Bám sát toàn diện Toán 11

KHOÁ HỌC: BÁM SÁT TOÀN DIỆN TOÁN 11 
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại website: www.vted.vn 
Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam 
1 
1 
VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
(1) Định nghĩa 
Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB
! "!!
 chỉ véctơ có điểm đầu là A, điểm 
cuối là B. 
Các khái niệm về giá của véctơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai véctơ, véctơ - không, hai véctơ 
bằng nhau được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. 
(2) Các phép toán của véctơ trong không gian 
Các phép toán cộng, trừ hai véctơ tương tự trong mặt phẳng. 
*Quy tắc trung điểm: 
Với M là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có MA
! "!!
+ MB
! "!!
= 0
"
 và với O là điểm bất kì ta có 
OM
! "!!!
=
1
2
OA
! "!!
+ OB
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟. 
*Quy tắc hình bình hành: 
Với ABCD là hình bình hành, ta có AC
! "!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
. 
*Tính chất trọng tâm tam giác: 
Với G là trọng tâm tam giác ABC, ta có GA
! "!!
+ GB
! "!!
+ GC
! "!!
= 0
"
 và với O là điểm bất kì, ta có 
OG
! "!!
=
1
3
OA
! "!!
+ OB
! "!!
+ OC
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟. 
*Ba điểm thẳng hàng: 
Với A,B,C thẳng hàng và O là điểm bất kì ta có OA
! "!!
= xOB
! "!!
+ (1− x)OC
! "!!
. 
(3) Quy tắc hình hộp 
Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C ' D ' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA ' và đường chéo 
 AC ' . Khi đó ta có quy tắc hình hộp là: 
 2 
 AC '
! "!!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AA '
! "!!!
. 
Thông thường ta sẽ đặt 
 AB
! "!!
= a
!"
, AD
! "!!
= b
"
, AA '
! "!!!
= c
"
 vậy theo quy tắc 
hình hộp, ta có AC '
! "!!!
= a
!"
+ b
"
+ c
"
. 
Chứng minh. 
Theo quy tắc hình bình hành, ta có 
AC '
! "!!!
= AA '
! "!!!
+ AC
! "!!
AC
! "!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⇒ AC '
! "!!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AA '
! "!!!
.
(4) Khái niệm về ba véctơ đồng phẳng 
Xét ba véc tơ a
!"
,b
"
,c
"
 là các véctơ khác véctơ – không. Với O là điểm bất kì trong không gian, xét ba 
điểm A,B,C thoả mãn OA
! "!!
= a
!"
,OB
! "!!
= b
"
,OC
! "!!
. 
+) Nếu OA,OB,OC cùng nằm trên một mặt phẳng ta nói ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
 đồng phẳng; trường hợp 
này giá của a
!"
,b
"
,c
"
 luôn luôn song song với một mặt phẳng. 
+) Nếu OA,OB,OC không thuộc cùng một mặt phẳng ta nói ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
 không đồng phẳng. 
(5) Định nghĩa ba véctơ đồng phẳng 
Trong không gian ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt 
phẳng. 
(6) Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng 
Trong không gian cho hai véc tơ a
!"
,b
"
 không cùng phương và véctơ c
!
. Khi đó ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
 đồng 
phẳng khi và chỉ khi c
!
= ma
"!
+ nb
!
. Ngoài ra bộ số (m;n) là duy nhất. 
*Hệ quả: 
Bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng khi và chỉ khi 
 OA
! "!!
= mOB
! "!!
+ nOC
! "!!
+ (1−m− n)OD
! "!!
. 
+) Ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
 không đồng phẳng khi đó 
 ma
!"
+ nb
"
+ pc
"
= 0
"
⇔ m = n = p = 0. 
(7) Biểu diễn một véctơ qua ba véctơ không đồng phẳng 
Trong không gian cho ba véctơ không đồng phẳng a
!"
,b
"
,c
"
. Khi đó với mọi véctơ x
!
 ta luôn có 
 x
!
= ma
"!
+ nb
!
+ pc
!
. 
Ngoài ra bộ số (m;n;p) là duy nhất. 
KHOÁ HỌC: BÁM SÁT TOÀN DIỆN TOÁN 11 
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại website: www.vted.vn 
Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam 
3 
3 
B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Câu 1. Cho hình hộp ABCD. ′A ′B ′C ′D . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? 
A. AC '
! "!!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AA '
! "!!!
. 
B. AC '
! "!!!
= AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AC
! "!!
. 
C. AC '
! "!!!
= AC
! "!!
+ AB '
! "!!!
+ AD '
! "!!!
. 
D. AC '
! "!!!
= AB '
! "!!!
+ AD '
! "!!!
+ AA '
! "!!!
. 
Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AB
! "!!
= a
!"
, AC
! "!!
= b
"
, AD
! "!!
= c
"
. Gọi M, N,O lần lượt là trung điểm các 
đoạn thẳng AB,CD,MN. Hãy hiểu diễn véctơ AO
! "!!
 theo ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
. 
A. 
AO
! "!!
=
1
2
(a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
C. 
AO
! "!!
=
1
4
(a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
B. 
AO
! "!!
=
1
4
(a
!"
+ 2b
"
+ 2c
"
). 
D. 
AO
! "!!
=
1
4
(2a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
Câu 3. Xét ba véc tơ a
!"
,b
"
,c
"
 là các véctơ khác véctơ – không. Với O là điểm bất kì trong không gian, 
xét ba điểm A,B,C thoả mãn OA
! "!!
= a
!"
,OB
! "!!
= b
"
,OC
! "!!
. Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai? 
A. Nếu OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng thì a
!"
,b
"
,c
"
 đồng phẳng. 
B. Nếu OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng thì giá của ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
 cùng song song với một 
mặt phẳng. 
C. Nếu OA,OB,OC không cùng thuộc một mặt phẳng thì a
!"
,b
"
,c
"
 không đồng phẳng. 
D. Nếu OA,OB,OC không cùng thuộc một mặt phẳng thì giá của ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
 cùng song song với 
một mặt phẳng. 
Câu 4. Ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu 
A. Giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. 
B. Giá của chúng cùng nằm trên một mặt phẳng. 
 4 
C. Giá của chúng cùng thuộc một đường thẳng. 
D. Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng và chúng cắt nhau. 
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm cạnh BC, điểm I thoả mãn 
IA
! "!
=−
3
7
IM
! "!!
. Hãy 
biểu diễn DI
! "!
 theo ba véctơ DA
! "!!
, DB
! "!!
, DC
! "!!
. 
A. 
DI
! "!
=
1
20
14DA
! "!!
+ 3DB
! "!!
+ 3DC
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟. 
B. 
DI
! "!
=
1
10
14DA
! "!!
+ 3DB
! "!!
+ 3DC
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟. 
C. 
DI
! "!
=
1
20
7DA
! "!!
+ 3DB
! "!!
+ 3DC
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟. 
D. 
DI
! "!
=
1
10
7DA
! "!!
+ 3DB
! "!!
+ 3DC
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟. 
Câu 6. Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C ' D ' có AB
! "!!
= a
!"
, AD
! "!!
= b
"
, AA '
! "!!!
= c
"
. Gọi I là trung điểm của 
đoạn thẳng BC ' . Hãy biểu diễn véctơ AI
! "!
 theo ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
. 
A. 
AI
! "!
= a
!"
+
1
2
b
"
+
1
2
c
"
. 
C. 
AI
! "!
= a
!"
+
1
4
b
"
+
1
4
c
"
. 
B. 
AI
! "!
=
1
2
a
!"
+
1
4
b
"
+
1
4
c
"
. 
D. 
AI
! "!
=
1
2
a
!"
+
1
2
b
"
+
1
2
c
"
. 
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB
! "!!
= a
!"
, AC
! "!!
= b
"
, AD
! "!!
= c
"
. Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là 
điểm trên cạnh CD sao cho ND = 2NC. Gọi O là trung điểm đoạn thẳng MN. Hãy biểu diễn véctơ 
 AO
! "!!
 theo ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
. 
A. 
AO
! "!!
=
1
4
a
!"
+
1
3
b
"
+
1
3
c
"
. 
C. 
AO
! "!!
=
1
4
a
!"
+
1
3
b
"
+
1
6
c
"
. 
B. 
AO
! "!!
=
1
4
a
!"
+
1
4
b
"
+
1
4
c
"
. 
D. 
AO
! "!!
=
1
4
a
!"
+
1
6
b
"
+
1
3
c
"
. 
Câu 8. Cho lăng trụ tam giác ABC.A 'B 'C ' có AA '
! "!!!
= a
!"
, AB
! "!!
= b
"
, AC
! "!!
= c
"
. Hãy biểu diễn véctơ 
 B 'C
! "!!!
 theo ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
. 
A. B 'C
! "!!!
= c
"
− b
"
+ a
!"
. 
C. B 'C
! "!!!
=−c
"
+ b
"
− a
!"
. 
B. B 'C
! "!!!
= c
"
− b
"
− a
!"
. 
D. B 'C
! "!!!
=−c
"
+ b
"
+ a
!"
. 
Câu 9. Cho tứ diện SABC có SA
! "!!
= a
!"
,SB
! "!!
= b
"
,SC
! "!!
= c
"
. Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là điểm 
thuộc cạnh BC sao cho NC = 3NB. Phân tích véctơ MN
! "!!!
 theo ba véc tơ a
!"
,b
"
 và c
!
. 
KHOÁ HỌC: BÁM SÁT TOÀN DIỆN TOÁN 11 
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại website: www.vted.vn 
Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam 
5 
5 
A. 
MN
! "!!!
=
1
2
a
!"
+
3
4
b
"
+
1
4
c
"
. 
C. 
MN
! "!!!
=−
1
2
a
!"
+
3
4
b
"
−
1
4
c
"
. 
B. 
MN
! "!!!
=−
1
2
a
!"
+
3
4
b
"
+
1
4
c
"
. 
D. 
MN
! "!!!
=
1
2
a
!"
−
3
4
b
"
+
1
4
c
"
. 
Câu 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Trên các cạnh 
 AD và BC lần lượt lấy các điểm P,Q thoả mãn 
AP
! "!!
=
2
3
AD
! "!!
,BQ
! "!!
= kBC
! "!!
. Hãy tìm k để ba véctơ 
 MP
! "!!
,MN
! "!!!
,MQ
! "!!
 đồng phẳng. 
A. 
k =− 2
3
. B. 
k = 4
3
. C. 
k = 2
3
. D. 
k =− 4
3
. 
Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C ' D ' . Các điểm M, N xác định bởi: 
MA
! "!!
=−
1
4
MD
! "!!
, NA '
! "!!!
=−
2
3
NC
! "!!
. 
Tìm cặp số thực (m;n) sao cho MN
! "!!!
= mBD
! "!!
+ nBC '
! "!!!
. 
A. 
m = − 2
5
n = 3
5
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
. B. 
m = 2
5
n = 3
5
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
. C. 
m = − 2
5
n = −3
5
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
. D. 
m = 2
5
n = −3
5
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
. 
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có M, N là các điểm thoả mãn MS
! "!!
=−2MA
! "!!
, NB
! "!!
= kNC
! "!!
. Tìm k 
để ba véctơ AB
! "!!
,MN
! "!!!
,SC
! "!!
 đồng phẳng. 
A. k =−2. B. 
k = 1
2
. C. k = 2. D. 
k =−1
2
. 
Câu 13. Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C ' D ' có AB
! "!!
= a
!"
, AD
! "!!
= b
"
, AA '
! "!!!
= c
"
. Các điểm P,Q xác định 
bởi AP
! "!!
=−AD '
! "!!!
,C 'Q
! "!!!
=−C ' D
! "!!!
. Hãy biểu diễn véctơ PQ
! "!!
 theo ba véctơ a
!"
,b
"
 và c
!
. 
A. PQ
! "!!
= a
!"
+ 2b
"
+ 2c
"
. 
C. PQ
! "!!
= 2a
!"
+ 3b
"
+ 3c
"
. 
B. PQ
! "!!
= 2a
!"
+ 2b
"
+ 3c
"
. 
D. PQ
! "!!
= a
!"
+ 2b
"
+ 3c
"
. 
Câu 14. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của 
các cạnh AB và CD. Tính độ dài đoạn thẳng MN. 
A. MN = 2m. 
B. 
MN = m
2
. C. MN = 3m. 
D. 
MN = m
3
. 
Câu 15. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của các cạnh AB và 
 N thuộc cạnh CD thoả mãn ND = 2NC. Tính độ dài đoạn thẳng MN. 
 6 
A. 
MN = a 19
6
. B. 
MN = a 19
3
. C. 
MN = a 15
6
. D. 
MN = a 15
3
. 
Câu 16. Cho lăng trụ tam giác ABC.A 'B 'C ' . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB ', A 'C ' . 
Điểm M thuộc cạnh B 'C ' sao cho MB '
! "!!!
= kMC '
! "!!!
. Tìm k để bốn điểm A, I,M, K đồng phẳng. 
A. k =−1. B. k =−2. C. 
k =−1
2
. D. k =−3. 
Câu 17. Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C ' D ' có AA '
! "!!!
= a
!"
, AB
! "!!
= b
"
, AD
! "!!
= c
"
. Gọi M, N lần lượt là 
trung điểm của các cạnh AA ' và B 'C ' . Hãy biểu diễn MN
! "!!!
 theo ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
. 
A. 
MN
! "!!!
= a
!"
+ b
"
+
1
2
c
"
. 
C. 
MN
! "!!!
= a
!"
− b
"
+
1
2
c
"
. 
B. 
MN
! "!!!
=
1
2
a
!"
− b
"
+
1
2
c
"
. 
D. 
MN
! "!!!
=
1
2
a
!"
+ b
"
+
1
2
c
"
. 
Câu 18. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tứ diện. Đặt BA
! "!!
= a
!"
,CA
! "!!
= b
"
, DA
! "!!
= c
"
. Hỏi 
khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? 
A. 
AG
! "!!
=
1
4
(a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
C. 
AG
! "!!
=−
1
4
(a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
B. 
AG
! "!!
=
1
3
(a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
D. 
AG
! "!!
=−
1
3
(a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Đặt BA
! "!!
= a
!"
,CA
! "!!
= b
"
, DA
! "!!
= c
"
. 
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? 
A. 
AG
! "!!
=
1
4
(a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
C. 
AG
! "!!
=−
1
4
(a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
B. 
AG
! "!!
=
1
3
(a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
D. 
AG
! "!!
=−
1
3
(a
!"
+ b
"
+ c
"
). 
Câu 20. Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C ' D ' tâm O. Đặt AB
! "!!
= a
!"
,BC
! "!!
= b
"
. Điểm M xác định bởi 
OM
! "!!!
=
1
2
(a
!"
− b
"
). Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? 
A. M là tâm của mặt bên ABB ' A ' . 
C. M là trung điểm của cạnh BB ' . 
B. M là tâm của mặt bên BCC 'B ' . 
D. M là trung điểm của cạnh CC ' . 
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có SA
! "!!
= a
!"
,SB
! "!!
= b
"
,SC
! "!!
= c
"
 và các điểm M, N lần lượt là trung 
điểm của các cạnh AB,SC. Các điểm P,Q trên các đường thẳng SA,BN sao cho PQ / /MN. Hãy 
biểu diễn véctơ PQ
! "!!
 theo ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
. 
A. 
PQ
! "!!
=−
1
3
a
!"
+
1
3
b
"
+
1
3
c
"
. B. 
PQ
! "!!
=−
1
6
a
!"
+
1
6
b
"
+
1
6
c
"
. 
KHOÁ HỌC: BÁM SÁT TOÀN DIỆN TOÁN 11 
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại website: www.vted.vn 
Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam 
7 
7 
C. 
PQ
! "!!
=−
1
3
a
!"
+
1
3
b
"
+
1
3
c
"
. D. 
PQ
! "!!
=−
1
3
a
!"
+
1
3
b
"
+
1
3
c
"
. 
Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có SA
! "!!
= a
!"
,SB
! "!!
= b
"
,SC
! "!!
= c
"
 và các điểm M, N lần lượt là trung 
điểm của các cạnh AB,SC. Các điểm P,Q trên các đường thẳng SA,BN sao cho PQ / /CM. Hãy 
biểu diễn véctơ PQ
! "!!
 theo ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
. 
A. 
PQ
! "!!
=−
2
3
a
!"
−
2
3
b
"
+
4
3
c
"
. 
C. 
PQ
! "!!
=
2
3
a
!"
+
2
3
b
"
−
4
3
c
"
. 
B. 
PQ
! "!!
=
1
3
a
!"
+
1
3
b
"
−
2
3
c
"
. 
D. 
PQ
! "!!
=−
1
3
a
!"
−
1
3
b
"
+
2
3
c
"
. 
Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh bên SA = 1,SB = 2,SC = 3 và các góc tại đỉnh 
 S bằng 60
0, (ASB
!
= BSC
!
= CSA
!
= 600). Gọi H là điểm thuộc mặt phẳng (ABC) thoả mãn 
 SH ⊥ AB và SH ⊥ AC. Đặt SA
! "!!
= a
!"
,SB
! "!!
= b
"
,SC
! "!!
= c
"
. Hãy biểu diễn véctơ SH
! "!!
 theo ba véctơ 
 a
!"
,b
"
,c
"
. 
A. 
SH
! "!!
=
26
25
a
!"
+
1
25
b
"
−
2
25
c
"
. 
C. 
SH
! "!!
=
26
25
a
!"
−
1
25
b
"
−
2
25
c
"
. 
B. 
SH
! "!!
=
26
25
a
!"
+
1
25
b
"
+
2
25
c
"
. 
D. 
SH
! "!!
=−
26
25
a
!"
+
1
25
b
"
+
2
25
c
"
. 
Câu 24. Cho hình chóp SABC có SA = SB = 1,SC = 2 và các góc tại đỉnh A bằng 60
0. Gọi H 
là điểm thuộc đường thẳng SA và N thuộc đường thẳng BC sao cho MN ⊥ SA,MN ⊥ BC. Đặt 
 SA
! "!!
= a
!"
,SB
! "!!
= b
"
,SC
! "!!
= c
"
. Hãy biểu diễn véctơ MN
! "!!!
 theo ba véctơ a
!"
,b
"
,c
"
. 
A. 
MN
! "!!!
=−
6
13
a
!"
+
10
13
b
"
+
1
13
c
"
. 
C. 
MN
! "!!!
=−
6
11
a
!"
+
10
11
b
"
+
1
11
c
"
. 
B. 
MN
! "!!!
=−
6
13
a
!"
+
10
13
b
"
−
1
13
c
"
. 
D. 
MN
! "!!!
=−
6
11
a
!"
+
10
11
b
"
−
1
11
c
"
. 
Câu 25. Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,BD và AC sao cho 
 BC = 4BM, AC = 3AP,BD = 2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại điểm Q. Tính tỉ 
số 
AQ
AD
. 
A. 
AQ
AD
=
5
2
. B. 
AQ
AD
=
3
5
. C. 
AQ
AD
=
2
5
. D. 
AQ
AD
=
5
3
. 
---------------HẾT--------------- 
 8 
ĐÁP ÁN 
1A 2C 3D 4A 5A 6A 7C 8B 9B 10C 
11A 12D 13B 14B 15A 16C 17D 18C 19D 20? 
21D 22D 23A 24C 25B 
KHOÁ HỌC: BÁM SÁT TOÀN DIỆN TOÁN 11 
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại website: www.vted.vn 
Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam 
9 
9 
C – LỜI GIẢI CHI TIẾT 
Câu 2. Ta có 
AO
! "!!
=
1
2
AM
! "!!!
+ AN
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
1
2
1
2
a
!"
+
1
2
(b
"
+ c
"
)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
1
4
(a
!"
+ b
"
+ c
"
) (C) . 
Câu 5. Theo giả thiết, ta có: 
IA
! "!
= −
3
7
IM
! "!!
⇒ DA
! "!!
− DI
! "!
= −
3
7
DM
! "!!!
− DI
! "!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇒
10
7
DI
! "!
= DA
! "!!
+
3
7
DM
! "!!!
= DA
! "!!
+
3
14
DB
! "!!
+ DC
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Suy ra 
DI
! "!
=
1
20
14DA
! "!!
+ 3DB
! "!!
+ 3DC
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ (A) . 
Câu 6. Ta có 
AI
! "!
=
1
2
AB
! "!!
+ AC '
! "!!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ =
1
2
AB
! "!!
+ AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AA '
! "!!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
1
2
a
!"
+ a
!"
+ b
"
+ c
"⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ = a
!"
+
1
2
b
"
+
1
2
c
"
 (A) .
Câu 7. Ta có 
AO
! "!!
=
1
2
AM
! "!!!
+ AN
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ , trong đó 
AM
! "!!!
=
1
2
a
!"
và 
AN
! "!!
= AC
! "!!
+ CN
! "!!
= AC
! "!!
+
1
3
CD
! "!!
= AC
! "!!
+
1
3
(AD
! "!!
− AC
! "!!
) = 2
3
b
"
+
1
3
c
"
. 
Vì vậy 
AO
! "!!
=
1
2
1
2
a
!"
+
2
3
b
"
+
1
3
c
"⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
=
1
4
a
!"
+
1
3
b
"
+
1
6
c
"
 (C) . 
 10 
Câu 8. Ta có B 'C
! "!!!
= AC
! "!!
− AB '
! "!!!
= AC
! "!!
− (AB
! "!!
+ BB '
! "!!!
) = c
"
− b
"
− a
!"
 (B) . 
Câu 9. Ta có MN
! "!!!
= SN
! "!!
−SM
! "!!
 trong đó 
SM
! "!!
=
1
2
SA
! "!!
=
1
2
a
!"
 và 
SN
! "!!
= SB
! "!!
+ BN
! "!!
= SB
! "!!
+
1
4
BC
! "!!
= SB
! "!!
+
1
4
(SC
! "!!
−SB
! "!!
) = 1
4
c
"
+
3
4
b
"
. 
Vì vậy 
MN
! "!!!
=−
1
2
a
!"
+
3
4
b
"
+
1
4
c
"
 (B) . 
Câu 10. Đặt AB
! "!!
= a
!"
, AD
! "!!
= b
"
, AC
! "!!
= c
"
 ta có 
MN
! "!!!
= AN
! "!!
− AM
! "!!!
=
1
2
AC
! "!!
+ AD
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟−
1
2
AB
! "!!
=
1
2
c
"
+ b
"
− a
!"⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟. 
Ta có 
AP
! "!!
=
2
3
AD
! "!!
⇒ AM
! "!!!
+ MP
! "!!
=
2
3
AD
! "!!
⇒ MP
! "!!
=
2
3
b
"
−
1
2
a
!"
. 
Và BQ
! "!!
= kBC
! "!!
⇒ BM
! "!!!
+ MQ
! "!!
= kBC
! "!!
 suy ra 
MQ
! "!!
= k(AC
! "!!
− AB
! "!!
)− BM
! "!!!
= kc
"
− ka
!"
+
1
2
a
!"
=
1
2
− k
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
a
!"
+ kc
"
. 
Để ba véctơ MP
! "!!
,MN
! "!!!
,MQ
! "!!
 đồng phẳng ta phải có: 
MN
! "!!!
= xMP
! "!!
+ yMQ
! "!!
⇔
1
2
c
"
+ b
"
− a
!"⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ = x
2
3
b
"
−
1
2
a
!"⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ y 1
2
− k
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
a
!"
+ kc
"⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇔ −3a
!"
+ 3b
"
+ 3c
"
= (4xb
"
−3xa
!"
) + (3−6k)ya
!"
+ 6kyc
"
⇔ (3−3x + 3y−6ky)a
!"
+ (4x−3)b
"
+ (6ky−3)c
"
= 0
"
⇔
3−3x + 3y−6ky = 0
4x−3 = 0
6ky−3 = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⇔ x = 3
4
; y = 3
4
;k = 2
3
.
Chọn đáp án C. 
Câu 12. Đặt SA
! "!!
= a
!"
,SB
! "!!
= b
"
,SC
! "!!
= c
"
 ta có AB
! "!!
= SB
! "!!
−SA
! "!!
= b
"
− a
!"
;SC
! "!!
= c
"
 và 
MS
! "!!
= −2MA
! "!!
⇒−SM
! "!!
= −2(SA
! "!!
−SM
! "!!
)⇒ SM
! "!!
=
2
3
SA
! "!!
=
2
3
a
!"
NB
! "!!
= kNC
! "!!
⇒ SB
! "!!
−SN
! "!!
= k(SC
! "!!
−SN
! "!!
)⇒ (k−1)SN
! "!!
= kSC
! "!!
−SB
! "!!
= kc
"
− b
"
(k−1)MN
! "!!!
= (k−1)(SN
! "!!
−SM
! "!!
) = kc
"
− b
"
−
2(k−1)
3
a
!"
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
Để ba véctơ AB
! "!!
,MN
! "!!!
,SC
! "!!
 đồng phẳng ta phải có: 
KHOÁ HỌC: BÁM SÁT TOÀN DIỆN TOÁN 11 
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại website: www.vted.vn 
Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam 
11 
11 
(k−1)MN
! "!!!
= xAB
! "!!
+ ySC
! "!!
⇔ kc
"
− b
"
−
2(k−1)
3
a
!"
= x(b
"
− a
!"
) + yc
"
⇔
−x = − 2(k−1)
3
x = −1
y = k
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⇔
x = −1
k = −1
2
y = 1
3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
Vậy 
k =−1
2
. Chọn đáp án D. 
Câu 13. Ta có 
AP
! "!!
= −AD '
! "!!!
= − AD
! "!!
+ DD '
! "!!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ = −b
"
− c
"
AQ
! "!!
= AC '
! "!!!
+ C 'Q
! "!!!
= AC '
! "!!!
−C ' D
! "!!!
= AC '
! "!!!
− (AD
! "!!
− AC '
! "!!!
) = 2AC '
! "!!!
− AD
! "!!
= 2(AB
! "!!
+ AD
! "!!
+ AA '
! "!!!
)− AD
! "!!
= 2(a
!"
+ b
"
+ c
"
)− b
"
= 2a
!"
+ b
"
+ 2c
"
PQ
! "!!
= AQ
! "!!
− AP
! "!!
= 2a
!"
+ 2b
"
+ 3c
"
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
Chọn đáp án B. 
Câu 14. Đặt AB
! "!!
= a
!"
, AC
! "!!
= b
"
, AD
! "!!
= c
"
 ta có 
a
!"
= b
"
= c
"
= m và 
a
!"
.b
"
= a
!"
.c
"
= b
"
.c
"
=
m2
2
. 
Do đó 
MN
! "!!!
= AN
! "!!
− AM
! "!!!
=
1
2
AC
! "!!
+ AD
! "!!⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟−
1
2
AB
! "!!
= −
1
2
a
!"
+
1
2
b
"
+
1
2
c
"
. 
Do đó 
MN = MN
! "!!! 2
= −
1
2
a
!"
+
1
2
b
"
+
1
2
c
"⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
2
=
m2
4
+
m2
4
+
m2
4
−
m2
4
−
m2
4
+
m2
4
=
m 2
2
. 
Chọn đáp án B. 
Câu 16. Đặt AA '
! "!!!
= a
!"
, AB