Bộ đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán

ĐỀ I
Câu I.Cho hàm số 
1) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C ) hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = 8x – 10
Câu II. 1)Tìm số phức z, biết 
2) Giải phương trình: 
Câu III. Giải phương trình: 
Câu IV. 1) Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình : 
Câu V. Tính tích phân sau : 
Câu VI. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).
Câu VII. Trong mpOxy, cho đường tròn (C) : và 2 đường thẳng .Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C1) biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đ.t và tâm K thuộc (C ). 
Câu VIII. Lập pt mặt cầu biết tâm nằm trên đt và tiếp xúc với 2 mp (P) : x + 2y + 2z + 3 = 0;
(Q) : 2x – y + 2z – 3 = 0.
Câu XI Một bộ đề thi gồm 7 câu khó,10 câu khá, 15 câu trung bình. Chọn ra 6 câu để lập một đề thi. Tìm xác suất để trong đề thi chọn ra phải có đủ 3 loại câu, đồng thời số câu khó ít hơn số câu khá và số câu khá không ít hơn số câu trung bình
ĐỀ II
Câu I Cho hàm số , đồ thị ( C ). 
1) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C ) hàm số.
2)Tìm m để đường thẳng d : y = mx + 1 cắt ( C ) chỉ tại một điểm .
3)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 
Câu II. 1)Tìm số phức z, biết 
2) Giải phương trình: 
Câu III. Giải phương trình: 
Câu IV. 1)Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình : 
Câu V. Tính tích phân sau : 
Câu VI. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Câu VII. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.Điểm H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, điểm , lần lươt là trung điểm của đoạn AH và DH, điểm K(0 ; 2) thuộc đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm A và C.
Câu VIII Trong kg Oxyz cho mp (P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S) :. CMR (P) cắt (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó. 
Câu XI .Tìm số nguyên dương x sao cho hạng tử thứ 5 của khai triển là 240. 
ĐỀ III
Câu I Cho hàm số , đồ thị ( C ).
1) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C ) hàm số.
2)Đường tiếp tuyến với đồ thị (C ) có hệ số góc bằng -9 cắt trục Ox tại A. Tìm tọa độ điểm A. 
3) Tìm m để pt : có 3 nghiệm phân biệt.
Câu II. 1) Chứng minh rằng nếu là một số thực thì z là một số thực.
2) Cho .Tính giá trị của biểu thức 
Câu III. Giải phương trình: 
Câu IV. 1)Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình : 
Câu V. Tính tích phân sau : 
Câu VI Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. 
Câu VII. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi MNPQ có M(1; 2), phương trình NQ là . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình thoi, biết rằng NQ = 2 MP và N có tung độ âm.
Câu VIII Cho các điểm A(-1; -1; -2), B(0;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 1 =0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P). 
Câu XI Cho tập hợp số X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Lập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau.Chọn 
ngẫu nhiên hai số.Tính xác suất sao cho 
1)Hai số được chọn có tồng 5 chữ số là số chẳn
2)Không được dùng phương pháp lấy bù, tính xác suất sao cho hai số được chọn có tồng 5 chữ số là số lẻ
ĐỀ IV
Câu I Cho hàm số , đồ thị ( C ). 
1) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C ) hàm số.
2)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : .Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến 
Câu II. 1) Tìm số phức z, biết và biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
2) Cho .Tính giá trị của biểu thức 
Câu III. Giải phương trình: 
Câu IV. 1)Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình : 
Câu V. Tính tích phân sau : 
Câu VI. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
Câu VII. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có CD = 2AB.Phương trình đường thẳng CD có dạng . Gọi I là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. là điểm đối xứng với I qua A. Biết diện tích hình thang ABCD bằng 12. Viết phương trình đường thẳng BC, biết điểm C có hoành độ dương.
Câu VIII .Cho tứ diện ABCD có có các đỉnh A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1), D(0; 3; 1). Viết pt mp (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). 
Câu XI Cho n là số nguyên dương thỏa mãn . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn , x ≠ 0.
ĐỀ V
Câu I.Cho hàm số có đồ thị là (C). 
Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C ) hàm số.
Chứng minh đường thẳng d: y = –x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có tung độ bằng 4
Câu II. 1) Tìm số phức z, biết .Tính mô đun của số phức 
2) Giải phương trình: 
Câu III. Giải phương trình: 
Câu IV. 1)Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình : 
Câu V. Tính tích phân sau : 
Câu VI. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S. BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Câu VII. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong góc A nằm trên đường thẳng . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình : . Biết điểm M(3; - 4) nằm trên đường thẳng BC và điểm A có hoành độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Câu VIII . Cho các điểm A(1; -1; 1), B (-1;2;3) và đường thẳng D : . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng qua AB và D.
Câu XI Cho tập hợp A = {1,2,3,4, 5, 6 }. Gọi X là tập hợp các số gồm 2 chữ số đôi một khác nhau .Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 phần tử của tập X. Tính xác suất để hai số lấy được đều là số chẳn. 
ĐỀ VI
 Câu I. Cho hàm số (C). 
Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C ) hàm số.
 2)Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB vuông tại O. 
 3)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng -3.
 Câu II. 1) Tìm số phức z, biết .Tính mô đun của số phức 
2) Giải phương trình: 
Câu III. Giải phương trình: 
Câu IV. 1)Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình : 
Câu V. Tính tích phân sau : 
Câu VI. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a; CD = a. Gọi I là trung điểm cạnh AD; Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Biết góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S. ABCD và khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Câu VII. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): và đường thẳng . Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N và P thuộc , đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P. 
Câu VIII . Cho đường thẳng : và mp (P) : x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với . 
Câu XI Xác định số n sao cho trong khai triển hạng tử thứ 11 là số hạng có hệ số lớn nhất.
ĐỀ VII
Câu I. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 . 
 1)Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C ) hàm số.
 2) Gọi d là đường thẳng đi qua A( 3 ; 20 ) hệ số góc m .Tìm m để đường thẳng d cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt . 
 3)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại giao điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình 
 Câu II. 1) Giải các phương trình sau trong tập phức : 
 a) b) 
2) Giải phương trình: 
Câu III. Giải bất phương trình: 
Câu IV. 1)Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình : 
Câu V. Tính tích phân sau : 
Câu VI. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Câu VII. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.
Câu VIII . Cho hai đường thẳng D1: và D2: . Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P) : 7x + y – 4z = 0 và cắt 2 đt D1,D2
Câu XI .Trong một hộp đựng 7 viên bi xanh , 5 viên bi vàng và 3 viên trắng .Lấy ngẫu nhiên 5 viên .Tính xác suất để lấy được 4 viên bi cùng màu . 
ĐỀ VIII
 Câu I. Cho hàm số : 
 1)Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) khi m = 1
 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 3)Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa O.
 Câu II. 1) Gọi là các nghiệm của phương trình sau trong tập phức : .Tính mô đun của số phức
2) Giải phương trình: 
3)Cho .Tính giá trị của biểu thức 
Câu III. Giải phương trình: 
Câu IV. 1) Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình : 
Câu V. Tính tích phân sau : 
Câu VI. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a góc = 120° . SA vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh SC và đáy bằng 60°.
1)Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2)Tính khoảng cách giưã hai đường thẳng SA và BM, với M là trung điểm cạnh SD.
Câu VII. Cho hình chữ nhật ABCD có B, C thuộc trục tung. Phương trình đường chéo AC : 3x + 4y – 16 = 0. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D.
Câu VIII. Cho các điểm A(-1; -1; -2), B(0;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 1 =0. 
1) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Từ đó suy ra điểm đối xứng A’ của A qua mp(P).
 2)Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P). 
 Câu XI Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ S, tính xác suất để 3 số được chọn là số chẵn.
 ĐỀ XI
Câu I. Cho hàm số : 
 1)Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C ) của hàm số .
 2)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3)Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B cách đều 
 đường thẳng d’: 2x + 2y + 1 = 0.
 Câu II. 1) Cho số phức z thỏa mãn : .Tính mô đun của số phức z. 
2) Giải phương trình: 
3)Cho .Tính giá trị của biểu thức : 
Câu III. Giải bất phương trình : 
Câu IV. 1)Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình : 
Câu V. Tính tích phân sau : 
Câu VI. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy là BC và AD. Biết SA = AD = 2a, AB = BC = CD = a . Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là trung điểm cạnh AD.
1)Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2)Tính khoảng cách giưã hai đường thẳng SB và AD.
Câu VII. Cho tam giác ABC có B(3 ; 3) và H(3 ; 1) là trực tâm , G(1 ; -1) là trọng tâm. Tìm tọa độ các đỉnh A, C biết A có hoành độ dương.
Câu VIII. Cho các điểm A(-1; -1; -2), B(0;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 1 =0. 
1) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Từ đó suy ra điểm đối xứng A’ của A qua mp(P).
 2)Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P). 
 Câu XI Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ S, tính xác suất để 3 số được chọn là số chẵn.
 ĐỀ X
 Câu I. Cho hàm số : 
 1)Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C ) của hàm số .
 2)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) tại điểm có tung độ bằng 4
 3)Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 
 Câu II. 1) Gọi là các nghiệm của phương trình sau trong tập phức : .Tính giá trị của
2) Giải phương trình: 
Câu III. Giải bất phương trình : 
Câu IV. 1)Giải hệ phương trình : 
2) Giải phương trình : 
Câu V. Tính tích phân sau : 
Câu VI. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. 
1)Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC 
2)Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Câu VII. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có CD = 2AB.Phương trình đường thẳng A C và BD lần lượt có dạng : và : .Biết tọa độ hai điểm A, B đều dương và diện tích hình thang bằng 36. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang.
Câu VIII. Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
 Câu XI Tìm số nguyên dương x sao cho hạng tử thứ 5 của khai triển là 240.