Bộ đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán: toàn quốc (có đáp án, hướng dẫn chấm chi tiết)

BỘ ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN: TOÀN QUỐC 
(CÓ ĐÁP ÁN, HD CHẤM CHI TIẾT)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC 
	THỪA THIÊN HUẾ	 Khoá ngày 24.6.2010
	ĐỀ CHÍNH THỨC	Môn: TOÁN
	 Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1: (1,5 điểm)
Xác định tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn: .
Bài 2: (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức khi các số thực x, y thay đổi. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại các giá trị nào của x và y.
Bài 3: (2,5điểm)
a) Giải phương trình : . 
b) Giải hệ phương trình : 
 Bài 4: (2,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a. Đường trung trực của đoạn AC cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K.
a) Gọi (K) là đường tròn có tâm K và tiếp xúc với đường thẳng AB. Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn AK cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
Bài 5: (2,0 điểm)
a) Với bộ số (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thức đúng : .
Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số hệ thập phân a , b, c đôi một khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức đúng.
b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn: .
Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều.
--------------- HẾT ---------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC 
	THỪA THIÊN HUẾ	 Khoá ngày 24.6.2010
	ĐỀ CHÍNH THỨC	Môn: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Bài
 Nội dung 
Điểm
Bài 1
(1,5đ)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
0,25
0,25
Ta có: 
0,25
0,25
 Thoả mãn (*)
 Vậy: m = - 6 thoả mãn yêu cầu bài toán .
0,5
BÀI 2
(2đ)
Ta có: 
0,25
0,5
0,5
 với mọi x, y.
0,25
 khi và chỉ khi: 
0,25
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt khi và 
0,25
Bài 3
(2,5đ)
3.a
(1đ)
Lập phương hai vế phương trình (1), ta được:
0,25
Dùng (1) ta có: 
0,25
Giải (2) và thử lại tìm được : là hai nghiệm của phương trình đã cho.
0,5
3.b
(1đ,5)
Điều kiện : x ¹ 0; y ¹ 0 . 
0,25
Viết lại hệ :
0,5
Đặt : ; , ta có hệ : 
0,25
Giải ra được : .
0,25
Giải ra được : x = -1 ; y = -1. Hệ đã cho có nghiệm : (x ; y) = (-1 ; -1).
0,25
BÀI 4
(2đ)
4. a
(1đ)
Do BC2 = AC2 + AB2 nên tam giác ABC vuông tại A. 
0,25
Đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC có tâm là trung điểm O của BC, có bán kính .
0,25
Gọi Q là trung điểm AC và R là tiếp điểm của (K) và AB. 
KQAR là hình vuông cạnh 2a. Đường tròn (K) có bán kính ρ = 2a
0,25
Do OK= KQ – OQ = 2a –a =a = r – ρ, nên (K) tiếp xúc trong với (O).
0,25
4.b
(1đ)
Gọi I là trung điểm AK, nối BI cắt OQ tại T. Ta chứng minh T thuộc đường tròn (O).
0,25
Hai tam giác IQT và IRB bằng nhau nên QT = RB = a 
0,25
Vì OT = OQ + QT =a + a = r nên T thuộc đường tròn (O).
Từ đó T là trung điểm của cung AC của đường tròn (O).
0,25
Suy ra BI là phân giác của góc ABC. Vì vậy I là tâm nội tiếp của ΔABC.
0,25
BÀI 5
(2đ)
5. a
(1đ)
Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số a , b, c khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức: ( 1) đúng.
Viết lại (1): (10a + b)c =(10c + a)b 2.5.c(a – b) = b(a – c). 
Suy ra: 5 là ước số của b(a – c).
0,25
Do 5 nguyên tố và nên: 
1) hoặc b = 5 2) hoặc 3) hoặc 
0,25
+ Với b = 5: 2c(a -5) = a - cc = .
Suy ra: 2a -9 = 3 ; 9 (a ≠ 5, do a ≠ c)
Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1) 
+ Với a = c + 5: 2c(c + 5 - b) = b b = . Viết lại: 
Suy ra: 2c + 1 = 3 ; 9 (c ≠ 0). 
Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4). 
+ Với c = a + 5: 2(a + 5)(a - b) = -b b = . 
Viết lại : . Suy ra: b > 9, không xét .
+ Vậy:
 Các bộ số thỏa bài toán: (a ; b ; c) = (6 ; 5 ; 2), (9 ; 5 ; 1), (6; 4 ; 1), (9 ; 8 ; 4).
0,5
5.b
(1đ)
Từ giả thiết số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại, suy ra tam giác đã cho có ít nhất một góc bằng 60o .
Ví dụ: Từ 2A = B + C suy ra 3A = A + B + C = 180o. Do đó A = 60o.
0,25
Từ (*), suy ra tam giác đã cho là tam giác cân.
Thật vậy, bình phương các vế của (*):
Vì vậy tam giác này có a = c hoặc b = c.
0,5
Tam giác đã cho là tam giác cân và có góc bằng 60o nên là tam giác đều.
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG 	 NĂM HỌC 2009 - 2010
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN
 Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
 Rút gọn biểu thức . 
Tính giá trị của biểu thức P khi .
b) Cho hãy tính giá trị của biểu thức A = 
Bài 2: (2,5 điểm)
	a) Giải phương trình .
 	b) Giả sử hệ phương trình có nghiệm . 
Chứng tỏ không đổi. 
Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số có đồ thị là (G). Trên đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là và .
 	a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B.
 	b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d).
Bài 4: (3,0 điểm)
	a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn. Từ trung điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và PD lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F. Chứng minh DCE = DPE + CAF và tam giác PBC đồng dạng tam giác DBP.
	b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB. Trong tam giác ABC lấy điểm O tùy ý. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
OI + OJ + OK < BC
----- HẾT -----
Họ và tên thí sinh: ................................................. Số báo danh:.....................................................
Chữ ký của giám thị 1: .......................................... Chữ ký của giám thị 2:......................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
BÀI
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Bài 1
2,50đ
Câu a
1,75đ
ĐK: 
0,50
0,25
Khi thì 
0,50
.
0,25
 Câu b
0,75đ
0,25
0,25
0,25
A = 
0,25
Bài 2
2,50 đ
 Câu a
1,50đ
Điều kiện .
0,25
PT. 
0,25
 . 
0,25
Suy ra:. 
0,50
KL: Nghiệm PT là 
0,25
 Câu b
1,00đ
 . 
0,25
(2) Trừ (1): 
0,50
KL : không đổi.
0,25
Bài 3
2,0 đ
Câu a 100 đ
HS vẽ đúng đồ thị .
0,25
Ta có: .
0,25
PT đường thẳng AB: .
0,50
Câu b 1,00 đ
Nhận xét tam giác OAB vuông tại O.
0,25
 Hạ OH vuông góc với AB .
0,25
 KL: Khoảng cách cần tìm là.
0,50
Bài 4
3,0 đ
Câu a 1,75 đ
sđ DCE = sđ DE, sđ DPE = sđ(DE - CF), sđ CAF = sđ CF 
0,50
 Do đó sđ(DPE + CAF) =sđ(DE - CF + CF) = sđ DE
0,25
Vậy: DCE = DPE + CAF
0,25
Ta có: BA2 = BC . BD nhưng BA = BP
0,25
Do đó: PBC = PBD
0,25
Vậy: tam giác PBC và DBP đồng dạng
0,25
Câu a 1,25 đ
Vẽ các tia AO, BO, CO lần l;ượt cắt BC, CA, AB tại D, E, F ta có:
(1)	OI £ OD ; OJ £ OE ; OK £ OF
0,25
Qua O vẽ các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt BC tại các điểm X và Y. Qua X vẽ đường thẳng song song với CF cắt AB tại M; qua Y vẽ đường thẳng song song với BE cắt AC tại L. Ta có các kết quả sau:
(2) 	OE = YL ( OELY là hình bình hành); OF = XM
0,25
(3) DOXY » D ABC Þ OX < OY < XY mà 2OD < OX+OY Þ OD < XY
0,25
(4) DMBX » D FBC Þ MX < BX (vì DFBC cũng có cạnh BC lớn nhất)
(5) DLYC » D EBC Þ YL < YC (vì DEBC cũng có cạnh BC lớn nhất)
0,25
Từ 5 kết quả suy luận trên ta được:	
OI + OJ + OK £ OD + OE + OF < XY + YC + XM = BC	
0,25
HƯỚNG DẪN CHẤM: 
Học sinh có lời giải khác với đáp án chấm thi nếu có lập luận đúng dựa vào SGK hiện hành và có kết quả chính xác đến ý nào thì cho điểm tối đa ở ý đó; chỉ cho điểm đến phần học sinh làm đúng từ trên xuống dưới và phần làm bài sau không cho điểm. Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
Điểm ở mỗi ý nhỏ cần thảo luận kỹ để được chấm thống nhất . Tuy nhiên , điểm từng câu và từng ý không được thay đổi.
HẾT
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
 Đề chính thức
KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
 Năm học 2009-2010
Môn thi : Toán 
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009
(Đề thi gồm: 01 trang) 
Câu I (2.5 điểm): 
	1) Giải hệ phương trình:
	2) Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:
Câu II (2.5 điểm): 
	1) Rút gọn biểu thức: 
	 với 
	2) Cho trước số hữu tỉ m sao cho là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: 
Câu III (2.0 điểm): 
1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết . Chứng minh rằng: là hợp số.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu IV (2.0 điểm):
Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lượt lấy D, E sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng: 
MD = ME
2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK.
Câu V (1.0 điểm):
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KỲTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
 Năm học 2009-2010
Môn thi : Toán 
Hướng dẫn chấm
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu I
2,5 điểm
1)
1,5điểm
Từ (2) x 0. Từ đó , thay vào (1) ta có:
0.25
0.25
0.25
Giải ra ta đượchoặc
0.25
Từ ; 
0.25
Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1);; 
0.25
2)
1,0điểm
Điều kiện để phương trình có nghiệm: 
0.25
 . Vì (m - 2) > (m - 3) nên: 
 m = 2 hoặc m = 3.
0.25
 Khi m = 2 = 0x = -1 (thỏa mãn)
 Khi m = 3 = 0 x = - 1,5 (loại). 
0.25
 Vậy m = 2.
0.25
Câu II
2,5 điểm
1)
1,5điểm
Đặt 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2)
1,0điểm
 (1)
Giả sử có (1)
Từ (1), (2) 
 0.25
Nếu là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!
 0.25
. Nếu b0 thìlà số hữu tỉ. Trái với giả thiết! . Từ đó ta tìm được c = 0.
 0.25
Ngược lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0
 0.25
Câu III
2 điểm
1)
1,0điểm
Theo bài ra f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a nguyên dương. 
0.25
Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c 
 = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a)
0.25
Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c 
 = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) 
 = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 
0.25
Vì a nguyên dương nên 16a + 2010>1 . Vậy f(7)-f(1) là hợp số
0.25
2)
1,0điểm
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2)
0.25
Ta chứng minh được: 
 , 
0.25
Mặt khác ta có: 
0.25
Dấu “=” xảy ra khi A thuộc đoạn OB hoặc B thuộc đoạn OA
.Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn OB. Vậy Maxkhi x = 7.
0.25
Câu IV
2 điểm
1)
0,75điểm
 Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp , MCAP nội tiếp .
0.25
Lại có 
(cùng phụ góc NMP)
 (1)
0.25
Do DE // NP mặt khác 
 MANP (2)
Từ (1), (2) cân tại A
 MA là trung trực của DE
 MD = ME
0.25
2)
1,25điểm
 Do DE//NP nên , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên:
0.25
Theo giả thiết 
Tứ giác MDEK nội tiếp
0.25
Do MA là trung trực của DE
0.25
 .
0.25
Vì DM là phân giác của góc CDK, kết hợp với AM là phân giác DABM là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK.
0.25
Câu V
1 điểm
Không mất tổng quát giả sử:ABAC. Gọi B’ là điểm chính giữa cung 
Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA
0.25
Ta có: (1) ; (2)
 (3);Từ (1), (2), (3) 
0.25
Hai tam giác A’BB’ và ABB’ bằng nhau 
Ta có = AB + BC ( B’A + B’C không đổi vì B’, A, C cố định). Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’.
0.25
Hoàn toàn tương tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung thì ta cũng có AD’ + CD’ AD + CD. Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’.
 Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các cung của đường tròn (O)
0.25
Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải đúng vẫn cho điểm tối đa.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
 THỪA THIÊN HUẾ	Môn: TOÁN - Năm học 2008-2009
 Đề chính thức	 Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1: (3 điểm)
Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh đẳng thức :
.
Giải hệ phương trình : 
Bài 2: (1,5 điểm)
 Cho phương trình: . 
Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm sao cho:
 và .
Bài 3: (3 điểm)
 Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính OB và (S) là đường tròn đường kính AC. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm tùy ý phân biệt M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường tròn (S). 
Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.
Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh: .
Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh: .
Bài 4: (1,5 điểm) 
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.
Hết 
SBD thí sinh: .................	Chữ ký GT1: ..............................	
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
 THỪA THIÊN HUẾ	Môn: TOÁN - Năm học 2008-2009
 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
BÀI
 NỘI DUNG 
Điểm
B.1
3,0
1.a
0.25
0.25
0,25
0.25
1.b
Điều kiện y0 .
0,25
.
0,25
 Đặt , (), ta có hệ 
0,50
Giải ra : u = 2 , v = 3 hoặc u =3 , v = 2
0,25
Trường hợp u = 2 , v = 3 có : ( x = 1 ; y = 9 ) hoặc ( x = 3 ; y = 9)
0,25
Trường hợp u = 3 , v = 2 có : ( x = 2 ; y = 4 ) hoặc ( x = 4 ; y = 4)
0,25
Hệ đã cho có 4 nghiệm: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) .
0,25
B.2
1,5
 (1)
Đặt :, ta có : (2) () . 
0,25
 với mọi m.
0,25
Vậy để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (2) luôn có hai nghiệm dương phân biệt . Tương đương với: (3)
0,25
Với điều kiện (3), phương trình (2) có 2 nghiệm dương và phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt: 
Theo giả thiết: (4)
0,25
Theo định lí Vi-ét, ta có: và (5)
Từ (4) và (5) ta có: và 
.
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán. 
Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần và đủ là:
 và .
0,50
B.3
3,0
3.a
+ Hình vẽ
Do đó : (1)
+ Tương tự: và 
Từ (1) và (2): , 
Do đó 
0,25
0,25
0,25
0,25
3.b
+ Hai tam giác MEP và MAE có : và . 
Do đó chúng đồng dạng .
+ Suy ra: 
0,50
0,50
3.c
+ Tương tự ta cũng có: 
+ Do đó: 
+ Nhưng 
+ Từ đó: 
0,25
0,25
0,25
0,25
B. 4
1,5
Xét số tùy ý có 4 chữ số mà . (a, b, c, d là các số nguyên).
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của 
0,25
Do b, c là số tự nhiên nên: . Vì vậy : 
0,75
 trong trường hợp 
Vậy số thỏa mãn các điều kiện của bài toán là: 1349
0,25
0,25
B.5
1,0
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền. 
Ta có ; a, b, c , diện tích tam giác ABC là 
Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.
0.25
+ Chứng minh 
Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì chia 3 dư 2. 
Suy ra số chính phương chia 3 dư 2, vô lý.
0,25
+ Chứng minh 
- Nếu a, b chẵn thì .
- Nếu trong hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ. 
Lúc đó c lẻ. Vì nếu c chẵn thì , trong lúc không thể chia hết cho 4.
Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h . Ta có :
= = 
Suy ra .
0,25
Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm chia với C thì tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác này có diện tích bằng là một số nguyên.
0.25
Ghi chú: 
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó.
Điểm toàn bài không làm tròn.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 HƯNG YÊN
Đề chính thức
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
	Cho 
	Hãy lập một phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - 1 là một nghiệm.
Bài 2: (2,5 điểm)
	a) Giải hệ phương trình: 
	b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3: (2,0 điểm)
	a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.
	b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì 
Bài 4: (3,0 điểm)
	Cho đường tròn tâm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại C. Chứng minh rằng:
	a) 
	b) MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
	c) Tổng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi. 
Bài 5: (1,0 điểm)
	Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ. 
------------ Hết ------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 HƯNG YÊN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
Hướng dẫn chấm thi
Bài 1: (1,5 điểm)
0,5 đ
a = 
0,25 đ
Đặt 
0,5 đ
Vậy phương trình nhận làm nghiệm
0,25 đ
Bài 2: (2,5 điểm)
a) ĐK: 
0,25 đ
Giải (2) 
0,25 đ
* Nếu . 
Thay vào (1) ta được 
0,25 đ
 (phương trình vô nghiệm)
0,25 đ
* Nếu . 
Thay vào (1) ta được 
0,25 đ
- Với (thoả mãn điều kiện)
- Với (thoả mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
0,25 đ
b) Đặt (*)
Phương trình đã cho trở thành: 
 (1)
0,25 đ
Từ (*) ta thấy, để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
0,25 đ
0,25 đ
Vậy với thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
0,25 đ
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Vì k > 1 suy ra 
- Xét với 
 không là số nguyên tố. 
0,25 đ
- Xét với 
 không là số nguyên tố. 
0,25 đ
- Xét với 
 không là số nguyên tố. 
0,25 đ
- Xét với 
 không là số nguyên tố. 
Do vậy 
0,25 đ
b) Ta chứng minh: Với thì (*)
Thật vậy 
 (luôn đúng)
0,5 đ
áp dụng (*) ta có:
Suy ra (đpcm)
0,5 đ
Bài 4: (3,0 điểm)
a) Xét và có:
0,5 đ
 Do vậy và đồng dạng
 Suy ra 
0,5 đ
b) Gọi (J) là đường tròn ngoại tiếp 
hay 
 cân tại J 
0,5 đ
Suy ra 
Suy ra MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB
0,5 đ
c) Kẻ đường kính MN của (O) Þ NB ^ MB 
Mà MB là tiếp tuyến của đường tròn (J), suy ra J thuộc NB
Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp 
Chứng minh tương tự I thuộc AN
Ta có CJ // IN
Chứng minh tương tự: CI // JN
0,5 đ
Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành CI = NJ
Suy ra tổng bán kính của hai đường tròn (I) và (J) là:
 IC + JB = BN (không đổi)
0,5 đ
Bài 5: (1,0 điểm)
Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ dương)
Do các góc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi góc trong của hình 8 cạnh có số đo là: 
0,25 đ
Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O
Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân.
Þ MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 
Ta có AB = CD nên: 
Û (e - a) = h + b - f - d
0,5 đ
Nếu e - a ≠ 0 thì (điều này vô lý do là số vô tỉ)
Vậy e - a = 0 Û e = a hay EF = IJ (đpcm).
0,25 đ
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
(Đề có 01 trang)
Câu 1: (3,0 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
b) Giải và biện luận phương trình: (p là tham số có giá trị thực).
Câu 2: (1,5 điểm)	
 	Cho ba số thực đôi một phân biệt.
Chứng minh 
Câu 3: (1,5 điểm)
 Cho và 
 Tìm tất cả các giá trị nguyên của sao cho là một số nguyên.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh:
 a) KM // AB.
 b) QD = QC.
Câu 5: (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích k