Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 59

SỞ GD&ĐT HƯNG YấN 
TRƯỜNG THPT MINH CHÂU 
ĐỀ KSCL ễN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2 
NĂM HỌC 2014 ư 2015 
MễN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề. 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  (1). 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ (C) của hàm số (1). 
b) Tỡm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuụng gúc với đường thẳng 
d: x + 3y +1 = 0. 
Cõu 2 (1,0 điểm). 
a) Giải phương trỡnh:  0 ) cos )(sin cos 2 1 ( 2 cos = - + +  x x x x 
b) Giải phương trỡnh:  2 2 2 4 log log (4 ) 5 0 x x - - = 
Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 
2 
2 
1 
ln( . ) 
( 2) 
x x e 
I dx 
x 
= 
+ ũ 
Cõu 4 (1,0 điểm). 
a)  Tỡm số phức z thoả món đẳng thức: ( ) 2 2 6 z z z i + + = -  . 
b)  Mỗi đề thi gồm 4 cõu được lấy ngẫu nhiờn từ 15 cõu hỏi  trong một ngõn hàng đề thi gồm 
15 cõu hỏi. Bạn Thủy đó học thuộc 8 cõu trong ngõn hàng đề thi. Tớnh xỏc suất để bạn 
Thủy rỳt ngẫu nhiờn được một đề thi cú ớt nhất hai cõu đó thuộc. 
Cõu 5 (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :2 3 11 0 P x y z + + - =  và mặt 
cầu ( )  2 2 2 : 2 4 2 8 0 S x y z x y z + + - + - - =  . Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xỳc với mặt cầu (S). Tỡm tọa 
độ tiếp điểm của (P) và (S). 
Cõu  6  (1,0  điểm).  Cho  lăng  trụ  đứng  . ' ' ' ABC A B C  cú  đỏy  là  tam  giỏc  cõn,  AB AC a = =  , 
ã  0 120 BAC =  . Mặt phẳng (AB'C')  tạo với mặt đỏy gúc 60 0 . Tớnh  thể  tớch  lăng  trụ ABC.A'B'C'  và 
khoảng cỏch từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( ) ' ' AB C  theo  a . 
Cõu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giỏc  ABC  nhọn cú đỉnh  ( 1;4) A -  , trực 
tõm  H . Đường thẳng  AH  cắt  cạnh BC  tại M  , đường thẳng CH  cắt cạnh  AB  tại  N . Tõm đường 
trũn ngoại tiếp tam giỏc  HMN  là  (2;0) I  , đường thẳng  BC  đi qua điểm  (1; 2) P -  . Tỡm toạ độ cỏc 
đỉnh  , B C  của tam giỏc biết đỉnh  B  thuộc đường thẳng  : 2 2 0 d x y + - =  . 
Cõu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh: 
2 
2 1 2 
(1) 
( ) (2 ) (2 ) 
2( 4) 2 3 ( 6) 1 3( 2)  (2) 
x y x y x y y x x y 
y x y x x y y 
ỡ + = ù + + - + - ớ 
ù - - - - - + + = - ợ 
Cõu 9 (1,0 điểm). Cho ba số thực  , , a b c  thỏa món  2, 0, 0 a b c > > >  . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
2 2 2 
1 1 
( 1)( 1)( 1) 2 4 5 
P 
a b c a b c a 
= - 
- + + + + - + 
. 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810?fref=ufi) đó gửi tới 
www.laisac.page.tl
SỞ GD&ĐT HƯNG YấN 
TRƯỜNG THPT MINH CHÂU 
(Đỏp ỏn chấm cú 06 trang) 
ĐÁP ÁN KSCL ễN THI THPT QUỐC GIA 
NĂM HỌC 2014ư2015 
Mụn: TOÁN; LẦN 2 
I. LƯU í CHUNG: 
ư Hướng dẫn chấm chỉ  trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh  làm 
theo cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa. 
ư Với bài hỡnh học khụng gian (cõu 6) nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ hỡnh sai  thỡ khụng cho điểm 
tương ứng với phần đú. 
II. ĐÁP ÁN: 
Nội dung  Điểm 
Cõu 1 
Cho hàm số  3 2 
1 
3 
y x x = -  2,0đ 
í a  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số  1,0đ 
1.Tập xỏc định : D =  . 
2.Sự biến thiờn : 
2 ' 2 y x x = -  ; 
0 
' 0 
2 
x 
y 
x 
= ộ 
= Û ờ = ở 
3  1 1 lim lim [x ( ư )] = + 
3 x x 
y 
x đ+Ơ đ+Ơ 
= Ơ 
3  1 1 lim lim [x ( ư )] = ư 
3 x x 
y 
x đ-Ơ đ-Ơ 
= Ơ 
0,25đ 
Bảng biến thiờn 
0  2 
0  0 
0 
4 
3 
- 
Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng  và 
Hàm số nghịch biến trờn  . 
Hàm số cú cực đại tại  0 x =  và yCĐ = y(0)=0. 
Hàm số cú cực tiểu tại  2 x =  và yCT = y(2)= 
4 
3 
- 
0,25đ 
0,25đ 
3.Đồ thị 
Giao Ox: (0;0), (3;0) 
Giao Oy: (0;0) 
' 0 1 y x = Û = 
ịĐồ thị hàm số nhận I 
2 
(1; )
3 
-  làm điểm uốn và là tõm đối xứng 
0,25đ
í b 
f(x)=(1/3)x^3ưx^2 
ư8  ư6  ư4  ư2  2  4  6  8 
ư5 
5 
x 
y 
d cú hệ số gúc 
1 
3 
k = -  . 
Gọi  0 x  là hoành độ điểm M 
Ycbt  0 
1 
'( ).( ) 1 
3 
y x Û - = - 
0 '( ) 3 y x Û = 
2 
0 0 2 3 0 x x Û - - = 
0 
0 
1 
3 
x 
x 
= - ộ 
Û ờ = ở 
4 
( 1; )
3 
(3;0) 
M 
M 
ộ - - ờ Û 
ờ 
ở 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
2.a 
(0,5 điểm) 
Giải phương trỡnh: ...  0,5 
PT 
( )  0 ) 1 sin (cos cos sin 0 ) cos )(sin cos 2 1 ( 2 cos = + - - Û = - + +  x x x x x x x x  0,125 
ờ 
ờ 
ờ 
ờ 
ở 
ộ 
+ = + = 
+ = 
Û 
ờ 
ờ 
ờ 
ờ 
ở 
ộ 
= ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - 
= ữ 
ứ 
ử 
ỗ 
ố 
ổ - 
Û ờ 
ở 
ộ 
= + - 
= - 
Û 
p p p p 
p p 
p 
p 
2 , 2 
2 
4 
1 
4 
sin 2 
0 
4 
sin 2 
0 1 sin cos 
0 cos sin 
k x k x 
k x 
x 
x 
x x 
x x 
0,25 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 
( ) , 2 , 2 
4 2 
x k x k x k k p p p p p p = + = + = + ẻZ  0,125 
Cõu 2.b  2 2 
2 4 log log (4 ) 5 0 x x - - = 
Điểm 
(0,5điểm)  – Điều kiện: x > 0.  0,125 
Khi đú, phương trỡnh đó cho tương đương với 
2 2 2 
2 4 4 2 2 log (log 4 log ) 5 0 log log 6 0 x x x x - + - = Û - - =  (*) 
0,125 
– Đặt  2 log t x =  , phương trỡnh (*) trở thành 
2  3 6 0 
2 
t 
t t 
t 
ộ = ờ - - = Û ờ = - ờ ở 
0,125
- 
ộ ộ = = ờ ờ Û Û ờ ờ = - = ờ ờ ở ở 
3 
2 
2 
2 
log 3 2 
log 2  2 
x x 
x  x 
(nhận cả hai nghiệm) 
– Vậy, phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm :  8 x =  và 
1 
4 
x = 
0,125 
Cõu 3 
(1điểm) 
Tớnh tớch phõn 
Ta cú 
2 2 
2 2 
1 1 
ln 
( 2) ( 2) 
x x 
I dx dx 
x x 
= + 
+ + ũ ũ  0,25 
ã  Ta tớnh 
2 2 2 
2 2 2 
1 1 1 
2 2 ( 2) 1 2 4 1 
2 ln 2 ln 
1 1 ( 2) ( 2) ( 2) 2 3 6 
x x 
A dx dx dx x 
x x x x 
+ 
= = - = + + = - 
+ + + + ũ ũ ũ  0.25 
ã  Ta  tớnh 
2 2 
2 
1 1 
2 2 ln ln 1 1 
ln 2 ln 
1 1 ( 2) 2 ( 2) 4 2 2 
x x dx x 
B dx 
x x x x x 
= = - + = - + 
+ + + + ũ ũ 
1 1 3 
ln 2 ln 
4 2 2 
= - + 
Thay cỏc kết quả vào  I  ta được 
5 1 1 
ln 2 ln 3 
4 2 6 
I = - - 
0,5 
4  a  Tỡm số phức z thoả món đẳng thức: ( ) 2 2 6 z z z i + + = -  .  0,5 
Giả sử ( ) , z x yi x y = + ẻ Ă 
Ta cú ( ) 2 2 6 z z z i + + = - Û ( ) 2 2 6 x yi x yi x yi i + + + + - = -  0,25 
( )  2 5 2 6 ; ; 6 
5 
x yi i x y ổ ử Û + = - Û = - ỗ ữ 
ố ứ 
. Vậy 
2 
6 
5 
z i = -  0,25 
Cõu 4.b 
(1 điểm) 
b) Mỗi đề thi gồm 4 cõu được lấy ngẫu nhiờn từ 15 cõu hỏi  trong một 
ngõn hàng đề thi gồm 15 cõu hỏi. Bạn Thủy đó học thuộc 8 cõu trong 
ngõn hàng đề thi. Tớnh xỏc suất để bạn Thủy rỳt ngẫu nhiờn được một đề 
thi cú ớt nhất hai cõu đó thuộc. 
í b 
(0,5 điểm 
Lấy ngẫu nhiờn 4 cõu hỏi từ ngõn hàng đề để lập một đề thi, cú  4 15  1365 C =  đề thi 
Bạn Thủy rỳt ngẫu nhiờn được một đề cú 2 cõu đó thuộc, cú  2 2 8 7 . 588 C C =  cỏch 
0,25 
Bạn Thủy rỳt ngẫu nhiờn được một đề cú 3 cõu đó thuộc, cú  3 1 8 7 . 392 C C =  cỏch 
Bạn Thủy rỳt ngẫu nhiờn được một đề cú 4 cõu đó thuộc, cú  4 8  70 C =  cỏch 
Vậy xỏc suất cần tỡm là:  588 392 70 10 
1365 13 
p 
+ + 
= = 
0,25 
5  Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :2 3 11 0 P x y z + + - =  và mặt 
cầu ( )  2 2 2 : 2 4 2 8 0 S x y z x y z + + - + - - =  . Chứng minh mặt phẳng (P)  tiếp xỳc với 
mặt cầu (S). Tỡm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S). 
1,0 
Mặt cầu (S) cú tõm ( ) 1; 2;1 I -  , bỏn kớnh  14 R =  .  0,25
( ) ( )  2 6 1 11 , 14 
14 
d I P R 
- + - 
= = = ị mp(P)  tiếp  xỳc  với  mặt  cầu  (S)  tại H  (H  là 
hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn (P)). 
0,25 
Giả sử H(x;y;z) .Ta cú  IH 
uuur 
cựng phương với vtpt của mp(P) nờn 
( ) 
1 2 1 2 
. 2 3 2 3 
1 1 
P 
x t x t 
IH t n y t y t 
z t z t 
ỡ ỡ ù ù - = = + ù ù ù ù ù ù = Û + = Û = - + ớ ớ ù ù ù ù - = = + ù ù ù ù ợ ợ 
uur ur  0,25 
Tọa độ điểm H thỏa món hệ phương trỡnh ( ) 
1 2 
2 3 
1 3;1;2 
1 
2 3 11 0 
x t 
y t 
t H 
z t 
x y z 
= + ỡ 
ù = - + ù ị = ị ớ = + ù 
ù + + - = ợ 
. 
Vậy tiếp điểm của (P) và (S) là ( ) 3;2;1 H  . 
0,25 
6 
+ Xỏc định gúc giữa (AB'C') và mặt đỏy là ã ' AKA  ã  0 ' 60 AKA ị =  . 
Tớnh A'K = 
1 
' ' 
2 2 
a 
A C = ị  0 
3 
' ' .tan 60 
2 
a 
AA A K = = 
3 
. ' ' ' 
3 
=AA'.S 
8 ABC A B C ABC 
a 
V = 
0,5 
+) Vỡ BC//(AB’C’)  nờn d(BC;(AB'C'))= d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C')) 
Chứng minh: (AA'K) ^ (AB'C') 
Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuụng gúc với AK ị A'H ^ (AB'C') 
ị d(A';(AB'C')) = A'H 
Tớnh: A'H = 
3
4 
a 
Vậy d(B;(AB'C')) = 
3
4 
a 
0,5 
Cõu 7 
(1điểm) 
Tỡm toạ độ  
ã  Ta thấy tứ giỏc BMHN nội tiếp 
Suy ra  I  là trung điểm của BH; 
0,25 
N 
A 
H 
K 
C' 
B' 
A' 
C B 
A
(2 2 ; ) B d B t t ẻ ị - 
Cõu7  iểm 
Suy ra  (2 2 ; ) (3 2 ; 4), (2 1; 2) H t t AH t t BP t t + - ị = + - - = - - - 
uuur uuur 
Do  H  là trực tõm của tam giỏc  ABC 
. 0 (2 3)(2 1) ( 4)( 2) 0 AH BP t t t t ị = Û + - + + + = 
uuur uuur 
2 5 10 5 0 1 t t t Û + + = Û = - 
0,25 
Suy ra  (0;1), (4; 1), (1; 3) H B AH - = - 
uuur 
,đường thẳng  : 3 7 0 BC x y - - =  0,25 
Đường thẳng  : 2 6 0 AC x y - + =  . Tỡm được toạ độ  ( 5; 4) C - - 
KL.. 
0,25 
Cõ 
u 8 
Giải phương trỡnh: 
2 
2 1 2 
(1) 
( ) (2 ) (2 ) 
2( 4) 2 3 ( 6) 1 3( 2)  (2) 
x y x y x y y x x y 
y x y x x y y 
ỡ + = ù + + - + - ớ 
ù - - - - - + + = - ợ 
Điể 
m 
ĐK 
0 
0 
0 
0 
2 0 
x 
x 
y 
y 
x y 
³ ỡ 
³ ỡ ù ³ Û ớ ớ ³ ợ ù - ³ ợ 
Nếu y=0 thỡ 
2 
2 1 2 
(1) 
2 x x  x 
Û + =  (vụ lý) 
Tương tự x=0 khụng thỏa món, vậy x,y > 0. 
Đặt  , 0 x ty t = >  , phương trỡnh đầu trở thành: 
2 
2 1 2 
( 1) 2 1 1 (2 1) t t t t t 
+ = 
+ + - + - 
(1’) 
0,25 
Ta cú 
2 
1 2 2 2 
2 1 2 2 2 1 (2 1) 2 2 1 1 ( 2 1 1) t t t t t t t 
= = = 
+ - + - - + - + - + 
2 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 
(1') (2) 
( 1) ( 2 1 1) 1 (2 1) ( 1) ( 2 1 1) 1 (2 1) t t t t t t t t 
Û + = Û + = 
+ - + + - + - + + - 
Đặt  ( , 0) 
2 1 
a t 
a b 
b t 
ỡ = ù > ớ 
= - ù ợ 
, (2)  2 2 
1 1 1 
(2) (*) 
(1 ) (1 ) 1 a b ab 
Û + = 
+ + + 
Bổ đề :  2 2 
1 1 1 
(1 ) (1 ) 1 a b ab 
+ ³ 
+ + + 
Áp dụng BĐT CauchyưSchawarz ta cú: 
0,25
( )( )  2 2  2 
2 
1 1 
( . ) (1 ) . (3) 
(1 ) 
1 1 
tt  .  (4) 
(1 ) 
1 
a 
a ab b a b 
b a b a b 
b 
a a 
ab a b 
b a b 
³ + = + ị ³ 
+ + + 
³ 
+ + + 
+ + 
Cộng vế với vế ta được đpcm. Dấu “=” xảy ra  a b Û = 
(*) 2 1 1 t t t x y Û = - Û = Û = 
0.25 
2 2 2 2 
2(x 4) 3 ( 6) 2 1 3( 2) 
4( 4) ( 3) ( 6) (2 1) 4( 4) ( 3) ( 6) (2 1) 
2(x 4) 3 ( 6) 2 1 
3( 2) 2(x 4) 3 ( 6) 2 1 
x x x x 
x x x x x x x x 
x x x 
x x x x 
ỡ - - - - + = - 
ù 
ớ - - - - + - - - - + 
- - + - + = = ù - - - - - + ợ 
( Do đk  3 x ³  nờn xư2 > 0) 
Û  2 
2(x 4) 3 ( 6) 2 1 3( 2)         (5) 
2 7 28 
2(x 4) 3 ( 6) 2 1 (6) 
3 
x x x x 
x x 
x x x 
ỡ - - - - + = - 
ù 
ớ + - 
- - + - + = ù 
ợ 
Cộng vế với vế (5) và (6) ta được: 
2 
2 
2 7 28 
4(x 4) 3 3( 2) 12( 4) 3 2( 4)( 12) 
3 
2( 4)(6 3 12) 0 2( 4)(x 3 6 3 9) 0 2( 4)( 3 3) 0 
4 4 
6 6 
x x 
x x x x x x 
x x x x x x x 
x y 
x y 
+ - 
- - = + - Û - + = - + 
Û - + - - = Û - + - + + = Û - + - = 
= ị = ộ 
Û ờ = ị = ở 
Vậy hpt đó cho cú tập nghiệm T={(4;4),(6;6)} 
0,25 
9  Cho ba số thực  , , a b c  thỏa món  2, 0, 0 a b c > > >  . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
2 2 2 
1 1 
( 1)( 1)( 1) 2 4 5 
P 
a b c a b c a 
= - 
- + + + + - + 
1,0 
Đặt  1 1 2 0 a a a = - ị >  . Khi đú:  2 2 2 
1 1 
1 1 
( 1)( 1)( 1) 2 1 
P 
a b c a b c 
= - 
+ + + + + + 
Ta cú: 
2  2 
2 2 2 2 1 
1 1 
( )  ( 1) 1 
1 ( 1) 
2 2 4 
a b  c 
a b c a b c 
+ + 
+ + + ³ + ³ + + + 
Dấu  1 " " 1 a b c = Û = = =  . 
Ta lại cú 
3 3 
1 1 
1 
1 1 1 3 
( 1)( 1)( 1) 
3 3 
a b c a b c 
a b c 
+ + + + + + + + ổ ử ổ ử + + + Ê = ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Dấu  1 " " 1 a b c = Û = = =  . 
0,25 
Do đú : 
3 
1 1 
1 27 
1 ( 3) 
P 
a b c a b c 
Ê - 
+ + + + + + 
.  Dấu  1 " " 1 a b c = Û = = = 
Đặt  1  1 1 t a b c t = + + + ị >  . Khi đú  3 
1 27 
( 2) 
P 
t t 
Ê - 
+ 
,  1 t >  . 
0,25 
Xột hàm  3 
1 27 
( ) , 1 
( 2) 
f t t 
t t 
= - > 
+ 
;  2 4 
1 81 
'( ) 
( 2) 
f t 
t t 
= - + 
+ 
; 
4 2 2 '( ) 0 ( 2) 81. 5 4 0 4 f t t t t t t = Û + = Û - + = Û =  ( Do  1 t >  ). 
lim ( ) 0 
t 
f t 
đ+Ơ 
= 
Ta cú BBT.  0,25
t  1                           4 +Ơ 
( ) ' f t  +              0  ư 
( ) f t 
1 
8 
0  0 
Từ bảng biến thiờn ta cú 
1 
max ( ) (4) 4 
8 
f t f t = = Û = 
RFFFF 
Vậy giỏ trị lớn nhất của P là 
1 
8 
, đạt được khi ( ) ( ) ; ; 3;1;1 a b c =  . 
0,25 
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưHẾTưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810?fref=ufi) đó gửi tới 
www.laisac.page.tl