trang 1 TRƯỜNG THPT MẠC ĐỈNH CHI ễN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mụn TOÁN Thời gian làm bài 180 phỳt ưưưưưưưưưưưư***ưưưưưưưưưưưư Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: 4 2 2 2( 1) 1 (1) y x m x = - + + a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. b) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để hàm số (1) cú 3 điểm cực trị thỏa món giỏ trị cực tiểu đạt giỏ trị lớn nhất. Cõu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trỡnh : sin 2 cos sin 1 ( ) x x x x R - + = ẻ b) Giải bất phương trỡnh : 2 1 2 2 log log (2 ) 0 ( ) x x R ộ ự - > ẻ ở ỷ . Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 2 3 1 1 dx I x x = + ũ . Cõu 4 (0,5 điểm). Cho số phức z thỏa món điều kiện 11 1 2 z z z - = - - . Hóy tớnh 4 2 z i z i - + . Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh lăng trụ . ' ' ' ABC A B C , ABC D đều cú cạnh bằng a , ' AA a = và đỉnh ' A cỏch đều , , A B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và ' A B . Tớnh theo a thể tớch khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C và khoảng cỏch từ C đến mặt phẳng ( ) AMN . Cõu 6 (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) S cú phương trỡnh 2 2 2 4 6 2 2 0 x y z x y z + + - + - - = . Lập phương trỡnh mặt phẳng ( ) P chứa truc Oy và cắt mặt cầu ( ) S theo một đường trũn cú bỏn kớnh 2 3 r = . Cõu 7 (0,5 điểm). Giải búng chuyền VTV Cup gồm 12 đội búng tham dự, trong đú cú 9 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiờn để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tớnh xỏc suất để 3 đội búng của Việt Nam ở ba bảng khỏc nhau. Cõu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC với đường cao AH cú phương trỡnh 3 4 10 0 x y + + = và đường phõn giỏc trong BE cú phương trỡnh 1 0 x y - + = . Điểm (0;2) M thuộc đường thẳng AB và cỏch đỉnh C một khoảng bằng 2 . Tớnh diện tớch tam giỏc ABC . Cõu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trỡnh: ( ) 2 2 5 4 1 ( 2 4) x x x x x + < + + - (xẻ R). Cõu10 (1,0 điểm). Cho cỏc số thực ; x y thay đổi. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 P x y x x y x y = + + + + + - + + - . ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ đờn www.laisac.page.tl trang 2 ĐÁP ÁN Cõu 1. (2 đ) a) (Tự khảo sỏt) b) y’ = 4x 3 – 4(m 2 +1)x y’ = 0 Û 2 0 1 x x m = ộ ờ = ± + ờ ở ị hàm số (1) luụn cú 3 điểm cực trị với mọi m 2 1 CT x m = ± + ị giỏ trị cực tiểu 2 2 ( 1) 1 CT y m = - + + 2 2 ỡ ( 1) 1 0 CT V m y + ³ ị Ê 2 max( ) 0 1 1 0 CT y m m = Û + = Û = Cõu 2. (1 đ) a) sin2 cos sin 1 x x x - + = (1) (1) Û (sin cos )(1 sin cos ) 0 x x x x - + - = sin cos 0 1 sin cos 0 x x x x - = ộ Û ờ + - = ở 4 ( ) 3 2 2 2 x k k Z x k x k p ộ = + p ờ Û ẻ ờ p ờ = p Ú = + p ờ ở b) 2 1 2 2 og log (2 ) 0 ( ) x x R ộ ự - > ẻ ở ỷ (2). Điều kiện: 2 2 2 log (2 ) 0 2 1 1 1 x x x - > Û - > Û - < < Khi đú (2) Û 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 log (2 ) 1 0 2 2 0 x x x x x x x - < < - < < ỡ ỡ - < < ỡ - < Û Û Û ớ ớ ớ ạ - ợ ợ ợ Vậy tập nghiệm bpt là ( 1;0) (0;1) S = - ẩ Cõu 3. (1 đ) 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 dx x dx I x x x x = = + + ũ ũ . Đặt 3 3 2 2 2 1 1 . 3 t x x t x dx t dt = + ị = - ị = . 1 2 ; 2 3 x t x t = ị = = ị = 3 3 2 2 2 2 . 1 1 1 3 3 1 1 ( 1) t dt I dt t t t t ổ ử = = - ỗ ữ - + - ố ứ ũ ũ 3 2 1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 ln ln ln ln 3 1 3 2 3 2 2 1 x I x ổ ử - - + = = - = ỗ ữ + + ố ứ Cõu 4. (0,5 đ) 11 1 2 z z z - = - - Û 2 4 13 0 z z - + = , 2 ' 9 9i D = - = ị 2 3 2 3 z i z i = + ộ ờ = - ở l 2 3 z i = + ị 4 2 z i z i - + = 2 1 2 i i - = - l 2 3 z i = - ị 4 2 z i z i - + = 2 7 53 2 5 29 i i - = + Cõu 5. (1 đ) l Gọi O là tõm tam giỏc đều ABC ị A’O ^ (ABC) Ta cú 3 2 3 , 2 3 3 a a AM AO AM = = = 2 2 2 2 6 ' ' 3 3 a a A O AA AO a = - = - = ; 2 3 4 ABC a S D = trang 3 Thể tớch khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C : 2 2 3 6 2 . ' . 4 3 4 ABC a a a V S A O D = = = l Ta cú [ ] 1 . , ( ) 3 NAMC AMC V S d N ABC D = [ ] 3 ,( ) NAMC AMC V d C AMN S D ị = [ ] 2 1 3 1 6 ; ,( ) ' 2 8 2 6 AMC ABC a a S S d N ABC A O = = = = Suy ra: 2 2 1 3 6 2 . 3 8 6 48 NAMC a a a V = = lại cú : 3 2 a AM AN = = , nờn AMN D cõn tại A Gọi E là trung điểm AM suy ra AE MN ^ , ' 2 2 A C a MN = = 2 2 2 2 3 11 4 16 4 a a a AE AN NE ị = - = - = ; 2 1 11 . 2 16 AMN a S MN AE = = [ ] 2 3 2 11 22 ,( ) : 48 16 11 a a a d C AMN ị = = (đvđd) Cõu 6. (1 đ) 2 2 2 2 2 2 ( ) : 4 6 2 2 0 ( 2) ( 3) ( 1) 16 S x y z x y z x y z + + - + - - = Û - + + + - = ị ( ) S cú tõm (2; 3;1) I - bỏn kớnh 4 R = ; trục Oy cú VTCP (0;1;0) j = r Gọi ( ; ; ) n a b c = r là VTPT mp(P) , ( ) P chứa Oy ị 2 2 0 ( ;0; ) ( 0) n j b n a c a c ^ ị = ị = + ạ r r r Phương trỡnh mp(P): 0 ax cz + = (P) cắt mặt cầu (S) theo đường trũn cú bỏn kinh 2 3 r = ị [ ] 2 2 , ( ) 2 d I P R r = - = Û 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 a c a ac c a c a c + = Û + + = + + E A B C C' B' A' M O N trang 4 2 0 3 4 0 3 4 c c ac c a = ộ Û - = Û ờ = ở Vậy phương trỡnh mp(P) : 0 x = hoặc 3 4 0 x z + = . Cõu 7. (0,5 đ) Số phần tử khụng gian mẫu là 4 4 4 4 12 8 ( ) . . 34.650 n C C C W = = Gọi A là biến cố “3 đội bong của Việt nam ở ba bảng khỏc nhau” Số cỏc kết quả thuận lợi của A là 3 3 3 9 6 3 ( ) 3 .2 .1. 1080 n A C C C = = Xỏc xuất của biến cố A là ( ) 1080 54 ( ) 0,31 ( 34650 173 n A P A n = = = W ; Cõu 8. (1 đ) Gọi N là điểm đối xứng của M qua phõn giỏc BE thỡ N thuộc BC Tớnh được N(1; 1). Đường thẳng BC qua N và vuụng gúc với AH nờn cú phương trỡnh 4x − 3y – 1 = 0 B là giao điểm của BC và BE. Suy ra tọa độ B là nghiệm của hệ pt: 4 3 1 0 (4;5) 1 0 x y B x y - - = ỡ Û ớ - + = ợ Đường thẳng AB qua B và M nờn cú phương trỡnh : 3x – 4y + 8 = 0 A là giao điểm của AB và AH, suy ra tọa độ A là nghiệm hệ pt: 3 4 8 0 1 ( 3; ) 3 4 10 0 4 x y A x y - - = ỡ Û - - ớ + + = ợ Điểm C thuộc BC va MC = 2 suy ra tọa độ C là nghiệm hệ pt: 2 2 (1;1) 1; 1 4 3 1 0 31 33 31 33 ; ; ( 2) 2 25 25 25 25 C x y x y C x y x y ộ = = ộ - - = ỡ ù ờ ờ Û ị ớ ổ ử ờ ờ = = + - = ỗ ữ ù ợ ờ ở ố ứ ở Thế tọa độ A và C(1; 1) vào phương trỡnh BE thỡ hai giỏ trị trỏi dấu, suy ra A, C khỏc phớa đối với BE, do đú BE là phõn giỏc trong tam giỏc ABC. Tương tự A và 31 33 ; 25 25 C ổ ử ỗ ữ ố ứ thỡ A, C cựng phớa với BE nờn BE là phõn giỏc ngoài của tam giỏc ABC. BC = 5, 49 ( , ) 20 AH d A BC = = . Do đú 49 8 ABC S = (đvdt). Cõu 9. (1 đ) ( ) 2 2 5 4 1 ( 2 4) x x x x x + < + + - (*) A B C H E M(0;2) N I trang 5 ĐK: x(x 2 + 2x − 4) ≥ 0 Û 1 5 0 1 5 x x ộ- - Ê Ê ờ ³ - + ờ ở Khi đú (*) Û 2 2 4 ( 2 4) 5 4 x x x x x + - > + - Û 2 2 4 ( 2 4) ( 2 4) 3 x x x x x x + - > + - + (**) TH 1: 1 5 x ³ - + , chia hai vế cho x > 0, ta cú: (**) ị 2 2 2 4 2 4 4 3 x x x x x x + - + - > + Đặt 2 2 4 , 0 x x t t x + - = ³ , ta cú bpt: 2 4 3 0 t t - + < 1 3 t Û < < 2 2 2 7 4 0 2 4 1 3 4 0 x x x x x x x ỡ - - < + - ù < < Û ớ + - > ù ợ Û 1 17 7 65 2 2 x - + + < < TH 2: 1 5 0 x - - Ê Ê , 2 5 4 0 x x + - < , (**) luụn thỏa Vậy tập nghiệm bpt (*) là 1 17 7 65 1 5;0 ; 2 2 S ổ ử - + + ộ ự = - - ẩ ỗ ữ ở ỷ ố ứ Cõu10. (1 đ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 P x y x x y x y = + + + + + - + + - Xột cỏc điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta cú OM + ON ≥ MN Û 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 4 4 x y x y y - + + + + ³ + ị 2 2 1 2 ( ) P y y f y ³ + + - = TH1: y ≤ 2: 2 ( ) 2 1 2 f y y y = + + - ị 2 2 '( ) 1 1 y f y y = - + 2 2 0 3 '( ) 0 2 1 3 3 1 y f y y y y y ³ ỡ = Û = + Û Û = ớ = ợ Lập bảng biến thiờn f(y) ị ( .2] 3 min ( ) 2 3 3 x f y f ẻ -Ơ ổ ử = = + ỗ ữ ố ứ TH2: y ≥ 2: 2 ( ) 2 1 2 f y y y = + + - ≥ 2 5 2 3 > + Vậy 2 3 ; P x y ³ + " . Do đú 2 3 MinP = + khi x = 0 ; y = 3 3 ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ đờn www.laisac.page.tl
Tài liệu đính kèm: