Các bài toán về Chia hết, chia có dư Toán lớp 4

DẠNG TOAN CHIA HẾT, CHIA CÓ DƯ
Bài 53:    
        Tìm số abcd. Biết  abcd + abc + ab + a = 5135
            (Cách giải bằng cách sử dụng tính chất PHÉP CHIA CÓ DƯ.)
abcd +abc+ ab+a = 5135
Sắp xếp lại các chữ số ta có:
aaaa+bbb+cc+d =
1111 x a + (111 x b+11 x c+d) = 5135
Như vậy:
5135 : 1111 = a (dư  _  111 x b+11 x c+d)
5135 : 1111 = 4 (dư  871)
a = 4 và  111 x b+11 x c+d = 871
Tương tự:
871 : 111 = 7 (dư 94)
b = 7 và 11 x c + d = 94
Tương tự:
94 : 11 = 8 (dư 6)
c = 8 và d = 6
Số cần tìm là:  4786
Bài 2: 
        Mỗi chiếc xe được gắn một biển số gồm 4 chữ số. Hỏi từ số 0009 đến số 9999 có bao nhiêu số mà tổng các chữ số chia hết cho 9.              
Số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số chia hết cho 9.
Các số chia hết cho 9 gồm:
0009; 0018; 0027; ; 9990; 9999
Đây là dãy số cách đều nhau 9 đơn vị.
Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 có:
(9999 – 0009) : 9 +1 = 1111 (số)
Đáp số:  1111 số.
Bài 3: 
        Tổng của một dãy số tự nhiên liên tiếp bằng 2012. Tìm số bé nhất trong dãy số đó.
      Từ công thứ tính tổng dãy số cách đều (số tự nhiên liên tiếp cũng là dãy số cách đều nhau 1 đơn vị)Tổng=(số đầu+số cuối)x số số hạng : 2
2 tổng = (số đầu + số cuối) x số số hạng
Hai tổng của dãy số: 2012 x 2 = 4024
4024 chia hết cho: 2; 4; 8; 503; 1006; 2012
Ta có các cặp: Nếu tổng số đầu và số cuối là 2012 thì có 2 số hạng; là 1006 thì có 4 số hạng; là 503 thì có 8 số hạng.
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp có số số hạng là một số chẵn thì tổng số đầu và số cuối là một số lẻ.
*.Tổng số đầu số cuối cũng là tổng 2 số ở giữa bằng 503. 
Ta được 2 số ở giữa là (503-1) : 2 = 251 và 251+1=252
Dãy số:  248; 249; 250; 251; 252; 253; 254; 255
Số bé nhất là:  248
Bài 5:Tính tổng tất cả các số có hai chữ số mà mỗi số đó chia cho5 dư 2?
Số có 2 chức ố chia cho 5 dư 2 đó là:
12; 17; 22; ; 92; 97.
Đây là dãy số cách đều nhau 5 đơn vị, có:
(97-12):5+1=18 (số hạng)
Tổng các số này là:  (12+97)x18:2 = 981
Bài 6:
        Số chữ số dùng để đánh số trang của một quyển sách là một số chia hết cho số trang của cuốn sách đó. Biết rằng cuốn sách đó trên 100 trang và ít hơn 500 trang. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang ?
Số chữ số chia hết cho số trang từ 100 đến 500 thương chỉ có thể là 2 (vì thương là 3 cuốn sách sẽ có số trang phải hơn 1000_ số có 4 chữ số_).
Từ trang 1 đến trang 9 mỗi trang có 1 chữ số. Mỗi trang còn thiếu 1 chữ số để gấp 2 lần số trang.
Từ trang 10 đến 99, mỗi trang có số chữ số gấp 2 lần số trang.
Để số chữ số gấp 2 lần số trang thì từ trang 100 trở lên phải có 9 trang để bù vào số trang có 1 chữ số.
Quyển sách có  100+(9-1) = 108 (trang) 
Bài 7:
        Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số chia hết cho 9.
Số có 4 chữ số từ 1000 đến 9999
Các số chia hết cho 9 gồm: 1008; 1017; 1026; ; 9990; 9999
Dãy số trên cách đều nhau 9 đơn vị có số đầu là 1008 và số cuối là 9999
Các số chia hết cho 9 có:   (999-1008):9+1 = 1000 (số)
Trong đó xen kẻ 1 số chẵn thì 1 số lẻ, nên số lẻ có 4 chữ số chia hết cho 9 có:
1000 : 2 = 500 (số)
(hoặc ta tính số số hạng của dãy số: 1017; 1035; ; 9981; 9999 có:
(9999-1017):18+1= 500 (số))
Bài 8:
        Tính trung bình cộng của các số lẻ nhỏ hơn 2012.
Các số lẻ nhỏ hơn 2012, gồm:
1; 3; 5; .; 2009; 2011
Thường thì người ta tính TBC bằng cách lấy tổng các số đó chia cho số các số hạng. Nhưng với dãy số cách đều thì TBC của chúng  thì bằng trung bình cộng của số đầu và số cuối.
TBC của dãy số đó là:  (1+2011) : 2 = 1006 
Bài 9:
        Tính tổng các số lẻ nhỏ hơn 200.
Các số lẻ nhỏ hơn 120 là:  1; 3; 5; .; 197; 199.
Đây là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị, có số đầu là 1 và số cuối là 199
Số số hạng:  (199 – 1) : 2 + 1 = 100 (số)
Tổng chúng là:  (1+199) x 100 : 2 =  10 000
Bài 10:
        Hãy cho biết trong dãy số tự nhiên liên tiếp 1 ; 2 ; 3 ... 2009, có tất cả bao nhiêu chữ số 1.
-Ta xét các số từ 000 đến 999, có 1000 số có 3 chữ số chia đều cho 10 chữ số.
Số 1 có trong 1000 số này là:  1000 x 3 : 10 = 300 (số 1)
-Từ 1000 đến 1999, ta lại có thêm 1000 số 1 ở hàng nghìn.
Số 1 có trong 1000 số này là:  1000 + 300 = 1300 (số 1)
-Từ 2000 đến 2009 chỉ có 1 chữ số 1 ở 2001.
Số chữ số 1 có trong dãy số là:  300 + 1300 + 1 = 1601 (chữ số 1) 
Bài 11:
        Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà các chữ số có 1 chữ số 2
-Hàng nghìn: có 1 lựa chọn, 9 ở hàng trăm, 9 ở hàng chục, 9 ở hàng đơn vị.
Có    1x9x9x9= 729
-Hàng trăm, chục và đơn vị: Tương tự có có 8 lựa chọn hàng nghìn, 1 hàng trăm. 9 hàng chục, 9 hàng đơn vị.       Có 8x1x9x9x3= 1944
Tất cả:  729 + 1944 = 2673 (số) 
Bài 12:
        Hỏi có bao nhiêu chữ số có 4 chữ số mà trong đó có ít nhất một chữ số 2
Từ 1000 đến 9999 có 9000 số
-Không có chữ số 2: có 8 lựa chọn ở hàng nghìn (trừ 0 và 2), 9 lựa chọn ở hàng trăm, 9 lựa chọn ở hàng chục và 9 lựa chọn ở hàng đơn vị.
Vậy có: 8x9x9x9 =  5832 (số không có chữ số 2)
-Còn lại có chữ số 2:  9000 – 5832 = 3168 (số)
Số chữ số:     3 x 3168 = 9504 (chữ số) 
Bài 13:
        Cho dãy số : 2, 5, 8, 11, 14 , 17 , 98 , 101 , 104 , 107 , 110 ,
1.Tính tổng dãy số.
2.Tìm số hạng thứ 25 của dãy .
3.Xét xem số 56 , 75 , 113 có thuộc dãy số trên không , nếu có thì nó là thứ bao nhiêu của dãy?
1/.Đây là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, số hạng đầu là 2, số hạng cuối là 110.
Số số hạng:   (110 – 2 ) : 3 + 1 = 37 (số hạng)
Tổng dãy số là:  (2+110)x37:2 = 2072
2/.Số hạng thứ 25:   2+(25-1)x3= 74
3/.Ta thấy các số hạng của dãy đều chia 3 dư 2 (hay bớt đi 2 sẽ chia hết cho 3) và thương bé hơn thứ tự 1 đơn vị.
56 : 3 = 18 (dư 2) . Là số hạng thứ 18+1=19 của dãy số.
75 : 3 = 25 (không dư)   Loại.
113 : 3 = 37 (dư 2). Là số hạng thứ 37+1=38 của dãy số. 
Bài 14:   
         Cho dãy số : 1 ,   3 , 5 , 7 , 9,.,17 , 19 
a.      Xác định quy luật của dãy số .
b.     Viết tiếp 4 số hạng cuối cùng của dãy .
c.     Tính các số hạng của dãy.
a).Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị, có số đầu là 1 (dãy số lẻ bắt đầu từ 1).
b).Bốn số hạng tiếp theo 19 là:  21 ; 23 ; 25 ; 27
c).Số số hạng của dãy số:   (27 – 1) : 2 + 1 =  14 (số hạng) 
Bài 15:
        Một dãy phố có 50 nhà. Số nhà của 50 nhà đó được đánh là cá số chẵn liên tiếp. Biết tổng của 50 số nhà của dãy phố đó bằng 4950. Hãy cho biết số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng trong dãy phố đó? 
Cách 1:
Tổng của số nhà đầu tiên và cuối cùng:
4950 : (50:2) =  198
Hiệu của số nhà cuối cùng và số nhà đầu tiên:
2 x(50 – 1) = 98
Số nhà đầu tiên:
(198 – 98) : 2 = 50
Số nhà cuối cùng:
198 – 50 = 148
Cách 2:
Vì dãy nhà có 50 số (chẵn) nên trung bình cộng 2 số nhà ở giữa:
4950 : 50 = 99
Vậy 2 số nhà ở giữa đó là: 98 và 100
Ta tìm được dãy số:  50; 52; 54; ; 98; 100; .; 146; 148 
Bài 16: Tìm số có 4 chữ số
        Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số mà số tạo bởi 2 chữ số đầu lớn hơn số tạo bởi 2 chữ số cuối ?
Tìm các số abcd mà ab > cd  (a khác 0)
Nếu ab=10 thì cd có 10 giá trị từ 00 đến 09
Nếu ab=11 thì cd có 11 giá trị từ 00 đến 10
Nếu ab=12 thì cd có 12 giá trị từ 00 đến 11
Nếu ab=98 thì cd có 98 giá trị từ 00 đến 97
Nếu ab=99 thì cd có 99 giá trị từ 00 đến 98
Số cần tìm có:  10+11+12+.+98+99 =
             (10+99) x 90 : 2 = 4905 (số) 
Bài 22:  (DÃY SỐ KHÔNG CÁCH ĐỀU)
 Cho dãy số : 3, 18, 48, 93, 153, ...
a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy.
b) Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
a) Xét thấy dãy số theo quy luật:
Số hạng thứ I: 3 = 3 + 15 x 0
Số hạng thứ II: 18 = 3 + 15 x 1
Số hạng thứ III: 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 = 3 + 15 x (1 + 2)
Số hạng thứ IV: 93 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 = 3 + 15 x (1 + 2 + 3)
........
Số hạng thứ 100:
3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 +...+ 15 x 99 = 3 + 15 x (1 + 2 + 3 +...+ 99)
= 3 + 15 x (99 + 1) x 99 : 2 = 74253
b) 11703 = 3 + 15 x (1 + 2 +...+ n)
=> 15 x (1 + 2 +...+ n) = 11700
=> 1 + 2 +...+ n = 780
=> n x (n + 1) = 780 x 2
=> n x (n + 1) = 39 x 40
=> n = 39
Vậy: Số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy.
Bài 23:
    Bạn Nam viết một dãy số gồm 60 số chẵn liên tiếp mà số hạng lớn nhất là 1994. Hãy tìm xem bạn Nam viết dãy số này có số hạng bé nhất là số nào?
            Bài giải
Hai số chẵn liền nhau hơn kém nhau 2 đơn vị, giữa 60 số chẵn có số khoảng cách: 60 -1 = 59 (khoảng)
Số đơn vị của 59 khoảng cách:   2 x 59 = 118
Số hạng bé nhất là:  1994 – 118 = 1876
Đáp số:  1876
 Bài 34:
        Cho dãy số: 2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; 42 ; ... Số 10100 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
Ta thấy:
2=1x2 ; 6=2x3 ; 12=3x4 ; 20=4x5 ; 30=5x6 ; 42=6x7 ; ..
Mỗi số hạng là tích của 2 số tự nhiên liên tiêp mà 10100 = 100x101 
Nên 10100 là số hạng thứ 100 của dãy số trên. 
Bài 35:
        Tính trung bình cộng các số lẻ nhỏ hơn 2012
Các số lẻ nhở hơn 2012 là:  1; 3; 5; ..; 2009; 2011
Đây là dãy số cách đều nên trung bình cộng của chúng chính bằng trung bình cộng của số đầu và số cuối. 
Vậy trung bình cộng của chúng là  (1 + 2011) : 2 = 1006 
Bài 38:
        Thầy ơi cho em hỏi: Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 7
Số có 3 chữ số chia hết cho 3 gồm: 102; 105; 108; .; 996; 999
Có:   (999-102):3+1= 300 (số)
Số chia hết cho 3 và chia hết cho 7 thì chia hết cho 21 gồm:  105; 126;  966; 987
Có:   (987-105):21+1 = 43 (số)
Số có 3 chữ số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 7 có:  300 – 43 = 257 (số) 
Bài 39:
Tìm số tự nhiên x biết
1+2+3+...+x=500500
x là số hạng thứ x của dãy số tự nhiên nên:
500500 = (x+1).x : 2
x . (x+1) = 1001000
x và x+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp
Mà 1001000 = 1000 x 1001
Vậy x=1000 
Bài 41:
        Một bạn học sinh viết liên tiếp các số số tự nhiên mà khi chia cho 3 thì dư 2. Bắt đầu viết từ số 5 thành dãy số.Viết đến số thứ 100 thì phát hiện đã viết sai.Hỏi bạn đó đã viết sai số nào
Các số chia cho 3 dư 2 bắt đầu từ 5 là:  5;8;11;14;.
Thứ tự các số được tính  (a-2):3
Vậy số thứ 100 là:     (a-2):3 =100
a-2=300
a = 302 
Bài 43:
a)Hãy cho biết số có 3 chữ số thứ 579 là số nào?
Có nhiều cách lí giải, giới thiệu 1 cách:
Các số có 3 chữ số gồm có:  100; 101; .; 999
Số thứ nhất có 3 chữ số là 100 (số thứ nhất 100=99+1), số thứ 2 là 101 (số thứ hai 101=99+2), .
Nên số có 3 chữ số thứ 579 là:   99+579= 678
Đáp số:   678
b)Giữa 2 số chẵn có 8 số lẻ.vậy hiệu của 2 số đó là: 
Hiệu 2 số đó là:  8 x 2 = 16
c)Giữa hai số chẵn có 15 số lẻ khác.Vậy hiệu của hai số đó là:
Tương tự bài b. Hiệu hai số đó là: 15 x 2 = 30 
(Tôi nghĩ đề bài là: “Giữa hai số lẻ có 15 số lẻ khác. Vậy hiệu của hai số đó là:”. 
Nếu như vậy thì HIỆU sẽ là:  15 x 2 + 2 = 32)
Bài 44:
        Kết quả phép tính 9997 + 9593 + 9189 + ...+ 705 + 301 là
Thì đây là dãy số cách đều nhau 404 đơn vị.
Số số hạng là:   (9997-301):404+1 = 25 (số hạng)
Tổng chúng là:  (9997+301)x25:2 = 128 725 
Bài 45:
        Viết thêm 2 số hạng của dãy số sau: 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ;
Dãy số trên có quy luật là: lấy số thứ tự của số hạng nhân với chính nó.
1x1 ; 2x2 ; 3x3 ; 4x4 ; 5x5 ; 6x6 ; .... hai số tiếp theo là  7x7 ; 8x8.
Dãy số:  1 ; 4; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64
Bài 46:
        Tính tổng các số lẻ có 3 chữ số chia hết cho 5 ??
Số lẻ chia hết cho 5 khi có tận cùng là chữ số 5.
Số có 3 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 5 là 105, số lẻ lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5 là 995.
Hai số lẻ liền nhau chia hết cho 5 cách nhau 10 đơn vị.
Dãy số đó là: 105;115;125;135;985;995.
Dãy số trên có tất cả là: (995-105):10+1= 90 (số)
Tổng các số lẻ có 3 chữ số chia hết cho 5 là:
(105+995)x90:2= 49 500
Đáp số:  49 500 
Bài 48
    Hãy cho biết có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 2013 mà không chia hết cho 3?
Số tự nhiên nhỏ hơn 2013 là: 0;1;2;..;2011;2012. Có 2013 số
Dãy số nhỏ hơn 2013chia hết cho 3 là: 0; 3; 6; 9; 12; .; 2007; 2010
Dãy số này có:  (2010 – 0) : 3 + 1 = 671 (số hạng)
Vậy có:  2013 – 671 = 1342 (số không chia hết cho 3)
Bài 49
Tìm số tự nhiên x, biết:
1 + 2 + 3 + 4+....+ x = 2016
Theo dãy số cách đều, ta có:
(1+x).x : 2 = 2016
(1+x).x = 2016 x 2
(1+x).x = 4032
x và x+1 là 2 số tự nhiên liền nhau.
Mà  63 x 64 = 4032
Vậy x= 63
Bài 50
    Tùng tính tổng của các số lẻ từ 21 đến 99 được 2025. Không tính tổng đó em cho biết Tùng tính đúng hay sai?
Dãy số lẻ từ 21 đến 99 có số số hạng là:
(99 - 21) : 2 + 1 = 40 (số hạng)
Có 40 số hạng mà tổng bằng 2025 là số lẻ nên bạn Tùng đã tính sai
(Tổng của 40 số lẻ phải là một số chẵn)
Bài 51
Số nào sau đây: 1990 ; 1993 ; 1995 có thể là tích 3 số tự nhiên liên tiếp ? Giải thích vì sao?
 3 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất là 1 số chẵn và có 1 số chia hết cho 3.
Nên 1990; 1993 và 1995 không có số nào là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.
Quy luật
Bài 1:
Cho dãy số 2; 16; 42; 80; ; 560; 682; 
1. Hãy viết tiếp ba số hạng liền sau số 80.
2. Tìm số hạng thứ 20 của dãy số.
           Giải
Cách 1:  Quy luật 1
1,Ta thấy quy luật là
Số thứ nhất  1*1+1=2    số thứ tự x1+số thứ tự
Số thứ hai     2*7+2=16   số thứ tự *số lớn hơn 6 đơn vị (1+6)+số thứ tự
Số thứ ba      3*13+3=42   số thứ tự * số lớn hơn 6 đv(7+6)* số thứ  tự
Số thứ tư       4*19+4=80      tương tự như trên
Vậy 3 số tiếp theo là 5*25+5=130
                                     6*31+6=192
                                     7*37+7= 266
2, từ số thứ nhất đến số thứ 20 có hai mươi số suy ra có 19 khoảng cách mà mỗi khoảng cách là 6 đơn vị vậy số thứ 20 là:
                  20*(19*6+1)+20=2320
Cách 2:   Quy luật 2 
số hạng thứ nhất : 2 = 2x1 + 10x0 
             thứ hai :   16 = 2x(1+2) + 10x1
             thứ ba :  42 =  2x(1+2+3) + 10x(1+2)
             thứ tư : 80 = 2x(1+2+3+4) +10x(1+2+3)
Nếu gọi n là số hạng thứ n của dảy số ta có công thức tổng quát của số hạng thứ n :
số Thứ n  = 2xnx(n+1)/2 + 10xnx(n-1) = 6xnxn - 4xn = 2xn(3xn - 2)
Vậy 3 số hạng liền sau số 80 là:
THứ 5: = 2x5x(3x5 - 2) = 10x13 = 130
THứ 6: = 2x6x(3x6 - 2) = 12x16 = 192
Thứ 7: = 2x7x(3x7 - 2) = 14x19 = 266
=> số hạng thứ 20: = 2x20x(3x20 - 2) = 40x 58 = 2320
Bài 25:  
        Tổng của 2 số tự nhiên bằng 368. Tìm số lớn biết, nếu cùng bớt mỗi số đi 9 đơn vị thì số bé bằng 2/3 số lớn.
Cùng bớt đi mỗi số 9 đơn vị thì tổng sẽ còn:
368 – 9x2 = 350
Tổng số phần bằng nha:  2 + 3 = 5 (phần)
Số lớn là:  350 : 5 x 3 = 210
Bài 26:  
        Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 426 số lớn chia số bé được thương bằng 2 và không có dư
Tổng số phần bằng nhau: 1+2= 3 (phần)
Số bé;  426 : 3 = 142
Số lớn:  426 – 142 = 284
Bài 27: 
Tổng 3 số là 1329.Biết 2/3 số 1 =4/5 số 2,6/7 số 2=8/9 số 3.Tìm 3 số đó.
2/3 = 4/6
Số thứ nhất có 6 phần thì số thứ hai có 5 phần.
24/28 (6/7) số thứ hai bằng 24/27 (8/9) số thứ ba.
Số thứ hai có 28 phần thì số thứ ba có 27 phần.
Như vậy nếu số thứ hai có 5 phần thì số thưa ba có:
5 : 28 x 27 = 135/28 (phần)
Tổng số phần bằng nhau:
6 + 5 + 135/28 = 443/28
Số thứ nhất:   1329 : 443/28 x 6 = 504
Số thứ hai :    1329 : 443/28 x 5 = 420
Số thứ ba :     1329 : 443/28 x 135/28 = 405 
Bài 3:                                                              
Cho A= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 +  ... + 1/n . biết A= 49/50 . Tìm n
Bài 4:
        Trung bình cộnng của 7 số là 49. Nếu cộnng thêm 1 vào số đầu tiên, 2 vào số thứ hai, 3 vào số thứ 3, cứ như thế thêm 7 vào số thứ 7 thi trung bình cộng của các số mới là bao nhiêu?
Tổng của 7 số là:  49 x 7 = 343
Tổng các số từ 1 đến 7 là: (1+7)x7:2= 28
Tổng mới là: 343 + 28 = 371
Trung bình cộng các số mới là:  371 : 7 = 53 
Bài 5:
        Một đội gồm 3 tổ tham gia sửa đường. Tổ 1 sửa được nhiều hơn trung bình cộng số mét đường của cả 3 tổ là 12m. Tổ 2 sửa được nhiều hơn trung bình cộng số mét đường của tổ 2 và tổ 3 là 8m. Tổ 3 sửa được 60m đường. Hỏi cả đội đó sửa được bao nhiêu mét đường?
Trung bình cộng của tổ 2 và tổ 3:    60+8 = 68 (m)
Tổ 2 sửa được:  68 + 8 = 76 (m)
Trung bình cộng cảu cả 3 tổ:  (60 + 76 + 12): 2 =  74 (m)
Tổ 1 sửa được:  74 + 12 = 86 (m)
Cả ba tổ sửa được:   86 + 76 + 60 =  222 (m)
Đáo sô:  222 m. 
Bài 6:
        Trung bình cộng của 3 phân số là 13/36. Tăng phân số thu nhất lên 3 lần thì trung bình cộng của 3 phân số đó là 25/36, phân số thứ 2 lớn hơn phân số thứ 3 là 1/12. Tìm mỗi phân số?
Tổng của 3 phân số là:  13/36 x 3 = 39/36
2 lần phân số thứ nhất:  25/36 x 3 - 39/36 = 36/36.
Phân số thứ nhất:                      36/36 : 2 = 18/36 = 1/2
Tổng phân số thứ hai và phân số thứ ba:            39/36 - 18/36 = 21/36
(trở về bài toán Tông và Hiệu)
Phân số thứ ba: (21/36 - 1/12) : 2 = 9/36 = 1/4
Phân số thứ hai:            9/36 + 1/12 = 12/36 = 1/3
Đáp số:     1/2  ;  1/3  và  1/4 
Bài 7:
        Tìm số tự nhiên  C biết số C bé hơn trung bình cộng của số C và các số 68,72,99 là 14 đơn vị.
Do C bé hơn TBC của 4 số 14 đơn vị nên tổng của 3 số đó bớt đi 14 đơn vị sẽ gấp 3 lần TBC của 4 số.
Trung bình cộng của 4 số là:   (68+72+99-14):3 = 75
Số C là:   75 – 14 = 61
Đáp số:  61 
Bài 8:
        Tìm số tự nhiên A, biết số A lớn hơn trung bình cộng của A và các số 38; 45; 67 là 9 đơn vị.
Do A lớn hơn trung bình cộng của A và 3 số còn lại 9 đơn vị nên trung bình cộng của cả 4 số là:
(38+45+67+9) : 3 = 53
Số A là:   53 + 9 = 62
Bài 15:
        Tìm trung bình cộng của tất cả các số có hai chữ số , mà chia hết cho 4
Các số có hai chữ số chia hết cho 4 gồm: 12; 16; 20; .; 92; 96.
Trung bình cộng của dãy số cách đều bằng với trung bình cộng của số đầu và số cuối của dãy số đó.
Trung bình cộng của tất cả các số có hai chữ số, mà chia hết cho 4 là:
(12+96):2 = 54
Đáp số:   54
Bài 16:
        Trung bình cộng của n số là 80, biết 1 trong các số đó là 100. Nếu bỏ số 100 thì trung bình cộng các số còn lại là 78. Tim n.
100 nhiều hơn TBC của n số là:  100 – 80 = 20
Do 20 này lấy đi ở các số còn lại nên TBC các số còn lại chỉ còn 78. Nhỏ hơn TBC ban đầu là:
80 – 78 = 2
n là:    20 : 2 + 1 = 11 (số)
Đáp số:   n = 11
Bài 17:
        Trung bình cộng tuổi bố, mẹ, Mai và em là 21 tuổi. Nếu không tính tuổi của Mai thì trung bình cộng tuổi của 3 người còn lại là 25 tuổi. Biết mai hơn em bạn ấy 4 tuổi. Vậy, Mai bao nhiêu tuổi........., em Mai bao nhiêu tuổi.........
Tổng số tuổi của bố, mẹ, Mai và em là:
21 x 4 = 84 (tuổi)
Tổng số tuổi của bố, mẹ và em là:
25 x 3 = 75 (tuổi)
Tuổi của Mai là:
84 - 75 = 9 (tuổi)
Tuổi của em Mai là:
9 - 4 = 5 (tuổi)
Đáp số: Mai 9 tuổi; em Mai: 5 tuổi
Tính TUỔI_Tính NGÀY
Bài 18:        
    Hiện nay tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con, 4 năm trước tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Tính tuổi mẹ và tuổi con hiện nay? 
Bài 19:        
        Năm nay tuổi bố gấp 3 lần tuổi con, 12 năm trước, tuổi bố gấp 7 lần tuổi con. Hỏi tuổi hiện nay của mỗi người ? 
TÍNH NHANH
Bài 8:
Tính nhanh:         2x3+3x4+4x5+5x6+....+29x30 
            Giải
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 29x30
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 29x30x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 29x30x(31-28)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 29x30x31 – 28x29x30.
A x 3 = 29x30x31
A = 29x30x31 : 3
A = 8990
TOÁN KHÓ
Bài1: Tổng của các tích 2 số tự nhiên liên tiếp
        Tính tích     S =  1x2 + 2x3 + 3x4 +  + 11x12 + 12x13
                Giải
S =  1x2 + 2x3 + 3x4 +  + 11x12 + 12x13
3S=1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3+ . + 11x12x3 + 12x13x3
Ta lấy K= 1x2x3 +2x3x4  + 3x4x5 +    + 11x12x13 + 12x13x14
 -     3S  = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3+   + 11x12x3  + 12x13x3
            ------------------------------------------------------------------------------------
 K – 3S =     0     + 2x3x1  + 3x4x2 +  .. + 11x12x10 + 12x13x11
K – 3S =   K – 12x13x14
Từ đó suy ra:   3S = 12x13x14
S = 4x13x14 = 728  
Bài 2: Tổng các phân số
        Cho A= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 
                Giải
        Cách 1:
        Cách 2:
Bài 3: Tổng các phân số
        Cho A= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 
                Giải
Bài 4: Tổng các phân số
        Cho A= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 +  ... + 1/n . Biết A= 49/50 . Tìm n.
                Giải
Bài  6:
Tính    A =    2008+2007/2+2006/3+2005/4+...+2/2007+1/2008
                       1/2 + 1/3 + 1/4 +..+ 1/2008 + 1/2009
Ta có tử số bằng: 2008+2007/2+2006/3+2005/4+..+2/2007+1/2008
(Phân tích 2008 thành 200