Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 83

TRƯỜNG THPT 
CHUYấN HÙNG VƯƠNG 
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư 
ĐỀ THI KHẢO SÁT 
MễN: TOÁN    LỚP: 12 
Thời gian làm bài: 180 phỳt khụng kể giao đề 
Đề thi cú 01 trang 
Cõu 1 (2 điểm). Cho hàm số ( ) 3 2 2 1 1 ( ) , m y x m x m C = + - - +  m là tham số thực. 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho khi  1. m = - 
b) Tỡm m để đường thẳng  2 1 y mx m = - +  và ( ) m C  cắt nhau tại ba điểm phõn biệt. 
Cõu 2 (1 điểm). 
a) Giải phương trỡnh ( ) 2  3 2 1 2 cos sin cos cos . x x x x + - = + 
b) Giải phương trỡnh ( ) 3 3 3 2 3 1 2 log log log . x x - + + = + 
Cõu 3 (1 điểm). Tớnh tớch phõn 
2
0 
2 1 
1 
ln 
d . 
x
x 
e 
I x 
e 
- 
= 
+ ũ 
Cõu 4 (1 điểm). 
a) Khai triển và rỳt gọn biểu thức  2 1 2 1 1 ( ) ... ( ) n x x n x - + - + + -  thu được đa thức 
0 1 ( ) ... 
n 
n P x a a x a x = + + +  . Tỡm  8 a  , biết rằng n  là số nguyờn dương thoả món  2 3 
1 7 1 
n n n C C 
+ =  . 
b) Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, bạn Thọ dự thi hai mụn thi trắc nghiệm Vật lớ và Húa học. Đề 
thi của mỗi mụn gồm 50 cõu hỏi; mỗi cõu cú 4 phương ỏn lựa chọn, trong đú cú 1 phương ỏn đỳng, 
làm đỳng mỗi cõu được 0,2 điểm. Mỗi mụn thi Thọ đều làm hết cỏc cõu hỏi và chắc chắn đỳng 45 
cõu; 5 cõu cũn lại Thọ chọn ngẫu nhiờn. Tớnh xỏc suất để tổng điểm 2 mụn thi của Thọ khụng dưới 
19 điểm. 
Cõu 5 (1 điểm). Cho hỡnh chúp  . S ABC  cú đỏy là tam giỏc vuụng tại  A ,  2  , AB a = . AC a =  Cỏc 
cạnh bờn của hỡnh chúp bằng nhau và bằng  2. a  Gọi  , M H  lần  lượt  là  trung điểm của  AB  và 
BC ,  I  là điểm thỏa món 
1 
3 
. BI AC = 
uuur uuur 
Tớnh theo  a  thể tớch khối chúp  . S ABC  và khoảng cỏch 
giữa hai đường thẳng  MH  và  . SI 
Cõu 6  (1  điểm).  Trong  khụng  gian  với  hệ  trục  , Oxyz  cho  cỏc  điểm ( ) ( ) 0 0 1 0 1 0 ; ; , ; ; . A B  Viết 
phương trỡnh mặt phẳng đi qua cỏc điểm  , A B  đồng thời cắt trục Oz tại điểm  C  sao cho tứ diện 
OABC  cú thể tớch bằng 1. 
Cõu 7  (1 điểm). Trong mặt phẳng  với  hệ  trục  Oxy ,  cho  tam giỏc  ABC  cú đường  trung  tuyến 
AM  và đường cao  AH  lần  lượt cú phương trỡnh  13 6 2 0, x y - - =  2 14 0. x y - - =  Tỡm tọa độ 
cỏc đỉnh của tam giỏc  ABC  biết tõm đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc  ABC  là ( ) 6 0 ; . I - 
Cõu 8 (1 điểm). Giải bất phương trỡnh 
14 
2 5 11 
2 
. x x 
x 
+ > + 
- 
Cõu 9 (1 điểm). Giả sử a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món  1. a b c + + =  Tỡm giỏ trị nhỏ nhất 
của biểu thức 
2 2 
2 
2 2 
3 
4 5 5 
( ) . 
( ) ( ) 
a b 
P a b 
b c bc c a ca 
= + - + 
+ + + + 
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưHẾTưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư 
Cảm ơn thầy Bựi Văn Nam (nambv.c3hungvuong@gmail.com) đó gửi tới www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT CHUYấN 
HÙNG VƯƠNG 
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN 
ĐỀ THI KHẢO SÁT LỚP 12 
Cõu  Nội dung  Điểm 
1  a) Khi  1 m = -  hàm số trở thành  3 2 3 2. y x x = - + 
1) Tập xỏc định:  . R  0,25 
2) Sự biến thiờn: 
* Giới hạn tại vụ cực: Ta cú  lim 
x 
y 
đ-Ơ 
= -Ơ  và  lim . 
x 
y 
đ+Ơ 
= +Ơ 
* Chiều biến thiờn: Ta cú  2 3 6 ' ; y x x = - 
0 
0 
2 
' . 
x 
y 
x 
= ộ 
= Û ờ = ở 
Suy ra : 
hàm  số  đồng  biến  trờn  mỗi  khoảng ( ) ( ) 0 2 ; , ; ; -Ơ + Ơ  nghịch  biến  trờn  khoảng 
( ) 0 2 ; . 
* Cực trị: 
Hàm số đạt cực đại tại  0 2 , , C x y = = Đ  hàm số đạt cực tiểu tại  2 2 , . CT x y = = - 
0,25 
* Bảng biến thiờn: 
0,25 
3) Đồ thị: 
0,25 
b) Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm 
( ) 3 2 2 1 1 2 1 ( ) * x m x m mx m + - - + = - + 
3 2 2 1 2 0 ( ) x m x mx Û + - - = 
0,25 
0 1 ; x x Û = =  hoặc  2 x m = -  .  0,25 
x O 
2 
y 
2 - 
2 
x 
' y 
y 
0 Ơ - Ơ + 2 
2 
Ơ - 
Ơ + 
2 - 
+  – 0  0  +
Yờu cầu bài toỏn tương đương với phương trỡnh ( ) *  cú ba nghiệm phõn biệt  0,25 
Do đú  0 m ạ  và 
1 
2 
m ạ -  thỏa món bài toỏn. 
0,25 
2  a) Phương trỡnh đó cho tương đương với 
2 2  2 3 2 1 2 sin cos sin .cos cos sin x x x x x x + + - = + 
0,25 
2 3 2 2 sin cos sin x x x Û - = 
1 3 
2 2 
2 2 
sin cos sin x x x Û - = 
0,25 
2 2 
3 2 
3 
2 2 
3 
sin sin 
x x k 
x x 
x x k 
p p 
p 
p p p 
ộ - = + ờ ổ ử Û - = Û ờ ỗ ữ 
ố ứ ờ - = - + ờ ở 
0,25 
2 
3 
4 2 
9 3 
. 
x k 
k 
x 
p p 
p p 
ộ = + ờ 
Û ờ 
ờ = + ờ ở 
0,25 
b) Điều kiện:  2. x > 
Phương trỡnh đó cho tương đương với 
( ) ( ) 3 3 3 2 3 6 log log log x x - + + = 
0,25 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
3 3 2 3 6 
2 3 6 
log log x x 
x x 
Û - + = 
Û - + = 
0,25 
2  12 0 3 x x x Û + - = Û =  hoặc  4 x = -  .  0,25 
So sỏnh với điều kiện, thu được nghiệm:  3. x =  0,25 
3  Đặt  d d . x x e t e x t = ị = 
Đổi cận:  0 1 2 2 , ln . x t x t = ị = = ị =  0,25 
Suy ra 
( ) 
( ) 
2 2 
1 1 
2 1  3 1 
1 1 
dt 
d 
t 
I t 
t t t t 
- ổ ử = = - ỗ ữ + + ố ứ ũ ũ 
0,25 
( ) ( )  2 
1 
3 1 ln ln | t t = + -  0,25 
= 3 3 4 2 ln ln . -  0,25 
4  a) Ta cú 
2 3 
3 
1 7 1 
2 7 3 1 
1 1 2 
. ! 
( ) ( )( ) n n 
n 
n C C 
n n n n n n 
³ ỡ 
ù + = Û ớ + = ù - - - ợ 
2 
3 
9 
5 36 0 
. 
n 
n 
n n 
³ ỡ 
Û Û = ớ 
- - = ợ 
Suy ra  8 a  là hệ số của 
8 x  trong khai triển biểu thức  8 9 8 1 9 1 ( ) ( ) . x x - + - 
0,25 
Hệ  số của  8 x  trong  khai  triển biểu  thức  8 8 1 ( ) x -  là  8 8 8  , C  hệ  số của 
8 x  trong  khai 
triển biểu thức  9 9 1 ( ) x -  là  8 9 9  . C  Suy ra 
8 8 
8 8 9 8 9 89 . . . a C C = + = 
0,25 
b) Bạn Thọ được  khụng dưới  19 điểm  khi  và  chỉ  khi  trong 10  cõu  trả  lời ngẫu 
nhiờn ở cả hai mụn Lớ và Húa bạn Thọ trả lời đỳng ớt nhất 5 cõu. 
Xỏc suất trả lời đỳng 1 cõu hỏi là 
1 
4 
,  trả lời sai là 
3 
4 
. Ta cú: 
0,25 
Xỏc suất Thọ trả lời đỳng 5 trờn 10 cõu là 
5 5 
5 
10 
1 3 
4 4 
. ; C ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Xỏc suất Thọ trả lời đỳng 6 trờn 10 cõu là 
6 4 
6 
10 
1 3 
4 4 
. ; C ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ
Xỏc suất Thọ trả lời đỳng 7 trờn 10 cõu là 
7 3 
7 
10 
1 3 
4 4 
. ; C ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Xỏc suất Thọ trả lời đỳng 8 trờn 10 cõu là 
8 2 
8 
10 
1 3 
4 4 
. ; C ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Xỏc suất Thọ trả lời đỳng 9 trờn 10 cõu là 
9 
9 
10 
1 3 
4 4 
. ; C ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
Xỏc suất Thọ trả lời cả 10 cõu là 
10 
10 
10 
1 
4 
. C ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
Cộng cỏc xỏc suất trờn ta suy ra xỏc suất Thọ được khụng dưới 19 điểm là 0,0781. 
0,25 
5 
Vỡ cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp bằng nhau nờn hỡnh chiếu của S xuống (ABC) trựng 
với tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. 
Vỡ  tam  giỏc  ABC  vuụng  tại  A  nờn  tõm  đường  trũn ngoại  tiếp  của  tam giỏc  này 
chớnh là trung điểm H của BC. 
Do đú ( ). SH ABC ^ 
0,25 
Áp dụng định lý Pitago vào tam giỏc ABC ta cú  2 2 4 5. BC a a a = + = 
Áp dụng định lý Pitago vào tam giỏc SHB ta cú 
2 
2  5 3 2 
4 2 
. 
a a 
SH a = - = 
Từ đú suy ra 
3 1 1 3 1 3 
2 
3 3 2 2 6 
. . . . . SABC ABC 
a a 
V SH S a a ổ ử = = = ỗ ữ 
ố ứ 
(đvtt). 
0,25 
Mặt phẳng chứa SI và song song với MH là (SBI). Do đú 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , . d MH SI d MH SBI d H SBI = = 
Kẻ HO vuụng gúc với BI tại O thỡ O chớnh là điểm đối xứng với trung điểm E của 
AC qua H. Kẻ HK vuụng gúc với SO tại K. 
Khi đú ( ). HK SBI ^ 
0,25 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng SHO ta cú 
2 2 2 2 2 2 
1 1 1 4 1 7 21 
7 3 3 
. 
a 
HK 
HK HS HO a a a 
= + = + = ị = 
Vậy ( )  21 
7 
, . 
a 
d MH SI HK = = 
0,25 
A  B 
S 
H 
M 
K 
I 
O E 
C
6 
Giả sử ( ) 0 0 ; ; C c  suy ra mặt phẳng cần tỡm cú phương trỡnh  1 
1 1 
. 
x y z 
c 
+ + =  0,25 
Ta cú  1 1 . . . .| || | OABC V OA OB OC c c = = =  .  0,25 
Theo giả thiết, ta cú  1 1 | | . c c = Û = ±  0,25 
Vậy cú 2 mặt phẳng thỏa món bài toỏn là 
1 0 x y z + + - =  hoặc  1 0 x y z + - - =  . 
0,25 
7  Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trỡnh 
( ) 2 14 0 4  4 9 
13 6 2 0 9 
; . 
x y x 
A 
x y y 
- - = = - ỡ ỡ 
Û ị - - ớ ớ 
- - = = - ợ ợ 
0,25 
Gọi A'  là điểm đối xứng với A qua  I. Khi đú điểm ( ) 8 9 ' ; A -  nằm  trờn đường  trũn 
ngoại tiếp tam giỏc ABC. 
Gọi K là trực tõm của tam giỏc ABC. Khi đú tứ giỏc BKCCA' cú hai cặp cạnh đối diện 
song song nờn là hỡnh bỡnh hành. Khi đú KA' và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi 
đường (là M). 
Vỡ  K  và  M  lần  lượt  nằm  trờn  AH  và  AM  nờn  giả  sử 
( ) 2 14; , K k k +  13 2 
6 
; . 
m 
M m 
- ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ 
Vỡ M  là trung điểm của KA' nờn 
( ) 
( ) 
2 14 8 2  12 1 1 
13 2 
2 9 2  2 4 
6 
. ; 
. ; 
k m K k 
m m k M 
+ - = ỡ ỡ - = - ỡ ù ù ị ị ớ ớ ớ - = + = ợ ù ù ợ ợ 
0,25 
Đường thẳng BC đi qua M và nhận  AK 
uuuur 
làm VTPT nờn  2 8 0 : . BC x y + - = 
Giả sử ( ) 8 2 ; . B b b -  Vỡ I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC nờn 
( ) ( ) 2 2  2  3 4 81 6 2 8 5 20 15 0 
1 
b 
IA IB b b b b 
b 
= ộ 
= Û + = + + - Û - + = Û ờ = ở 
. 
0,25 
Với  3 b =  ta cú ( ) 3 2 ; . B  Vỡ C đối xứng với B qua M nờn ( ) 1 6 ; . C 
Với  1 b =  ta cú ( ) 1 6 ; . B  Vỡ C đối xứng với B qua M nờn ( ) 3 2 ; . C 
0,25 
8  Điều kiện: 0 2 x Ê ạ  . 
Bất phương trỡnh đó cho trở thành 
14 
2 2 5 7 
2 
( ) x x 
x 
- + > + 
- 
7 
2 2 5 
2 
( ) . 
x 
x x 
x 
Û - + > 
- 
(1) 
0,25 
Rừ ràng  0 x =  khụng thỏa món bất phương trỡnh (1). 
Với  0 2 x < ạ  bất phương trỡnh (1) tương đương với 
2 2 7 
5 
2 
( ) 
. 
x x 
x x 
- 
+ > 
- 
Đặt 
2 x 
t 
x 
- 
=  . Khi đú bất phương trỡnh trở thành 
7 
2 5 t 
t 
+ > 
2 2 5 7 
0 
t t
t 
+ - 
Û >  2 7 1 0 ( )( ) t t t Û + - > 
1
7 
0 
2 
. 
t 
t 
> ộ 
ờ Û 
ờ- < < 
ở 
0,25 
* Với  1 t >  ta cú 
2 
1 
x 
x 
- 
>  , hay 
1 2 
0 
( )( ) x x 
x 
+ - 
>  4 x Û >  . 
0,25
* Với 
7 
0 
2 
t - < <  ta cú 
7 2 
0 
2 
x 
x 
- 
- < <  , hay 
0 2  1 
2 
4 4 2 1 0 
. 
( )( ) 
x 
x 
x x 
< < ỡ ù Û < < ớ 
+ - > ù ợ 
Vậy bất phương trỡnh đó cho cú nghiệm là 
1 
4 2 
4 
, . x x > < <  0,25 
9  Áp dụng bất đẳng thức Cụsi, ta cú 
2 2 2 
2 2 
2 2 
4 
5 5 9 
4 
. 
( ) ( ) ( ) ( ) 
a a a 
b c bc b c b c b c 
³ = 
+ + + + + + 
Tương tự, ta cú 
2 2 
2 2 
4 
5 9 
. 
( ) ( ) 
b b 
c a ca c a 
³ 
+ + + 
Suy ra 
2 2 2 2 2 
2 2 2 2 
4 2 
9 9 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 
a b a b a b 
b c c a b c bc c a ca b c c a 
ổ ử ổ ử + ³ + ³ + ỗ ữ ỗ ữ + + + + + + + + ố ứ ố ứ 
0,25 
2 2 
2 2 2 
2 2 
2 
2 2 
2 2 
2 2  2 
9 9 
4 
2 2 4 
9  4 4 
( ) 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) 
( ) ( ) 
. 
( ) ( ) 
a b 
c a b a b c a b 
ab c a b c a b 
c a b c 
a b c a b 
a b c a b c 
ổ ử + 
+ + ỗ ữ ổ ử + + + 
= ³ ỗ ữ ỗ ữ + + + + ỗ ữ ố ứ + + + ỗ ữ 
ố ứ 
ổ ử + + + 
= ỗ ữ + + + + ố ứ 
0,25 
Vỡ  1 1 a b c a b c + + = Û + = -  nờn 
2  2 2 
2 2 
2 2 
2 2 1 4 1 3 8 2 3 
1 1 1 
9 4 9 1 4 1 4 1 4 
( ) ( ) 
( ) ( ) . 
( ) ( ) 
c c c 
P c c 
c c c c c 
ổ ử - + - ổ ử ³ - - = - - - ỗ ữ ỗ ữ + - + - + ố ứ ố ứ 
(1) 
0,25 
Xột hàm số 
2 
2 8 2 3 1 1 
9 1 4 
( ) ( ) f c c 
c 
ổ ử = - - - ỗ ữ + ố ứ 
với  0 1 ( ; ). c ẻ 
Ta cú 
2 
16 2 2 3 
1 1 
9 1 2 1 
'( ) . ( ); 
( ) 
f c c 
c c 
ổ ử = - - - ỗ ữ + + ố ứ 
( ) 3  1 0 1 64 3 3 0 
3 
'( ) ( ) ( ) . f c c c c = Û - - + = Û = 
Bảng biến thiờn: 
Dựa vào bảng biến thiờn ta cú 
1 
9 
( ) f c ³ -  với mọi  0 1 ( ; ). c ẻ  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
1 
9 
, P ³ -  dấu đẳng thức xảy ra khi 
1 
3 
. a b c = = = 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 
1 
9 
. - 
0,25 
Cảm ơn thầy Nam Bựi (nambv.c3hungvuong@gmail.com) đó gửi tới www.laisac.page.tl 
( ) f c 
'( ) f c 
c 
1 
3 
0  + – 
0  1 
1 
9 -