Các công thức lượng giác thường gặp

Các công thức lượng giác thường gặp
1. Công thức cộng:
cos(x+y)=cosx.cosy-sinx.siny ; c, cos(x-y)=cosx.cosy+sinx.siny
sin(x+y)=sinx.cosy+cosx.siny ; d, sin(x-y)=sinx.cosy-cosx.siny
 ; f, 
2. Công thức nhân đôi:
sin2x=2sinx.cosx
cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x
3. Công thức nhân ba:
sin3x=3sinx-4sin3x
cos3x=4cos3x-3cosx
4. Công thức biến đổi tích thành tổng:
 ; 
 ; 
5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
 ; 
 ; 
6. Công thức hạ bậc:
 ; 
 ; 
7. Công thức tính sinx, cosx, tanx theo: Nếu đặt t=, ta được: 
 ; ; 
Phương trình lượng giác
Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Nhận dạng và phương pháp giải:
 * Học thuộc lòng:
2. Các ví dụ:
Giải các phương trình lượng giác sau:
3. Bài tập: 
Dạng 2: Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác
1. Nhận dạng và phương pháp giải:
Nhận dạng: af(x)+b=0
 af2(x)+bf(x)+c=0 (a≠0)
trong đó f(x) là một trong 4 hàm số: sinx, cosx, tanx, cotx.
Phương pháp: Đặt t=f(x), đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai theo ẩn t
- Phương trình cơ bản có thể không cần đặt.
- Nếu đặt t=sinx hoặc t=cosx thì phải có điều kiện |t|≤1.
Các công thức cần nhớ trong phần này:
2. Các ví dụ:
Giải các phương trình lượng giác sau:
Chú ý: Thử điều kiện loại nghiệm: Khi bài toán có điều kiện ban đầu, ta phải xét xem nghiệm sau khi tìm được có thỏa mãn điều kiện đã cho hay không, bằng các cách:
Cách 1: Thay trực tiếp nghiệm vừa tìm được vào điều kiện rồi kết luận.
Cách 2: Dùng đường tròn lượng giác.
Biểu diễn các họ nghiệm trên đường đường tròn lượng giác.
Biểu diễn điều kiện trên đường tròn lượng giác.
Loại bỏ những điểm trùng nhau, suy ra họ nghiệm của bài toán.
3. Bài tập: 
 Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng và phương pháp giải:
 Nhận dạng: asinx+bcosx=c (1)
 Phương pháp giải:
	Bước 1: Kiểm tra
	+, Nếu a2+b2<c2, khi đó (1) vô nghiệm.
	+, Nếu a2+b2³c2, thực hiện bước 2.
	Bước 2: Chia hai vế của phương trình (1) cho , ta được:
Vì: , nên tồn tại góc a sao cho:
 (1) trở thành:
Trở về phương trình cơ bản đối với sin đã làm ở dạng 1.
Ghi nhớ: 
2. Các ví dụ:
Giải các phương trình lượng giác sau:
3. Bài tập:
Giải các phương trình lượng giác sau:
Dạng 4: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
 1. Nhận dạng và phương pháp giải:
	Nhận dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d (1)
	Phương pháp giải: 
	Bước 1: Với cosx=0 Û 
 Khi đó (1) có dạng: asin2x=d
 +, Nếu a=d, thì (1) nhận làm nghiệm.
+, Nếu a≠d, thì (1) không nhận làm nghiệm.
Bước 2: Với cosx≠0 Û . Chia hai vế của phương trình (1) cho cos2x≠0, ta được:
Đặt t=tanx, suy ra phương trình bậc hai đối với tanx.
Bước 3: Giải phương trình theo ẩn t, rồi suy ra ẩn x.
 2. Các ví dụ: 
Giải các phương trình lượng giác sau:
3. Bài tập: 
Giải các phương trình lượng giác sau:
Dạng 5: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng và phương pháp giải:
	* Nhận dạng: a.(sinx+cosx)+b.cosxsinx+c=0 (1)
	* Phương pháp giải: 
	Bước 1: Đặt sinx+cosx=t, 
trở thành: (2)
Bước 2: Giải (2) theo t và chọn nghiệm t0 thoả mãn điều kiện: 
Với t=t0 suy ra: sinx+cosx=t0 
2. Các ví dụ:
 Giải các phương trình lượng giác sau:
3. Bài tập:
Dạng 6: áp dụng các công thức biển đổi tổng hợp: Công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức nhân ba, công thức biến tích thành tổng, công thức biến tổng thành tích.
Bài tập tổng hợp:
 Giải các phương trình lượng giác sau:
Một số đề luyện thi đại học phần lượng giác
Giải các phương trình lượng giác sau: