Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 43

TRƯỜNG THPT BẮC YấN THÀNH  ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 1 
MễN TOÁN. Thời gian làm bài 180 phỳt 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  4 2 2( 1) 2 (1). y x m x m = - - + - 
a)  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. 
b)  Tỡm tất cả cỏc giỏ trị m để hàm số (1) đồng biến trờn khoảng  (1;3). 
Cõu 2 (1,0 điểm).  Giải phương trỡnh 
cos 
1 sin . 
1 sin 
x 
x 
x 
= - 
+ 
Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 
ln3
0 
2 . x I e dx = - ũ 
Cõu 4  (1,0  điểm). Chọn  ngẫu nhiờn  3  số  từ  tập { } 1,2,...,11 . S =  Tớnh  xỏc  suất để  tổng  ba  số 
được chọn là 12. 
Cõu  5  (1,0  điểm).  Trong  khụng  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz  cho  hai  điểm  ( 1;3; 2) A - -  , 
( 3;7; 18) B - -  và mặt  phẳng  ( ) : 2 1 0. P x y z - + + =  Viết  phương  trỡnh  mặt  phẳng  chứa  đường 
thẳng AB và vuụng gúc với mặt phẳng (P). Tỡm tọa độ điểm M  thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA 
+ MB nhỏ nhất. 
Cõu 6 (1,0 điểm).  Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD  là hỡnh thang vuụng tại A và B, với 
; 2 , ( 0). AB BC a AD a a = = = >  Cỏc mặt bờn (SAC) và (SBD) cựng vuụng gúc với mặt đỏy. Biết 
gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng  0 60  . Tớnh theo a thể tớch tớch khối chúp S.ABCD 
và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng CD và SB. 
Cõu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trũn  2 2 ( ) : 2 4 20 0 C x y x y + - + - = 
và  đường  thẳng  : 3 4 20 0. x y D + - =  Chứng  tỏ  rằng  đường  thẳng D  tiếp  xỳc  với  đường  trũn 
(C). Tam giỏc ABC cú đỉnh A thuộc (C), cỏc đỉnh B và C cựng nằm trờn đường thẳng D  sao cho 
trung điểm cạnh AB thuộc (C). Tỡm tọa độ cỏc đỉnh  , , A B C , biết rằng trực tõm H của tam giỏc 
ABC trựng với tõm của đường trũn (C) và điểm B cú hoành độ dương. 
Cõu 8 (1,0 điểm).  Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh sau cú nghiệm thực 
(4 3) 3 (3 4) 1 1 0. m x m x m - + + - - + - = 
Cõu 9 (1,0 điểm).  Cho cỏc số thực 
1 
, , ;1 . 
2 
a b c ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
a b b c c a 
P 
c a b 
- - - 
= + +  . 
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưưưưưưưư 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. cỏn bộ coi thi khụng cần giải thớch gỡ thờm. 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thanh Hiển(https://www.facebook.com/HIEN.) đó chia sẻ đờn www.laisac.page.tl
KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA – LẦN 1, Ngày 22/3/2015 
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM THI MễN TOÁN 
(Tại Trường THPT Bắc Yờn Thành – Nghệ An) 
Cõu  Nội dung  Điểm 
1 
(2.0 điểm) 
a. (1.0 điểm) Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số. 
Với m = 2,  2 4  2x x y - = 
* TXĐ: D =  R 
* Sự biến thiờn: 
ư Chiều biến thiờn: 
x x y  4 4 '  3 - =  ; Û = 0 ' y  1 , 0 0 4 4  3 ± = = Û = -  x x x x 
Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng (ư1; 0) và (1; Ơ +  ) 
Hàm số nghịch biến trờn cỏc khoảng (ưƠ ; ư1) và (0; 1) 
0.25 
ư Cực trị: 
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; ycđ = y(0) = 0 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1; yct = y( ± 1) = ư2 
0.25 
ư Giới hạn tại vụ cực:  4 2 ( 2 ) 
x 
lim x x 
đ±Ơ 
- =+Ơ 
ư Bảng biến thiờn Bảng biến thiờn 
0.25 
* Đồ thị: 
Tỡm guao với cỏc trục tọa độ. 
. 
0.25 
b. (1.0 điểm) Tỡm m để hàm số  
Ta cú y' =  x m x  ) 1 ( 4 4  3 - - 
y' = 0 Û  x m x  ) 1 ( 4 4  3 - -  = 0 Û  2  ( 1) 0. x x m ộ ự - - = ở ỷ 
0.25 
TH1: Nếu mư 1 Ê  0 Û  m Ê  1 
Hàm số đồng biến trờn khoảng (0; +Ơ ). Vậy m Ê  1 thoả món ycbt.  0.25 
TH 2: m ư 1 > 0 Û  m> 1 
y' = 0 Û  x = 0, x =  1 - ±  m 
Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng (ư  1 - m  ; 0 ) và (  1 - m  ; +Ơ ). 
0.25 
Để hàm số đồng biến trờn khoảng (1; 3 ) thỡ  1 1 Ê - m Û  m Ê  2. 
Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trờn khoảng (1; 3 ) Û  m ẻ ( ] 2 ; Ơ -  . 
0.25 
2 
(1.0 điểm) 
Giải phương trỡnh 
Điều kiện:  sin 1 (*) x ạ -  0.25 
PT tương đương với  2 
cos 0 
cos cos 
cos 1 
x 
x x 
x 
= ộ 
= Û ờ = ở 
0. 25
Hay 
sin 1 
sin 1 ( ) 
cos 1 
x 
x l 
x 
= ộ 
ờ = - ờ 
ờ = ở 
0. 25 
Vậy nghiệm của phương trỡnh là:  2 ; 2 , ( ). 
2 
x k x k k 
p 
p p = + = ẻ  0.25 
3 
(1.0 điểm) 
Tớnh tớch phõn 
ln 2 ln 3 
0 ln 2 
(2 ) ( 2) x x I e dx e dx = - + - ũ ũ 
0.25 
= 
ln 2 ln 3 
0 ln 2 
(2 ) ( 2 ) x x x e e x - + -  0.25 
=  (2 ln 2 2 1) (3 2ln 3) (2 2 ln 2) - + + - - -  0.25 
Vậy 4ln 2 2ln3. -  0.25 
4 
(1.0 điểm) 
Chọn ngẫu nhiờn ... 
Số trường hợp cú thể là  3 11  165. C =  0.25 
Cỏc bộ (a, b, c) mà  12 a b c + + =  và  a b c < <  là 
(1, 2,9), (1,3,8), (1, 4,7), (1,5,6), (2,3,7), (2,4,6), (3, 4,5)  0.5 
Vậy 
7 
. 
165 
P =  0.25 
5 
(1.0 điểm) 
Trong khụng gian với hệ tọa độ .... 
Ta cú AB ( 2,4, 16) = - - 
uuur 
cựng phương với = - - 
r 
a ( 1,2, 8) , mp(P) cú PVT  n (2, 1,1) = - 
uur 
. 
Ta cú 
uur r 
[ n ,a] = (6 ;15 ;3) cựng phương với (2;5;1) 
0.25 
Phương trỡnh mp chứa AB và vuụng gúc với (P) là 
2(x + 1) + 5(y - 3) + 1(z + 2) = 0 Û 2x + 5y + z - 11 = 0  0.25 
Vỡ khoảng cỏch đại số của A và B cựng dấu nờn A, B ở cựng phớa với mp(P). Gọi A' là 
điểm đối xứng với A qua (P). 
Pt AA' : 
x 1 y 3 z 2 
2 1 1 
+ - + 
= = 
- 
, AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của 
- + + = ỡ 
ù ị - ớ + - + 
= = ù - ợ 
2x y z 1 0 
H(1,2, 1) x 1 y 3 z 2 
2 1 1 
. Vỡ H là trung điểm của AA' nờn ta cú : 
H A A ' 
H A A ' 
H A A ' 
2x x x 
2y y y A '(3,1,0) 
2z z z 
= + ỡ 
ù = + ị ớ 
ù = + ợ 
Ta cú A 'B ( 6,6, 18) = - - 
uuuur 
(cựng phương với (1;ư1;3) ) 
0.25 
Pt đường thẳng A'B : 
- - 
= = 
- 
x 3 y 1 z 
1 1 3 
. Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương 
trỡnh 
- + + = ỡ 
ù ị - - - ớ 
= = ù - ợ 
2x y z 1 0 
M(2,2, 3) x 3 y 1 z 
1 1 3 
0.25
6 
(1.0 điểm) 
Cho hỡnh chúp S.ABCD . 
Gọi H = AC ầ BD, suy ra SH ^ (ABCD) & BH = 
3 
1 
BD. 
Kẻ HE ^ AB => AB ^ (SHE), hay ((SAB);(ABCD)) =  ∙  0 60 SEH = . 
Mà HE = 
3 
1 
AD = 
3 
2a 
=> SH = 
3 
3 2a 
=> VSABCD  = 
3 
1 
.SH.SABCD  = 
3 
3 3 a 
0.25 
Gọi O là trung điểm AD,  ta cú ABCO là  hỡnh vuụng  cạnh a =>DACD 
có trung tuyến CO = 
2 
1 
AD 
CD ^ AC => CD ^ (SAC) và BO // CD hay CD // (SBO) & BO ^ 
(SAC). 
d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO)). 
0.25 
Tính chất trọng tâm tam giác BCO => IH = 
3 
1 IC = 
6 
2 a  => IS = 
6 
2 5 2 2  a HS IH = + 
kẻ CK ^ SI mà CK ^ BO => CK ^ (SBO) => d(C;(SBO)) = CK 
Trong tam giác SIC có : SSIC= 
2 
1 SH.IC = 
2 
1 SI.CK => CK = 
5 
3 2 .  a 
SI 
IC SH 
= 
Vậy d(CD;SB) =  2 3 . 
5 
a 
0.25 
0.25 
7 
(1.0 điểm) 
Trong mặt phẳng tọa độ .... 
Đường thẳng  ( ) D  tiếp xỳc với (C) tại  (4;2). N  0.25 
Gọi M  là  trung  điểm  cạnh  AB.  Từ  giả  thiết  M  thuộc  (C)  và  B  thuộc  ( ) D  ,  tỡm được 
(12; 4). B -  (do B cú hoành độ dương). 
0.25 
Do C thuộc  ( ) D  và đường thẳng (d) đi qua H, vuụng gúc với AB. Viết PT (d).  0.25 
( ) ( ) (0;5). C d = D ầ =  0.25 
8 
(1.0 điểm) 
Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m . 
Điều kiện:  3 1. x - Ê Ê  0.25 
I 
H 
A 
D 
B  C 
S 
O 
E 
K
Khi đú PT tương đương với 
3 3 4 1 1 
(*) 
4 3 3 1 1 
x x 
m 
x x 
+ + - + 
= 
+ + - + 
Do  2 2 ( 3) ( 1 ) 4. x x + + - =  Nờn ta đặt 
2 
2 2 
4 2(1 ) 
3 2sin ; 1 2cos , 
1 1 
t t 
x x 
t t 
j j - + = = - = = 
+ + 
với 
[ ] 
tan 
2 
0 ,
2 
0;1 
t 
t 
j 
p j 
ỡ = ù 
ù 
ù Ê Ê ớ 
ù 
ù ẻ 
ù ợ 
khi đú 
2 
2 
7 12 9 
(*) . 
5 16 7 
t t 
m 
t t 
- + + 
Û = 
- + + 
0.25 
Xột hàm số [ ] 
2 
2 
7 12 9 
( ) , 0;1 . 
5 16 7 
t t 
f t t 
t t 
- + + 
= ẻ 
- + + 
Lập bảng biến thiờn của hàm số  ( ). f t  0.25 
Kết luận: 
7 9
; . 
9 7 
m ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ 
0.25 
9 
(1.0 điểm) 
Cho cỏc số thực  
Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử 
1 
1. 
2 
c b a Ê Ê Ê Ê  Đặt 
1 
1 
; . 2 
; 
x y c b 
x y 
a a  c ax b ay 
ỡ Ê Ê Ê ù = = ị ớ 
ù = = ợ 
0.25 
Khi đú 
2 
1 1  3 1 (1 ) 1 
(1 )( )(1 )  2 2  2 2 . 
1 
2 
y y  y y y y x x 
P 
xy y y 
ổ ửổ ử - - - - + - ỗ ữỗ ữ - - - ố ứố ứ = Ê = 
0.50 
Xột  hàm  số 
2  3 1 
1 2 2 ( ) , 1. 
2 
y y 
f y y 
y 
- + - 
= Ê Ê  Lập  bảng  biến  thiờn  (hoặc  sử  dụng  bất 
đẳng thức Cụ si), chứng minh được 
2 
2 
( ) 1 . 
2 
f t 
ổ ử 
Ê - ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ 
0.25 
Kết luận: 
2 
2 
1 . 
2 
MaxP 
ổ ử 
= - ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ 
(Tỡm được a, b, c  để đẳng thức xẩy ra).  0.25 
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thanh Hiển(https://www.facebook.com/HIEN.) đó chia sẻ đờn www.laisac.page.tl