z z z 
22 c.      i i z i i z     
2
1 1 8 1 2 
d.  z i i   
3
4 3 1 e.  z i 
4
1 2 f. 
z i
z i
z i
 
 

4 3 7
2 
g. z z 2 0 h. z z 2 0 
■ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
a. z z  2 3 3 0 b. z  3 1 0 c. z z z   3 2 6 0 
d. z z  4 27 10 0 e. 
z
z z z    
2
4 3 1 0
2
 f.    z i z i      
2
3 6 3 13 0 
Câu 2: Tìm căn bậc hai của số phức sau: i 1 2 2 
 Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong (Sài Gòn - 0933524179) 
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của 
nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 
2 
  HD giải: Ta đặt  i a bi   
2
1 2 2 . theo chú ý 1, ta có: 
 
 
   
a b
ab
a b

 



   

2 2
2
2 2 2
1 1
2 2 2 2
1 2 2 3
 Từ     ab
a
,
b
 
 
 

2
2 0
2
1
1 3
2
ta chọn 
a
b
 


1
2
. 
 *Chú ý 1: Giả sử ta có x yi   . Ta cần  a bi  
2
 . khi đó: 
 
 
 
a b x
ab y
a b x y
  




  
2 2
2 2 2 2
1
2 2
3
 Giải pt (1) và (3) tìm được a ?,b ? 2 2 , dựa vào pt (2) xét dấu chọn 
a ?
b ?
 


■ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 
 a. z i 8 6 b. z i c. z i 1 
d. i16 30 e. z i 
77
4
9
 f. z i 1 2 6 
g. z i 3 6 6 h.    z i    4 2 6 2 3 2 2 i. z i 44 2 5
9 3
Câu 3: Tìm số phức z thỏa mãn:  z i  2 10 và z.z  25 ( TSĐH khối B 2009 ) 
  HD giải: Ta đặt z x yi  ( x; y R;i  2 1 ) 
 Ta có: 
         x y i x ; yz i x y
x ; yz.z x y x y
               
     
          
2 2
2 2 2 2
2 1 10 3 42 10 2 1 10
5 025 25 25
Vậy có 2 số phức z i 3 4 hay z  5 thỏa yêu cầu bài toán. 
Chú ý 2: Mỗi một số phức z biểu diễn tọa độ 1 điểm trên mặt phẳng Oxy. Ví dụ  z x yi M x; y   
Khi đó    Re z x, Im z y  lần lượt là hoành độ và tung độ của điểm. 
■ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Tìm điểm biểu diễn của các số phức z, biết rằng z thỏa mãn: 
 a. z z 2 2 và z  2 b. z  5 và 
z i
z


7
1
 là số thực 
 c. z i z i    1 2 2 và z i  5 d. z i z 2 và z i z  1 
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: | z - (3 - 4i) | = 2 
 ( TSĐH khối D 2009 ) 
  HD giải: Ta đặt Ta đặt z x yi  ( x; y R;i  2 1 ) 
 Ta có:          z i x y i x y            
2 2 23 4 2 3 4 2 3 4 2 
 Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường tròn có tâm  I ;3 4 , bán kính R  2 . 
*Chú ý 3: Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: 
 ax by c   0 tập hợp điểm là đường thẳng 
  x  0 tập hợp điểm là trục tung Oy 
 Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong (Sài Gòn - 0933524179) 
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của 
nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 
3 
 y  0 tập hợp điểm là trục hoành Ox 
  
   x a y b R
x y ax by c
    
 
     
2 2 2
2 2 2 2 0
 tập hợp điểm là đường tròn có 
 I a;b
R a b c


  
2 2
. 
     x a y b R    
2 2 2 tập hợp điểm là hình tròn tâm  I a;b ,bán kính R 
 x  0 tập hơp điểm là miền bên phải trục tung 
  y  0 tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành 
 x  0 tập hợp điểm là miền bên trái trục tung 
  y  0 tập hợp điểm là phía trên trục hoành 
  y ax bx c   2 tập hợp điểm là đường Parabol 
  
yx
a b
  
22
2 2
1 tập hợp điểm là đường Elip 
 
yx
a b
  
22
2 2
1 tập hợp điểm là đường Hyperbol 
■ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z sau : 
 a. 
z
z i


3 b. z z i  3 4 c. z z i   1 2 
 d. z i z z i   2 2 e. z z 2 2 4 f. z i 2 1 
 g. z z  2 2 h. z i   1 1 2 i. z i z i   4 4 10 
 j. 
z i
z
 2
 là số thuần ảo k. 
z
z i


 
1
1
3
 l. 
iz i
z i
 
 
1
1
là số thực. 
m. Tìm tập hợp những điểm biểu diễn cho số phức  i z 1 1 biết z là số phức thỏa mãn z  1 2 
Câu 5: Cách tìm Môđun Max - Min của số phức z: 
 ■ Bước 1: Tìm tập hơp điểm biểu diễn số phức z (có thể (C), (E), (P), (d),...) 
 ■ Bước 2: Có 3 cách 



Vẽ Hình  dựa vào hình vẽ chỉ ra |z| max , |z| min. 
 Dùng Bất đẳng Cauchy, Bunhiacốpxki,...  thường dùng cho 2 hay nhiều biến số. 
Phương pháp Hàm Số tìm GTLN, GTNN  thường dùng cho 1 biến số.
 ■ Bước 3: Kết luận 
max min
z , z 
 Đặc biệt: nếu tập hợp điểm là đường thẳng , hoặc đường tròn (C) ta có thể: 
  Với đường thẳng thì  
min
z d O;  và 
M OM
OM
   

 
  Với đường tròn thì ta viết PT đường thẳng nối OI .     OM OM max
min
z OM
M ;M C OI
z OM

 
  

1 2
1
1 2
2
VD1: Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z thỏa mãn: z i z i   2 4 2 
 HD giải: Đặt z x yi  ,  x; y R; i  2 1 
 Ta có:      z i z i x y i x y i y x             2 4 2 2 4 2 4 
 Tập điểm  M x; y biểu diễn số phức z là đường thẳng x y  4 0 
 Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong (Sài Gòn - 0933524179) 
Nghề nghiệp không làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của 
nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 
4 
 Ta có  z x y x x x x       
22 2 2 24 2 8 16 (tìm min xin dành cho bạn đọc) 
 Đs: 
min
z z i   2 2 2 2 
VD2: Tìm môđun nhỏ nhất và lớn nhất của số phức z thỏa mãn: z i  2 4 5 
 HD giải:        z i x y i x y            
2 2
2 4 5 2 4 5 2 4 5 
 Tập điểm  M x; y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm  I ;2 4 có bán kính R  5 
(phần tìm max – min xin dành cho bạn đọc), ĐS: 
max min
z , z 3 5 3 5 
■ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Tìm môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất (nếu có) của số phức z thỏa: 
 a.  z i i z  1 b. z z   1 1 4 c. z i z z i    8 6 2 2 
 d. z i  1 và z  1 1 e. 
z i
log
z i
   
  
    
1
3
3 4 1
1
2 3 4 8
 f.   z z i 1 2 là số thực 
g. Cho số phức z i  1 2 5 , tìm mô đun lớn nhất của w z i  1 h. 2 3z i z i    
( có thể dùng BT câu 4 để làm thêm...) 
CHÚC CÁC EM ĐẠT KẾT QUẢ CAO NHẤT TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 
Gmail: windylamphong@gmail.com 
 Facebook:  
THẦY LÂM PHONG (SÀI GÒN – 0933524179)