Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 81

TRƯỜNG THPT CHUYấN 
HÀ TĨNH 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015 
Mụn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  3 2 3 2 (1). y x x = - + 
a. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số  (1) . 
b. Gọi M  là điểm thuộc đồ thị ( ) C  cú hoành độ bằng ư1. Tỡm m để tiếp tuyến với ( ) C  tại M 
song song với  đường thẳng  2 : ( 5) 3 1. d y m x m = + + + 
Cõu 2 (1,0 điểm). 
a. Giải phương trỡnh  cos3 2sin 2 cos 0. x x x + - = 
b. Giải phương trỡnh  1 5 5 6 0. x x - + - = 
Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn: 
1 
2 
0 
( ) . x I x e xdx = + ũ 
Cõu 4 (1,0 điểm). 
a. Giải phương trỡnh  3 1 
3 
2log (4 3) log (2 3) 2. x x - + + = 
b. Cho  n  là số nguyờn dương thỏa món  1 3 5 . n n C C =  Tỡm hệ số của số hạng chứa 
5 x  trong khai 
triển nhị thức Niutơn của  (2 ) . n x + 
Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng, BD = 2a; tam giỏc SAC 
vuụng tại S và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy,  3. SC a =  Tớnh theo a thể tớch khối 
chúp S.ABCD và khoảng cỏch từ điểm  B đến mặt phẳng  ( ). SAD 
Cõu 6  (1,0 điểm). Trong mặt phẳng  tọa độ O , xy  cho hỡnh bỡnh hành  ABCD  cú  N  là  trung 
điểm của cạnh CD  và đường thẳng  BN  cú phương trỡnh là 13 10 13 0; x y - + =  điểm  ( 1;2) M - 
thuộc đoạn thẳng AC  sao cho  4 . AC AM =  Gọi H  là điểm đối xứng với  N  qua  . C  Tỡm tọa độ 
cỏc đỉnh  , , , , A B C D  biết rằng  3 2 AC AB =  và điểm  H  thuộc đường thẳng  : 2 3 0. x y D - = 
Cõu  7  (1,0  điểm).  Trong  khụng  gian  với  hệ  tọa  độ   , Oxyz  cho  điểm  ( 2;1;5) A -  , mặt  phẳng 
( ) : 2 2 1 0 P x y z - + - =  và  đường  thẳng 
1 2 
: . 
2 3 1 
x y z 
d 
- - 
= =  Tớnh  khoảng  cỏch  từ  A  đến 
( ) P  . Viết phương trỡnh mặt phẳng  ( ) Q  đi qua  A  , vuụng gúc với  ( ) P  và song song với  . d 
Cõu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh 
2 2 2 3 
2 2 3 
( 1) 2 2 0 
( , ). 
3 2 2 0 
x y y x y y 
x y R 
y xy x x 
ỡ + - - + - + + = ù ẻ ớ 
- - - - + = ù ợ 
Cõu 9 (1,0 điểm). Cho  a  là số thực thuộc đoạn [1;2]. Chứng minh rằng 
1 (2 3 4 )(6 8 12 ) 24 a a a a a a a+ + + + + < 
---------HẾT--------- 
Cảm ơn thầy Huỳnh Chớ Hào ( admin  đó chia sẻ đến 
www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT CHUYấN 
HÀ TĨNH 
THI THỬ THPT QG LẦN 1 NĂM 2015 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Mụn: TOÁN 
Cõu  Nội dung  Điểm 
1.a  Ta cú  2 3  2 3 + - =  x x y  . 
+) Tập xỏc định: R. 
+) Sự biến thiờn: 
w Chiều biến thiờn:  x x y  6 3 '  2 - =  , ờ 
ở 
ộ 
= 
= 
Û = 
2 
0 
0 ' 
x 
x 
y 
0,25 
w Giới hạn, tiệm cận: 
-Ơ = 
-Ơ đ 
y 
x 
lim  , +Ơ = 
+Ơ đ 
y 
x 
lim  . Đồ thị hàm số khụng cú tiệm cận. 
w Cực trị: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại  (0;2) , cực tiểu tại  (2; 2) - 
w Hàm số đb trờn mỗi khoảng  ( ;0); (2; ) -Ơ +Ơ  , nghịch biến trờn  (0;2) 
0,25 
w Bảng biến thiờn: 
0,25 
Đồ thị: 
Đồ thị cắt Ox tại  (1;0) , cắt Oy tại  (0;2) 
(0;2) 
0,25 
1.b  Ta cú  ( 1; 2). M - -  0,25 
Pttt của (C) tại M là  / : ( 1)( 1) 2 y y x D = - + -  hay  : 9 7. y x D = +  0,25 
2  2 5 9 
/ / 2. 
2 3 1 7 
m m 
d m 
m m 
= ± ỡ + = ỡ 
D Û Û Û = - ớ ớ 
ạ + ạ ợ ợ 
0,5 
2.a  cos3 2sin 2 cos 0 2sin 2 (1 sin ) 0 x x x x x + - = Û - =  0,25 
sin 2 0  2 
sin 1 
2 
2 
x k x
x 
x k 
p 
p p 
ộ = ờ = ộ 
Û Û ờ ờ = ở ờ = + ờ ở 
0,25 
x -Ơ  0                  2 +Ơ 
y'  +  0  ư  0        + 
y 
2 +Ơ 
ư2 
-Ơ 
y
2 
2 
O    1  x 
ư2
2.b 
1 2 5 5 6 0 5 6.5 5 0 x x x x - + - = Û - + =  0,25 
Û 
5 5 1 
0 5 1 
x 
x 
x 
x 
ộ = = ộ 
Û ờ ờ = = ở ở 
0,25 
3 
1 1 1 
2 2 2 
1 2 
0 0 0 
1 1  3 
2 
1 
0  0 
( ) 
1 
3 3 
x x I x e xdx x dx xe dx I I 
x 
I x dx 
= + = + = + 
= = = 
ũ ũ ũ 
ũ 
0,5 
Đặt 
2 x 
u x 
dv e dx 
= ỡ 
ớ 
= ợ 
Ta cú  2 
2 
x 
du dx 
e 
v 
= ỡ 
ù 
ớ 
= ù ợ 
0.25 
1 1 2 2 2 2 2 1 
2  0 
0 0 
1 
( ) . 
2 2 2 4 4 
x x x x xe e xe e e 
I dx 
+ 
= - = - = ũ  Vậy 
2 3 7 
12 
e 
I 
+ 
=  0,25 
4.a 
ĐK: 
3 
4 
x >  .   PT Û 
2 
2 
3 3 3 
(4 3) 
log (4 3) log (2 3) 2 log 2 
2 3 
x 
x x 
x 
- 
- - + = Û = 
+ 
0,25 
2 8 21 9 0 3 x x x Û - - = Û =  hoặc 
3 
8 
x 
- 
=  . Đối chiếu ĐK ta được nghiệm x=3  0,25 
4.b  ĐK:  * , 3. n N n ẻ ³  Ta cú  1 3 2 5 3 28 0 7 n n C C n n n = Û - - = Û =  hoặc  4 n = -  (Loại)  0,25 
7 
7 7 
7 
0 
(2 ) 2 k k k 
k 
x C x - 
= 
+ = ồ  . Sh chứa  5 x  ứng với k=5. Hệ số của  5 x  là  5 2 7 2 84. C =  0,25 
5 
B 
C 
D A 
S
H 
K 
J 
Kẻ  ( ) SH AC H AC ^ ẻ  . 
Do  ( ) ( ) ( ) SAC ABCD SH ABCD ^ ị ^ 
2 2  . 3 ; 
2 
SA SC a 
SA AC SC a SH 
AC 
= - = = = 
2 .  2 
2 ABCD 
AC BD 
S a = = 
3 
2 
. 
1 1 3 3 
. .2 . 
3 3 2 3 S ABCD ABCD 
a a 
V SH S a = = = 
0,5 
Ta cú  2 2  4 ( ,( )) 4 ( , ( )). 
2 
a 
AH SA SH CA HA d C SAD d H SAD = - = ị = ị = 
Do BC//(SAD)  ( ,( )) ( ,( )) 4 ( ,( )). d B SAD d C SAD d H SAD ị = = 
Kẻ  ( ), ( ) HK AD K AD HJ SK J SK ^ ẻ ^ ẻ 
Cm được  ( ) ( ) SHK SAD ^  mà  ( ) ( ,( )) HJ SK HJ SAD d H SAD HJ ^ ị ^ ị = 
AHK D  vuụng cõn tại K  0 
2 
sin 45 
4 
a 
HK AH ị = = 
2 2 
. 3 
2 7 
SH HK a 
HJ 
SH HK 
ị = = 
+ 
Vậy 
2 3 2 21 
( ,( )) 
7 7 
a a 
d B SAD = = 
0,5
6 
2 2 
13( 1) 10.2 13  20 
( , ) ; 
269 13 10 
d M BN 
- - + 
= = 
+ 
(3 ;2 ) H H a a ẻ D Û 
I 
G 
A  B 
C D 
H 
N 
M 
0,25 
Gọi I  là tõm ABCD, G là giao điểm của AC và BN.  Ta thấy G là trọng tõm  BCD D  . 
Suy ra 
2 1 
3 3 
CG CI AC = =  mà 
1 5 4 
4 12 5 
AM AC MG AC CG MG = ị = ị = 
4 16 32 
( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 
5  269 269 
d C BN d M BN d H BN d C BN ị = = ị = = 
13.3 10.2 13  32 
1 
269 269 
a a 
a 
- + 
Û = Û =  hoặc 
45 
19 
a 
- 
= 
Vỡ H  và  M  nằm khỏc phớa đối với đường thẳng BN  nờn  (3;2) H 
0,25 
Ta thấy 
3 2 2 
4 4 4 2 
AC AB CD CD 
CM CN CH MHN = = = = = = ị D  vuụng tại M. 
MH cú pt  2 0 : 1 0 ( 1;0) y MN x N - = ị + = ị -  (1;1), C ị  ( 3; 1) D - - 
0,25 
Do 
5 7 1 5 7 13 
3 ( ; ) ( ; ) ( ; ). 
3 3 3 3 3 3 
CM MA A I B 
- - 
= ị ị ị 
uuuur uuur 
Vậy 
5 7 7 13 
( ; ), ( ; ), (1;1), ( 3; 1). 
3 3 3 3 
A B C D 
- 
- - 
0,25 
7 
2 2 2 
2( 2) 2.1 1.5 1  2 
( ,( )) 
3 2 ( 2) 1 
d A P 
- - + - 
= = 
+ - +  0,5 
(P)  cú vtpt là  (2; 2;1) p n = - 
uur 
, d cú vtcp là  (2;3;1) d u = 
uur 
, ( ) [ , ]= 5;0;10 p d n u - 
uur uur 
0,25 
Theo giả thiết  suy ra (Q) nhận 
1 
[ , ]=(1;0;ư2) 
5  p d 
n n u 
- 
= 
r uur uur 
làm vtpt 
Suy ra  ( ) : 2 12 0 Q x z - + = 
0,25 
8  ĐK:  2 2 2 0; 2 2 0. y xy x - ³ - - ³ 
2 2 2 3 2 2 2 ( 1) 2 2 0 ( 2 )( 2 1) 0 x y y x y y x y y x + - - + - + + = Û + - + + - = 
Û  2 
2 2 
0 
2 
2 
y 
y x 
y x 
³ ỡ 
= + Û ớ 
= + ợ 
(Do  2 2  2 1 0 , y x x y + + - > "  ) 
0,5 
Thay  2 2  2 y x = +  vào PT thứ hai của hệ ta được pt sau với ĐK:  3  2 x ³ 
( ) 
( )( ) 
2 3 2 3 3 3 
2 
2 2 2 3 3 3 
2 
2 2 2 3 3 3 
1 2 0 ( 1 2) 3 2 5 
3 3 9 3 
3 1 
( 1) 2 1 4 2 5 
3 
3 3 9  (*) 
1 
( 1) 2 1 4 2 5 
x x x x x x 
x x x x 
x 
x x x 
x 
x x x 
x x x 
- - - + = Û - - + - = - - 
ộ ự - + + + 
Û - + = ờ ỳ 
- + - + - + ờ ỳ ở ỷ 
= ộ 
ờ + + + Û ờ + = 
ờ - + - + - + ở 
0,25
Ta thấy 
2 
2 3 2 2 3 
3 
2 2 2 2 
3 9 
) 2 3 1 2 2 ( 3 1) 4( 2) 
2 5 
( ) ( 3) 5 0 
x x 
x x x x x x 
x 
x x x x x 
+ + 
+ > Û + - > - Û + - > - 
- + 
Û + + - + > " 
( ) 2 2 2 3 3 
2 2 2 3 3 
3 
) 1 2 ( 1) 2 1 1 ** 
( 1) 2 1 4 
x 
x x x 
x x 
+ 
+ + 
- + - + 
Đặt  2 3  1, 0 t x t = - >  . Khi đú (**) trở thành 
2 3 2 2 3 4 3 2 2 1 1 ( 2 1) 1 3 6 4 0 t t t t t t t t t t + + > + Û + + > + Û + + + >  Đỳng  0 t " >  . 
Suy ra  (*) vụ nghiệm 
Vậy hệ cú nghiệm duy nhất (x;y)=(3;  11 ) 
0,25 
9 
BĐT 
1 1 1 
(2 3 4 )( ) 24 
2 3 4 
a a a 
a a a Û + + + + <  0,25 
Do  [1;2] 2 2 4; 3 3 9; 4 4 16 a a a a ẻ ị Ê Ê Ê Ê Ê Ê 
2 2 16; 2 3 16; 2 4 16. a a a ị Ê < < < < Ê 
Với  [2;16] xẻ  , ta cú 
2  32 32 ( 2)( 16) 0 18 32 0 18 0 18 x x x x x x 
x x 
- - Ê Û - + Ê Û - + Ê Û Ê - 
0,25 
Từ đú suy ra 
1 1 1 
32( ) 54 (2 3 4 ) 
2 3 4 
a a a 
a a a + + < - + + 
1 1 1 54 (2 3 4 ) 
2 3 4 32 
a a a 
a a a 
- + + 
Û + + < 
Khi đú 
2 
1 1 1 (2 3 4 )[54ư(2 3 4 )] 
(2 3 4 )( ) 
2 3 4 32 
1 [2 3 4 54ư(2 3 4 )] 729 
24 
32 2 32 
a a a a a a 
a a a 
a a a 
a a a a a a 
+ + + + 
+ + + + < 
ộ ự + + + + + 
Ê = < ờ ỳ 
ở ỷ 
0,5 
Cảm ơn thầy Huỳnh Chớ Hào ( admin  đó chia sẻ đến 
www.laisac.page.tl