Các bài toán mở rộng về tứ giác

Các bài toán mở rộng về tứ giác
I. Bổ sung kiến thức
1/ Định nghĩa:
 Trong mặt phẳng, Tứ giác là hình gồm bốn đoạn thẳng liên tiếp và khép kín, trong đó bất kì 2 doạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên 1 đường thẳng.
Theo định nghĩa trên, Hình a, hình b, hình c dưới đây đều là tứ giác. 
2/ Các loại tứ giác
Tứ giác đơn và tứ giác kép
Tứ giác có thể là tứ giác đơn (không có cặp cạnh đối nào cắt nhau), hoặc tứ giác kép (có 2 cạnh đối cắt nhau). Tứ giác đơn có thể lồi hay lõm.
Tứ giác lồi và tứ giác lõm
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm gọn trong một nửa mặt phẳng có bờ chứa bất kỳ cạnh nào của nó. Ngược lại, trong tứ giác lõm luôn tồn tại ít nhất một cạnh mà đường thẳng chứa cạnh đó chia cắt tứ giác thành hai phần.
Nếu lấy đường thẳng xy chạy qua AB thì cả 3 hình a,b,c đều thoả mãn định nghĩa “Tứ giác”; Nếu lấy đường x’y’ qua BC hoặc AD ta lại có sự phân loại:
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thảng chứa bất kì 1 trong 4 cạnh của tứ giác.. 
Tứ giác không lồi, ngược lại là tứ giác có 2 phần nằm ở 2 bờ của đường thảng chứa 1 trong 4 cạnh của tứ giác. Đó là hình b ( tứ giác lõm) và hình c (TG chéo)
Bảng phân loại tứ giác và liên quan giữa các loại tứ giác
 Các dạng ở mức thấp hơn là trường hợp đặc biệt của các dạng nằm ở mức trên.
Riêng tứ giác lồi được phân loại như sau:
Theo đặc điểm giữa các cạnh, các góc
Hình thang là hình có 2 cạnh đối song song, 2 cạnh còn lại không song song.
Hình thang vuông: hình thang có một góc vuông.
Hình thang cân: Hinh thang có 2 cạnh bên độ dài bằng nhau và 2 góc cuối cạnh của đường song song bằng nhau, à 2 đường chéo bằng nhau.
Hình thang cân đều: Hinh thang cân có 2 cạnh bên độ dài bằng nhau và = cạnh đáy nhỏ,
Hình bình hành: 2 cặp cạnh đối song song; à các cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Hình thoi: 4 cạnh có cùng chiều dài; à các cạnh đối song song, cặp góc đối bằng nhau và đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường. (Hình thoi là một trường hợp đặc biệt của cả hình diều và hình bình hành).
Hình chữ nhật: Các góc bằng 90 độ; à các cạnh đối song song và bằng nhau, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm và bằng nhau.
 Hình vuông: có bốn cạnh bằng nhau, mỗi góc bằng 90 độ; à các cạnh đối song song, đường chéo thì vuông góc tại trung điểm và có cùng chiều dài. (Hình vuông là trường hợp đặc biệt của cả hình chữ nhật và hình thoi).
 Hình diều (lồi): có hai cạnh kề bằng nhau và 2 cạnh còn lại bằng nhau; à1 cặp góc đối bằng nhau và 2 đường chéo vuông góc nhau. 
Khi cặp góc đối bằng nhau và = 90 độ thì hình diều lồi này vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp đường tròn (gọi là tứ giác 2 tâm). 
Khi hình diều có 1 góc > 2v thì trở thành tứ giác lõm (Hình diều lõm)
Theo đặc điểm nội, ngoại tiếp
Tứ giác nội tiếp: có 4 đỉnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp
Tứ giác ngoại tiếp: tứ giác có các cạnh tiếp xúc với đường tròn nội tiếp.
Tứ giác có 2 tâm: Là tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp. 
Tứ giác lồi hình diều là TG 2 tâm khi có 2 góc đối diện bằng nhai và = 90 độ. Hình bênà
Hình vuông là dạng đặc biệt của tứ giác loại này với 2 tâm trùng nhau
II. Bài tập
1/ Các bài toán chung cho tứ giác:
Bài 1: a/ Chứng minh rằng, tổng 4 góc trong của mọi tứ giác đều bằng 4v. 
 b/ Tính tổng các góc ngoài kề với 4 góc trong tương ứng củe tứ giác lồi; tứ giác lõm ?
Giải:
a/ Mọi tứ giác đều có thể kẻ được 1 đường nối 2 đình đối diện chia tứ giác thành 2 tam giác. è Tổng 4 góc trong của mọi tứ giác đều bằng 4v
b/ *TH tứ giác lồi ABCD: góc ngoài kề A2 là A 1 = A3 (vì đối đỉnh)
ÐA1 + ÐA3 = Ð4v - 2 ÐA2. 
Tương tự ta cũng có
ÐC1 + ÐC3 = 4v - 2 ÐC2
ÐB1 + ÐB3 = 4v - 2 ÐB2
ÐD1 + ÐD3 = 4v - 2 ÐD2.
 èTổng các góc ngoài kề 4 góc trong tương ứng của tứ giác ABCD là: 16v - 8v = 8v
*TH Tứ giác lõm A'B'C'D' có góc ngoài C'2 không phải là góc kề bù (Tạm gọi là kề khuyết) thì : ÐC'2 = 4v - (ÐC'3 + ÐC'1).
3 góc nhọn còn lại tương tự như tứ giác lồi; è Nên tổng các góc ngoài kề với 4 góc trong của tứ giác lõm là 16v - 8v + (ÐC'3 + C'1) = 8v + Góc lõm C’
Bài 2 
 Tính góc X trong các tứ giác a, b, c Hình bên à
H D : Áp dụng bài 1 để tính
a/ x = 500; b/ x= 115o
c/ x = 750
Bài 3
Trên 1 cạnh nào đó của tứ giác lồi ABC D và/hoặc tứ giác lõm A’B’C’ D’ hãy dựng 1 tam giác có diện tích bằng diện tích tứ giác ấy. 
Giải
* TH tứ giác lồi ABCD: Cách dựng
Nối đỉnh đối diện AC; Từ B kẻ BE // AC ( EÎ DC kéo dài) à có hình thang ACBE.
 Nối AE thành đường chéo của hình thang è ∆AED là tam giác cần dựng thoả mãn đề
Chứng minh: Trong hình thang ACEB , hai đường chéo AE và BC tạo ra 2 tam giác có diện tích bằng nhau, chúng bù cho nhau để SAED = S ABCD
* TH tứ giác lõm A’B’C’D’: Dựng và chứng minh tương tự TH tứ giác lồi trên
Bài 4: Dựng 1 tam giác có diện tich bằng diện tích 1 tứ giác chéo cho trước ABCD
H D: Trên DB lấy HK = HD; 
 Nối CK Ta có tứ giác lõm ABKC có diện tich bằng diện tich tứ giác chéo ABCD vì
 S H DC = S HKC (đáy bằng nhau, ch cao chung)
Tiép tục tực hiện như phần b/ Bài 3 với 1 tứ giác chéo, ta có 
 S ACE = S ABCD
2/ Bài toán cho 1 số dạng tứ giác
Bài 5 Một lô đất hình tứ giác lồi, có các cạnh liên tiếp nhau đo được là 3 m; 4m; 5m; 6m , cạnh 3m và 4m vuông góc nhau. Tính diện tích lô đất đó
HD Giải
Cách 1: Chia Tứ giác thành 3 hình tam giác, ∆ABC là tam giác vuông
 S ABC = ½(3x4) = 6 (m2)
∆CAD là tam giác cân (AC=CD=5m)
CH vừa là đường cao vừa là trung tuyến à AH = HD = 3m à SCA D = ½(6x 4) = 12m2
 è S ABCD = 6 + 12 = 18 (m2)
Cách 2: Vận dụng như Bài 3 chuyển thành ABE có diện tích bằng DT tứ giác ABC D
 è S ABCD = ½ ( 3 x 12) = 18 (m2)
 Bài 6
Hãy vẽ 1 tứ giác không phải là hình bình hành có 1 cặp cạnh đối diện bằng nhau và 1 cặp góc đối diện bằng nhau.
Giải :Trên đoạn BD vẽ hai cung chứa góc =α∘ (α<45∘)
Lấy A bất kì thuộc cung chứa góc sao choAB>AD ( trường hợp ngược lại cũng đúng )
Lấy D làm tâm, Vẽ đường tròn (D), bán kính AB. cắt cung chứa góc tại hai điểm
( Trường hợp không cắt tại hai điểm thì điều chỉnh cung chứa góc nhỏ hơn  45∘ là hợp lý )
Tồn tại một trong hai điểm ( điểm E ) cho tứ giác ABED là hình bình hành , điểm còn lại là C , do tính duy nhất của hình bình hành khi đã xác định ba điểm A,B,D
Vậy tứ giác ABCD thoả mãn yêu cầu đề bài và là tứ giác cần tìm 
PHH ST & biên soạn b ổ sung 11/2015