Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 37

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG 
TRƯỜNG THPT CHÍ LINH 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
Mơn Thi : TỐN 
Lần thứ 1 
Thời gian làm bài 180 phút, khơng kể thời gian giao đề. 
Đề gồm 01 trang 
Câu I ( 4,0 điểm). Cho hàm số 
3
23 16
2 4 2
xy x mx= − − + . 
1) Với 1
2
m = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1. 
2) Tìm các số thực m để hàm số cĩ 2 điểm cực đại, cực tiểu trên [-1;1]. 
Câu II (2,0 điểm). Giải các phương trình sau 
 1) s inx-cos3 2cos 2 cos2 sin 2
tan tan
4 4
x x x
x
x x
pi pi
+
=
   
− +   
   
. 2) (5 2 6) (5 2 6) 10x x+ + − = . 
Câu III (2,0 điểm). Giải các bất phương trình sau 
1 2
3 1
3
1) log (2 8) log (24 2 ) 0.x x+ +− + − ≤
 2) 22( 3 3 2 ) 2 3 7 0x x x x+ − − + + − ≥ . 
Câu IV (2,0 điểm). Tính các tích phân 
1) 
2
0
( 2)cosx xdx
pi
−∫ . 2) 
0
4 2
1 1
x dx
x x
−
+ +∫
 . 
 Câu V (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
3 3 2 2
2 2
3( ) 4( ) 4 0 ( , )
2( ) 18
x y x y x y
x y
x y x y
 − + + + − + =
∈
+ − + =

 .
Câu VI (4,0 điểm). Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 
 060 ,ABC = cạnh bên SA 
vuơng gĩc với đáy, SC tạo với đáy gĩc 060 . 
1) Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD. 
2) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SD. 
3) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABD theo a. 
Câu VII (2,0 điểm). Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(4;2), B(-3;1), C là điểm cĩ hồnh độ dương nằm trên 
đường thẳng (d):x+y=0. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABC 
bằng 25. 
Câu VIII (1,0 điểm). Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 cơng nhân lập một tổ cơng tác gồm 5 người. Hỏi cĩ 
bao nhiêu cách lập được tổ cơng tác gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 cơng nhân làm tổ phĩ và 3 cơng nhân tổ 
viên. 
Câu IX (1,0 điểm). Giữa hai nơng trường chăn nuơi bị sữa cĩ một con đường quốc lộ. Người ta xây dựng 
một nhà máy sản xuất sữa bên cạnh đường quốc lộ và con đường nối hai nơng trường tới nhà máy. Hỏi phải 
xây dựng con đường và địa điểm xây dựng nhà máy như thế nào để cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ 
nhất. 
Câu X (1,0 điểm). Cho các số thực ,a b thoả mãn 5
3
a b
a
+ ≥
 ≥
. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2a bP a b= + − − . 
.Hết 
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:; Số báo danh:. 
Chữ kí giám thị 1:. Chữ kí giám thị 2: 
Cảm ơn bạn Vì Sao Lặng Lẽ (visaolangle00@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl
 2
H-íng dÉn chÊm 
Câu Nội dung Điểm 
I:(4,0 đ) 
1.a)2,0đ 
a)khi 
3
21 3 13
2 2 4 2
x
m y x x= ⇒ = − − + 
1. Tập xác định: D = 
 
2. Sự biến thiên của hàm số 
* Giới hạn tại vơ cực của hàm số. 
3
2 3
2 3
3 1 1 3 3 1lim lim ( 3 ) lim ( ) ; lim
2 4 2 2 4 2x xx x
xy x x x y
x x x→+∞ →+∞→+∞ →−∞
= − − + = − − + = +∞ = −∞ 
0,25 
* Lập bảng biến thiên 2
91 ( 1)3 3 4
' 3; ' 0
92 2 2 (2)
2
x y
y x x y
x y

= − ⇒ − =
= − − = ⇔ 

= ⇒ = −

0,25 
bảng biến thiên 
9
4
y'
-1
+ +
- 00
-∞
-
9
2
+∞
+∞2-∞
y
x
0,5 
 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 1∞ − ) và (2;+ ∞ ); 
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;2); 
0.25 
 Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 =>yct= , Hàm số đạt cực đại tại x=0=>ycđ= 0,25 
 3
3. Đồ thị 
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0; 1/2) 
 ĐTHS đi qua (-1; 9/4), (-5/2;-9/2) 
0,5 
1.b)1,0đ Tập xác đinh : D = 

3
23 13
2 4 2
xy x x= − − + 
23 3 11
' 3; '(1) 3; (1)
2 2 4
xy x y y= − − = − = − 
0,5 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1 
là '(1)( 1) (1)y y x y= − + 
0,25 
=-3(x-1)- 11
4
=-3x 1
4
+ 
0,25 
2.(1,0 đ) 
Tập xác đinh : D = 
 ; 
23 3
' 6
2 2
xy x m= − − 
Do y’ là tam thức bậc hai nên hàm số cĩ cực đại, cực tiểu trên [-1;1] 
0,25 
23 3 6 0
2 2
x
x m⇔ − − = cĩ hai nghiệm phân biệt 
,
2
4 4
x x
m⇔ − = 
 cĩ hai nghiệm phân biệt , ⇔ đường thẳng y=m cắt đồ 
thị hàm số 
2
( )
4 4
x xf x = − tại 2 điểm phân biệt cĩ hồnh độ , 
0,25 
 Lập bảng biến thiên ta được - 0,5 
4
2
-2
-4
5
I-
9
8
1
2
-
5
2
-
9
2
9
4
y
x7
2
2
O
-1
 4
II.(2,0đ) 
1.(1,0đ) Giải phương trình s inx-cos3 2cos 2 cos2 sin 2
tan tan
4 4
x x x
x
x x
pi pi
+
=
   
− +   
   
. (1) 
Điều kiện: 
4 4tan tan 0
4 4 ( )
4 4 4 2
os os 0 14 4 (cos 2 os ) 0
2 2 4 2
x k x k
x x
x k x k x k k
c x c x
x c x k
pi pi
pi pi
pi pi
pi pi pi pi
pi pi
pi pi
pi pi pi
 
− ≠ ≠ −     
− + ≠     
      
⇔ + ≠ ⇔ ≠ − + ⇔ ≠ + ∈  
     
− + ≠         + ≠ ≠ + 
 


1sin sin ( os2 os )4 4 2 2tan tan 114 4 ( os2 os )os os
2 24 4
x x c x c
x x
c x cc x c x
pi pi pi
pi pi
pipi pi
   
− +
−   
       
− + = = =   
       +
− +   
   
0,25 
 (1) 2 sin 2 s inx-cos3 2cos 2 cos
2 sin 2 s inx-cos3 cos os3
x x x x
x x x c x
⇔ = +
⇔ = + +
0,25 
 2 sin 2 2 s in
4
x x
pi 
⇔ = + 
 
22 2
44
sin 2 s in
24 2 ( ) 2
4 34
x kx x k
x x
x kx x k
pipi
pipi
pi
pi pipi
pi pi

= += + +  
⇔ = + ⇔ ⇔  
  
= += − + +
 
0,25 
Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho cĩ nghiệm là 
11 52 , 2 ( )
12 12
x k x k kpi pipi pi= + = − + ∈
 
0,25 
2.(1,0đ) (2) 
Đặt . 
Thay vào (2) ta cĩ 
0,25 
 (thỏa mãn) 0,25 
 Với 0,25 
 Với 0,25 
 5
II.(2,0đ) 
1.(1,0đ) Giải các bất phương trình sau 1 23 1
3
1) log (2 8) log (24 2 ) 0 (1)x x+ +− + − ≤
Điều kiện : 
(1) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2.(1,0đ) 
Điều kiên : 
0,25 
(3) 
0,25 
 Do 
0,25 
 Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương 
trình là T=[1; 
0,25 
IV.(2,0đ) 
1.(1,0đ) 
Đặt 
2
os dx s inx
U x dU dx
dV c x V
= − = 
⇒ 
= = 
0,25 
2
2 2
0 0
0
( 2)cos ( 2)sin sin xx xdx x x xd
pi
pi pi
⇒ − = − −∫ ∫ 
0,25 
2
0( 2) os2 c x
pipi
= − + 
0,25 
 3
2
pi
= − 
0,25 
 6
2.(1,0đ) 
0,25 
 Đặt ; = 
Nếu x=-1 thì t= 
Nếu x=0 thì t= 
0,25 
0,25 
0,25 
V.(1,0đ) Giải hệ phương trình 
.
. 
3 2 3 2
3 3
(1) 3 4 4 3 4
( 1) 1 ( 1) 1 (3)
x x x y y y
x x y y
⇔ + + + = − +
⇔ + + + = − + −
0,25 
Xét 
 mà (3) cĩ 
0,25 
Thay y=x+2 vào (2) ta cĩ 
Vậy hệ cĩ 2 nghiệm (x;y) là (-3;-1), (3;5). 
0,5 
 7
VI.(4,0đ) 
O
M
H600
600
a
D
CB
A
S
1.(1,0đ) SA ⊥ (ABCD) =>AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên 

 
 
 0( , ( )) ( , ) 60SC ABCD SC AC SCA= = = 
0,25 
 tam giác ABC cĩ AB=BC=a, 
 060 ,ABC = nên tam giác ABC đều => AC=a 
trong tam giác SAC vuơng tại A nên 0. tan 60 3SA AC a= = 
0,25 
Diện tích ABCD là 
2
01 32 2. . sin 60
2 2ABCD ABC
aS S AB BC∆= = = 
0,25 
Thể tích S.ABCD là 
3
.
1
.
3 2S ABCD ABCD
aV SA S= = 
0,25 
2.(1,5đ) Kẻ AH ⊥ CD(H , đường cao AH= 
Trong tam giác vuơng SAH cĩ 2 2 15
2
aSH SA HA= + = 
0,25 
Do SA ⊥ (ABCD) ,SA CD CD AH CD SH⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 
Diện tích tam giác SAD là 
21 15
.
2 4SCD
aS SH CD∆ = = 
0,25 
2 3
.
( , ( )). 1 1 3 3 15
. 3. ( , ( ))
3 3 3 4 4S 5
SCD
S ACD ACD
SAD
d A SCD S a a aV SA S a d A SCD∆ ∆
∆
= = = ⇒ = = 
0,5 
Do AB//(SCD) nên d(B,(SCD))=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))= 15
5
a
0,5 
3.(1,5đ) Do CA=CB=CD=a nên C là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD 0,25 
 8
Kẻ Cx//SA, trong (SAC) kẻ trung trực My của SA cắt Cx tại O. O là tâm mặt cầu 
ngoại tiếp S.ABD. 
0,25 
Thật vậy Cx//SA Cx⇒ ⊥ (ABD) OC⇒ ⊥ (ABD) mà CA=CB=CD nên 
OA=OB=OD mặt khác O nằm trên trung trực của SA nên OA=OS 
⇒OA=OB=OD=OS ⇒O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD bán kính r=OA 
0,5 
dẽ thấy MACO là hình chữ nhật nên 2 2 2 23 7( )
2 2
a a
r AC AM a= + = + = 
0,5 
VII.(2,0đ) AB
uuur
=(-7;-1) là véc tơ chỉ phương của AB nên véc tơ pháp tuyến là (1; 7)n = − ⇒r 
phương trình AB: ( ) ( )1 x 4 7 y 2 0 7 10 0x y− − − = ⇔ − + = 
BA
C
I
2 2
( ) ( ; ) ( 0)
| 7 10 | | 8 10 |( , ) ; 50
501 7
C d C c c c
c c cd C AB AB
∈ ⇒ − >
+ + +
⇒ = = =
+
0,5 
diện tích tam giác ABC bằng 25 nên ta cĩ 
5
1 | 8 10 |( , ). . 50 25 (5; 5)152 02 50
2
ABC
c
cS d C AB AB C
c
∆
=
+ 
= = = ⇔ ⇒ −
 = − <

0,5 
Gọi (C) là đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC cĩ phương trình là: 
2 2 2 2( ) : 2ax 2 0 ( 0)C x y by c a b c+ − − + = + − > 
Do A, B, C nằm trên (C) nên ta cĩ hệ 
2 2
2 2
2 2
4 2 8 4 0 8 4 20
( 3) 1 6 2 0 6 2 10
10 10 505 ( 5) 10 10 0
a b c a b c
a b c a b c
a b ca b c
 + − − + =
− − + = −
 
− + + − + = ⇔ − + = − 
 
− + + = −+ − − + + = 
0,5 
 1
2
20
a
b
c
=

⇔ = − ⇒

= −
Phương trình đường trịn (C): 2 2 2 4 20 0x y x y+ − + − = 
0,5 
 9
VIII.(1,0đ) Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng trong 3 kĩ sư ⇒ số cách chọn là 3. Được 1 tổ trưởng 0,25 
Chọn 1 cơng nhân làm tổ phĩ trong 7 cơng nhân⇒ số cách chọn là 7. Được 1 tổ 
trưởng, 1 tổ phĩ 
0,25 
Chọn 3 cơng nhân làm tổ viên trong 6 cơng nhân⇒ số cách chọn là số tổ hợp chập 
3 của 6 là 36C
0,25 
 ⇒ số cách lập tổ cơng tác thỏa mãn đề bài là 363.7. 420C = 0,25 
IX.(1,0đ) Giả sử A, B là hai địa điểm tập trung nguyên liệu của hai nơng trường chăn nuơi bị sữa, đường quốc lộ là đường thẳng d, M là vị trí xây dựng nhà máy trên đường 
quốc lộ . Xây dựng con đường và địa điểm xây dựng nhà máy để cho chi phí vận 
chuyển nguyên liệu nhỏ nhất là ta phải tìm điểm M và đường MA, MB sao cho 
MA+MB ngắn nhất 
0,5 
Do A, B nằm về hai phía với d nên dấu đẳng thức 
xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng 0,25 
Vậy phải xây dựng con đường nối hai địa điểm tập trung nguyên liệu A, B của hai 
nơng trường và địa điểm xây dựng nhà máy sản xuất sữa M bên đường quốc lộ sao 
cho A, M, B thẳng hàng. 
0,25 
X.(1,0đ) Xét 
( ) 2 (2 ln 2 1)( ) , 0x mf x x x m m= − − − − >
'( ) 2 ln 2 1 (2 ln 2 1); '( ) 0x mf x f x x m= − − − = ⇔ = 
Lập bảng biến thiên ta được 
 ( ) 2 2 (2 ln 2 1)( ) 2 , 0(*)m x m mf x m x x x m m x m≥ − ∀ ⇔ − − − − ≥ − ∀ > 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=m 
0,5 
 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta cĩ 
3 2
2 2
2 (2 ln 2 1)( 3) 2 3 (1)
2 (2 ln 2 1)( 2) 2 2 (2)
a
b
a a a
b b b
− − − − ≥ − ∀
− − − − ≥ − ∀
Cộng các vế của (1)(2) ta được 
3 2 32 3 2 2 (2 ln 2 1)( 3) (4 ln 2 1)( 2) ,P a b a b≥ − + − + − − + − − ∀ 
0,25 
7 (4 ln 2 1)( 5) 4( 3) ln 2 7P a b a⇔ ≥ + − + − + − ≥
Khi a=3,b=2 thì P=7 nên giá trị nhỏ nhất của P bằng 7 
0,25 
Cảm ơn bạn Vì Sao Lặng Lẽ (visaolangle00@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl