Các dạng bài toán về Số phức Đại số lớp 12 - Bùi Văn Ngọc

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
1 
CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC 
Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An Lạng Sơn 
 Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và đề thi tốt nghiệp trung học phổ 
thông mấy năm gần đây, các bài toán về số phức thường hay xuất hiện với các dạng toán 
như tìm phần thực, phần ảo, tìm môđun của số phức, giải phương trìnhbài viết này giới 
thiệu một số dạng toán cơ bản về số phức. 
A. Tóm tắt lí thuyết 
* Định nghĩa: Số phức là số có dạng ( , )z a bi a b R   , i là đơn vị ảo, tức là 2 1i   
a gọi là phần thực của z, kí hiệu Rea z . 
b gọi là phần ảo của z, kí hiệu b imz . 
Tập hợp các số phức kí hiệu là C. 
* Các phép toán trên số phức: 
+) Cho 1 1 1 2 2 2,z a b i z a b i    . 
+)    1 2 1 2 1 2z z a a b b i     
+)    1 2 1 2 1 2z z a a b b i     
+)     21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2. .z z a b i a b i a a a b i a b i b b i       1 2 1 2 1 2 2 1( )a a b b a b a b i    
+)
 
 
  
  
1 1 1 1 2 21 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )a b i a b i a b iz a a b b a b a b i
z a b i a b i a b i a b
     
  
   
* Mô đun của số phức, số phức liên hợp. 
Cho số phức z a bi  . Khi đó : 
+) Đại lượng 2 2a b gọi là môđun của z. Kí hiệu 2 2z a b  
+) Số phức z a bi  gọi là số phức liên hợp của z. 
B. Hệ thống bài tập 
I. Các phép toán trên số phức 
Ví dụ 1: Cho 1 23 , 2z i z i    Tính 1 1 2z z z 
Lời giải 
  1 1 2 3 3 2 10 10 0z z z i i i i         
2 2
1 1 2 10 0 10z z z     
Ví dụ 2. Tìm số phức z biết    
3
2 2 1z z i i    (1) 
Lời giải: 
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
2 
Giả sử z a bi  z a bi   
(1) 3 2 2 32( ) (2 3.2 3.2 )(1 )a bi a bi i i i i         
2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 )a bi a bi i i i i i            
23 11 11 2 2 13 9a bi i i i i        
13
3 13 13
93
9 3
9
a a
z i
b
b

  
     
    
Ví dụ 3. Cho 1 22 3 , 1z i z i    . Tính 1 23z z ; 
1 2
2
z z
z

; 3
1 23z z 
Lời giải 
+) 1 23 2 3 3 3 5 6z z i i i       
2 2
1 23 5 6 61z z    
+) 
  
1 2
2
2
3 4 13 4 7
1 1 2
i iz z i i
z i i
   
  
 
 1 2
2
49 1 5 2
4 4 2
z z
z

   
+) 3 2 31 23 8 36 54 27 3 3 49 6z z i i i i i          
3
1 23 2437z z  
Ví dụ 4. Tìm số phức z biết:    
2
3 3 2 2 (1)z z i i    
Lời giải 
Giả sử z=a+bi, ta có: 
      2(1) 3 3 9 12 4 2 5 12 . 2a bi a bi i i i i i           
 24 2 10 24 5 12 22 19a bi i i i i        
11 19
;
12 2
a b

   . Vậy 
11 19
2 2
z i  
Ví dụ 5. Tìm phần ảo của z biết:    
3
3 2 2 (1)z z i i    
Lời giải 
Giả sử z=a+bi 
      2 3(1) 3 3 8 12 6 2 2 11 . 2a bi a bi i i i i i i            
 24 2 4 2 22 11 20 15a bi i i i i       
15
; 10
4
a b    . 
Vậy phần ảo của z bằng -10 
Ví dụ 6. Tìm môđun của z biết 
 
2
(1 2) 1
2 (1)
2
i i
z z
i
 
 

Lời giải 
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
3 
 (1) 2 2a bi a bi    
 2 2(1 2) 1 2 2 2 2
2 2
i i i i i
i i
   

 
4 2 2 4 2 2
;
15 5
a b
  
   
32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2
225 15
z
     
   
Ví dụ 7. (A+A1 2012) Cho số phức z thỏa mãn 
5( )
2 (1)
1
z i
i
z

 

 Tính môđun của số phức 21 z z    . 
 Lời giải 
 Giả sử z=a+bi 
5( )
(1) 2
1
a bi i
i
a bi
 
  
 
25 5 ( 1) 2 2 2
3 2 (5 5 2 1) 0
a i b a bi ai bi i
a b i b b a
        
        
3 2 0 1
1
3 4 0 1
a b a
z i
b a b
    
     
    
 1 1 1 2 1 2 3 4 9 13i i i             
Ví dụ 8. (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: 
2(1 2 )
(2 ) 7 8 (1)
1
i
i z i
i

   

 Tìm môđun của số phức 1z i    
 Lời giải 
Giả sử z a bi  
2(1 2 )
(1) (2 )( ) 7 8
1
i
i a bi i
i

     

 2
2
2(1 2 )(1 )
2 2 7 8
1
i i
a bi ai bi i
i
 
      

 22 2 1 2 2 7 8a bi ai bi i i i i          
2 3 7 3
2 1 8 2
a b a
b a b
    
  
    
 Do đó 3 2 1 4 3i i i       16 9 5    . 
 
2
(2 2 2) 2 (4 2 2) 4 2 2
3
4 5
i i i
a bi
i
    
   

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
4 
Ví dụ 9. (A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết 
22 (1)z z z  
 Lời giải 
  2 2 2 2 2 2 2 2(1) 2a bi a b a bi a b i abi a b a bi             
2
2
1 1
;
2 2
2 0
2 2 0 0; 0
2 0
1 1
;
2 2
a b
b a
b a bi abi b a
b ab
a b

  
  
         
    
 

 Vậy 
1 1 1 1
0; ;
2 2 2 2
z z i z i
 
     
Ví dụ 10. ( A-2011) Tính môđun của số phức z biết: 
 (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2 (1)z i z i i       
 Lời giải 
 (1) (2 2 1))(1 ) ( 1)(1 ) 2 2a bi i a bi i i          
 2 22 2 2 2 1 1 2 2a ai bi bi i a ai bi bi i i              
 3 3 2 2 2a ba ai bi i i       
1
3 3 2 3
2 2 1
3
a
a b
a b
b

  
  
      

 Suy ra 
1 1 2
9 9 3
z    . 
Ví dụ 11. Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z x iy  thỏa mãn 3 18 26z i  
 Lời giải 
 Ta có 
3 2
3
2 3
3 18
( ) 18 26
3 26
x xy
x iy i
x y y
  
    
 
2 3 3 218(3 ) 26( 3 )x y y x xy    
 Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được 
1
3, 1
3
t x y    . Vậy z=3+i. 
Bài luyện tập 
Bài 1. Thức hiện phép tính: 
 a.  (3 4) ( 3 2 ) (4 7 )i i i     b.     7 5 1 3 2i i i i    c.  
2012
1 i 
 d.    
2
3 4 5 7i i  e.    
3 2
3 1 2i i   f.    
3 2
3 3 2i i   
g.  
5 7
3 4
6 5
i
i
i

  

 h. 
8 5 2 1
3 4 3 2
i i
i i
 

 
Bài 2. Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 
 a. 2 31 (2 1) 3 ( 1) 2z i i i i     b. 2
3 2
3
2
i
z i
i

 

 c.  104 3 5 2 4z i i   
Bài 3. Tìm phần ảo của số phức z, biết: 2z = ( 2 + i) (1- 2 i) . 
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
5 
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn: 2(2 3 ) (4 ) (1 3 )     i z i z i . 
 Xác định phần thực và phần ảo của z. 
Bài 5. Tính mô đun của các số phưc sau: 
 3 2 21 2 3(2 3 ) ( 3 4 ); (3 2 ) ; (2 1) (3 )z i i z i z i i           
Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn: 
3(1 3 )
1



i
z
i
. Tìm môđun của z iz . 
Bài 7. Tính mô đun của số phức z , biết (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2z i z i i       . 
Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn: 6; . 25z z z z   
Bài 9. Tìm số phức z thỏa mãn | (2 ) | 10  z i và . 25z z  . 
Bài 10. Tìm số phức z, biết: 
5 3
1 0
i
z
z

   
Bài 11. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: 3(3 5 ) (1 2 ) 9 14x i y i i     
Bài 12. Tìm số phức z biết: 
37(1 )( 2 )( 1 6 )
1 10
i zz z i
i
  


 . 
II. Căn bậc của số phức và phương trình bậc hai trên tập số phức. 
Định nghĩa: Cho số phức z a bi  
Căn bậc hai của số phức z là số phức 1 1 1z a b i  thỏa mãn 
2
1z z 
Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của số phức 5 12z i  
Lời giải 
Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của z 
Ta có: 2( ) 5 12m ni i   
2 2 2 2 22 5 12 2 5 12m mni n i i m mni n i          
2 2
2 2 5(1)5
6
2 12 (2)
m n
m n
mn m
n
  
   
  
  

Thay (2) vào (1) ta có: 
2
2 4 26 5 36 5n n n
n
 
     
 
4 2 2 25 36 0 4; 9( )n n n n loai        
2 3
2 3
n m
n m
  
     
Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i 
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
6 
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của số phức 164 48 5z i   
Lời giải 
Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của z 
Ta có: 2( ) 164 48 5m ni i    
2 22 164 48 5m mni n i      
2 2
2 2 164(1)164
24 5
2 48 5 (2)
m n
m n
mn n
m
   
    
  
  

Thay (2) vào (1) ta có: 2 2 4 2
24 5
( ) 164 164 2880 0m m m
m
       
2 216; 180( )m m loai    
4 6 5
4 6 5
m n
n m
   

    
Vậy z có hai căn bậc hai là 4 6 5 , 4 6 5i i   
Bài luyện tập 
Tìm các căn bậc 2 của các số phức sau: 
 5 12 , 7 24 , 1 3 , 23 4 6i i i i       
III. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức 
Xét phương trình 2 0( , , ; 0)az bz c a b c C a     
Cách giải 
Tính 2 4b ac   
Gọi k là căn bậc hai của  , nghiệm của phương trình là: ,
2 2
b k b k
z z
a a
   
  
Đặc biệt nếu b=2b’, ta tính ' 
Gọi 'k là căn bậc hai của ' , nghiệm của phương trình là: 
' ' ' '
,
b k b k
z z
a a
   
  
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 (3 8) 11 13 0z i z i     
Lời giải 
2(3 8) 4(11 13) 4 3i i i       
Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của  
Ta có: 2( ) 5 12m ni i   
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
7 
2 2 2
2 2
2 3 4
2 3 4
m mni n i i
m mni n i
    
    
2 2
2 2 3(1)3
2
2 4 (2)
m n
m n
mn n
m
  
   
  
  

Thay (2) vào (1) ta có: 
2 2
2 4 2
2
42
3 3 4 0
1(loai)
m
m m m
m m
  
        
   
2 1
2 1
m n
m n
  
     
Vậy  có hai căn bậc hai là 2+i và -2-i 
Do đó nghiệm của phương trình là 
3 8 2
2 5
2
3 8 2
3
2
i i
z i
i i
z i
  
  

     

Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 4 7 0z z   
Lời giải 
2 2' 2 7 3 3i       các căn bậc hai của ' là 3i 
Vậy nghiệm của phương trình là: 2 3 , 2 3z i z i      
Ví dụ 3. giải phương trình: 3 24 (4 ) 3 3 0 (1)z z i z i      
Lời giải 
Dễ thấy z=-i là nghiệm của (1) nên 2(1) ( )( (4 ) 3 3 ) 0z i z i z i       
2
0
(4 ) 3 3 0(2)
z i
z i z i
 
 
    
 Giải (2) 
 2 2 2(4 ) 12 12 16 1 8 12 12 3 4 4 2.2. (2 )i i i i i i i i                 
 Vậy  có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i 
 Do đó nghiệm của (2) là 
4 2
1
2
4 2 2
3
2
i i
z i
i i
z
   
   

       

Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i. 
Ví dụ 4. Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình:    
22 1 4 2 5 3 0i z i z i      . 
 Tính 
2 2
1 2z z . 
 Lời giải 
 Ta có     
2
' 4 2 2 1 5 3 16i i i       . Vậy phương trình có hai nghiệm phức 
 1 2
3 5 1 1
,
2 2 2 2
z i z i     . Do đó 
2 2
1 2 9z z  . 
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
8 
Ví dụ 5. Gọi 1 2 3 4, , ,z z z z là bốn nghiệm của phương trình 
4 3 22 6 4 0z z z z     trên tập 
 số phức tính tổng: 
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
S
z z z z
    . 
 Lời giải 
 PT: 4 3 22 6 4 0z z z z        21 2 2 2 0z z z z      (1) 
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là 
1
2
3
4
1
2
1
1
z
z
z i
z i


 
  

 
 Thay và biểu thức ta có: 
   
2 22 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 5
1
4 41 1
S
z z z z i i
        
 
Ví dụ 6. Giải phương trình sau trên tập số phức C: 
2
4 3 1 0
2
z
z z z     (1) 
 Lời giải 
 Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0 
Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( 0
2
1
)
1
()
1
2
2 
z
z
z
z (2) 
Đặt t=
1
z
z
 Khi đó 2
1
2
22 
z
zt 2
1 2
2
2  t
z
z 
Phương trình (2) có dạng : t2-t+ 0
2
5
 (3) 
299
2
5
.41 i 
Vậy PT (3) có 2 nghiệm t=
2
31 i
, t=
2
31 i
Với t=
2
31 i
 ta có 02)31(2
2
311 2 

 ziz
i
z
z (4) 
Có 222 )3(696816)31( iiiii  
Vậy PT(4) có 2 nghiệm : z= i
ii


1
4
)3()31(
, z=
2
1
4
)3()31( 

 iii
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z=
2
1i
; z=
2
1 i
Bài luyện tập 
 Giải các phương trình sau: 
 1. 2 7 11 0z z i    
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
9 
 2. 2 2(1 2 ) (7 4 ) 0z i z i     
 3. 2 2(2 ) 6 8 0z i z i     
 4. 2 (2 ) 1 0z i z i     
 5. 3 2(2 ) (2 2 ) 2 0z i z i z i      
IV. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z 
Cách giải: Giả sử z = + ia b ; thay vào giả thiết, tìm được một hệ thức nào đó đối với a và 
b. Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z. 
Ví dụ 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho 
2 3z i
u
z i
 


 là một số thuần 
ảo. 
Lời giải 
Giả sử ( , )z a ib a b R   , khi đó 
2 2
2 3 ( 2 ( 3) )( ( 1) )
( 1) ( 1)
a bi i a b i a b i
u
a b i a b
       
 
   
Tử số bằng 2 2 2 2 3 2(2 1)a b a b a b i       
 u là số thuần ảo khi và chỉ khi 
2 2 2 22 2 3 0 ( 1) ( 1) 5
2 1 0 ( ; ) (0;1), ( 2; 3)
a b a b a b
a b a b
         
 
      
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ( 1; 1)I   , bán kính bằng 
5 , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3). 
Ví dụ 2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: 
2 3
1(*)
4
z i
z i
 

 
Lời giải 
Giả sử z a bi  
 (*) 2 ( 3) 4 ( 1)a b i x b i        
 2 2 2 2( 2) ( 3) ( 4) ( 1)a b a b        
 3 1 0a b    
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0. 
Ví dụ 3. Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức (1 3) 2i z    biết số phức z 
 thỏa mãn: 1 2 (1)z   . 
Lời giải 
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
10 
Giả sử a bi   
Ta có 
2 3 ( 3 )
(1 3) 2 1
1 3 1 3
a bi a b i
a bi i z z z
i i
    
        
 
3 ( 3)
(1) 2
1 3
a b i
i
  
 

2 23 ( 3) ( 3) ( 3)
2 2
21 3
a b i a b
i
     
   

2 2( 3) ( 3) 16a b     
Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn 2 2( 3) ( 3) 16x y    (kể cả 
những điểm nằm trên biên). 
Bài luyện tập 
Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn: 
 a. 2 z i z   b. 3
z
z i


 c. 3 4z z i   d. 1
z i
z i



 e. | | | (1 ) |  z i i z 
 f. | (3 4 ) | 2  z i g.  
2
2z z 
V. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất 
Bài toán: Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện G nào đó. Tìm số phức z có mô đun 
nhỏ nhất, lớn nhất. 
Trường hợp 1: giả thiết G có dạng ma nb k  . Ta rút a theo b (hoặc b theo a) sau đó ta 
sử dụng phương pháp nhóm tổng bình phương. 
Ví dụ 1. Biết rằng số phức z thỏa mãn ( 3 )( 1 3 )u z i z i     là một số thực. Tìm giá trị 
 nhỏ nhất của |z|. 
 Lời giải 
 Giả sử z a ib  , ta có 
 ( 3 ( 1) )( 1 ( 3) )u a b i a b i       
 2 2 4 4 6 2( 4)a b a b a b i        
 4 0 4u R a b a b        
 2| |min | | minz z 
 2 2 2 2 2 2 2| | ( 4) 2 8 16 2( 2) 8 8z a b b b b b b            
 Dấu = xảy ra khi 2 2b a    
 Vậy | |min 2 2z z i   
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
11 
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn: 1 2z i z i    . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . 
 Lời giải 
     
 
2 2 22
2 2 2 2
22 2 2 2
1 2 1 1 2
2 1 2 1 4 4 2 2 2 0 1 1
1
1 2 2 1
2
a bi i a bi i a b a b
a a b b a b b a b a b a b
a b b b b b
            
                   
        
1 1 1
;
2 2 2
z a b

     . Vậy 
1
2
Min z  
Trường hợp 2: Giả thiết G có dạng 2 2 2( ) ( )x a y b k    
 Bài toán: Tìm GTNN, GTLN của sin cosS A mx B nx C   
 Ta có 2 2
2 2 2 2
(sin . cos . )
A B
S A B mx mx C
A B A B
   
 
 Đặt 
2 2
2 2
cos
sin
A
A B
B
A B




 

 
 
. Khi đó 2 2 (sin .cos cos .sin )S A B mx mx C     
 Do đó 2 2
2
2
k
MinS A B C x
m m m
  
        
 2 2
2
2
k
MaxS A B C x
m m m
  
       
 Vì thế ở trường hợp 2 để tìm GTNN, GTLN của |z| ta đặt 
sin
cos
x a k
y b k


 

 
 Sau đó ta làm tương tự như bài toán trên. 
Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn: 3 4 4z i   . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . 
 Lời giải 
Giả sử z=a+bi, ta có:    
2 2
3 4 4 3 4 16a bi i a b         
Đặt 
3 4sin 3 4sin
4 4cos 4cos 4
a a
b b
 
 
    
 
    
2 2 2 2 29 16sin 24sin 16cos 16 32cos
41 24sin 32cos
3 4
41 40( sin cos )
5 5
z a b    
 
 
        
  
  
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
12 
Đặt 
3 4
cos ,sin
5 5
   
2 2 2 41 40sin( ) 1z a b         . 
Dấu = xảy ra khi 2 2
2 2
k k
 
              . Do đó 1Min z  
Ngoài ra để tìm GTNN, GTLN của z ta có thể sử dụng phương pháp hình học. 
Ví dụ 4. Cho hai số phức 1 2,z z thỏa mãn 1 2 25 5, 1 3 3 6z z i z i       . Tìm giá trị 
 nhỏ nhất của 1 2z z . 
 Lời giải 
 Giả sử ( ; )M a b là điểm biểu diễn của số phức 1z a bi  , ( ; )N c d là điểm biểu 
diễn của số phức 2z c di  
 Ta có 2 21 5 5 ( 5) 25z a b      . 
Vậy M thuộc đường tròn 2 2( ) :( 5) 25C x y   
 2 21 3 3 6 8 6 35z i z i c d        . 
 Vậy N thuộc đường thẳng : 8 6 35x y   . 
 Dễ thấy đường thẳng  không cắt ( )C và 1 2z z MN  . 
 Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn 2 2( ) :( 5) 25C x y   
và đường thẳng : 8 6 35x y   . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên ( )C , N 
chạy trên đường thẳng  . 
M
L
H
0
d
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với  . PT đường thẳng d là 6x-8y=-30. 
 Gọi H là giao điểm của d và  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ 
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
13 
1
8 6 35 9
(1; )9
6 8 30 2
2
x
x y
H
x y y

  
  
    
Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn ( )C . Tọa độ K, L là nghiệm của hệ 
2 2 1; 3( 5) 25
9; 36 8 30
x yx y
x yx y
      
        
. Vậy K(-1;3), L(-9;-3) 
 Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra 
5
,
2
MinMN M K N H    . Khi đó 
1 2
5
2
Min z z  
Bài luyện tập 
1. Trong các số phức z thỏa mãn: 
2 2
2
3 2
z i
z i
 

 
, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ 
nhất. 
2. Trong các số phức z thỏa mãn: 
2 2
3
1
z i
z i
 

 
, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ 
 nhất, lớn nhất. 
 3. cho hai số phức 1 2,z z thỏa mãn 1 2 25, 5 7z i z z     . Tìm giá trị nhỏ 
 nhất của 1 2z z . 
VI. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng 
Xét số phức dạng đại số: z a bi  
Ta có 
2
2 2
2
2 2
a b
z a b i
a b a b
 
   
 
  
Nhận xét 
2 2
2 2
2 2
1
a b
a b a b
   
    
   
    
Đặt 
2 22 2
cos = ;sin = ;
a b
a b a b
 
 
Khi đó 
22 ( os +sin )=r( os +isin ) (*)z a b c c      22r z a b   
(*) Gọi là dạng lượng giác của số phức z,  gọi là một acgumen của z. 
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 
14 
Nhận xét: Nếu  là một acgumen của z thì 2k  cũng một acgumen của z. 
+ Nhân và chia số phức dạng lượng giác. 
Cho 
1 1 1 1 2 2 2 2( os +isin ); z = r ( os +isin )z r c c    . Khi đó 
1 2 1 2 1 2 1 2z r [ os( + )+isin( + )] z r c     
1 1
1 2 1 2
2 2
[ os( )+isin( )] 
z
z r
c
r
      
Đặc biệt với 2 2( os +isin ) z = r ( os2 +isin2 ) z r c c     
 3 3z = r ( os3 +isin3 )...c   
 n nz = r ( osn +isinn ) c   (**) 
 (**) gọi là công thức moavơrơ. 
Ví dụ 1. Viết số phức sau dạng lương giác: 3z i  
 Lời giải 
3
2 2 os sin . 2 os sin
2 2 6 6 6 6
i
z c i c i
         
         