Bộ đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Vòng II

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Ngày thi: 27/6/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (2 điểm).
	1. Với , rút gọn biểu thức .
	2. Cho là nghiệm của phương trình . Tìm giá trị lớn nhất của y.
Câu 2 (1,5 điểm). Cho biểu thức: 
với a, b, c là các số thực làm cho P xác định và thoả mãn điều kiện: . Chứng minh rằng P = 1.
Câu 3 (2,5 điểm). 
	1. Giải hệ phương trình: 
	2. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Kẻ các đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi S và lần lượt là diện tích của các tam giác ABC và A’B’C’.
1. Chứng minh: AO vuông góc với B’C’.
2. Chứng minh: S = P.R (với P là chu vi tam giác A’B’C’).
3. Chứng minh: .
Câu 5 (1 điểm). Trên một đường tròn ta viết theo chiều kim đồng hồ 2 số 1 và 48 số 0 theo thứ tự 1, 0, 1, 0, , 0. Ta được phép biến đổi các số trên đường tròn như sau: tại mỗi bước chọn hai số bất kì nằm liền kề nhau, giả sử là x và y rồi thay x bởi và thay y bởi . Chứng minh rằng không thể thu được một dãy 50 số bằng nhau sau một số hữu hạn các phép biến đổi như trên.
HẾT
Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:..............................................
Họ và tên, chữ ký:
Giám thị 1:..................................................................................................
Giám thị 2:..................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN - Ngày thi 27/6/2012
 (Hướng dẫn chấm này gồm 02 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Với x > 2 thì A có nghĩa. Ta có: 
0,5
0,5
2. (1,0 điểm)
 (1)
* Nếu y = 0 thì x = 0 phương trình (1) có nghiệm .
0,25
* Nếu : Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y.
PT (1) có nghiệm .
0,5
Với PT (1) có dạng 
Vậy giá trị lớn nhất của y là bằng 1.
0,25
Câu 2
(1,5 điểm)
Đẳng thức điều kiện tương đương với 
0,5
Ta có: 
0,5
0,5
Câu 3
(2,5 điểm)
1. (1,5 điểm)
Từ hệ suy ra: 
0,5
0,5
Thế vào PT thứ nhất của hệ ta được: 
Với x = 1 thì y =1, với x = -1 thì y = -1.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (1,1) và (-1,-1).
0,5
2. (1,0 điểm)
Ta có: 
0,5
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 
0,25
Q = 64 khi x = y = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là bằng 64.
0,25
Câu 4
(3,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
C'
B'
A'
C
B
A
O
Tứ giác BCB’C’ có nên nội tiếp được đường tròn 
0.25
Do OAC cân tại O nên 
0.25
Lại có và lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cung 
0.25
Do đó 
0.25
2. (1,0 điểm)
Theo ý 1. thì , chứng minh tương tự 
0.25
Ta có: 
0.25
0.5
3. (1,0 điểm)
Ta có: 
0.25
Chứng minh tương tự: 
0.25
Vậy ta có: 
0.5
Câu 5
(1,0 điểm)
Kí hiệu các số trên đường tròn lần lượt theo chiều kim đồng hồ là với 
Xét tổng 
0,5
Giá trị của I không thay đổi khi thay thế cặp số liền kề nhau bởi cặp số . Với cách viết ban đầu ta có I = 2, giả sử thu được dãy 50 số bằng nhau ta có I = 0, mâu thuẫn.
Vậy không thể nhận được một dãy 50 số bằng nhau sau một số hữu hạn các phép biến đổi.
0,5
--------Hết--------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
 AN GIANG 	 TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
ĐỀ CHÍNH THỨC
 	 Môn : TOÁN (ĐỀ CHUYÊN)
Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phòng thi :. . . . . .
	 Khóa ngày 15/6/2013
 Thời gian làm bài : 150 phút
 (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng 
b) Chứng minh rằng nếu thì phương trình bậc hai
 luôn có hai nghiệm phân biệt.
c) Giải phương trình: 
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho hàm số 
a)Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Tính diện tích tam giác tạo bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Bài 3: (2,0 điểm)
 Cho hệ phương trình 
a) Giải hệ phương trình.
b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm sao cho nhỏ nhất.
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O); M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ CD; MB cắt AC tại E.
a)Chứng minh rằng góc .
b)Chứng minh rằng hai tam giác MAB và MEC đồng dạng, từ đó suy ra 
c) Chứng minh 
----------------------- Hết ---------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
 AN GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
	 Năm học 2013 – 2014 
 MÔN TOÁN (ĐỀ CHUYÊN)
A. ĐÁP ÁN
Bài
Câu
LƯỢC GIẢI
Điểm
Bài 1
Câu a
1,0 điểm
CM 
Ta có:
.
0,25
0,25
0,25
0,25
Cách khác: đặt dễ thấy 
0,25
Ta có 
0,25
0,25
Vì 
0,25
Câub
1,0 điểm 
Do 
0,25
Xét 
0,25
0,25
Dấu bằng xảy ra khi 
Điều này không xảy ra do hay 
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
0,25
Câu c
1,0 điểm
Đặt phương trình trở thành
0,25
Phương trình có hai nghiệm: 
0,25
0,25
Vậy phương trình có nghiệm là .
0,25
Bài 2
Câua
1,0 điểm
+ Với đồ thị hàm số là đường thẳng qua hai điểm .
0,25
+ Với đồ thị hàm số là đường thẳng qua hai điểm .
0,25
Ta có đồ thị như hình vẽ
0,5
Câu b
1,0 điểm
Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm 
Đồ thị cắt Oy tại .
0,25
Dựa vào đồ thị ta thấy tam giác ABC cân tại C có đường cao OC 
Và 
0,5
Vậy diện tích tam giác 
0,25
Bài 3
Câu a
1,0 điểm
Nhân phương trình (1) cho 4 rồi cộng với phương trình (2) ta được
0,25
0,25
Thay x vào phương trình (1) ta được 
0,25
Vậy hệ phương trình có một nghiệm .
0,25
Câu b
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
 nhỏ nhất bằng khi ; 
Vậy thì hệ phương trình có nghiệm là thỏa đề bài.
0,25
Bài 4
Câu a
1,0 điểm
(hình vẽ cho câu a 0,5 điểm)
0,5
Chứng minh .
Ta có OD^AC (đường chéo hình vuông)
DM^MB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
0,25
Vậy tứ giác ODME nội tiếp 
.
0,25
Câu b
1,0 điểm
Chứng minh hai tam giác MAB và MEC đồng dạng
(Góc nội tiếp chắn hai cung tương ứng )
0,25
( góc nội tiếp cùng chắn cung)
0,25
 MAB và MEC đồng dạng
0,25
0,25
Câu c
1,0 điểm
Chứng minh .
Ta có (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
( góc nội tiếp cùng chắn cung)
Vậy tam giác MAE đồng dạng với tam giác MBC.
0,25
0,25
Cộng (1) và (2) ta được 
0,25
Do AC là đường chéo của hình vuông nên 
Vậy 
0,25
B HƯỚNG DẪN CHẤM:
1. Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn được điểm tối đa. 
2. Điểm số chia nhỏ tới 0,25 điểm cho từng câu trong đáp án, trong một phần đáp án có điểm 0,25 có thể có nhiều ý nhỏ nếu học sinh làm đúng phần ý chính mới được điểm.
UBND TỈNH BẮC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2013
Câu 1. (1,5 điểm)
	a) Rút gọn biểu thức với .
	b) Cho , tính giá trị của biểu thức 
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình: (1), với x là ẩn, m là tham số.
a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là Tìm m để 
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Cho các số dương x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng 
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 4. (3,0 điểm)
 	Cho đường tròn tâm O đường kính, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn;
b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng;
c) 
Câu 5. (2,0 điểm)
 	a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn là số hữu tỷ, đồng thời là số nguyên tố.
b) Tính diện tích của ngũ giác lồi ABCDE, biết các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB cùng có diện tích bằng 1.
------------Hết------------
(Đề này gồm có 01 trang)
 Họ và tên thí sinh: ..Số báo danh: .....
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Câu
Lời giải sơ lược
Điểm
1
(1,5 điểm)
a) (1,0 điểm)
0,5
.
0,5
b) (0,5 điểm)
0,25
0,25
2
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
 với mọi m.
0,5
Vậy (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
0,5
b) (1,0 điểm)
Theo ĐL Viét ta có .
Do đó, 
 (do ).
0,5
Yêu cầu bài toán: .
0,5
3
(1,5 điểm)
a) (0,5 điểm)
Do nên .
0,5
b) (1,0 điểm)
Cộng vế với vế các phương trình của hệ ta được:
 (1).
0,5
Do nên 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Thử lại, là nghiệm của hệ.
0,5
4
(3,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
Vẽ hình câu a) đúng, đủ.
0,25
Do các điểm M, N, F cùng nhìn đoạn AO dưới góc nên A, O, M, N, F cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
0,75
b) (1,0 điểm)
Ta có (Tính chất tiếp tuyến).
Từ câu a) suy ra (1).
0,25
Mặt khác, vì hai tam giác ADH, AFC đồng dạng; hai tam giác ADN, ANC đồng dạng nên .
0,25
Do đó, hai tam giác ANH, AFN đồng dạng (c.g.c) (2).
0,25
Từ (1), (2) ta có đpcm.
0,25
c) (1,0 điểm)
Từ câu a) ta có .
0,25
Gọi ta có I là trung điểm của MN.
0,25
0,25
Từ đó suy ra 
0,25
5
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
Ta có .
 .
0,25
.	
0,25
Vì và là số nguyên tố nên 
0,25
Từ đó suy ra (thỏa mãn).
0,25
b) (1,0 điểm)
Gọi 
Ta có nên khoảng cách từ B, D đến AE bằng nhau. Do B, D cùng phía đối với đường thẳng AE nên . Tương tự 
0,25
Do đó, ABIE là hình bình hành 
0,25
Đặt 
Lại có hay 
Kết hợp điều kiện ta có 
0,25
Do đó .
0,25
Lưu ý: 
- Thí sinh làm theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm.
- Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong hội đồng chấm.
- Điểm toàn bài không làm tròn số ( ví dụ: 0,25, hoặc 0,75 vẫn giữ nguyên ).
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
—————————
Câu 1 (3,0 điểm).	
Giải hệ phương trình: 
Giải phương trình: .
Câu 2 (2,0 điểm).
 a) Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì chia hết cho .
 b) Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện .
Câu 3 (1,0 điểm). Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh:
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC, . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh:
Tứ giác BQCR nội tiếp.
 và D là trung điểm của QS.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. 
Câu 5 (1,0 điểm). Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
------------------HẾT------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:; SBD:.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
—————————
A. LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
a
Giải hệ phương trình 
1,5
0,50
Nhân từng vế các phương trình của hệ trên ta được
0,50
+) Nếu , kết hợp với hệ trên ta được
0,25
+) Nếu , kết hợp với hệ trên ta được
. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm .
0,25
b
Giải phương trình 
1,5
Điều kiện xác định . Khi đó ta có
0,50
0,50
*) 
0,25
*) 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là .
0,25
2
a
Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì chia hết cho .
1,0
Nhận xét. Nếu là hai số nguyên dương thì .
0,25
 Khi đó ta có
(1)
0,25
Mặt khác
0,25
Do và kết hợp với (1), (2) ta được chia hết cho .
0,25
b
Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện 
1,0
Nếu đều không chia hết cho 3 thì
 vô lý. Do đó trong hai số phải có một số bằng 3.
0,50
+) Nếu . Do đó .
0,25
+) Nếu vô lí. Vậy .
0,25
3
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh:
1,0
Ta có 
0,50
 (1)
0,25
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta được:
; cộng từng vế hai bất đẳng thức này ta được (1). Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
0,25
4
D
M
P
Q
R
S
E
F
H
A
B
C
a
Tứ giác BQCR nội tiếp.
1,0
Do nên Q nằm trên tia đối của tia BA và R nằm trong đoạn CA, từ đó Q, C nằm về cùng một phía của đường thẳng BR.
0,25
Do tứ giác BFEC nội tiếp nên ,
0,25
Do QR song song với EF nên 
0,25
Từ đó suy ra hay tứ giác BQCR nội tiếp.
0,25
b
 và D là trung điểm của QS.
1,0
Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên 
Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên 
Từ hai tỷ số trên ta được 
0,25
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được:
0,25
Từ (1) và (2) ta được 
0,25
Do QR song song với EF nên theo định lí Thales:.
 Kết hợp với (3) ta được hay D là trung điểm của QS.
0,25
c
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
1,0
Gọi M là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh .
Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên (4).
0,25
Tiếp theo ta chứng minh 
0,25
 (đúng theo phần b). Do đó 
0,25
Từ (4) và (5) ta được suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
0,25
5
Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
1,0
Trả lời: Không tồn tại 16 số như vậy. Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa mãn. Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ. 
Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c.
0.25
Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này: 
0.25
Gọi là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị). Khi đó
 không là ước của tức là không chia hết cho 8
0.25
Nhưng trong 9 số chỉ có ba số lẻ nên 8 số bất kỳ trong 9 số luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn.
Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng không xảy ra
0.25
---------------------------Hết----------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học: 2013 – 2014
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
	Cho biểu thức M = 
Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M.
Tính giá trị của M khi a = , b = 
Bài 2. (2,0 điểm)
	Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m là tham số.
Tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3.
Tìm giá trị của m để x12 + x22 + x32 = 11.
Bài 3. (1,0 điểm)
	Cho số nguyên dương n và các số A = (A gồm 2n chữ số 4); B = (B gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương.
Bài 4. (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tuỳ ý trên d kẻ các tiếp tuyếnMA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.
Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD.
Chứng minh rằng đương thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d.
Chứng minh 
Bài 5. (1,0 điểm)
	Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2013.
Chứng minh .
Dấu đẳng thức sảy ra khi nào?
Hết
Họ tên thí sinh:.Số báo danh:.
Chữ ký của giám thị số 1:Chữ ký của giám thị số 2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học: 2013 – 2014
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Hướng dẫn chấm
(Hướng dẫn này gồm 4 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(2,0 đ)
a) M = 
ĐK xác định của M: 
0,25
M = 
0,25
= 
0, 5
b) Ta có M = với a = , b = 
0,25
0,25
Vậy 
0,25
Từ đó M = 
0,25
Câu 2
(2,0 đ)
a) x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0 (1)
Nếu trừ 0,25 điểm 
0,25
Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2
0,25
Điều kiện là 
0,5
b) Ta có ba nghiệm phân biệt của phương trình (1) là x1 = 2; x2; x3 trong đó x2; x3 là hai nghiệm phân biệt của pt (*) 
0,25
Khi đó x12 + x22 + x32 = 11 
0,25
áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có (0,25 đ)
Vậy (**) (thoả mãn ĐK)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
0,5
Câu 3
(1,0 đ)
Ta có 
0,25
=
0,25
=
0,25
Khi đó
=
Ta có điều phảI chứng minh.
0,25
Câu 4
(4,0 đ)
a) MA, MB là các iếp tuyến của (O)
0,25
I là trung điểm của CD 
0,25
A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO
0,25
 Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO.
b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB
 MO là đường trung trực của AB
 MO AB
 MH.MO = MB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
0,25
sđ
 (2)
0,25
Từ (1) và (2) MH.MO = MC.MD
0,25
tứ giác CHOD nội tiếp
 H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD.
0,25
c) Gọi Q là giao điểm của AB và OI
Hai tam giác vuông MIO và QHO có chung
0,25
 (R là bán kính (O) không đổi)
0,25
O, I cố định độ dài OI không đổi
 lại có Q thuộc tia OI cố định
 Q là điểm cố định đpcm.
0, 5
d) ( cân tại O)
= 
= (3)
0,25
 (4) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Từ (3) và (4) 
 (5)
0,25
 (chứng minh trên)
 (6)
0,25
Từ (5) và (6) 
0,25
Câu 5
(1,0 đ)
Ta có 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a2 + ab + ac + bc = a2 +bc + a(b + c)
Theo BĐT Cô-Si cho hai số dương ta có a2 + bc 2a. Từ đó
a2 + bc + a(b + c) 2a +a(b + c) = a(b + c + 2) = a()2
0,25
Vậy (1)
0,25
Chứng minh tương tự được
 (2) và (3)
Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta được
0,25
Dờu “=” xảy ra 
0,25