Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Toán 6

Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 3 
CÁC BÀI TOÁN Cể CHỮ SỐ GIỐNG NHAU. 
Lý thuyết: Cấu tạo số cú chữ số giống nhau: 
Ta cú: 
1
2
3
10 11
9
10 111
9
10 1111
9
...
999...9 1000...0 1 10 1111...1 .
9 9 9
k k
k
k
−
=
−
=
−
=
− −
= = =
upcurlybracketleftupcurlybracketmidupcurlybracketright upcurlybracketleftupcurlybracketmidupcurlybracketright

Cỏc chữ số 2, 22, 222, ... cú viết thành: 
1 210 1 10 1 10 12 2;2 22;...;2 22...2
9 9 9
n
− − −
ì = ì = ì = 
Và cỏc số khỏc cũng cú thể viết theo quy tắc trờn: 
Bài tập: 
Bài 1: Cho số tự nhiờn n cú k chứ số 9. Chứng tỏ tổng cỏc chữ số của số n2 là 9k. 
Giải: Ta viết 10 1999...9 9(111...1) 9 10 1.
9
k
k
k
N −= = = = − 
Tớnh chữ số của N2 theo cụng thức: 
2
1 1
. (999...9).(10 1) 999...9000...0 999...9 999...98000...01k
k k k k k
N N N
− −
= = − = − =    
Vậy tổng cỏc chữ số là: 9( 1) 8 1 9 .k k− + + = 
Bài 2: Cho cỏc số 49, 4489, 444889, ..., là số ta viết thờm số 48 vào giữa cỏc chữ số của số 49, 
chứng tỏ rằng tất cả cỏc số viết theo quy tắc như vậy là bỡnh phương của số tự nhiện 
Giải: Ta iết cỏc số dưới dạng: 
1 2 349 4.1.10 8.1 1;4489 4.11.10 8.11 1;444889 4.111.10 8.111 1= + + = + + = + + 
Và cứ thế, cứ thế. 
1
444...488...89 4.111...1.10 8.111...1 1.n
nn n n
N
−
= = + +   
Mà 10 111...11
9
n
n
−
= nờn: 
2
24 8 4 4 8 8 2.10 1(10 1).10 (10 1) 1 10 10 10 1
9 9 9 9 9 9 3
n
n n n n n nN
 +
= − + − + = − + − + =  
 
Số 2.10 1n + chia hết cho 3, vậy chứng tỏ N là bỡnh phương của số tự nhiờn. 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 4 
Bài 3: Cho số A(n) và B(n) với 2n chữ số 1 và n chữ số 2 . 
Cú thể hay khụng A(n) – B(n) là bỡnh phương của số tự nhiện? 
Giải: 
Ta cú:
2
( ) ( ) 111...1 222...2
n n
A n B n− = −  với 
10 1222...2 2
9
n
n
−
= và 
2
2
10 1111...1 ,
9
n
n
−
= 
nờn: 
2 210 1 10 1 (10 1)(10 1) 10 1 (10 1)[(10 1) 2] (10 1)( ) ( ) 2 2
9 9 9 9 9 9
n n n n n n n n
A n B n − − − + − − + − −− = − = − = = 
2
2
(10 1)( ) ( ) .
3
n
A n B n −− = 
Vậy ( ) ( )A n B n− số chớnh phương.. 
Bài 4 : Tớnh giỏ trị của B= 2(999.999.999) . 
Giải: Ta viết 
29
2 18 9
18 9
10 1(999.999.999) 9. 10 2.10 1 1000...0 2000...0 1
9
 −
= = − + = − + 
 
  =
2
8 8
(999.999.999) 999...98000...01=  
Bài 5: Cho số 
666
666...6A = và số 
666
333...3B = . Tớnh A . B ? 
Giải: Ta cú
666 666
666...6 6.111...1A = =  và 
666
666 666
10 1333...3 3.111...1 3. ,
9
B −= = =  
 Vậy 
66610 13.6.(111...1).
9
AB −= 6662.(111...1)(10 1)AB = − 666(222...2)(10 1)AB = − 666(222...2).10 222...2AB = − 
666 666 666
222...2000...0 222...2AB = − 
665 665
222...21777...78AB =  
ở tớch AB:- cú một số 1;- cú một số 8;- cú 665 số 2;- cú 665 số 7. 
Bài 6: Tớnh tổng : 2 22 ... 222...2+ + + ở số hạng cuối cựng cú n chũ số 2. 
Bài 7: Chứng minh rằng : 2
2
111...1 222...2 (333...3) .
n n n
= +   
Bài 8: Chứng minh rằng 111...1
n
 chia hết cho 41 nếu n chia hết cho 5. 
Bài 9: Cú thể hay khụng trong cỏc số : 11,111,1111,11111,... cú một số là số chớnh phương. 
Bài 10: Cú thể hay khụng cỏc : 1111,111111,..., ở ủú cú chẵn chữ số 1, là hợp số.. 
Bai 11. Chứng minh rằng mỗi số sau có thể viết đ−ợc thành một tích của hai số tự nhiên liên tiếp: 
a) 111222 ; b) 444222 
Bài 12. Tìm kết quả của phép nhân. 
a) 
2005 . 2005 .
33...3.99...9
c s c s
A = b) 
2005 . 2005 .
33...3.33...3
c s c s
B = 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 5 
Chuyên đề 3: luỹ thừa với số mũ trên tự nhiên 
Ph−ơng pháp tìm số tận cùng của một luỹ thừa 
 1. Chú ý: 
a./ Các số có tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) thì đều có tận cùng là 0, 1, 5, 6 
b./ Các số có tận cùng 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 6 
c./ Các số có tận cùng 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 1 
d./ Số a và a4n+1 có chữ số tận cùng giống nhau ( , , 0n a N a∀ ∈ ≠ ) 
2./ Ph−ơng pháp 
Để giải bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa ta tìm cách đ−a cơ số của luỹ thừa về dạng 
đặc biệt hoặc đ−a số mũ về dạng đặc biệt đK biết cách tính theo phần chú ý trên 
Tìm chữ số tận cùng của một tích: 
+Tích của các số lẽ là một số lẽ 
+ Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn. 
- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. 
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ nguyên các 
chữ số tận cùng của nó. 
+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 2,4,8 nâng lê luỹ thừa 4n (n ≠ 0) đều có tận cùng bằng 6. 
...24n = ...6 ; ...44n = ...6 ; ...84n = ...6 
+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 3,7,9 nâng lê luỹ thừa 4n (n ≠ 0) đều có tận cùng bằng 1. 
...34n = ...1 ; ...74n = ...1 ;...94n = ...1 
- Một số chính ph−ơng thì không có tận cùng bằng 2,3,7,8. 
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thỡ x = am ⋮2m. Gọi n là số tự nhiờn sao cho an - 1 ⋮25. 
Viết m = pn + q (p ; q ∈ N), trong ủú q là số nhỏ nhất ủể aq ⋮4 ta cú :x = am = aq(apn - 1) + aq. 
Vỡ an - 1 ⋮25 => apn - 1 ⋮25. Mặt khỏc, do (4, 25) = 1 nờn aq(apn - 1) ⋮100. 
Vậy hai chữ số tận cựng của am cũng chớnh là hai chữ số tận cựng của aq. Tiếp theo, ta tỡm hai chữ 
số tận cựng của aq. 
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiờn sao cho an - 1 ⋮100. Viết m = un + v (u ; v ∈ N, 0 ≤ v < 
n) ta cú : 
x = am = av(aun - 1) + av. Vỡ an - 1 ⋮100 => aun - 1 ⋮ 100. 
Vậy hai chữ số tận cựng của am cũng chớnh là hai chữ số tận cựng của av. Tiếp theo, ta tỡm hai chữ 
số tận cựng của av. 
Tớnh chất : Nếu a ∈ N và (a, 5) = 1 thỡ a20 - 1 ⋮ 25. 
VD1: Tìm chữ số tận cùng của 6195 ; 5151 ; 21000 ; 
1089999 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 6 
3./ Mở rộng 
3.1/ Đồng d−: 
a/ Khái niệm: Trong chú ý d./ ở phần 1 ta có thể nói a đồng d− với a4n+1 theo modun 10 (là hai số 
có cùng số d− khi chia cho 10) 
Tổng quát : Số tự nhiên a đồng d− với số tự nhiên b theo modun m (m ≠ 0) nếu a và b chia cho m có 
cùng một số d−. 
Ký hiệu ( mod )a b m≡ với a, b, m ∈N và m ≠ 0 (1) 
Khi đó nếu a ⋮ m ta có thể viết a ≡ 0 (mod m ) 
Hệ thức (1 ) đ−ợc gọi là một đồng d− thức 
b/ Một số tính chất cơ bản của đồng d− thức 
 Nếu (mod )a b m≡ và (mod )c d m≡ thì: 
 1. (mod )a c b d m+ ≡ + và (mod )a c b d m− ≡ − 
 2. . . (mod )a c b d m≡ 
3. (mod )n na b m≡ 
Các tính chất này có thể đ−ợc áp dụng cho nhiều đồng d− thức cùng modun 
c/ Ví dụ: 
VD1. Tìm số d− của 3100 cho 13. 
Tìm số d− trong phép chia là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 13 và đồng d− với 3100 theo modun 13 
Ta có ( )
33100 99 33 3.3 3. 3= = 
Vì 33 = 27 = 13. 2 +1, nên 33 ≡ 1(mod 13) do đó (33)33 ≡ 133 (mod 13) 
 hay 399 ≡1(mod 13) 
 và 3 ≡ 3 (mod 13) 
nên 3100 ≡3 (mod 13). Vậy 3100 chia cho 13 có số d− là 3 
VD 2 .Chứng minh rằng 22008 – 8 chia hết cho 31 
Để chứng minh 22008 – 8 chia hết cho 31 ta chứng minh 22008 – 8 ≡ 0 (mod 31) 
Ta có : 22008 = 23. 22005 = 23. (25)401 mà 25 =32≡ 1 (mod 31) 
nên ta có (25)401 ≡ 1401(mod 31) ⇒ 23. 22005 ≡ 23 . 1(mod 31) 
⇒ 22008 ≡8(mod 31) 
 Mặt khác 8 ≡ 8(mod 31) 
 Nên 22008 - 8 ≡ 0 (mod 31). Vậy 22008 – 8 chia hết cho 31 Đpcm. 
VD 3: CM rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 
Ta cú: 122n+1 =12.122n = 12 .144n 
Vỡ 144≡11(mod133) nờn 144n ≡11n (mod 133) 
⇒ 3. 399 ≡ 3 . 1 (mod 13) 
⇒ 22008 - 8 ≡ 8 - 8 (mod 31) 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 7 
suy ra 12 .144n ≡12 .11n (mod 133) (1) 
Mặt khỏc: 11n+2 = 121. 11n 
 Mà 121 ≡ - 12 (mod 133) nờn 121. 11n ≡ - 12 . 11n (mod 133) (2) 
Cộng vế (1) và (2) ta ủược 122n+1 + 11n+2 ≡ 0 (mod 133) 
Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 ðpcm 
VD 4: CM 
200885 23 24+ ⋮ 
Ta cú 58 = 254 mà 25 ≡ 1(mod 24) nờn 254 ≡ 1(mod 24) 2008425 1(mod24)⇒ ≡ 
cũn 23 ≡ 23(mod 24) 
Suy ra 
200885 23 0(mod 24)+ ≡
 Vậy 
200885 23 24+ ⋮
 ðpcm 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 8 
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA 
Bài toán 1. Viết các tích sau hoặc th−ơng sau d−ới dạng luỹ thừa của một số. 
a) 25 . 84 ; b) 256.1253 ; c) 6255:257 
Bài toán 2: Viết mỗi tích , th−ơng sau d−ới dạng một luỹ thừa: 
a) 410.230 ; b) 25 4 39 .27 .81 ; c) 50 525 .125 ; d) 3 8 464 .4 .16 ; 
e) 8 63 : 3 ; f) 10 32 :8 ; g) 7 712 : 6 ; h) 5 321 :81 
i) 8 25 : 25 ; j) 9 24 : 64 ; k) 25 42 : 32 ; l) 3 4125 : 25 
Bài toán 3. Tính giá trị các biểu thức. 
a) 
10 10
9 4
3 .11 3 .5
3 .2
A += ; b) 
10 10
8
2 .13 2 .65
2 .104
B += c) 
3 2
4
72 .54
108
C = ; d) 
22 7 15
14 2
11.3 .3 9
(2.3 )D
−
= 
Bài toán 4: Viết các số sau d−ới dạng tổng các luỹ thừa của 10. 
213; 421; 2009; abc ; abcde 
Bài toán 5 So sánh các số sau, số nào lớn hơn? 
a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257 c) 523 và 6. 522 d) 7. 213 và 216 
Bài toán 6: Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) a3.a9 b) (a5)7 c) (a6)4.a12 d) 56 :53 + 33 .32 e) 4.52 - 2.32 
Bài toán 7. Tìm n ∈ N * biết. 
a) 2 53 .3 3 ;n = b) 2(2 : 4).2 4;n = c) 4 71 .3 .3 3 ;
9
n
= d) 
1
.27 3
9
n n
= ; 
e) 
1
.2 4.2 9.5 ;
2
n n n+ = g) 32 2 128;n 
Bài toán 8 Tìm x ∈N biết. 
a) ( x - 1 )3 = 125 ; b) 2x+2 - 2x = 96; c) (2x +1)3 = 343 ; 
d) 720 : [ 41 - (2x - 5)] = 23.5. e) 16x < 1284 
Bài toán 9 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý. 
A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 B = 1 + 3 + 32 +33 +...+ 32009 
C = 1 + 5 + 52 + 53 +...+ 51998 D = 4 + 42 + 43 +...+ 4n 
Bài toán 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+2200. HKy viết A + 1 d−ới dạng một luỹ thừa. 
Bài toán 11. Cho B = 3 + +32 +33 +...+ 32005. CMR 2B + 3 là luỹ thừa của 3. 
Bài toán 9. Chứng minh rằng: 
a) 55-54+53 ⋮ 7 b) 6 5 47 7 7 11+ − ⋮ 
c) 9 8 710 10 10 222+ + ⋮ d) 6 710 5 59− ⋮ 
e) 2 2 *3 2 3 2 10n n n n n N+ + + − ∀ ∈⋮ f) 7 9 1381 27 9 45− − ⋮ 
Bài toán 12: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2+22; 2+22+23 ; 2+22+23 +24 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 9 
b) Chứng minh rằng: A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+22004 chia hết cho 3;7 và 15 
Bài toán 13: 
a) Viết tổng sau thành một tích 34 +325 +36+ 37 
b) Chứng minh rằng: 
B = 1 + 3 + +32 +32 +...+ 399 ⋮ 40 A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 ⋮ 31 
C = 165 + 215 ⋮33 D = 53! - 51! ⋮29 
Bài toán 14: Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: 
a) (217+172).(915 - 159)(42- 24) b) (71997- 71995):(71994.7) 
c) 2 3 4 5 3 3 3 3 8 2(1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 81 )+ + + + + + − d) 8 3 5 3(2 8 ) : (2 .2 )+ 
Bài toỏn 15: Tỡm hai chữ số tận cựng của cỏc số : a) a2003 b) 799 
Giải : a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tỡm số tự nhiờn n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 ⋮ 25. 
Ta cú 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 ⋮ 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) ⋮ 25 => 23(220 - 1) ⋮ 100. 
Mặt khỏc :22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N). 
Vậy hai chữ số tận cựng của 22003 là 08. 
b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tỡm số tự nhiờn n bộ nhất sao cho 7n - 1 ⋮ 100. 
Ta cú 74 = 2401 => 74 - 1 ⋮ 100. Mặt khỏc : 99 - 1 ⋮ 4 => 99 = 4k + 1 (k Є N) 
Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cựng bởi hai chữ số 07. 
Bài toỏn 16: Tỡm số dư của phộp chia 3517 cho 25. 
Giải : Trước hết ta tỡm hai chữ số tận cựng của 3517. Do số này lẻ nờn theo trường hợp 2, ta phải 
tỡm số tự nhiờn n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 ⋮100. 
Ta cú 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ⋮ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ⋮ 100. 
Mặt khỏc : 516 - 1 ⋮ 4 => 5(516 - 1) ⋮ 20 
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, cú hai chữ 
số tận cựng là 43. 
Vậy số dư của phộp chia 3517 cho 25 là 18. 
Trong trường hợp số ủó cho chia hết cho 4 thỡ ta cú thể tỡm theo cỏch giỏn tiếp. 
Trước tiờn, ta tỡm số dư của phộp chia số ủú cho 25, từ ủú suy ra cỏc khả năng của hai chữ số tận 
cựng. Cuối cựng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 ủể chọn giỏ trị ủỳng. 
Cỏc thớ dụ trờn cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thỡ n = 20 ; nếu a = 7 thỡ n = 4. 
Bài toán 17: Tỡm hai chữ số tận cựng của cỏc tổng : 
a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002 
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 10 
Lời giải : a) Dễ thấy, nếu a chẵn thỡ a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thỡ a100 - 1 chia hết cho 4 ; nếu a 
chia hết cho 5 thỡ a2 chia hết cho 25. 
Mặt khỏc, từ tớnh chất 4 ta suy ra với mọi a Є N và (a, 5) = 1 ta cú a100 - 1 ⋮ 25. 
Vậy với mọi a Є N ta cú a2(a100 - 1) ⋮ 100. 
Do ủú S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042. 
Vỡ thế hai chữ số tận cựng của tổng S1 cũng chớnh là hai chữ số tận cựng của tổng 12 + 22 + 32 + ... 
+ 20042. ỏp dụng cụng thức : 
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 
=>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cựng là 30. 
Vậy hai chữ số tận cựng của tổng S1 là 30. 
b) Hoàn toàn tương tự như cõu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + ... + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 
20043. Vỡ thế, hai chữ số tận cựng của tổng S2 cũng chớnh là hai chữ số tận cựng của 13 + 23 + 33 + 
... + 20043. 
ỏp dụng cụng thức : 
=> 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cựng là 00. 
Vậy hai chữ số tận cựng của tổng S2 là 00 
Bài toán 18: Tìm chữ số tận cùng của các số sau. 
372003 99 99 99 99 99 5 32 332 ;4 ;9 ;3 ;7 ;8 ;789 ;87 ;58 
Bài toán 19: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10. 
481n + 19991999 ; 162001 - 82000 ; 192005 + 112004 ; 175 + 244 - 1321 
Bài toán 20: Tìm chữ số tận cùng của tổng: 5 + 52 + 53 +...+ 596 
Bài toán 21: Chứng minh rằng A = ( )2006 942004 921 . 7 310 − là một số tự nhiên. 
Bài toán 22: Cho S = 1 + 3 +32 +33 +...+ 330 . Tìm chữ số tận cùng của S. CMR: S không là số chính 
ph−ơng. 
Bài toán 23: Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 a) Chứng minh A ⋮ 3 
b) Chứng minh A ⋮ 15 ; c) Tìm chữ số tận cùng của A. 
Bài toán 7. Chú ý: + *01 01( )nx y n N= ∈ + *25 25( )nx y n N= ∈ 
+ Các số 320; 815 ; 74 ; 512; 992 có tận cùng bằng 01. 
+ Các số 220; 65; 184;242; 684;742 có tận cùng bằng 76. 
+ 26n (n >1) có tận cùng bằng 76. 
áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau. 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 11 
 2100; 71991; 5151; 
999999 ; 6666; 14101; 22003. 
Bài toán 24: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 71998 - 41998 
Bài toán 25: Các tổng sau có là số chính ph−ơng không? a) 108 + 8 ; b) 100! + 7 ; c) 10100 + 
1050 + 1. 
Bài toán 26: Chứng minh rằng a) 20022004 - 10021000 ⋮ 10 b) 1999 2001 + 2012005 ⋮ 10; 
Bài toán 27: Chứng minh rằng: 
a) 0,3 . ( 20032003 - 19971997) là một số từ nhiên 
b) 2006 19982004 19941(1997 1993 )
10
−
 là một số từ nhiên. 
Bài toán 28: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: 
a) 714n – 1 chia hết cho 5 b) 124n + 1 + 34n +1 chia hết cho 5 
c) 92001n + 1 chia hết cho 10 d) n2 +n + 12 ⋮ 5 
Bài toán 29: Tìm chữ số tận cùng của 
a) 2008 2009 b)19216 c) (123412)34 d) (195)1979 
e) 
79911997 f) (3333)33 g) 357 735 h) (144)68 
Bài toán 30: Cho A = 21 + 22+ 23 + .... + 220 
 B = 31 + 32 + 33 + . + 3300 
 a) Tìm chữ số tận cùng của A b) Chứng minh rằng B chia hết cho 2 b) Chứng minh rằng B - A 
chia hết cho 5 
Bài toán 31: Tìm số d− trong các phép chia sau: 
a) 3100 : 7 b) 9! : 11 c) (2100 + 3105) : 15 d) (15325 – 1) : 9 
Bài toán 32 Chứng minh rằng: a) 301293 – 1 ⋮ 9 b) 2093n – 803n – 464n – 261n ⋮ 271 
c) 62n + 3n+2 3n ⋮ 11 d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 ⋮ 19 (với ∀ n∈N) 
Bài toán 33 Ngày 1 tháng 1 năm 2010 bạn Nam sẽ kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 của mình. Biết 
rằng ngày 1 tháng 1 năm 2008 là ngày thứ 3 
a) HKy tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày mấy 
b) Bạn Nam sẽ tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy? 
Bài toán 34: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 ⋮ 9 thỡ ớt nhất một trong cỏc hiệu a2 – b2 hoặc a2 – c2 
hoặc b2 – c2 chia hết cho 9 
Bài toán 35 So sánh các số sau: a) 3281 và 3190 b) 11022009 – 11022008 và 11022008 - 11022007 
c) A = (20082007 + 20072007)2008 và B = (20082008 + 20072008)2007 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 12 
Chuyên đề 4: chia hết trong tập số tự nhiên 
I. Kiến thức bổ sung: 
+)TíNH CHấT CHIA HếT CủA MộT TổNG. 
Tính chất 1: a ⋮ m , b ⋮ m , c ⋮ m ⇒ (a + b + c) ⋮ m 
 Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a ⋮ m , b ⋮ m , ⇒ (a - b) ⋮ m 
Tính chất 2: a ⋮ m , b ⋮ m , c ⋮ m ⇒ (a + b + c) ⋮ m 
 Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu. a ⋮ m , b ⋮ m , ⇒ (a - b) ⋮ mCác tính chất 1& 2 
cũng đúng với một tổng(hiệu) nhiều số hạng. 
+)DấU HIệU CHIA HếT CHO 2, CHO 5. 
 Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những 
số đó mới chia hết cho 2. 
 Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số 
đó mới chia hết cho 5. 
 Số chia hết cho 2 và 5 cú chữ số tận cựng bằng 0 
+)DấU HIệU CHIA HếT CHO 3, CHO 9. 
 Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những 
số đó mới chia hết cho 3. 
Chú ý: Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3. 
 Số chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9. 
 2- Sử dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu 
1. a ⋮ m ; b ⋮ m ⇒ k1a + k2b ⋮ m 
2. a ⋮ m ; b ⋮ m ; a + b + c ⋮ m ⇒ c⋮ m 
II. Bài tập: 
* Các ph−ơng pháp chứng minh chia hết. 
PP 1: Để chứng minh A ⋮ b (b 0≠ ). Ta biểu diễn A = b. k trong đó k ∈ N 
PP 2. Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng. 
 Nếu a ± b⋮m và a ⋮ m thì b ⋮ m. 
PP 3. Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (giK sử chứa n) chia hết cho b(b khác 0) ta có thể xét 
mọi tr−ờng hợp về số d− khi chia n cho b. 
PP 4. Để chứng minh A⋮ b. Ta biểu diễn b d−ới dạng b = m.n. Khi đó. 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 13 
+ Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh A⋮m và A ⋮n suy ra A⋮m.n hay A ⋮ b. 
+ Nếu (m,n) ≠ 1 ta biểu diễn A = a1.a2 rồi tìm cách chứng minh a1 ⋮ m; a2 ⋮ n thì tích a1.a2 ⋮ m.n 
suy ra A⋮ b. 
PP 5. Dùng các dấu hiệu chia hết. 
PP 6. Để chứng minh A⋮ b ta biểu diễn 1 2 ... nA A A A= + + và chứng minh các ( 1, )iA i n b= ⋮ 
Một số dấu hiệu chia hết cho 
1. Dấu hiệu chia hết cho 11: 
Một số chia hết cho 11 khi tổng các chữ số ở vị trí lẻ bằng tổng các chữ số ở vị trí chẵn và chỉ 
những số đó mới chia hết cho 11 
2. Dấu hiệu chia hết cho 4, 25 
Những số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 (hoặc 25) thì chia hết cho 4 (hoặc 25) và chỉ những 
số đó mới chia hết cho 4 (hoặc 25) 
3. Dấu hiệu chia hết cho 8, 125 
Những số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 (hoặc 125) thì chia hết cho 8 (hoặc 125) và chỉ 
những số đó mới chia hết cho 8 (hoặc 125) 
Một số tính chất: 
 - Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì trong tích chứa ít nhất một thừa số chia hết cho p 
- Nếu tích a.b chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m 
- Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho bội chung nhỏ nhất của m và n 
Cách phát biểu khác: Nếu a chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho tích hai số đó 
- Nếu A ⋮ B thì mA ± nB ⋮ B 
 (m,n ∈N, A và B là các biểu thức của số tự nhiên) 
II. Các ph−ơng pháp chứng minh chia hết. 
1. Sử dụng tính chất chia hết của một tổng. 
Ví dụ: 
a/ Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25  + 299 
 CMR: A chia hết cho 31 
b/ Tìm số tự nhiên n để 3n + 4 chia hết cho n – 1. 
2. Sử dụng đồng d− thức. 
Ví dụ: Chứng tỏ rằng: 175 + 244 - 1321 chia hết cho 10 
3. Sử dụng tính chất của số nguyên tố cùng nhau 
Ví dụ: CMR: n5 – n ⋮ 30 
Giải: Bài toán luôn đúng với n = 0 và n =1 
Xét n ≥ 2: 
Cỏc chuyờn đề ụn thi HSG 6 
Phạm Bỏ Quỳnh Page 14 
Đặt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1) 
Ta có A ⋮ 10 ( Vì n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau) 
 A ⋮ 3 (Vì trong A có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) ) 
 ⇒ A chia hết cho cả 3 và 10. 
 Mà ƯCLN(3, 10) = 1 nên A chia hết cho 3.10 
Vậy A ⋮ 30 Đpcm. 
Bài tập 1: Dựng 4 chữ số 0;1;2;5 cú tạo thành bao nhiờu số cú 4 chữ số, mỗi chữ số ủó cho chỉ dựng 
1 lần sao cho: 
a, cỏc số ủú chia hết cho 2. 
b,Cỏc số ủú chia hết cho 5 
c.cỏc số chia hết cho 3 
BT 2: Cho A = 12 + 15 + 21 + x với x ∈N. 
Tìm điều kiện của x để A ⋮ 3, A ⋮ 3. 
BT 3:Khi chia STN a cho 24 đ−ợc số d− là 10. Hỏi