Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 3

T H Ử S Ứ C T R Ư Ớ C K Ì T H I 
Đã được đăng trong báo Toán Học và Tuổi trẻ số 450 đề số 3, năm 2014 
Câu 1 (1 điểm). Cho hàm số ( ) 3 2 y x 3x m 1 x 1 = - + - +  có đồ thị là ( ) m C  . 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m 1 = 
2) Tìm m  để đồ thị ( ) m C  cắt đường thẳng  y x 1 = +  tại ba điểm ( ) A 0;1 , B, C  sao cho BC 10 =  . 
Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình : 
2 
3 4 2sin 2x 2 3 2(cot x 1) 
sin 2x cos x 
+ 
+ - = +  . 
Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) 2 y x, y x 3 tan x , x 4 
p 
= = + =  . 
Câu 4. 
1) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức  z  thỏa  z 2i 1 iz i 1 - + = + -  . 
2) Tìm số nguyên dương n  thỏa  2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4 C 2C 2C C 149 + + + + + + + =  . 
Câu 5. Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng 
1 
x 1 y 1 z 1 d : 
1 2 1 
- + - 
= = 
- 
,  2 
x 1 y 1 z d : 
2 3 1 
+ - 
= = 
- 
và  3 
x 2t 
d : y 1 4t 
z 1 2t 
ì ï = - ï ï ï = - - í ï ï = - + ï ï î 
. 
Viết phương trình mặt phẳng  ( ) a  đi qua  2 d  và cắt  1 3 d ,d  lần lượt tại A,B sao cho AB 13 =  . 
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD  có đáy ABCD  là hình thoi cạnh a  và  · 0 BAD 60 =  . Hình chiếu của 
S  lên mặt phẳng ( ) ABCD  là trọng tâm tam giác ABC . Góc giữa mặt phẳng ( ) ABCD  và ( ) SAB  bằng 
0 60  .  Tính thể tích khối chóp S.ABCD  và khoảng cách từ B  đến mặt phẳng ( ) SCD  . 
Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy  cho tam giác  ABC  nội tiếp đường tròn ( ) C  có phương trình: 
( ) ( ) 2 2 x 2 y 3 26 - + - =  .  8 G 1; 
3 
æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 
là trọng tâm tam giác và ( ) M 7;2  nằm trên đường thẳng đi qua A và 
vuông góc với đường thẳng BC ; M A ¹  . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác  ABC , biết  B C y y >  . 
Câu 8. Giải hệ phương trình : 
2 2 
2 
2 2 
x 1 x y y 1 1 
x 1 y 1 8 y x 3 17 
ìæ öæ ö ï ÷ ÷ ïç ç + + - - = ÷ ÷ ïç ç ÷ ÷ ç ç ïè øè ø ï ï í ï æ ö ï ÷ ç ï + + - + - + = ÷ ç ï ÷ ç è ø ï ï î 
. 
Câu 9. Cho các số thực  a, b (0;1) Π thỏa  2 2 2 2 a b a 1 b b 1 a + = - + -  . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức sau: 
8(1 a) 1 b P 9 
1 a 1 b 
- - 
= + 
+ + 
. 
NGUYỄN TẤT THU 
( GV THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) 
Cảm ơn thầy Nguyễn Tất Thu đã chia sẻ đến www.laisac.page.tl
Hướng dẫn giải 
Câu 1. 
1) Bạn đọc tự làm. 
2) Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) m C  và đường thẳng d : y x 1 = +  là: 
( ) 3 2 x 3x m 1 x 1 x 1 - + - + = + 
( ) 2 2 
x 0 
x x 3x m 2 0 
x 3x m 2 0 (*) 
é = ê Û - + - = Û ê - + - = ê ë 
. 
Đường thẳng d  cắt đồ thị ( ) m C  tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 
1 2 x , x  khác 0 , hay 
( ) 17 9 4 m 2 0 m 
4 
m 2 0 m 2 
ì ï ì ï ïD = - - > < ï ï Û í í ï ï - ¹ ï ï ï î ¹ ï ï î 
(1). 
Khi đó ( ) ( ) 1 1 2 2 B x ; x 1 , C x ; x 1 + +  . 
Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 BC 2 x x 2 x x 4x x 2 17 4m 
é ù 
ê ú = - = + - = - 
ê ú ë û 
. 
Do đó  2 BC 10 BC 10 17 4m 5 m 3 = Û = Û - = Û =  (thỏa (1)). 
Vậy m 3 =  là giá trị cần tìm. 
Câu 2. 
Điều kiện: 
k sin 2x 0 x , k 
2 
p 
¹ Û ¹ Î ¢ . 
Phương trình ( ) 2 4 3 1 tan x 2 3 2cot x sin 2x Û + + - = 
2 2 
2 2 2(sin x cos x) 3 tan x 3 2cot x 3 tan x 2 tan x 3 0 
sin x cos x 
+ 
Û + - = Û + - = 
tan x 3 x k 
3 1 tan x x k 3 6 
é p é ê = - = - + p ê ê ê Û Û ê ê ê = p ê ê = + p ê ë ê ë 
. 
Câu 3. 
Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) 2 x x 3 tan x x 0 = + Û =  . 
Diện tích hình phẳng cần tính là: 
4 4 
2 2 
0 0 
S x x(3 tan x) dx x(2 tan x)dx 
p p 
= - + = + ò ò 
Đặt  2 
u x du dx 
v x tan x dv (2 tan x)dx 
ì ì ï = ï = ï ï Þ í í ï ï = + = + ï ï îî 
.
Suy ra 
4 
4 
0 
0 
S x(x tan x) (x tan x)dx 
p 
p 
= + - + ò 
2 2 4 
0 
x 1 1 ln cos x ln2 
4 4 2 32 4 2 
p 
æ ö æ ö ÷ p p p p ç ÷ ÷ ç ç ÷ = + - - = + - ÷ ç ç ÷ ÷ ç ÷ ç ç ÷ è ø ÷ ç è ø 
(đvdt). 
Câu 4. 
1) Gọi ( ) M x; y  là điểm biểu diễn số phức  z , ta có z x yi = +  . 
Suy ra ( ) ( ) z 2i 1 x 2 y 1 i - + = - + + 
( ) iz i 1 y 1 x 1 i + - = - - + + 
Nên  z 2i 1 iz i 1 - + = + - 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x 2 y 1 y 1 x 1 2x 1 0 Û - + + = + + + Û - =  . 
Vậy tập hợp điểm M  là đường thẳng 2x 1 0 - =  . 
2) Điều kiện: n 3 ³ 
Ta có:  2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4 C 2C 2C C 149 + + + + + + + = 
( ) 
( ) 
( ) ( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
n 1 ! 2 n 2 ! 2 n 3 ! n 4 ! 
149 
2!n! 2! n 1 ! 2! n 1 ! 2! n 2 ! 
+ + + + 
Û + + + = 
- + + 
2 n 4n 45 0 n 5 n 9(l) Û + - = Û = Ú = -  . 
Vậy n 5 =  là giá trị cần tìm. 
Câu 5. 
Ta có  1 A d A(1 a; 1 2a;1 a) Î Þ + - + -  ,  3 B d B( 2b; 1 4b; 1 2b) Î Þ - - - - + 
Suy ra  AB ( a 2b 1; 2(a 2b); a 2b 2) = - - - - + + - 
uuur 
, đặt  x a 2b = + 
Từ  2 2 2 
4 AB 13 (x 1) 4x (x 2) 13 x 1, x 
3 
= Þ + + + - = Û = - = 
·  Với  x 1 AB (0;2; 3) = Þ = - 
uuur 
, ta có  u (2; 3; 1) = - 
r 
là VTCP của  2 d  và  2 A( 1;1;0) d A ( ) - Î Þ Î a 
Suy ra  n AB, u (7; 6; 4) é ù = = - - ê ú ë û 
ur uuur r 
là VTPT của  ( ) a  . 
Phương trình  ( ) : 7x 6y 4z 13 0 a - - + =  . 
·  Với 
4 7 8 2 x AB ( ; ; ) 
3 3 3 3 
= Þ = - - - 
uuur 
. 
Suy ra  n 3AB,u ( 14;11;5) é ù = - = - ê ú ë û 
ur uuur r 
là VTPT của  ( ) a  . 
Phương trình  ( ) : 14x 11y 5z 25 0 a - - - =  . 
Câu 6. 
N 
H 
A 
B  C 
D 
S 
M 
K
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra SH (ABCD) ^  . Kẻ MH vuông góc với AB, M thuộc AB. 
Ta có  · SMH  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB  và ( ) ABCD  , do đó  · 0 SMH 60 =  . 
Vì 
HB 1 
DB 3 
=  nên ( ) 1 1 a 3 a 3 MH d D, AB 
3 3 2 6 
= = =  , suy ra  0 
a SH MH.tan60 
2 
= =  . 
Mặt khác tam giác ABD đều cạnh a nên 
2 2 
ABCD ABD 
a 3 a 3 S 2S 2. 
4 2 
= = =  . 
Thể tích khối chóp S.ABCD  là 
2 3 
ABCD 
1 1 a a 3 a 3 V SH.S . . 
3 3 2 2 12 
= = =  . 
Ta có ( ) ( ) 3 d B, (SCD) d H, (SCD) 
2 
=  . 
Gọi N, K theo thứ tự là hình chiếu của H lên CD và SN, khi đó ( ) d H, (SCD) HK =  . 
Vì ( ) 2 2 a 3 a 3 HN d B,CD 
3 3 2 3 
= = =  nên 
2 2 
SH.HN a 7 HK 
7 SH HN 
= = 
+ 
. 
Vậy ( ) 3a 7 d B, (SCD) 
14 
=  . 
Câu 7. 
B' 
A' 
H 
G 
E F 
M 
I 
A 
B  C 
Gọi  I  là tâm của đường tròn ( ) C  , E  là trung điểm BC  và H  là trực tâm tam giác ABC . 
Kẻ đường kính AA '  của đường tròn ( ) C  . 
Ta có BA ' CH, CA ' BH P P  nên BHCA '  là hình bình hành. Suy ra E  là trung điểm của A 'H . 
Dấn tới  IE  là đường trung bình của tam giác  IE 1 EG HA 'A 
AH 2 GA 
Þ = =  . 
Do đó, ta có  · · GIE GHA AGH EGI G,H, I D D Þ = Þ   ä  thẳng hàng và GH 2GI = - 
uuur uur 
. 
Mà ( ) I 2;3  nên tacos 
( ) 
( ) 
H 
H 
H H 
x 1 2 2 1 
x 1 
H 1; 2 8 8 y 2 y 2 3 
3 3 
ì ï - = - - ï ì ï ï = - ï ï Þ Þ - æ ö í í ÷ ç ï ï = ÷ - = - - ç ï ï ÷ î ç ï ÷ ç è ø ï î 
. 
Mặt khác ( ) M C Π và  A,H,M  thẳng hàng. 
Lại có  · · · · BHM AHB' ACF BMH MBH = = = Þ D  cân tại B  nên BC  là đường trung trực của đoạn HM . 
Ta có ( ) F 3; 2  và ( ) HM 8;0 = 
uuuur 
nên phương trình BC : x 3 0 - =  . 
Tọa độ B,C  là nghiệm của hệ 
( ) ( ) 2 2 
x 3 0 x 3 
y 2, y 8 x 2 y 3 26 
ì ï - = ì ï = ï ï ï Û í í ï ï = - = - + - = ï ï îï î 
. 
Phương trình HM : y 2 0 - =  nên tọa độ điểm A  là nghiệm của hệ
( ) ( ) 
( ) 2 2 
y 2 0 x 3 
A 3; 2 
y 2 x 2 y 3 26 
ì ï - = ì ï = - ï ï ï Û Þ - í í ï ï = - + - = ï ï îï î 
. 
Vậy ( ) ( ) ( ) A 3; 2 , B 3;8 , C 3; 2 - -  . 
Câu 8. 
. Điều kiện  y 1 ³  . 
Ta có  2 2 2 2 x 1 x y y 1 1 x 1 x y y 1 
æ öæ ö ÷ ÷ ç ç + + - - = Û + + = + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è øè ø 
2 2 y x x 1 y 1 Û - = + - -  (1) 
( ) ( )( ) 
2 2 2 2 2 2 y x x 1 y 1 xy x 1 y 1 
æ ö ÷ ç Þ - = + - - Û = + - ÷ ç ÷ ç è ø 
( )( ) 2 2 2 2 2 2 
xy 0 xy 0 
x y x 1 y 1 y x 1 
ì ï ³ ì ï ³ ï ï ï Û Û í í ï ï = + - - = ï ï î ï î 
(2). 
Từ (1) ta có 
2 2 
2 2 2 2 
x y 2 1 y x 
x 1 y 1 x 1 y 1 
- + 
- = = 
+ + - + + - 
Suy ra  2 2 
1 x 1 y 1 
y x 
+ + - = 
- 
. Từ đây ta có 0 y x 1 < - £  . 
Thay vào phương trình thứ hai ta được: 
( ) 2 
1 8 y x 3 17 
y x 
+ - + = 
- 
. 
Đặt ( t y x, t 0;1ù = - Î úû , ta có phương trình 
2 
1 8 t 3 17 
t 
+ + =  (3). 
Xét hàm số ( 2 
1 f (t) 8 t 3, t 0;1 
t 
ù = + + Î úû  có 
( ) 3 
3 3 
2 2t t 3 2 4 f '(t) 
t 3 t t t 3 
- + 
= - + = 
+ + 
. 
Ta có  3 6 f '(t) 0 2t t 3 0 4t t 3 0 = Û - + = Û - - = 
( )( ) 5 4 3 2 t 1 4t 4t 4t 4t 4t 3 0 t 1 Û - + + + + + = Û =  . 
Suy ra ( f (t) f (1) 17 t 0;1ù £ = " Î úû . Do đó (3) có nghiệm duy nhất  t 1 =  . 
Vậy ta có  2 2 
y x 1 x 0 
y 1 y x 1 
ì ì ï - = ï = ï ï Û í í ï ï = - = ï ï îî 
. Thử lại ta thấy cặp nghiệm này thỏa hệ đã cho. 
Vậy nghiệm của hệ là 
x 0 
y 1 
ì ï = ï í ï = ï î 
. 
Câu 9. 
Do a, b (0;1) Π nên tồn tại hai góc nhọn  x, y  sao cho  a cos x, b cos y = =  . 
Khi đó giả thiết bài toán  2 2 cos x cos y sin x cos y sin y cos x sin(x y) Û + = + = +  (1) 
Và  2 
x y P 8 tan 9 tan 
2 2 
= +  .
Nếu 
x y cos x cos( y) sin y 
2 2 x y 
2 
y x cos y cos( x) sin x 
2 2 
ì ì ï ï p p ï ï > - Þ Þ í í ï ï p p ï ï > - < - = ï ï ï ï ï ï î î
2 2 sin x sin y sin x cos y sin y cos x sin(x y) (1) Þ + < + = + Þ  không đúng 
Nếu  x y 
2 
p 
+ +  nên (1) không đúng. 
Do vậy  (1) x y 
2 
p 
Û + =  . Suy ra  2 2 
x 9(1 tan ) x x x 2 P 8 tan 9 tan 8 tan 
x 2 4 2 2 1 tan 
2 
- æ ö p ÷ ç ÷ = + - = + ç ÷ ç ÷ ç è ø + 
. 
Đặt ( ) x t tan t 0;1 
2 
= Þ Î  , ta có 
( ) 2 9 1 t P 8t f (t) 
1 t 
- 
= + = 
+ 
. 
Xét hàm số  f (t)  với ( ) t 0;1 Π ta có: 
( ) 
( ) 
( ) 
( )( ) 
( ) 
3 2 2 
2 2 2 
2 8t 16t 8t 9 2 2t 1 4t 10t 9 18 f '(t) 16t 
1 t 1 t 1 t 
+ + - - + + 
= - = = 
+ + + 
. 
Suy ra 
1 f '(t) 0 t 
2 
= Û =  . Lập bảng biến thiên ta có 
1 f (t) f 5 P 5 
2 
æ ö ÷ ç ÷ ³ = Þ ³ ç ÷ ç ÷ ç è ø 
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
2 
2 
x 1 tan x 1 3 4 2 tan a cos x , b cos y sin x 
x 2 2 5 5 1 tan 
2 
- 
= Þ = = = = = = 
+ 
. Vậy min P 5 =  . 
Người gửi: Nguyễn Tất Thu – GV Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai 
Email: nguyentatthudn@gmail.com 
ĐT: 0942444556.