Các bài toán hình không gian cho thi đại học

CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC
1 - Khối chóp
Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều vàƒSAD = 900. J là trung điểm SD. Tính theo a thể tích khối tứ diện ACDJ và khoảng cách từ D
đến mặt phẳng (ACJ).
Giải:
A
B
D
C
I
S
J
+
{
AD ⊥ SA
AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB)
+ Gọi I là trung điểm AB thì AD ⊥ SI (1). Mà ∆SAB đều nên SI ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥ (ABCD). Do đó d(J, (ACD))= 1
2
d(S, (ABCD))= 1
2
SI = a
p
3
4
Từ đó suy ra VACDJ =
1
3
.
1
2
.a2.
a
p
3
4
= a
3p3
24
.
∆BCI vuông tại B nên CI2 =CB2+BI2 = 5a
2
4
∆SIC vuông tại I nên SC2 = SI2+ IC2 = 2a2
Tương tự SD2 = SC2 = 2a2
∆SCD có CJ là đường trung tuyến nên CJ2 = SC
2+CD2
2
− SD
4
4
= a2
Xét ∆JAC có JA = ap
2
;AC = ap2;CJ = a nên tính được cosA = 3
4
Từ đó sinƒJAC = p7
4
nên dt(JAC)= 1
2
.
ap
2
.
p
7
4
= a
2p7
8
Vậy d(D, (JAC))=
3.
a3
p
3
24
a2
p
7
8
= a
p
21
7

Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (là
trung điểm H của DI). Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với
K thuộc AC thì chỉ ra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC.
Bài 1.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2p3a,BD =
2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
a
p
3
4
, tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
 1
Giải:
D A
C B
O
S
H
K
I
Từ giả thiết AC = 2ap3;BD = 2a và AC,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi
đường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ap3;BO = a, do đóƒABD = 60o hay tam
giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO⊥ (ABCD).
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB,K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB
và DH = ap3;OK //DH và OK = 1
2
DH = a
p
3
2
⇒OK ⊥ AB⇒ AB⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của
O lên SK ta có OI ⊥ SK ;AB ⊥OI⇒OI ⊥ (SAB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng
(SAB). Tam giác SOK vuông tại O,OI là đường cao ⇒ 1
OI2
= 1
OK2
+ 1
SO2
⇒ SO = a
2
Diện tích
đáy SABCD = 4S∆ABO = 2.OA.OB= 2
p
3a2; đường cao của hình chóp SO = a
2
.
Thể tích khối chóp S.ABCD :VS.ABCD =
1
3
SABCD .SO =
p
3a3
3

Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3cm , các cạnh SA =
SB= SC = 3cm. Tam giác SBD có diện tích bằng 6cm2 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Giải:
D A
C B
O
S
H
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD) suy ra H nằm trên BD (Vì SA = SB== SC,BD là trung
trực của AC). Do đó SH đường cao của hình chóp cũng là đường cao của tam giác SBD; Gọi O
là giao điểm của AC và BD. Vì SA = SC =DA =DC nên SO =DO suy ra tam giác SBD là tam
giác vuông tại S. Vì dt(SBD)= 6 và SB= 3 nên SD = 4; suy ra BD = 5,SH = 12
5
.
ABCD là hình thoi có AD = 3,DO = 5
2
nên AO =
p
11
2
suy ra dt(ABCD)= 5
p
11
2
.
 2
VS.ABCD =
1
3
SH.dt(ABCD)= 2p11.
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng 2
p
11(cm3). 
Bài 1.4. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a (với a> 0); SA tạo với đáy (ABC) một góc bằng 600.
Tam giác ABC vuông tại B,ƒACB = 300.G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB)
và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
Giải:
A
C
B
KG
S
Gọi K là trung điểm BC. Ta có SG ⊥ (ABC);ƒSAG = 600,AG = 3a
2
.
Từ đó AK = 9a
4
;SG = 3a
p
3
2
.
Trong tam giác ABC đặt AB= x⇒ AC = 2x;BC = xp3.
Ta có AK2 = AB2+BK2 nên x= 9a
p
7
14
Vậy VS.ABC =
1
3
SG.dt(ABC)= 243
112
a3. 
Bài 1.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác
cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 450, góc giữa mặt phẳng
(SAB) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách
giữa hai đường thẳng CD và SA bằng a
p
6.
Giải:
A
B C
D
M
NH
S
P
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác SAB
cân tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc
với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: á(SA, (ABCD))=ƒSAH = 450 ⇒ SA = SHp2.á((SAB), (ABCD))= á(SM,MH)=ƒSMH = 600 ⇒ SM = SH. 2p
3
.
 3
Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và CD suy ra NP = ap6. Ta có SH.MN =NP.SM ⇐⇒ SH.AB= ap6.SH ⇐⇒ AB= 2p2a
Trong tam giác SAM ta có SA2 = AM2+SM2 ⇐⇒ 2.SH2 = 4SH
2
3
+2a2 ⇐⇒ SH = ap3.
Vậy VS.ABCD =
1
3
SH.dt(ABCD)= a
p
3.8a2
3
= 8
p
3a3
3
. 
Bài 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,BC = 2a. Cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích khối
chóp H.ACD theo a và côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Giải:
A
B C
D
S
H
E
K
Kẻ HE//SA(E ∈ AB)⇒HE⊥ (ABCD).
Trong tam giác SAB có AB2 =BH.SB⇒ BH
SB
= AB
2
SB2
= 1
2
= HE
SA
⇒HE = a
2
Diện tích ∆ACD là S∆ACD = 12AD.CD = a2 ⇒ thể tích H.ACD là VH.ACD = 13HE.S∆ACD = a
3
6
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ HA mà HA ⊥ SB nên HA ⊥
(SBC) tương tự gọi K là hình chiếu của A trên SD thì AK ⊥ (SCD) do vậy góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa AH và AK .
trong tam giác vuông SAB có
1
AH2
= 1
AB2
+ 1
SA2
⇒ AH = a
p
2
2
,SA2 = SH.SB⇒ SH = a
p
2
2
tương tự AK = 2ap
5
,SK = ap
5
cosƒBSD = SB2+SD2−BD2
2.SB.SD
= SH
2+SK2−HK2
2.SH.SK
⇒HK2 = a
2
2
Trong ∆AHK có cosƒAHK = AH2+AK2−HK2
2.AH.AK
=
p
10
5
> 0 ⇒ cos( á(SBC), (SCD))= p10
5

Bài 1.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác
cân tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 600 và cách
đường thẳng AB một khoảng là a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải:
 4
AB C
D
H
I
S
K
Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và CD Do SAB cân tại S nên SH ⊥ AB mà (SAB)⊥ (ABCD)
do đó SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CD,HI ⊥ CD nên CD ⊥ (SHI), kẻ HK ⊥ SI,CD ⊥ HK nên HK ⊥
(SCD)⇒HK = d(H, (SCD))= d(AB, (SCD))= a
CD ⊥ (SHI)⇒
HI⊥CD
SI⊥CD
CD = (SCD)∩ (ABCD)
⇒ ( á(SCD), (ABCD)= (àHI,SI)=SIH = 600
Trong ∆HKI có HI = HK
sin600
= 2ap
3
=BC. Trong ∆HSI có SH =HI.tan600 = 2a
diện tích ABCD là SABCD =BC2 =
4a2
3
Thể tích S.ABCD là VS.ABCD =
1
3
SH.SABCD =
8a3
9
. 
Bài 1.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn AB = 2a, BC =
a
p
2, BD = ap6. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của
tam giác BCD. Tính theo α thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường
thẳng AC và SB bằng a.
Giải:
D
C
A
B
O
M
H
S
K
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD),M là trung điểm CD và O là tâm
của đáy ABCD. Do AO là trung tuyến của tam giác ABD nên AO2 = AB
2+AD2
2
−BD
2
4
= 3a
2
2
⇒
AO = a
p
6
2
⇒ AH = AO+ AO
3
= 2a
p
6
3
BM2 = BD
2+BC2
2
− CD
2
4
= 6a
2+2a2
2
− 4a
2
4
= 3a2 ⇒BM = ap3⇒BH = 2a
p
3
3
 5
Ta có AH2+BH2 = 4a2 = AB2 ⇒ AH⊥BH, kết hợp với AH vuông góc với SH ta được AH ⊥ (SHB).
Kẻ HK vuông góc với SB, theo chứng minh trên ta được AH ⊥ (SHB) suy ra AH ⊥HK ⇒HK
là đoạn vuông góc chung của AC và SB suy ra HK = a.
Trong tam giác vuông SHB ta có
1
HK2
= 1
SH2
+ 1
HB2
⇒ SH = 2a
Ta có VS.ABCD =
1
3
SH.SABCD =
1
3
SH.4.SOAB =
4
3
SH.
1
2
OA.BH = 4
p
2a3
3

2 - Khối lăng trụ
Bài 2.1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A1
cách đều ba điểm A,B,C. Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy một góc α. Hãy tìm α , biết
thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 bằng 2
p
3a3.
Giải:
A
B
C
I
HG
A1
B1
C1
Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên SABC = a2
p
3
Mặt khác A1A = A1B= A1C⇒ A1.ABC là hình chóp tam giác đều đỉnh A1.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có A1G là đường cao.
Trong tam giác ABC có AG = 2
3
AH = 2a
p
3
3
Trong tam giác vuông A1AG có:àA1AG =α;A1G = AG.tanα= 2ap33 .tanα.
Thể tích khối lăng trụ V = A1G.SABC = 2
p
3a3 ⇒ tanα=p3⇒α= 60o. 
Bài 2.2. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, gócƒBAC = 1200 , cạnh bên BB′ = a . Gọi I là trung điểm của CC′. Chứng minh tam giác AB′I
vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′I).
Giải:
 6
AB C
A′
B′ C′
I
Ta có BC = ap3. Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ACI,ABB′,B′C′I
Suy ra AI =
p
5
2
a,AB′ =p2a,B′I =
p
13
2
a
Do đó AI2+AB′2 =B′I2 Vậy tam giác AB′I vuông tại A
SAB′I =
1
2
AI.AB′ =
p
10
4
a2, SABC =
p
3
4
a2. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′I). Tam
giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB′I.
suy ra SA′BI cosα= SABC⇔
p
10
4
cosα=
p
3
4
⇔ cosα=
√
3
10

Bài 2.3. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a,AC = 2a,AA1 = 2a
p
5 vàƒBAC = 1200. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng
cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
Giải:
A
B
C
A1
B1
C1
M
+ Ta có A1M2 = A1C21+C1M2 = 9a2, BC2 = AB2+AC2−2AB.AC.cos1200 = 7a2;
BM2 =BC2+CM2 = 12a2; A1B2 = A1A2+AB2 = 21a2 = A1M2+MB2
⇒MB vuông góc với MA1
+ Hình chóp MABA1 và CABA1 có chung đáy là tam giác ABA1 và đường cao bằng nhau nên
thể tích bằng nhau.
⇒ V =VMABA1 = VCABA1 =
1
3
AA1.SABC =
1
3
a3
p
15
⇒ d(a, (MBA1) )= 3VSMBA1
= 6V
MB.MA1
= a
p
5
3

 7
Bài 2.4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy bằng 300 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc
đường thẳng B1C1. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AA1 và B1C1 theo a.
Giải:
A1 B1
C1
H
A
C
B
D
àAA1H = 300, AH = AA1.sin300 = a2
Thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1: V = AH.dt(A1B1C1)= a
3p3
8
∆AA1H vuông, A1H = a.cos300 = a
p
3
2
. Do ∆A1B1C1 đều cạnh a,H thuộc B1C1 và A1H = a
p
3
2
nên A1H⊥B1C1
Có AH⊥B1C1 do đó B1C1⊥(AA1H). Kẻ đường cao HK của ∆AA1H thì HK chính là khoảng cách
giữa AA1 và B1C1
Ta có AA1.HK = AH.A1H, ⇒HK = A1H.AHAA1
= a
p
3
4
. 
Bài 2.5. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc
của A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P)
chứa BC và vuông góc với AA′, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
a2
p
3
8
. Tính
thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a.
Giải:
A
B
C
M
O
A′
B′
C′
H
Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA′, Khi đó (P)≡ (BCH).
Do gócàA′AM nhọn nên H nằm giữa AA′. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH.
 8
Do tam giác ABC đều cạnh a nên AM = a
p
3
2
,AO = 2
3
AM = a
p
3
3
Theo bài ra SBCH =
a2
p
3
8
⇒ 1
2
HM.BC = a
2p3
8
⇒HM = a
p
3
4
,
AH =
p
AM2−HM2 =
√
3a2
4
− 3a
2
16
= 3a
4
Do hai tam giác A′AO và MAH đồng dạng nên
A′O
AO
= HM
AH
suy ra A′O = AO.HM
AH
= a
p
3
3
a
p
3
4
4
3a
= a
3
Thể tích khối lăng trụ: V = A′O.SABC =
1
2
A′O.AM.BC = 1
2
a
3
a
p
3
2
a= a
3p3
12
. 
3 - Khối tròn xoay
Bài 3.1. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a
p
2.
a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng α . Tính
khoảng cách từ trục đến MN.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ
Giải:
C
A
B
O
M
N′
O′
A′
B′
C′
N
H
a) Kẻ đường sinh NN ′ ta có àNMN ′ =α, kẻ OH⊥MN ′ thì OH bằng khỏang cách giữa trục OO′
và MN.
Ta có: MN ′ =NN ′.cotα= a.p2.cotα
∆OMH vuông : OH2 =OM2−MH2 = a2− a
2
2
cot2α= a
2
2
(2−cot2α)
⇒OH = a
√
2−cot2α
2
b) Gọi x là cạnh của tam giác đều ngọai tiếp đường tròn đáy của hình trụ.
Ta có: O′N =R = 1
3
AN = 1
3
x
p
3
2
= x
p
3
6
⇒ x= 6Rp
3
= 6ap
3
VABC.A′B′C′ =
x2
p
3
4
.OO′ = 36a
2p3
12
.a
p
2= 3a2.p6.
 9
Sxq = 3x.OO′ = 18ap
3
.a
p
2= 6a2p6. 
Bài 3.2. Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là α .
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.
b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB.
Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này.
Giải:
O
S
A
B
H
K
a) Tính V và Sxq.
∆SAO vuông : SO = a.sinα,AO = a.cosα
V = 1
3
pi.AO2.SO = 1
3
pi.a3.cos2α.sinα
Sxq=pi.AO.SA =pi.a2.cosα
b) + Tính SSAB
Kẻ OH⊥AB⇒ SH⊥AB, do đóƒSOH = 600
∆SOH vuông :OH = SO.cot.600 = a
p
3.sinα
3
AOH vuông : AH2 = AO2−OH2 = a2.cos2α− 3a
2.sinα
9
⇒ AH = ap
3
√
3cos2α−sin2α
Vậy SSAB =
1
2
AB.SH = 2a
2.sinα
√
3cos2α−sin2α
3
+ Tính d(O, (SAB))
Kẻ OK⊥SH⇒OK⊥(SAB)
OKH vuông : OK =OH.sin600 = a
p
3sinα
3
.
p
3
2
= a.sinα
2

Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh bên SA vuông
góc với đáy.
a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp SABCD.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt AB,SC,SD lần lượt tại B′,C′,D′.
Chứng tỏ rằng bảy điểm A,B,C,D,B′,C′,D′ cùng nằm trên một mặt cầu.
Giải:
 10
AB C
D
S
B′
D′
O
C′
I
a) Ta có :
BC⊥AB
BC⊥SA
}
⇒BC⊥SB
Tương tự CD⊥SD
Vậy các điểm A,B,D đều nhìn đọan SC dưới một góc vuông, do đó tâm mặt cầu ngọai tiếp hình
chóp S.ABCD là trung điểm I của SC.
b)Ta có : AC′⊥SC tại C′ AB′⊥SC và AB′⊥BC ( vì BC⊥(SAB)) nên AB′⊥(SBC)⇒ AB′⊥B′C
Tương tự AD′⊥D′C
Vậy các điểm B′,C′,D′,D,B cùng nhìn đọan AC dưới một góc vuông, do đó bảy điểm A,B,C,D,B′,C′,D′
cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC. 
4 - Bài tập tự luyện có đáp số
1. (CĐ 2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB= ap2,SA =
SB = SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối
chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
* Đáp số: V =
p
3a3
3
,R = 2a
p
3
3
2. (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, tam giác A′AC vuông
cân, A′C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB′C′ và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (BCD′) theo a.
* Đáp số: V = a
3p2
48
,d = a
p
6
6
3. (B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a,AB = a. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính
thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
* Đáp số: V = 7
p
11a3
96
4. (A 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường
thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
* Đáp số: V = a
3p7
12
, g= a
p
42
8
 11
5. (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AB = a,SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi
M là trung điểm của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a.
* Đáp số: V = a
3p3
36
6. (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AB = BC = 2a;
hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
* Đáp số: V = a3p3,d = 2a
p
39
13
7. (B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =
a,AD = ap3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao
điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể
tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
* Đáp số: V = 3a
3
2
,d = a
p
3
2
8. (D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a,BC = 4a;
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2ap3 và SBC = 300. Tính
thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
* Đáp số: V = 2p3a3,d = 6a
p
7
7
9. (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = ap3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
* Đáp số: V = 5
p
3a3
24
,d = 2
p
3ap
19
10. (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a;
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,AH =
AC
4
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và
tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
* Đáp số: V = a
3p14
48
11. (CĐ 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt
phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng
SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
* Đáp số:
a3
p
5
6
12. (B 2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB= a, góc giữa hai mặt
phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A′BC. Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
* Đáp số: V = 3a
3p3
8
,R = 7a
12
 12
13. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a,SA = ap2. Gọi M,N và P lần
lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB và CD. Chứng minh đường thẳng MN vuông góc
với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP.
* Đáp số: V = a
3p6
48
14. (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB =
AD = 2a,CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm
của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (CSI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD),
tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
* Đáp số: V = 3
p
15a3
5
15. (B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có BB′ = a, góc giữa đường thẳng BB′ và
mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C vàƒBAC = 600. Hình chiếu vuông
góc của điểm B′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích khối tứ diện A′ABC theo a.
* Đáp số: V = 9a
3
208
16. (D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a,AA′ = 2a,A′C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A′C′, I là giao điểm của
AM và A′C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (IBC).
* Đáp số: V = 4a
3
9
,d = 2a
p
5
5
17. (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,ƒBAD =ƒABC = 900,AB =
BC = a,AD = 2a,SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của SA,SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp
S.BCNM theo a.
* Đáp số: V = a
3
3
18. (A 2008) Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác
vuông tại A,AB = a,AC = ap3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng
(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC và tính cosin
của góc giữa hai đường thẳng AA′,B′C′.
* Đáp số: V = a
3
2
, cosϕ= 1
4
19. (B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA = a,SB = ap3
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB,BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng SM,DN.
* Đáp số: V = a
3p3
3
, cosϕ=
p
5
5
20. (D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
cạnh bên AA′ = ap2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối
 13
lăng trụ ABC.A′B′C′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM,B′C.
* Đáp số: V = a
3p2
2
,d =
p
7a
7
21. (A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
CMNP.
* Đáp số: V =
p
3a3
96
22. (B 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm
đối xứng của D qua tr