Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 67

SỞ GD&ĐT HỒ CHÍ MINH 
TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
Mụn  : TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt ,khụng kể thời gian giao đề 
Cõu 1(2 điểm). Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 1 y f x x x C = = - + + 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trỡnh 
( ) '' 0 f x =  . 
Cõu 2 a) Cho 
4 
cos ,   0 
5 2 
p a a ổ ử = - < < ỗ ữ 
ố ứ 
. Tớnh giỏ trị biểu thức  sin cos 
4 4 
A p p a a ổ ử ổ ử = - + ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
. 
b) Cho số phức  3 2 z i = -  . Tỡm phần thực và phần ảo của số phức  w iz z = -  . 
Cõu 3(0.5 điểm). Giải phương trỡnh  2 2 5 0, x x e e x R - + - = ẻ  . 
Cõu 4(1 điểm). Tớnh tớch phõn 
1 
1 
ln 
e 
I x xdx 
x 
ổ ử = + ỗ ữ 
ố ứ ũ 
. 
Cõu 5(0.5 điểm). Trong cuộc thi “ Rung chuụng vàng”, đội Thủ Đức cú 20 bạn lọt vào vũng chung 
kết, trong đú cú 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trớ chơi, ban tổ chức chia cỏc bạn thành 4 
nhúm A, B, C, D, mỗi nhúm cú 5 bạn. Việc chia nhúm được thực hiện bằng cỏch bốc thăm ngẫu 
nhiờn. Tớnh xỏc suất để 5 bạn nữ thuộc cựng một nhúm. 
Cõu 6(1 điểm). Trong khụng gian cho hỡnh chúp S.ABCD, tứ giỏc ABCD là hỡnh thang cõn, hai 
đỏy là BC và AD. Biết  2, 2 , SA a AD a AB BC CD a = = = = =  . Hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn 
mặt phẳng ABCD trựng với trung điểm cạnh AD. Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABCD và 
khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SB và AD. 
Cõu 7(1 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giỏc ABC cú tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc 
ABC là ( ) 2;1 I -  và thỏa món điều kiện  ã  90 AIB = ° . Chõn đường cao kẻ từ A đến BC là ( ) 1; 1 D - -  . 
Đường thẳng AC qua ( ) 1;4 M -  . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, B biết đỉnh A cú hoành độ dương. 
Cõu 8(1 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm ( ) ( ) 1; 1; 2 , 3;0; 4 A B - -  và mặt 
phẳng  (P) : x 2y 2z 5 0 - + - =  . Tỡm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Viết 
phương trỡnh mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuụng gúc với mặt phẳng (P). 
Cõu 9(1 điểm). Giải hệ phương trỡnh ( ) 
2 
2 
3 5 4 
; 
4 2 1 1 
x xy x y y y 
x R 
y x y x 
ỡ + + - - = + ù ẻ ớ 
- - + - = - ù ợ 
Cõu 10(1 điểm). Cho a, b, c là cỏc số dương và  3 a b c + + =  . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
3 3 3 
bc ca ab 
P 
a bc b ca c ab 
= + + 
+ + + 
. 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiễn  https://www.facebook.com/HIEN.0905112810  đó chia sẻ đến 
www.laisac.page.tl
CÂU  ĐÁP ÁN  ĐIỂM 
1 
a 
Tập xỏc định D R = 
0,25 
= - + 2 ' 6 6 y x x 
ộ = 
= Û ờ = ở 
0 
' 0 
1 
x 
y 
x 
đ-Ơ đ+Ơ 
= +Ơ = -Ơ lim ; lim 
x x 
y y  0,25 
-Ơ +Ơ 
- + - 
+Ơ 
-Ơ 
0  1 
'  0 0 
2 
1 
x 
y 
y 
0,25 
Hàm số đồng biến trờn khoảng ( ) 0;1  . 
Hàm số nghịch biến trờn khoảng ( ) ( ) -Ơ +Ơ ;0 ; 1;  . 
Hàm số đạt cực đại tại = = 1, 2. CD x y 
Hàm số đạt cực tiểu tại = = 0, 1. CT x y 
Bảng giỏ trị 
1 
1 0 1 2 
2 
3 
6 1 2 3 
2 
x 
y 
- 
- 
0,25 
b  Gọi ( ) 0 0 ; M x y  là tiếp điểm của tiếp tuyến và (C).  0,25
2 
( ) '' 12 6 f x x = - + 
( ) = Û - + = 
Û = ị = 
0 0 
0 0 
'' 0 12 6 0 
1 3 
2 2 
f x x 
x y 
0,25 
( ) 0 
1 3 
' ' 
2 2 
f x f ổ ử = = ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
Phương trỡnh tiếp tuyến tại M cú dạng 
3 1 3 
2 2 2 
3 3 
2 4 
y x
x 
ổ ử = - + ỗ ữ 
ố ứ 
= + 
0,25 
a 
2 2 2 2 
2 
sin cos 1 sin 1 cos
4 9 
1 
5 25 
3 
sin 
5 
a a a a 
a 
+ = Û = - 
ổ ử = - = ỗ ữ 
ố ứ 
Û = ± 
Vỡ  0 
2 
p a - < <  nờn  3 sin 
5 
a = -  . 
0,25 
( ) 
sin cos 
4 4 
1 
sin 2 sin 
2 2 
1 
2sin cos 1 
2 
49
50 
A p p a a
p a 
a a 
ổ ử ổ ử = - + ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
ộ ự ổ ử = + - ỗ ữ ờ ỳ ố ứ ở ỷ 
= - 
= - 
0,25 
b 
3 2 z i = +  0,25 
( ) ( ) 3 2 3 2 
1 
w i i i 
i 
= - - + 
= - + 
Phần thực là ư1 
Phần ảo là 1. 
0,25 
3 
- + - = Û - + = 2 2 2 5 0 2 5 2 0. x x x x e e e e 
Đặt  x e , 0 t t = >  . Phương trỡnh trở thành 
0,25
ộ = 
ờ - + = Û 
ờ = 
ờ ở 
2 
2 
2 5 2 0  1 
2 
t 
t t 
t 
ộ ộ = = 
ờ ờ Û Û ờ ờ = = ờ ờ ở ở 
x 
x 
ln2 e 2 
1 1  ln e 
2 2 
x 
x 
0,25 
4 
a 
1 
1 
ln 
e 
I x xdx 
x 
ổ ử = + ỗ ữ 
ố ứ ũ 
1 2 
1 1 
1 
ln ln 
e e 
x xdx xdx I I 
x 
= + = + ũ ũ 
0,25 
1 
1 
ln 
e 
I x xdx = ũ 
Đặt 
1 
ln u x du dx 
x 
= ị = 
dv xdx =  chọn 
2
2 
x 
v = 
2 
1 
1 1 
2 2 2 
1 
1 
ln 
2 2 
1 
2 4 4 4 
e  e 
e 
x 
I x xdx 
e x e 
= - 
= - = + 
ũ 
0,25 
2 
1 
1 
ln 
e 
I xdx 
x 
= ũ 
Đặt 
1 
ln t x dt dx 
x 
= ị = 
Đổi cận 
1 
0 1 
x e 
t 
1 1  2 
2 
0  0 
1 
2 2 
t 
I tdt = = = ũ 
0,25 
2 
1 2 
3 
4 4 
e 
I I I = + = +  0,25 
5 
Cú  5 5 5 5 20 15 10 5 ( ) n C C C C W =  cỏch chia 20 bạn vào 4 nhúm, mỗi nhúm 5 bạn.  0,25 
Gọi A là biến cố “ 5 bạn nữ vào cựng một nhúm”  0,25
Xột 5 bạn nữ thuộc nhúm A cú  5 5 5 15 10 5 C C C  cỏch chia cỏc bạn nam vào cỏc nhúm cũn lại. Do vai trũ 
cỏc nhúm như nhau nờn cú  5 5 5 15 10 5 4 A  C C C W = 
Khi đú 
5 
20 
4 
(A) P 
C 
= 
6 
I 
A  D 
B  C 
S 
Ta cú 
2 3 3 
3 
4 ABCD ABI 
a 
S S = = 
Xột  SBI D  vuụng tại I cú:  2 2 2 2  . SI SB BI a SI a = - = ị = 
3 
. 
1 3 
. (dvtt) 
3 4 S ABCD ABCD 
a 
V SI S = = 
0,25 
( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
. 
3 
, , (SBC) I,(SBC)  SIBC 
SBC 
AD BC 
AD SBC 
BC SBC 
V 
d AD BC d AD d 
S 
ỹ ù ị ý è ù ỵ 
ị = = = 
P 
P 
0,25 
( ) ( ) ( ) 
3 3 
. 
2 
1 1 3 3 
3 3 4 12 
7 
4 
ISBC S ABCD 
SBC 
a a 
V V 
a 
S p p a p b p c 
= = = 
= - - - = 
0,25 
Vậy ( )  21 , 
7 
a 
d AD SB =  0,25
7 
ã ã 90 45 AIB BCA = ° ị = ° hoặc  ã  135 BCA = ° 
Suy ra  ã  45 CAD ADC = ° ị D  cõn tại D. 
Ta cú  DI AC ^  Khi đú phương trỡnh đường thẳng AC cú dạng:  2 9 0 x y - + =  . 
0.25 
( ) ( ) 2 9; , 8 2 ; 1 A a a AD a a - = - - - 
uuur 
( ) 
2 2 40 6 5 0 
1 
5 
1;5 (n) 
AD a a 
a 
a
A 
= Û - + = 
= ộ 
Û ờ = ở 
ị 
0.25 
Phương trỡnh BD :  3 4 0 x y + + = 
Phương trỡnh BI:  3 4 5 0 x y + + = 
0.25 
( ) 2; 2 B BI BD B = ầ ị -  .  0.25 
8 
( ) 2;1; 6 AB = - 
uuur 
là vtcp của đường thẳng AB. 
Ptts AB: ( ) 
1 2 
1 
2 6 
x t 
y t t R 
z t 
= + ỡ 
ù = - + ẻ ớ 
ù = - ợ 
0.25 
Gọi M là giao điểm của AB và (P). Khi đú ( ) 1 2 ; 1 ;2 6 M t t t + - + -  . 
( ) ( ) ( ) (P) 1 2 2 1 2 2 6 5 0 
1 
6 
M t t t 
t 
ẻ ị + - - + + - - = 
Û = 
4 5 
; ;1 
3 6 
M ổ ử ị - ỗ ữ 
ố ứ 
0.25 
Vtpt ( ) ( ) ( ) , 10; 10; 5 . Q P n AB n ộ ự = = - - - ở ỷ 
r uuur r 
0.25 
( ) : 2 2 2 0. Q x y z + + - =  0.25 
9 
Đk: 
2 
2 
0 
4 2 0 
1 0 
xy x y y 
y x 
y 
ỡ + - - ³ 
ù 
- - ³ ớ 
ù - ³ ợ 
Ta cú (1) ( )( ) 3 1 4( 1) 0 x y x y y y Û - + - + - + = 
0.25
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiễn  https://www.facebook.com/HIEN.0905112810  đó chia sẻ đến 
www.laisac.page.tl 
Đặt  , 1 u x y v y = - = +  (  0, 0 u v ³ ³  ) 
Khi đú (1) trở thành :  2 2 3 4 0 u uv v + - = 
4 ( ) 
u v 
u v vn 
= ộ 
Û ờ = - ở 
Với u v =  ta cú  2 1 x y = +  , thay vào (2) ta được :  2 4 2 3 1 2 y y y y - - + - = 
( ) ( ) 2 4 2 3 2 1 1 1 0 y y y y Û - - - - + - - = 
0.25 
( ) 
2 
2 2  2 
0 
1 1 4 2 3 2 1 
y  y 
y y y y 
- - 
+ = 
- + - - + - 
( ) 
2 
2 1 
2 0 
1 1 4 2 3 2 1 
y 
y y y y 
ổ ử 
ỗ ữ Û - + = 
ỗ ữ - + - - + - ố ứ 
0.25 
2 y Û =  ( vỡ 
2 
2 1 
0 1 
1 1 4 2 3 2 1 
y 
y y y y 
Û + > " ³ 
- + - - + - 
) 
Với  2 y =  thỡ  5 x =  . Đối chiếu Đk ta được  nghiệm của hệ PT là ( ) 5;2 
0.25 
10 
Vỡ a + b + c = 3 ta cú 
3 ( ) ( )( ) 
bc bc bc 
a bc a a b c bc a b a c 
= = 
+ + + + + + 
1 1 
2 
bc 
a b a c 
ổ ử Ê + ỗ ữ + + ố ứ 
Vỡ theo BĐT CụưSi: 
1 1 2 
( )( ) a b a c  a b a c 
+ ³ 
+ + + + 
, dấu đẳng thức xảy ra Û b = c 
0,25 
Tương tự 
1 1 
2 3 
ca ca 
b a b c b ca 
ổ ử Ê + ỗ ữ + + + ố ứ 
và 
1 1 
2 3 
ab ab 
c a c b c ab 
ổ ử Ê + ỗ ữ + + + ố ứ 
0,25 
Suy ra P 
3 
2( ) 2( ) 2( ) 2 2 
bc ca ab bc ab ca a b c 
a b c a b c 
+ + + + + 
Ê + + = = 
+ + + 
,  0,25 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = 
3 
2 
khi a = b = c = 1. 
0,25