Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 2

0 
TRƯỜNG THPT CHUYấN VĨNH PHÚC  KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 
NĂM HỌC 2014ư2015 
ĐỀ CHÍNH THỨC  Mụn: Toỏn 12 Khối A -B 
Thời gian làm bài: 180 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  3 2 3 2 y x x = - + ( ) 1  . 
a)  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị  của hàm số ( ) 1 
b) Tỡm diểm  M  thuộc đường thẳng  : 3 2 d y x = -  sao cho tổng khoảng cỏch từ  M  tới hai 
điểm cực  trị  đồ thị  hàm số ( ) 1  là nhỏ nhất. 
Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh ( )  3 tan 2 cot 1 sin 4 sin 2cos sin 
3 2 2 
x x 
x x x x 
p ổ ử - = + + ỗ ữ 
ố ứ 
Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 
2  2 
3 
2 
0 
6 
ln 
6 
x 
I x dx 
x 
- 
= 
+ ũ 
Cõu 4 (1,0 điểm).Giải phương trỡnh  3 3 1 
3 
log 2 log 5 log 8 0 x x + + - + = 
Cõu 5 (1,0 điểm). .Một hộp chứa  4  quả cầu mầu đỏ, 5 quả cầu mầu xanh và 7  quả cầu mầu 
vàng. Lấy ngẫu nhiờn cựng lỳc ra  4  quả cầu từ hộp đú . Tớnh xỏc suất sao cho  4  quả cầu 
được lấy ra cú đỳng một quả cầu mầu đỏ và khụng quỏ hai quả cầu mầu vàng. 
Cõu  6  (1,0  điểm).  Cho  hỡnh  lăng  trụ  đứng  . ABC A B C     cú  đỏy  ABC  là  tam  giỏc  đều  , 
( ) , 0 AB a a = >  .Biết gúc giữa hai đường thẳng  AB  và  BC bằng  0 60  . Tớnh thể tớch khối lăng 
trụ  . ABC A B C    và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng  AB và  BC  theo  a . 
Cõu 7(1,0 điểm) .Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  Oxy  cho tam giỏc  ABC  cú phương trỡnh 
đường  thẳng  chứa  trung  tuyến    và  phõn  giỏc  trong  đỉnh  B  lần  lượt  là  1 : 2 3 0 d x y + - = 
2 , : 2 0 d x y + - =  . Điểm ( ) 2;1 M  nằm  trờn đường  thẳng  chứa cạnh  AB ,đường  trũn ngoại 
tiếp tam giỏc  ABC  cú bỏn kớnh bằng  5 . Biết đỉnh  A  cú hoành độ dương, hóy xỏc định tọa 
độ cỏc đỉnh  của tam giỏc  ABC . 
Cõu 8(1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh. 
( ) ( ) 
3 3 2 2 
2 
17 32 6 9 24 
2 4 9 2 9 9 1 
x y x y x y 
y x x y x x y 
ỡ - + - = - - ù 
ớ 
+ + + + - + = + + ù ợ 
Cõu 9(1,0 điểm). Cho cỏc số thực dương  , , a b c  thỏa món  3 ab bc ca + + =  .Chứng minh rằng 
( )( )( ) 7 4 7 4 7 4 3 3 3 27 a a b b c c - + - + - + ³  . 
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư 
Ghi chỳ:  ư Thớ sinh khụng được sử dụng bất cứ tài liệu gỡ! 
ư Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm! 
Họ và tờn thớ sinh: . Số bỏo danh: ... 
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liờn THPT chuyờn Vĩnh Phỳc gửi đến  
Đề chớnh thức 
(Đề thi gồm 01 trang)
1 
ĐÁP ÁN ư THANG ĐIỂM 
KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC ư CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2014ư2015 
Mụn: Toỏn; Khối:A+B 
(Đỏp ỏn – thang điểm:  gồm 04 trang) 
Cõu  Đỏp ỏn  Điờm 
1  2,0 ồ 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị  của hàm số:  3 2 3 2 y x x = - +  1,0 ồ 
a)  TXĐ.  D = Ă 
b)  Sự biến thiờn. 
+ Chiều biến thiờn.: ( ) , 2 3 6 3 2 y x x x x = - = -  ,  0 0 2 y x x  = Û = Ú = 
Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( ) ;0 -Ơ  và ( ) 2;+Ơ 
Hàm số nghịch biến trờn khoảng ( ) 0;2 
0,25 
+Cực trị. 
Hàm số đạt cực đại tại ( ) D 0; 0 2 C x y y = = = 
Hàm số đạt cực tiểu tại ( ) T 2; 2 2 C x y y = = = - 
+Cỏc giới hạn tại vụ cực: 
3 
3 
3 2 
lim lim 1 
x x 
y x 
x x đ+Ơ đ+Ơ 
ổ ử = - + = +Ơ ỗ ữ 
ố ứ 
3 
3 
3 2 
lim lim 1 
x x 
y x 
x x đ-Ơ đ-Ơ 
ổ ử = - + = -Ơ ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
Bảng biến thiờn. 
x -Ơ  0  2 +Ơ 
y  +  0 -  0  + 
, y  2 +Ơ 
-Ơ  2 - 
0,25 
c)Đồ thị .( Tự vẽ) 
Giao điểm của đồ thị với trục Ox  là ( ) ( ) ( ) 1;0 , 1 3;0 , 1 3;0 + - 
Giao điểm của đồ thị với trục Oy  là ( ) 0;2 
Vẽ đồ thị. 
Nhận xột:Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận  (1;0) I  làm tõm đối xứng 
0,25 
b) Tỡm diểm  M  thuộc đường thẳng  : 3 2 d y x = -  sao cho tổng khoảng cỏch từ  M  tới 
hai điểm cực  trị là nhỏ nhất. 
1,0 ồ 
Cỏc điểm cực trị là ( ) ( ) 0;2 , 2; 2 A B - 
Xột biểu thức ( ) , 3 2 g x y x y = - - 
ta  cú ( ) , 3 2 4 0 A A A A g x y x y = - - = -   sau  ra  hai 
điểm  , A B  nằm về hai phớa đường thẳng  : 3 2 d y x = - 
0,25 
Do đú  MA MB +  nhỏ nhất  3 Û  điểm  , , A B M  thẳng hàng  M Û  là giao điểm giữa  d 
và  AB 
0,25 
Phương trỡnh đường thẳng  AB  2 2 y x = - +  :. Tọa độ điểm  M  là nghiệm hệ phương  0,50
2 
trỡnh: 
4 
3 2  4 2 5  ; 
2 2 2  5 5 
5 
x y x 
M 
y x 
y 
ỡ = ù = - ỡ ù ổ ử Û ị ớ ớ ỗ ữ = - + ố ứ ợ ù = 
ù ợ 
2 
Giải phương trỡnh ( )  3 tan 2 cot 1 sin 4 sin 2cos sin 
3 2 2 
x x 
x x x x 
p ổ ử - = + + ỗ ữ 
ố ứ 
1,0 ồ 
Điều kiện : cos 2 0,sin 0 x x ạ ạ  . Phương trỡnh đó cho tương đương với pt 
sin 2 cos cos 2 sin 3 
sin 4 sin 2cos sin 
sin cos 2 3 2 2 
x x x x x x 
x x 
x x 
- p ổ ử ổ ử = + + ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
0,25 
1 3 
2sin 2 sin cos sin 2 sin 
2 2 
x x x x x Û = + + -  0,25 
3 1 
sin 2 cos sin sin 2 sin 
2 2 3 
x x x x x 
p ổ ử Û = - Û = - ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
2 2 2 
2 2 2 2 2 
3 3 9 3 3 
x x k x x k x k x k 
p p p p p 
Û = - + p Ú = + + p Û = + Ú = + p  với  k ẻ 
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm là 
2 2 
, 2 
9 3 3 
x k x k 
p p p 
= + = + p  với  k ẻ 
0,25 
3 
Tớnh tớch phõn 
2  2 
3 
2 
0 
6 
ln 
6 
x 
I x dx 
x 
- 
= 
+ 
ũ  1,0 ồ 
Đặt 
2 
4 
2 
4 
3 
24 
6 
ln  36 
6 
36 
4 
x 
du dx x 
u  x 
x 
x 
v dv x dx 
ỡ ỡ = - ù = ù ù - ị + ớ ớ 
- ù ù = = ợ ù ợ 
0,25 
2  2 4 2 
2 
0 0 
36 6 
ln 6 
4  6 
x x 
I xdx 
x 
- - 
= ì - 
+ ũ 
0,25 
2 2 
0 
5ln5 3 5ln 5 12 I x = - = -  . Vậy  5ln5 12 I = -  0,50 
4  Giải phương trỡnh  3 3 1 
3 
log 2 log 5 log 8 0 x x + + - + =  1,0 ồ 
Điều kiện : 
2 0  2
5 5 0 
x  x 
x x 
ỡ + > ạ - ỡ ù Û ớ ớ ạ - > ợ ù ợ 
0,25 
Khi đú phương trỡnh đó cho 
( ) 3 3 3 3 3 log 2 log 5 log 8 0 log 2 5 log 8 x x x x Û + + - - = Û + ì - =  0,25 
2 2 
2 
2 2 
3 10 8 3 18 0 
3 10 8 
3 10 8 3 2 0 
x x x x 
x x 
x x x x 
ộ ộ - - = - - = 
Û - - = Û Û ờ ờ 
ờ ờ - - = - - - = ở ở 
3 ; 6 
3 17 
2 
x x 
x 
= - = ộ 
ờ Û ± ờ = 
ờ ở 
0,25 
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm là 
3 17 
3; 6; 
2 
x x x 
± 
= - = =  0,25 
5  1,0 ồ 
Số phần tử khụng gian mẫu là ( )  4 16  1820 n C W = =  0,25 
Gọi  A  là biến cố “4  quả cầu được lấy ra cú đỳng một quả cầu mầu đỏ và khụng 
quỏ hai quả cầu mầu vàng.” 
0,25 
Khi đú ( )  1 3 1 1 2 1 2 1 4 5 4 7 5 4 7 5  740 n A C C C C C C C C = + + =  0,25
3 
Xỏc suất của biến cố  A  là ( ) ( ) ( ) 
740 37 
0, 41 
1820 91 
n A 
P A 
n 
= = = ằ 
W 
0,25 
6  1,0 ồ 
Trờn  tia  CB 
uuur 
lấy điểm  D  sao cho  CB BD BD C B Â Â = ị = ị 
uuur uuur uuur uuuur 
Tứ giỏc  BDB C    là  hỡnh 
bỡnh  hành.  Đặt ( )  2 2 , 0 , AA h h AB BC DB a h BD CB a     = > ị = = = + = =  .  Từ  đú 
suy ra  2 2 0 2 . cos120 3 AD AB BD AB BD a = + - = 
0,25 
Tứ giỏc  BDB C    là hỡnh bỡnh hành  . BC DB   ị 
Vậy ( ) ( ) ã 0 0 60 , , 120 AB BC AB DB AB D Â Â Â Â Â = = ị =  hoặc ã  0 60 AB D Â = 
ã  Trường hợp 1. ã  0 2 2 2 0 120 2 . cos120 AB D AD AB DB AB DB Â Â Â Â Â = ị = + - 
2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 3 0 a a h a h a h h h ị = + + + + + ị = ị =  vụ lý 
0,25 
ã  Trường hợp 2. ã  0 60 AB D AB D Â Â = ị D  đều 
2 2  3 2 AB BD a h a h a  ị = ị + = ị = 
Vậy thể tớch của lăng trụ là 
2 3 3 6 
2 
4 4 ABC 
a a 
V AA dt a D Â = ì = ì = 
0,25 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
3 
. 
2 
6 
3.  2 4 , , , 
3 3 3 
4 
B ABD 
AB D AB D 
a 
V  V a 
d BC AB d BC AB D d B AB D 
dt dt  a 
 
  D D 
     = = = = = =  0,25 
7  1,0 ồ 
Ta cú ( ) { } 1 2  1;1 d d B ầ =  . Do đú phương trỡnh ( ) ( ) : 1 AB AM y º =  0,25 
Gọi  tọa độ điểm ( ) ;1 A a  ,  điểm  N đối  xứng  với  M  qua phõn  giỏc  2 d  khi đú  ta  tỡm 
được ( ) 1;0 N  . Vậy phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh ( ) : 1 0 1; x C c - = ị ịTrung 
điểm của  AC  là 
1 1 
; 
2 2 
a c 
I 
+ + ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ 
. 
0,25 
Do ( ) 1  2 3 0, 1 I d a c ẻ ị + - = 
Dễ thấy, tam giỏc  ABC vuụng tại ( ) ( ) ( ) 2 2 5 1 1 20, 2 B IB a c ị = ị - + - = 
0,25 
Từ ( ) ( ) 1 à 2 v  đi đến hệ pt 
( ) ( ) 
( ) 
( ) 2 2 
2 3 0  3, 3 / 
1, 5 1 1 20 
a c  a c t m 
a c loai a c 
+ - = ỡ = = - ộ ù ị ờ ớ 
= - = - + - = ờ ù ở ợ & 
Vậy ( ) ( ) 3;1 , 1; 3 A C - 
0,25 
8 
Giải hệ phương trỡnh. 
( ) 
( ) ( ) ( ) 
3 3 2 2 
2 
17 32 6 9 17 1 
2 4 9 2 9 9 1 2 
x y x y x y 
y x x y x x y 
ỡ - + - = - - ù 
ớ 
+ + + + - + = + + ù ợ 
1,0 ồ 
Điều kiện 
4 
2 9 0 
x 
y x 
³ - ỡ 
ớ - + ³ ợ 
pt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 1 : 17 32 6 9 17 2 5 2 3 5 3 x y x y x y x x y y - + - = - - Û - + - = - + - 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 3 3 5 0 x y x x y y ộ ự Û - - - ì - + - - + - + = ộ ự ở ỷ ở ỷ 
( ) ( ) 2 3 0 1 x y y x Û - - - = Û = + ( ) 3 
0,25 
Thế ( ) 3  vào ( ) 2  ta được pt: ( ) ( )  2 3 4 9 11 9 10 x x x x x x + + + + + = + + 
( ) ( ) ( ) ( )  2 3 4 3 9 11 4 2 35 x x x x x x + + - + + + - = + -  0,25
4 
( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 3 9 5 7 
4 3 11 4 
x x 
x x x x 
x x 
- - 
Û + ì + + = - + 
+ + + +  0,25 
( ) 
5 0 5, 6 
3 9 
7 4 
4 3 11 4 
x x y 
x x 
x 
x x 
- = ị = = ộ 
ờ Û + + ờ + = + 
ờ + + + + ở 
( )  3 5 9 9 4 0 
2 2 4 3 11 4 
x x x x 
x x 
+ + + + 
Û - + - = 
+ + + + 
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 5 9 0 ụ em 
2 2 4 3 11 4 4 3 
x x v nghi 
x x x 
ổ ử ổ ử Û + - + + - - = ỗ ữ ỗ ữ + + + + + + ố ứ ố ứ 
) 
& 
Vậy hệ phương trỡnh cú 1 nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 5;6 x y = 
0,25 
9 ( )( )( ) 7 4 7 4 7 4 3 3 3 27 a a b b c c - + - + - + ³  1,0 ồ 
Nhận xột 1. Ta cú ( ) ( ) ( )( ) 2 7 4 3 2 2 3 2 1 1 1 1 0 0 a a a a a a a a a - + ³ + Û - + + + + ³ " > 
Nhận xột 2. ( ) ( ) 2  3 9 3 a b c ab bc ca a b c + + ³ + + = ị + + ³ 
Ta chứng minh rằng ( ) 
( ) 
( ) 3 3 
, , 
2 
a b c 
a a b c + ³ + + ế 
0,25 
Áp dụng bất đẳng thức AMưGM ta được 
( ) 
( ) 
( ) 
3 
3 3 3  3 
3 
, , 
1 1 3 
1 
2 2 2  2 
a b c 
a a 
a b c  a 
+ + ³ 
+ + + + ế 
,tương tự ta cú 
( ) 
( ) 
( ) 
3 
3 3 3  3 
3 
, , 
1 1 3 
2 
2 2 2  2 
a b c 
b b 
b c a  a 
+ + ³ 
+ + + + ế 
, 
( ) 
( ) 
( ) 
3 
3 3 3  3 
3 
, , 
1 1 3 
3 
2 2 2  2 
a b c 
c c 
c a b  a 
+ + ³ 
+ + + + ế 
0,25 
cộng ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 3  theo vế ta được 
( ) 
( ) 
( ) 
3 3 3 
3 3 3  3 
3 
, , 
3 2 2 2 
3 
2 2 2  2 
a b c 
a b c a b c 
a b c  a 
+ + + + + 
= + + ³ Û 
+ + + + ế 
( ) 
( ) 
( ) 3 3 
, , 
2 
a b c 
a a b c + ³ + + ế  0,25 
Dấu bằng xẩy  ra khi và chỉ khi  1 a b c = = =  ( bước nhận  xột 1  sử dụng phương phỏp 
tiếp tuyến 
0,25 
Lưu ý khi chấm bài: 
ưĐỏp ỏn trỡnh bày một cỏch giải gồm cỏc ý bắt buộc phải cú trong bài làm của học sinh. 
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thỡ khụng cho điểm bước đú. 
ưNếu học sinh giải cỏch khỏc, giỏm khảo căn cứ cỏc ý trong đỏp ỏn để cho điểm. 
ưTrong bài làm, nếu ở một bước nào đú bị sai thỡ cỏc phần sau cú sử dụng kết quả sai đú 
khụng được điểm. 
ư Cõu 6 học sinh khụng vẽ hỡnh , thỡ khụng chấm điểm. 
ưĐiểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. 
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liờn THPT chuyờn Vĩnh Phỳc gửi đến