Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 23

0 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  3 2 3 2 y x x mx m = + + + -  (m là tham số ) cú đồ thị là ( ) m C  . 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị  của hàm số khi  0 m = 
b) Xỏc định  m  để ( ) m C  cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phớa trục hoành 
Cõu 2 (1,0 điểm). 
Giải phương trỡnh : 2cos6 2cos4 3 cos2 sin 2 3 x x x x + - = + 
Cõu 3 (1,0 điểm). 
Tớnh : 
( ) 2 1 
0 
x 
x 
x x e 
I dx 
x e - 
+ 
= 
+ ũ 
Cõu 4 (1,0 điểm). 
a)  Giải phương trỡnh:  2 3 6 36 log log log log x x x x + + = 
b)  Tỡm số hạng khụng phụ thuộc vào  x  trong khai triển nhị thức Niu tơn  2 3 
2 
n 
x 
x 
ổ ử + ỗ ữ 
ố ứ 
( với  0 x ạ  ), biết rằng  * nẻ Ơ  và ( ) 2 1 5 4  9 4 n n n n C C n + + + + - = + 
Cõu 5 (1,0 điểm). 
Cho hỡnh  chúp  . S ABCD cú  đỏy ABCD  là  hỡnh  chữ nhật  với  3 ; 2 AB a AD a = =  .  Hỡnh  chiếu 
vuụng gúc của  S  lờn mặt phẳng ( ) ABCD  là điểm H  thuộc cạnh  AB  sao cho  2 AH HB =  . Gúc 
giữa  mặt  phẳng ( ) SCD  và  mặt  phẳng ( ) ABCD  bằng  0 60  .Tớnh  theo  a  thể  tớch  khối  chúp 
. S ABCD  và tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SC  và  AD . 
Cõu 6 (1,0 điểm). 
Trong  mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy  cho  tam  giỏc  cõn  ABC  cú  đỏyBC  nằm  trờn  đường  thẳng 
:2 5 1 0 d x y - + =  ,  cạnh AB nằm  trờn  đường  thẳng  :12 23 0 d x y  - - =  .  Viết  phương  trỡnh 
đường thẳng  AC  biết nú đi qua điểm ( ) 3;1 M  . 
Cõu 7 (1,0 điểm). 
Trong  khụng  gian  Oxyz ,  cho ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0;2;0 , 0;0;3 A B C  .Viết  phương  trỡnh  mặt  phẳng 
( ) P  đi qua  , O C  sao cho khoảng cỏch từ  A đến ( ) P  bằng khoảng cỏch từ B đến ( ) P  . 
Cõu 8 (1,0 điểm). 
Giải hệ  phương trỡnh: 
( ) 2 2 2 2 
3 
5 2 2 2 2 5 3 
2 1 2 12 7 8 2 5 
x xy y x xy y x y 
x y x y xy x 
ỡ + + + + + = + ù 
ớ 
+ + + + + = + + ù ợ 
. 
Cõu 9 (1,0 điểm). 
Cho ba số thực dương  , , a b c  thỏa món  2 2 2  3 a b c + + =  . 
Tỡm giỏ tri nhỏ nhất của biểu thức ( )  1 1 1 8 5 S a b c 
a b c 
ổ ử = + + + + + ỗ ữ 
ố ứ 
ưưưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưưư 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: 
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liờn (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đó gửi tới 
www.laisac.page.tl 
SỞ GD & ĐT 
TRƯỜNG THPT 
CHUYấN VĨNH PHÚC 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG 
CÁC MễN THI THPT QUỐC GIA LẦN 3ư NĂM HỌC 2014-2015 
MễN: TOÁN ưKHỐI 12  A+B 
Thời gian 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) 
Đề thi gồm 01 trang
1 
TRƯỜNG THPT CHUYấN VĨNH PHÚC. 
(Hướng dẫn chấm cú 5 trang) 
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL LẦN 3 NĂM 2015 
Mụn:TOÁN ư12AB 
I. LƯU í CHUNG: 
1) Nếu thớ sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn nhưng vẫn đỳng thỡ cho đủ số điểm 
từng phần như thang điểm quy định. 
2) Việc chi tiết hoỏ thang điểm (nếu cú) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo khụng làm sai 
lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong  cỏc giỏo viờn chấm thi hhảo sỏt. 
3) Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyờn kết quả. 
II. ĐÁP ÁN: 
Cõu  í  Nội dung trỡnh bày  Điểm 
1  a  Cho hàm số  3 2 3 2 y x x mx m = + + + -  (m là tham số ) cú đồ thị là ( ) m C  . 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị  của hàm số khi  0 m = 
1,0 ồ 
Khi  0 m =  hàm số trở thành  3 2 3 2 y x x = + - 
ã  TXĐ: D R = 
ã  Sự biến thiờn: 
+) Chiều biến thiờn:  2 
0 
3 6 , ' 0 
2 
x 
y x x y 
x 
= ộ 
= + = Û ờ = - ở 
Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( ) ( ) ; 2 , 0; -Ơ - +Ơ  , nghịch biến trờn ( ) 2;0 - 
0.25 
+)Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại  2; ( 2) 2 CD CD x y y = - = - = 
Hàm số đạt cực tiểu tại  0; (0) 2 CT CT x y y = = = - 
+) Giới hạn :  lim ; lim 
x x 
y y 
đ-Ơ đ+Ơ 
= -Ơ = +Ơ 
0.25 
Bảng biến thiờn: 
x -Ơ  ư2  0 +Ơ 
' y  +        0  ư  0            + 
y  2 +Ơ 
-Ơ  ư2 
0.25 
ã  Đồ thị : cắt  Ox  tại ( ) ( ) ( ) 1;0 , 1 3;0 , 1 3;0 - - + - - 
Đồ thị nhận điểm uốn U(  1;0 -  ) là tõm đối xứng. 
( Giỏm khảo tự vẽ) 
0.25 
b  b) Xỏc định m  để ( ) m C  cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phớa trục hoành  1,0 ồ 
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của ( ) m C  và trục hoành là 
( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 0 1 2 2 0 1 x x mx m x x x m + + + - = - + + - = 
0.25 
( ) ( ) ( ) 2 
1 
1 
2 2 0 2 
x 
g x x x m 
= - ộ 
Û ờ = + + - = ở 
0.25
2 
( ) m C  cú hai điểm cực trị nằm về hai phớa đối với trục  Ox ( ) 1 PT Û  cú ba  nghiệm 
phõn biệt ( ) 2 Û  cú hai nghiệm phõn biệt khỏc  1 - ( ) 
3 0 
3 
1 3 0 
m 
m 
g m 
 D = - > ỡ ù Û Û < ớ - = - ạ ù ợ 
0.25 
Vậy khi  3 m <  thỡ ( ) m C  cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phớa trục hoành 
0.25 
Chỳ ý  học sinh cú thể giải theo cỏch phương trỡnh  0 y =  cú hai nghiệm phõn biệt 
1 2 , x x  và ( ) ( ) 1 2  0 Cé CT y y y x y x ì = ì < 
2  Giải phương trỡnh :  2cos6 2cos 4 3 cos 2 sin 2 3 x x x x + - = +  1,0 ồ 
PT ( ) ( ) 2 cos6 cos 4 3 1 cos 2 2sin cos x x x x x Û + = + +  0.25 
( )  cos 0 4cos5 cos 2cos 3 cos sin 
2 cos5 3 cos sin 
x 
x x x x x 
x x x 
= ộ 
Û = + Û ờ 
= + ở 
0.25 
ã ( ) cos 0 , 
2 
x x k k 
p 
= Û = + p ẻZ 
ã 
3 1 
2cos5 3cos sin cos5 cos sin cos5 cos 
2 2 6 
x x x x x x x x 
p ổ ử = + Û = + Û = - ỗ ữ 
ố ứ 
0.25 
( ) 
5 2 
6  24 2 
5 2 
36 30 6 
x x k  x k 
k 
x k x x k 
p p p ộ ộ = - + p = - + ờ ờ 
Û Û ẻ ờ ờ 
p p p ờ ờ = + = - + p ờ ờ ở ở 
Z 
Vậy pt cú ba họ nghiệm ( ) ; ; 
2 24 2 36 3 
x k x k x k k 
p p p p p 
= + p = - + = + ẻZ 
0.25 
3 
Tớnh 
( ) 2 1 
0 
x 
x 
x x e 
I dx 
x e - 
+ 
= 
+ ũ  1,0 ồ 
( ) ( ) 2 1 1 
0 0 
1 
1 
x  x x 
x x 
x x e  xe x e 
I dx dx 
x e xe - 
+ + 
= ì = ì 
+ + ũ ũ 
0.25 
Đặt ( ) . 1 1 x x t x e dt x e dx = + ị = + 
Đổi cận  +  0 1 x t = ị = 
+  1 1 x t e = ị = + 
0.25 
Suy ra 
( ) 1 1 1 
0 1 1 
1  1 1 
1 
1 
x x  e e 
x 
xe x e  t 
I dx dt dt 
xe t t 
+ + + - ổ ử = ì = ì = - ì ỗ ữ + ố ứ ũ ũ ũ 
0.25 
Vậy ( ) ( ) 1 
1 
ln ln 1 
e 
I t t e e 
+ 
= - = - +  0.25 
4  a  Giải phương trỡnh:  2 3 6 36 log log log log x x x x + + =  0,5 ồ 
Phương trỡnh xỏc định với mọi  x R ẻ 
Áp dụng cụng thức ( ) log log log , 0 , , ; 1; 1 a a b c b c a b c a b = ì < ạ ạ 
0.25 
Phương trỡnh  2 3 2 6 2 36 2 log log 2 log log 2 log log 2 log x x x x Û + ì + ì = ì 
( ) 2 3 6 36 log log 2 log 2 1 log 2 0 x Û + + - = ( ) *
3 
Do  3 6 36 log 2 log 2 1 log 2 0 + + - > 
PT ( )  2 * log 0 1 x x Û = Û = 
Vậy nghiệm phương trỡnh là. 
0.25 
b 
Tỡm số hạng khụng phụ thuộc vào  x  trong khai triển nhị thức Niu tơn  3  2 
2 
n 
x 
x 
ổ ử + ỗ ữ 
ố ứ 
với  0 x ạ  , biết  * nẻƠ  và ( ) 2 1 5 4  9 4 n n n n C C n + + + + - = + 
0,5 ồ 
Từ giả thiết 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 5 4 
5 4 3 4 3 2 
9 4 9 4 
6 6 
n n 
n n 
n n n n n n 
C C n n + + + + 
+ + + + + + 
- = + Û - = + 
15 n ị =  . Khi đú ( ) 
15  30 5 15 15 15 
3 3 2 2  3 
15 15 
0 0 
2 2 
2 
k  k k 
k k k 
k k 
x C x C x 
x x 
- - 
= = 
ổ ử ổ ử + = = ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
ồ ồ  0.25 
Số hạng khụng phụ thuộc vào  x  tương ứng với 
30 5 
0 6 
3 
k 
k 
- 
= Û = 
Vậy số hạng khụng phụ thuộc vào  x  là  6 6 15 .2 C 
0.25 
5 
Cho  hỡnh  chúp  . S ABCD cú  đỏy ABCD  là  hỡnh  chữ  nhật  với  3 ; 2 AB a AD a = =   
Tớnh  theo  a  thể  tớch  khối chúp  S.ABCD và  tớnh  khoảng  cỏch  giữa  hai đường  thẳng 
SC  và  AD . 
1,0 ồ 
( Tự vẽ hỡnh). Kẻ ( ) HK CD K CD ^ ẻ  . Khi đú : 
( ) 
CD HK 
CD SHK CD SK 
CD SH 
^ ỹ 
ị ^ ị ^ ý ^ ỵ 
. 
Vậy gúc giữa ( ) SCD  và ( ) ABCD  là gúc  ã  0 60 SKH = 
0.25 
Trong tam giỏc vuụng  0 : tan 60 2 3 SHK SH HK a = =  . Thể tớch khụi chúp  . S ABCD 
là  3 . 
1 1 
. .3 .2 .2 3 4 3 
3 3 S ABCD ABCD 
V S SH a a a a = = = 
0.25 
Vỡ ( ) ( ) ( ) ( ) , , . SBC AD d AD SC d A SBC ị =  Trong ( ) SAB  kẻ  AI SB ^  , khi đú 
( ) 
BC AB 
BC SAB BC AI 
BC SH 
^ ỹ 
ị ^ ị ^ ý ^ ỵ 
mà ( ) SB AI AI SBC ^ ị ^ 
0.25 
Vậy ( ) ( ) ( ) 
2 2 
. 2 3.3 6 39 
, , 
13 12 
SH AB a a a 
d AD SC d A SBC AI 
SB  a a 
= = = = = 
+ 
0.25 
6 
Trong mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy  cho  tam giỏc  cõn  ABC  cú đỏyBC  nằm  trờn đường 
thẳng  :2 5 1 0 d x y - + =  ,  cạnh  AB nằm  trờn  đường  thẳng  :12 23 0 d x y  - - =  . Viết 
phương trỡnh đường thẳng  AC biết nú đi qua điểm ( ) 3;1 M  . 
1,0 ồ 
VTPT của ( ) : 2; 5 BC BC n = - 
r 
, VTPT của ( ) : 12; 1 AB AB n = - 
r 
, 
VTPT của ( ) ( ) 2 2 : ; , 0 AC AC n a b a b = + > r  . Ta cú  ã ã  0 90 ABC ACB = < 
ã ã ( ) ( ) cos cos cos , cos , AB BC BC CA ABC ACB n n n n ị = Û = 
r r r r 
0.25
4 
2 2 
2 2 
. . 2 5 145 
9 100 96 0 
. . 5 
AB BC CA BC 
AB BC CA BC 
n n n n a b 
a ab b 
n n n n  a b 
- 
Û = Û = Û - - = 
+ 
r r r r 
r r r r 
12 0 9 8 0 a b a b Û + = Ú - = 
0.25 
Với  12 0 a b + =  Chọn  12, 1 a b = = -  thỡ ( ) 12; 1 CA n AB AC = - ị 
r 
( loại)  0.25 
Với 9 8 0 a b - =  Chọn  8, 9 a b = =  nờn ( ) ( ) :8 3 9 1 0 AC x y - + - = 
: 8 9 33 0 AC x y ị + - = 
0.25 
7 
Trong khụng gian  Oxyz , cho ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0; 2;0 , 0;0;3 A B C  .Viết phương trỡnh mặt 
phẳng ( ) P  đi qua  , O C  sao cho khoảng cỏch từ  A  đến ( ) P  bằng khoảng cỏch từ  B 
đến ( ) P  . 
1,0 ồ 
Do ( ) P  cỏch đều  A  và  B  nờn hoặc ( ) P AB  hoặc ( ) P  đi qua trung điểm  . AB  0.25 
Khi ( ) P AB ( ) 
( ) 
( ) ( ) 
( ) 
0;0;0 
: 2 0 
, 6;3;0 2; 1;0 
qua O 
P P x y 
vtpt n AB OC n 
ỡ ù ị ị - = ớ ộ ự = - ị = - ù ở ỷ ợ 
uuur uuur r r  0.25 
Khi ( ) P  đi qua trung điểm  1 ;1;0 
2 
I ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
của  . AB  Ta cú : 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
0 0 
0;0;0 
: 2 0 3 
, 3; ;0 2;1;0 
2 
qua O 
P P x y 
vtpt n IC OC n 
ỡ 
ù ị ị + = ớ ổ ử ộ ự = ị = ỗ ữ ù ở ỷ ố ứ ợ 
uur uuur r r 
0.25 
Vậy phương trỡnh mặt phẳng ( ) ( ) : 2 0, : 2 0 P x y P x y - = + =  0,25 
8  Giải hệ  phương trỡnh: 
( ) ( ) 
( ) 
2 2 2 2 
3 
5 2 2 2 2 5 3 1 
2 1 2 12 7 8 2 5 2 
x xy y x xy y x y 
x y x y xy x 
ỡ + + + + + = + ù 
ớ 
+ + + + + = + + ù ợ 
.  1,0 ồ 
Điều kiện: 
2 2 
2 2 
5 2 2 0 
2 2 5 0 2 1 0 
2 1 0 
x xy y 
x xy y x y 
x y 
ỡ + + ³ 
ù 
+ + ³ Û + + ³ ớ 
ù + + ³ ợ 
. 
Khi hệ cú nghiệm ( ) ( ) 1 ; 0 x y x y ắắđ + ³ 
0.25 
Ta thấy ( ) 2 2 5 2 2 2 * x xy y x y + + ³ +  dấu bằng khi  x y =  thật vậy 
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 * 5 2 2 2 0 x xy y x y x y Û + + ³ + Û - ³  luụn đỳng với mọi  , x yẻĂ 
Tương tự ( ) 2 2 2 2 5 2 ** x xy y x y + + ³ +  dấu bằng khi  x y = 
Từ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 * & ** 5 2 2 2 2 5 3 VT x xy y x xy y x y VP ị = + + + + + ³ + = 
Dấu đẳng thức xẩy ra khi  x y = ( ) 3 
0.25
5 
Thế ( ) 3  vào ( ) 2  ta được:  2 3 3 1 2 19 8 2 5 x x x x + + + = + + ( ) 4  điều kiện  1 
3 
x ³ - 
( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2  3 2 1 3 1 2 2 19 8 0 x x x x x x Û - + + - + + + - + = 
( ) 
( ) ( ) ( ) 
2 2 
2 
2 2 3  3 
2 2 0 
1 3 1  2 2 19 8 19 8 
x x x x 
x x 
x x  x x x x 
- - 
Û - + + ì = 
+ + + + + + + + + 
0.25 
( ) 
( ) ( ) ( ) 
2 
2 2 3  3 
0 
1 1 
2 2 0 
1 3 1  2 2 19 8 19 8 
x x 
x x  x x x x 
> 
ộ ự 
ờ ỳ 
ờ ỳ Û - + + ì = 
ờ ỳ + + + + + + + + + ờ ỳ 
ờ ỳ ở ỷ 
144444444444424444444444443 
( ) 
( ) 
3 
2 
3 
0 0 
0 
1 1 
x y 
x x 
x y 
ộ = ắắđ = 
Û - = Û ờ 
= ắắđ = ờ ở 
. Thỏa món điều kiện 
Vậy hệ phương trỡnh cú hai nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0;0 & ; 1;1 x y x y = = 
0,25 
9 
Cho ba số thực dương  , , a b c  thỏa món  2 2 2  3 a b c + + =  . 
Tỡm giỏ tri nhỏ nhõt của biểu thức ( )  1 1 1 8 5 S a b c 
a b c 
ổ ử = + + + + + ỗ ữ 
ố ứ 
1,0 ồ 
Nhận xột : ( ) 
2 5 3 23 
8 , 1 
2 
a 
a 
a 
+ 
+ ³  với mọi 0 3 a < <  dấu bằng khi  1 a =  thật vậy 
( ) ( ) 
2 
2 3 2 5 3 23 8 3 16 23 10 0 1 3 10 0 
2 
a 
a a a a a a 
a 
+ 
+ ³ Û - + - Ê Û - - Ê  luụn đỳng 
với mọi 0 3 a < <  dấu bằng khi  1 a = 
0.25 
Tương tự ( ) 
2 5 3 23 
8 , 2 
2 
b 
b 
b 
+ 
+ ³  dầu bằng khi  1 b = 
( ) 
2 5 3 23 
8 , 3 
2 
c 
c 
c 
+ 
+ ³  dầu bằng khi  1 c = 
0.25 
Từ ( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) 2 2 2 1 , 2 & 3  3 69 1 1 1 8 5 39 
2 
a b c 
S a b c 
a b c 
+ + + ổ ử ắắắắđ = + + + + + ³ = ỗ ữ 
ố ứ 
Dấu bằng xẩy ra khi  1 a b c = = = 
0.25 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của  39 S =  đạt được khi và chỉ khi  1 a b c = = =  0,25 
Chỳ ý:  để tỡm ra vế phải của (1) ta sử dụng phương phỏp tiếp tuyến 
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liờn (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đó gửi tới 
www.laisac.page.tl