Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 48

TRƯỜNG THPT CHUYấN 
HƯNG YấN 
BAN CHUYấN MễN 
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA 2015 
Mụn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  3 2 3 2 y x mx = + +  (1), với m là tham số thực. 
a)  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 
b)   Tỡm m để đồ thị hàm số (1) cú hai điểm cực trị A, B sao cho diện tớch tam giỏc OAB bằng 2 
(O là gốc tọa độ). 
Cõu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trỡnh ( ) ( ) 1 1 1 2 
2 2 
log 4 4 log 2 3 log 2 x x x + + ³ - -  . 
Cõu 3 (1,0 điểm). 
a) Gọi A, B là hai điểm biểu diễn cho cỏc số phức là nghiệm của phương trỡnh  2  2 3 0 z z + + =  . Tớnh 
độ dài đoạn thẳng AB. 
b) Trong kỡ thi THPT Quốc gia năm 2015, mỗi thớ sinh cú thể dự thi tối đa 8 mụn: Toỏn, Lý, Húa, 
Sinh, Văn, Sử, Địa và Tiếng anh. Một trường Đại học dự kiến tuyển sinh dựa vào tổng điểm của 
3 mụn trong kỡ thi chung và cú ớt nhất 1 trong hai mụn là Toỏn hoặc Văn. Hỏi trường Đại học đú 
cú bao nhiờu phương ỏn tuyển sinh? 
Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 
2 
0 
sin 
cos 2 3cos 2 
x 
I dx 
x x 
p 
= 
+ + ũ 
Cõu  5  (1,0  điểm).  Trong  khụng  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz,  cho  hai  điểm ( ) ( ) 4;2;2 , 0;0;7 A B  và 
đường thẳng 
3 6 1 
: 
2 2 1 
x y z 
d 
- - - 
= = 
- 
. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cựng thuộc một 
mặt phẳng. Tỡm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giỏc ABC cõn đỉnh A. 
Cõu  6  (1,0  điểm).  Cho  lăng  trụ  đứng  . ' ' ' ABC A B C  cú  đỏy  là  tam  giỏc  cõn,  AB AC a = =  , 
ã  0 120 BAC =  . Mặt  phẳng  (AB'C')  tạo  với mặt  đỏy  gúc  60 0 .  Tớnh  thể  tớch  lăng  trụ  ABC.A'B'C'  và 
khoảng cỏch từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( ) ' ' AB C  theo  a . hoctoancapba.com 
Cõu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú ( ) 1;2 A -  . Gọi M, 
N  lần lượt  là  trung điểm của cạnh AD và DC; K  là giao điểm của BN với CM. Viết phương trỡnh 
đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BMK, biết BN cú phương trỡnh  2 8 0 x y + - =  và điểm B cú hoành 
độ lớn hơn 2. 
Cõu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh 
( ) 
( ) 
2 2 
2 2 
1 2 2 3 
, 
1 2 2 
y x y x y xy 
x y 
y x y y x 
ỡ - + = + + ù ẻ ớ 
ù + + + = - ợ 
Ă 
Cõu 9  (1,0  điểm). Cho  , , x y z  là  cỏc  số  thực dương  thỏa món ( ) ( ) 2 2 2 5 9 2 x y z xy yz zx + + = + + 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
( ) 3 2 2 
1 x 
P 
y z  x y z 
= - 
+ + + 
ưưưưưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưưưưưưư 
Cảm ơn bạn MathLove(lovemaths.@yahoo.com.vn) đó gửi tới www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN 
Cõu  Nội dung  Điểm 
1  a) Khảo sỏt hàm số  3 2 3 2 y x mx = + + 
Với m = 1, ta cú hàm số: y = x 3 + 3x 2 + 2 
*) TXĐ: Ă 
*) Sự biến thiờn: 
+) Giới hạn tại vụ cực:  lim 
x 
y 
đ±Ơ 
= ±Ơ 
0,25 
+) Chiều biến thiờn: 
y' = 3x 2 + 6x ị y' = 0 Û x = 0 hoặc x = ư2 
Bảng biến thiờn: 
x  ưƠ  ư 2  0  +Ơ 
y ’  +  0  ư  0  + 
y 
6  +Ơ 
2 
ưƠ 
0,25 
ị hàm số đồng biến trờn (ưƠ; ư2) và (0; +Ơ); hàm số nghịch biến trờn (ư2; 0) 
hàm số đạt cực đại tại x = ư2, yCĐ = 6; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 2 
0,25 
*) Đồ thị: 
Nhận xột: đồ thị hàm số nhận điểm 
I(ư1; 4) làm tõm đối xứng. 
0,25 
b) Tỡm m để đồ thị hàm số (1) cú hai điểm cực trị A, B sao cho diện tớch 
tam giỏc OAB bằng 2 
Với mọi x ẻ Ă , y' = 3x 2 + 6mx ị y' = 0 Û x = 0 hoặc x = ư2m 
Để hàm số cú cực đại, cực tiểu thỡ phương trỡnh y' = 0 cú hai nghiệm phõn biệt 
Û m ạ 0 
Khi đú, tọa độ cỏc điểm cực trị là: A(0; 2); B(ư2m; 4m 3 + 2) 
0,5 
SOAB = 1 Û OA.d(B;OA) = 4 Û 
1 
2 2 
1 
m 
m 
m 
= ộ 
- = Û ờ = - ở 
(thỏa món) 
Vậy với m = ±  1 thỡ hàm số cú 2 cực trị thỏa món bài. 
0,5 
2 ( ) ( ) 1 1 1 2 
2 2 
log 4 4 log 2 3 log 2 x x x + + ³ - - 
0,5 
6 
4 
2 
ư2 
ư5  5
( ) ( ) 
( ) ( ) 
1 
1 1 1 
2 2 2 
2 1 
1 1 
2 2 
log 4 4 log 2 3 log 2 
log 4 4 log 2 3.2 
x x x 
x x x 
+ 
+ 
Û + ³ - + 
Û + ³ - 
( ) 
2 1 4 4 2 3.2 
4 3.2 4 0 
2 1 
2 
2 4 
x x x 
x x 
x 
x 
L 
x 
+ Û + Ê - 
Û - - ³ 
ộ Ê - 
Û Û ³ ờ 
³ ờ ở 
Vậy BPT cú tập nghiệm: S = [ ) 2;+Ơ 
0,5 
3  a) Xột phương trỡnh:  2  2 3 0 z z + + = 
D' = 1 ư 3 = ư2 = ( ) 2 2 i 
Phương trỡnh cú hai nghiệm:  1 2 1 2; 1 2 z i z i = - + = - - 
0,25 
ị ( ) ( ) 1; 2 ; 1; 2 A B - - - 
AB =  2 2  0,25 
b) TH1: Trường ĐH chỉ xột 1 trong 2 mụn Toỏn hoặc Văn: 
Cú:  2 6 2. 30 C =  (cỏch) 
0,25 
TH2: Trường ĐH xột cả hai mụn Toỏn và Văn: 
Cú:  1 6 1. 6 C =  (cỏch) 
Vậy cú cỏc trường hợp là: 30 + 6 = 36 (cỏch) 
0,25 
4 
2 2 
2 
0 0 
sin sin 
cos2 3cos 2 2cos 3cos 1 
x x 
I dx dx 
x x x x 
p p 
= = 
+ + + + ũ ũ 
Đặt cosx = t ị dt = ưsinxdx 
Với x = 0 ị t = 1; với x = 
2 
p 
ị t = 0 
0,25 
( )( ) 
1 1 1 
2 
0 0 0 
1 1 
2 
2 3 1 2 1 1 2 1 2 2 
dt dt 
I dt 
t t t t t t 
ổ ử = = = - ỗ ữ + + + + + + ố ứ ũ ũ ũ  0,25 
= 
1 
0 
2 1 3 
ln ln 
2 2 2 
t 
t 
+ ổ ử = ỗ ữ + ố ứ  0,5
5  Đường thẳng d cú vộctơ chỉ phương ( ) 2;2;1 u - 
r 
và đi qua M(3;6;1) 
Đường thẳng AB cú vộctơ chỉ phương ( ) 4; 2;5 AB - - 
uuur 
( ) 1;4; 1 AM - - 
uuuur 
Ta cú: ( ) , 12;6;12 u AB ộ ự = ở ỷ 
r uuur 
ị  , . 12 24 12 0 u AB AM ộ ự = - + - = ở ỷ 
r uuur uuuur 
Vậy AB và d đồng phẳng 
0,5 
( ) 3 2 ;6 2 ;1 C d C t t t ẻ ị - + + 
Tam giỏc ABC cõn tại A Û AB = AC 
Û (1 + 2t) 2 + (4 + 2t) 2 + (1 ư t) 2 = 45 
Û 9t 2 + 18t ư 27 = 0 Û t = 1 hoặc t = ư3 
Vậy C(1; 8; 2) hoặc C(9; 0; ư2) 
0,5 
6 
+ Xỏc định gúc giữa (AB'C') và mặt đỏy là  ã ' AKA  ã  0 ' 60 AKA ị =  . 
Tớnh A'K = 
1 
' ' 
2 2 
a 
A C = ị  0 
3 
' ' . tan 60 
2 
a 
AA A K = = 
3 
. ' ' ' 
3 
=AA'.S 
8 ABC A B C ABC 
a 
V =  hoctoancapba.com 
0,5 
+) d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C')) 
Chứng minh: (AA'K) ^ (AB'C') 
Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuụng gúc với AK ị A'H ^ (AB'C') 
ị d(A';(AB'C')) = A'H 
Tớnh: A'H = 
3
4 
a 
Vậy d(B;(AB'C')) = 
3
4 
a 
0,5 
H 
K 
C' 
B' 
A' 
C B 
A
7  Gọi E = BN ầ AD ị D là trung điểm của AE 
Dựng AH ^ BN tại H ị ( )  8 AH d A;BN 
5 
= = 
Trong tam giỏc vuụng ABE: 
2 2 2 2 
1 1 1 5 
AH AB AE 4AB 
= + = 
ị  5.AH AB 4 
2 
= = 
0,25 
B ẻ BN ị B(b; 8 ư 2b) (b > 2) 
AB = 4 ị B(3; 2)  0,25 
Phương trỡnh AE: x + 1 = 0 
E = AE ầ BN ị E(ư1; 10) ị D(ư1; 6) ị M(ư1; 4) 
0,25 
Gọi I là tõm của (BKM) ị I là trung điểm của BM ị I(1; 3) 
BM 
R 5 
2 
= =  . Vậy phương trỡnh đường trũn: (x ư 1) 2 + (y ư 3) 2 = 5.  0,25 
8 ( ) ( ) 
( ) 
2 2 
2 2 
1 2 2 3 1 
1 2 2 2 
y x y x y xy 
y x y x y 
ỡ - + = + + ù 
ớ 
+ + + = - + ù ợ
ĐK: y ³ ư1 
Xột (1): ( )  2 2 1 2 2 3 y x y x y xy - + = + + 
Đặt ( ) 2 2 2 0 x y t t + = ³ 
Phương trỡnh (1) trở thành: ( ) 2 2 2 1 2 2 3 0 t y t x y x y xy + - - - - - - = 
D = (1 ư y) 2 + 4(x 2 + 2y 2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1) 2 
2 2 
2 2 
2 1 1 
2  2 2 
x y x y t x y 
t x y  x y x y 
ộ + = - - - = - - - ộ ờ ị Û ờ = + ờ ở + = + ở 
0,5 
Với  2 2 2 1 x y x y + = - - -  , thay vào (2) ta cú: 
2 
1 
1 3 1 0 3 
9 5 0 
y 
y y y 
y y 
ỡ ³ - ù + = + Û Û = ớ 
ù + = ợ 
ị  2  1 x x = - -  (vụ nghiệm) 
0,25 
H 
E 
K 
N 
M 
D  C 
B A
Với  2 2 2 2 x y x y + = +  , ta cú hệ: 
2 2 
1 5 
1 2  4 
1 5 2 2 
2 
x y x 
x y x y 
y 
ỡ - - 
= ù ỡ + = - ù ù Û ớ ớ 
+ + = + ù ù ợ = ù ợ 
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ( )  1 5 1 5 ; ; 
4 2 
x y 
ổ ử - - + 
= ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
9  Từ điều kiện: 5x 2 + 5(y 2 + z 2 ) = 9x(y + z) + 18yz  hoctoancapba.com 
Û 5x 2  ư 9x(y + z) = 18yz ư 5(y 2 + z 2 ) 
Áp dụng BĐT Cụsi ta cú: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 yz y z ;y z y z 
4 2 
Ê + + ³ + 
ị 18yz ư 5(y 2 + z 2 ) Ê 2(y + z) 2 . 
Do đú: 5x 2  ư 9x(y + z) Ê 2(y + z) 2 Û [x ư 2(y + z)](5x + y + z) Ê 0 
ị x Ê 2(y + z) 
( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 2 
x 1 2x 1 4 1 
P 
y z y z x y z y z x y z 27 y z 
= - Ê - Ê - 
+ + + + + + + + 
Đặt y + z = t > 0, ta cú: P Ê 4t ư  3 1  t 
27 
Xột hàm ị P Ê 16. 
Vậy MaxP = 16 khi 
1 
y z 
12 
1 
x 
3 
ỡ = = ù ù 
ớ 
ù = 
ù ợ 
Cảm ơn bạn MathLove(lovemaths.@yahoo.com.vn) đó gửi tới www.laisac.page.tl