Bài toán “Quả bóng màu” dành cho học sinh Tiểu học

Bài toán “Quả bóng màu” dành cho học sinh tiểu học
Bài toán đăng trên DÂN TRÍ điện tử (Ngày 30/11/2015) với lời giới thiệu: 
“..sẽ giúp học sinh tiểu học rèn luyện thao tác tư duy, tư duy phản biện, kĩ thuật lật ngược vấn đề, năng lực mô hình hóa. Đồng thời với các bài tập thể dục trí não này, cha mẹ có thể cùng con rèn luyện các năng lực tư duy Toán”.
Tuy nhiên, bài toán này đã làm không ít phụ huynh "bó tay" vì đọc qua đề bài tưởng chừng như đơn giản nhưng lại dễ nhầm lẫn nếu không suy nghĩ thật kĩ.
µĐề bài: 
Trong hộp có 45 bóng màu, gồm 20 màu đỏ, 15 màu xanh, và 10 màu vàng. Cần lấy ra bao nhiêu bóng để chắc chắn có 3 bóng:
a) Màu đỏ; b) Cùng màu; c) Khác màu nhau.
Mời bạn thử tài với bài toán thú vị này!
Lời giải và bình luận: (đăng vào chiều ngày 1/12/2015.)
Một bài toán nghe tưởng chừng như đơn giản nhưng lại rất dễ nhầm lẫn nếu không suy nghĩ thật kĩ và đáp án như sau:
a) Để chắc chắn lấy ra được ba bóng màu đỏ chúng ra cần xem xét khả năng xấu nhất chưa lấy ra được ba bóng màu đỏ: Toàn bộ bóng xanh và bóng vàng được lấy ra, do đó bắt buộc phải thêm 3 bóng đỏ nữa.
èVậy cần lấy ra 28 bóng (28 = 15 + 10 + 3) thì chắc chắn có 3 bóng đỏ.
b) Để chắc chắn có 3 bóng cùng màu, chúng ra xem xét trường hợp xấu nhất: số bóng mỗi màu luôn được “chia đều nhất” có thể, là 6 bóng lấy ra đầu tiên có đúng 2 bóng mỗi màu, khi đó lấy thêm một bóng bất kì thì bóng này phải trùng màu với 1 trong hai bóng nào đó có sẵn. 
è Câu trả lời là cần lấy ra 7 bóng thì chắc chắn có 3 bóng cùng màu.
c) Hai loại bóng có số lượng nhiều hơn là bóng đỏ và bóng xanh, nếu tất cả hai loại này đã được lấy ra thì ta cần thêm 1 bóng vàng nữa để trong các bóng lấy ra chắc chắn có ba màu. Chú ý rằng, trong các bóng lấy ra chắc chắn phải có đủ ba màu nên trường hợp xấu nhất mà ta cần xét tới là hai loại bóng có số lượng nhiều hơn đã được lấy hết trước. Câu trả lời là cần lấy ra 36 bóng thì chắc chắn có ba bóng khác màu.
Kết luận: Bài toán này giúp học sinh rèn luyện: Thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng quát hóa, khái quát hóa), tư duy phản biện, kĩ thuật lật ngược vấn đề, năng lực mô hình hóa.
Ban Giáo dục -DT điện tử
Bàn luận
Đề trên DT điện tử thực ra không chặt chẽ, vừa thừa vừa thiếu:
Thừa yếu tố giải thiết: đã cho số lượng từng loại (đỏ, vàng, xanh) không cần cho tổng số 45.
Thiếu điều kiện để kết luận: nếu chỉ hỏi cần bao nhiêuthì HS chỉ cần đáp án là lầy luôn 45 quả. Xong ! ĐA này cho cả 3 ý a,b,c của câu hoải mà không sai.
Cũng có thể đây là cách mà tác giả “gây nhiễu” để thử thách độc giả (?!). Nguyên gốc bài toán này không rõ từ đâu, song, mình đã gặp trong các trang Web trước đó ( như trang Web vndoc.com tháng 7/2015 rồi)
Đây là loại toán xác suất, nhưng có thể cho H S tiểu học giải với phương pháp Giả sử.
Vậy xin biên soạn lại để các bạn GV & HS tham khảo: 
µĐề chỉnh lí:
Trong 1 hộp kín đựng bi màu, gồm 20 viên màu đỏ, 15 viên màu xanh, và 10 viên màu vàng. Hỏi cần lấy ra ít nhất bao nhiêu viên để chắc chắn:
 a) Có 3 viên bi cùng màu đỏ; 
 b) Có 3 viên bi cùng1 màu nào đó; 
 c) Có đủ 3 màu khác nhau.
Giải:
a/ Giả sử tất cả số bi là đỏ thì chỉ cần lấy ra 3 viên; Nhưng:
Có 15 bi xanh, nên phải lấy thêm ra : 3 + 15
Có 10 bi vàng, nên phải lấy thêm ra: 3 + 15 + 10 = 28 (viên)
è Cần lấy ra ít nhất 28 viên bi để chắc chắn có 3 viên màu dỏ
b/ Giả sử ta lấy được 3 viên bi cùng 1 màu nào đó thì 2 màu kia mỗi loại không cần quá 2 viên. 
 Nếu lây 3 + 1 + 2 = 6 thì còn có thể gặp 6 = 2 + 2 + 2; chưa đạt yêu cầu
 è Vậy cần lấy ra: 3 + 2 + 2 = 7 viên thì chắc chắn có 3 viên cúng 1 màu
c/ Để chắc chắn số bi lấy ra có đủ 3 màu thì tổng số bi cần lấy phải lớn hơn tổng của 2 loại có số lượng lớn hon + 1 è Số cần lấy ít nhất là: 20 + 15 + 1 = 36 bi
µĐề 2: 
Bốn quả bóng được đặt trong một chiếc hộp: Một quả màu xanh, một quả màu đỏ và hai quả màu vàng. Lắc hộp và lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng ra ngoài . Hỏi:
a/ Có bao nhiêu cơ hội lấy được ít nhất một trong 2 quả là màu vàng.
b/ Có bao nhiêu cơ hội để quả bóng thứ 2 cũng màu vàng nếu trước đó đã lấy một quả màu vàng.
Lời giải:
a/ Trường hợp lấy cùng 1 lúc 2 quả:
Sẽ có 6 cặp bóng có thể được lấy ra: Hình minh hoạ dưới đây
 1-(Vàng + Vàng); 2-(Vàng + Xanh) 3- (Vàng + đỏ)
 4- (Vàng + xanh); 5- (xanh + đỏ) ; 6- (vàng + đỏ ).
Để có ít nhất một quả bóng màu vàng nên cặp số 5 (Xanh + Đỏ) không thể được chấp nhận. Do đó còn lại 5 khả năng. 
 è Vậy cơ hội cho cặp bóng có ít nhất 1 quả màu vàng  là 1/5.
b/ Trường hợp lấy trước 1 quả bòng màu vàng: Vì chỉ còn lại 3 quả, trong đó chỉ 1 quả màu vàng nên cơ hội 2 quả cùng màu vàng là : 1/3
( Ghi chú: Đáp án 1/3 chỉ đúng nếu những quả bóng được rút ra lần lượt và quả bóng đầu tiên là màu vàng.Tuy nhiên, trong trường hợp 2 quả bóng được rút ra cùng lúc và màu sắc của quả bóng đầu tiên trong 2 quả được đưa ra, thì đáp án 1/5 ở trên mới là chính xác).
 PHH sưu tầm, chỉnh lí biên soạn lời giải - 11/ 2015